1.2 提公因式法课件2025-2026学年湘教版数学八年级上册

湘教版·数学八年级上册 授课老师：王老师 1.2 提公因式法 提单项式公因式 第1章 因式分解 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 1 新课导入 分别说出xy，3xz中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？ xy 3xz x y x z 由此看出，xy，3xz有相同的因式x. 几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 如何把多项式xy+3xz因式分解？ xy+3xz 提取公因式x 乘法分配率 =x·y+x·3z =x(y+3z) 如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法． 探索新知 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 例1 把多项式 4x2－6x3 因式分解． 分析： 1. 定系数：多项式由 4x² 和 －6x3 这两项组成，它们的系数分别为 4，－6，不考虑其符号，则 4 与 6 的最大公因数是 2； 2. 定字母：这两项都含有字母 x， 3. 定指数： x 的最低次数为 2. 因此，可提出公因式 2x². 解：4x2－6x3 = 2x²(2－3x). 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 例2 把多项式 8x²y4－12xy²z 因式分解． 解： 8x²y4－12xy²z＝ 4xy² · 2xy²－4xy² · 3z ＝4xy²(2xy²－3z). 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 三名同学对多项式 2x²＋4x 进行因式分解，结果如下： (1) 2x² + 4x = 2(x² + 2x)； (2) 2x² + 4x = x(2x + 4)； (3) 2x² + 4x = 2x(x + 2). 上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？ 注意：公因式要提尽. (1) 错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 x. (2) 错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 2. (3) 正确. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 注意：提公因式后，第三项还剩下数字 1. 例3 把多项式 5x²－3xy＋x 因式分解. 分析： 1. 定系数：多项式由 5x²，－3xy 和 x 这三项组成，它们的系数分别为 5，－3，1，不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是 1； 2. 定字母：这三项都含有字母 x， 3. 定指数： x 的最低次数为1. 因此，可提出公因式x. 解：5x²－3xy＋x＝x(5x－3y＋1). 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 例4 把多项式 －3x²＋6xy－3xz 因式分解. 分析：多项式 －3x²＋6xy－3xz 的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解. 解：－3x²＋6xy－3xz = －(3x²－6xy＋3xz) =－3x(x－2y＋z). 注意：首项有负常提负. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 1. 因式分解： (1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a²－9ab； (3) －5a² + 25a. 解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3). (2) 3a²－9ab = 3a(а－3b). (3) －5a² + 25a = －5a(a－5). 针对训练 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值. 所以 原式＝ab(a ＋ b)＝4×7＝28. 解：因为 a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 1.说出下列多项式中各项的公因式： (1) 5x＋2xy； (2) πx3+πx2； (3) －12x2y＋18xy－15y. 3y πx2 巩固练习 【选自教材P6 练习第1题】 x 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 11 2.在下列括号内填写适当的多项式： （1）3x4－2x3+x=x( ); （2）－30x3y2＋48x2yz=－6x2y( ). 3x3－2x2+1 5xy－8z 【选自教材P6 练习第2题】 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 3.把下列多项式因式分解： （1）3xy－15y2＋9y； （2）7x3y－4x2y3＋18xy2； （3）12x4y2z3＋4x3yz2－8x2yz4； 原式=3y·x－3y·5y＋3y·3=3y(x－5y+3) 原式=xy(7x2－4xy2＋18y) 原式=4x2yz2(3x2yz＋x－2z2) 【选自教材P6 练习第3题】 （4）－6x3y2－4x2y3＋10x2y2. 原式=－2x2y2(3x+2y－5) 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 课堂小结 2. 确定公因式的方法： 一看系数，二看字母，三看指数. 1. 提公因式法分解因式步骤 (分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式. 3. 用提公因式法分解因式应注意的问题： (1) 公因式要提尽； (2) 小心漏项； (3) 多项式的首项取正号. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 湘教版·数学八年级上册 授课老师：王老师 1.2 提公因式法 提多项式公因式 第1章 因式分解 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 16 请在下列各式等号右边的括号前填入“+” 或“－”号，使等式成立: (1) 2－a =_____( a－2 )； (2) y－x =_____ ( x－y )； (3) b + a =_____( a + b )； (4) －m－n =______( m + n )； (5) ( a－b )3 = (－a + b )3 － － + － － 复习导入 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 解： x(x－2)－3(x－2) 把下列多项式因式分解： (1) x(x－2)－3(x－2); (2) x(x－2)－3(2－x). =(x－2)(x－3) x－2 x－2 x(x－2)－3(2－x) x－2 2－x 2－x转化为－(x－2) =x(x－2)－3[－(x－2)] =x(x－2)+3(x－2) =(x－2)(x+3) 探索新知 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 把下列多项式因式分解： (1) 2a(b＋c)－3(b＋c)； (2) (a＋b)(a－b)－a－b. (2) 原式＝(a＋b)(a－b)－(a＋b) ＝(a＋b)(a－b－1). 解：(1) 原式＝(2a－3)(b＋c). 练习 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 公因式为单项式时： 1. 定系数：找多项式各项系数的最大公约数． 2. 定字母：找多项式各项相同的字母． 3. 定指数：相同字母的最低的次数. 变形为(x－y)2 思考：如何确定多项式各项的公因式？ 6 x 、y、(x－y) 6xy (x－y)2 x、y最低次数是 1、 (x－y)最低次数是2 多 式子 式子 例5 把多项式 12xy²(x－y)2－18x²y(y－x)² 因式分解. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 变形为(x－y)2 解 12xy²(x－y)²－18x²y(y－x)² =12xy²(x－y)²－18x²y(x－y)² =6xy(x－y)²·2y－6xy(x－y)²·3x =6xy(x－y)² (2y－3x). 公因式为6xy(x－y)2 例5 把多项式 12xy²(x－y)2－18x²y(y－x)² 因式分解. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 把10a2(x＋y)2－5a(x＋y)3因式分解时，应提取的公因式是（ ） 练习 A. 5a B. (x+y)2 C. 5(x+y)2 D. 5a(x+y)2 D 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 例6 把多项式 2x3y－10xy2 因式分解. 分析 2＝2×，10＝5×2×，所以公因式的系数为 2. 解 2x3y－10xy2 ＝2xy·x2－2xy·5y ＝2xy(x2－5y). 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 将多项式 x3y2－ x2y3 因式分解，对比其他同学的答案，你们的结果一样吗？ 分析 ＝×，所以公因式的系数为 . 解 x3y2－ x2y3 ＝x2y2·x－x2y2·y ＝x2y2 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 随堂练习 1.把下列多项式因式分解： (1) x(x－y)+y2(x－y)； (2) x(x－y)+y2(y－x)； 解：原式=(x+y2)(x－y) 解：原式=x(x－y)－y2(x－y) =(x－y2)(x－y) 【选自教材P8 练习】 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 (3) a2(x－y)2+ab(y－x)2； (4) 4x2y(x－y)－6xy2(x－y)； 解：原式=a2(x－y)2+ab(x－y)2 =a(a+b)(x－y)2 解：原式=2xy(x－y)·2x－2xy(x－y)·3y =2xy(x－y)(2x－3y) 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 (5) 8x2－12x； 解：原式＝4x·2x－4x·3 ＝4x(2x－3). (6) 4x3y－2x2y2. 解：原式＝2x2y·2x－2x2y·y ＝2x2y(2x－y). 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 2.已知a－b－c=2，求a(a－b－c)+b(c－a+b)+ c(b+c－a)的值. 解： a(a－b－c)+b(c－a+b)+c(b+c－a) =a(a－b－c)－b(a－b－c)－c(a－b－c) =(a－b－c)2 因为a－b－c=2，所以原式=22=4. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 3.观察右边因式分解的过程： x2－xy+4x－4y =(x2－xy)+(4x－4y) =x(x－y)+4(x－y) =(x－y)(x+4). 请你仿照该因式分解的方法，把ad－ac－bc+bd因式分解. 解：ad－ac－bc+bd =(ad－ac)+(bd－bc) =a(d－c)+b(d－c) =(d－c)(a+b) 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 提多项式公因式法 注意 1. 分解因式是一种恒等变形； 2. 公因式要提尽； 3. 整项提出莫漏 1； 4. 提负号，要注意变号 课堂小结 公因式为多项式时： 1. 定系数：找多项式各项系数的最大公约数． 2. 定字母：找多项式各项相同的式子． 3. 定指数：相同式子的最低的次数. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 感谢聆听 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.2节《提公因式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公因式的概念：掌握公因式的定义及确定方法。 掌握提公因式法：学会用提公因式法对多项式进行因式分解。 培养数学思维：通过观察、归纳和验证，提升逻辑推理能力。 二、教学重难点 重点： 公因式的确定方法（定系数、定字母、定指数）。 提公因式法的步骤及应用。 难点： 公因式为多项式时的因式分解。 提公因式后剩余部分的处理（如符号变化、漏项问题）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 xy+3xz 因式分解？” 引导学生观察两项的公共因式 x ，并引出提公因式法的定义。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公因式、掌握提公因式法、应用因式分解解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：公因式的概念与确定方法 定义解析： 公因式：几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 示例：多项式 3a 2 y−3ay+6y 的公因式为 3y 。 确定方法： 定系数：取各项系数的最大公因数（如 4x 3 yz 2 −8x 2 yz 4 +12x 4 y 2 z 3 的公因式系数为4）。 定字母：取各项中都含有的相同字母（如 4xy 3 −8x 3 y 2 的公因式含 x 和 y ）。 定指数：取相同字母的最低次数（如 x 的最低次数为1， y 的最低次数为2）。 环节二：提公因式法的定义与步骤 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以将公因式提到括号外面，这种因式分解方法称为提公因式法。 用字母表示为： xy+xz+xw=x(y+z+w) 。 步骤： 确定公因式：按照“定系数、定字母、定指数”的方法找出公因式。 提取公因式：将多项式表示为公因式与另一个多项式的乘积。 验证结果：通过乘法分配律验证因式分解的正确性。 环节三：公因式为多项式时的因式分解 示例： 因式分解 am(x+1)+bm(x+1)+cm(x+1) 。 引导观察：三项中均含公因式 m(x+1) ，提取后得 m(x+1)(a+b+c) 。 方法总结： 当公因式为多项式时，需整体观察多项式的结构，确保每一项都含有该公因式。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题：指出下列多项式的公因式： 5x+2xy （答案： x ）。 πx 3 +πx 2 （答案： πx 2 ）。 进阶题：因式分解： 6x 3 y 2 −8xy 3 z （答案： 2xy 2 (3x 2 −4yz) ）。 −4a 3 b 2 +12a 2 b−4ab （答案： −4ab(a 2 b−3a+1) ）。 拓展题： 已知 a+b=7 ， ab=4 ，求 a 2 b+ab 2 的值（答案：28）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如公因式的确定方法），蓝色贴纸写疑问（如公因式为多项式时的注意事项），绿色贴纸写应用场景（如因式分解在简化计算中的作用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 提公因式法 1. 公因式的确定方法： - 定系数：取各项系数的最大公因数。 - 定字母：取各项中都含有的相同字母。 - 定指数：取相同字母的最低次数。 2. 提公因式法的步骤： - 第一步：找出公因式。 - 第二步：提取公因式。 3. 注意事项： - 公因式要提尽。 - 小心漏项。 - 多项式的首项取正号。 五、作业设计 基础作业： 指出下列多项式的公因式： 3a 3 b 3 +12a 2 b−9a 4 b 2 。 a(x−y) 3 +b(x−y) 2 。 因式分解： 5x 2 −3xy+x 。 −5x 2 y 2 +10xy 3 −15x 2 y 。 拓展作业： 已知 2x+y=4 ， xy=3 ，求代数式 2x 2 y+xy 2 的值。 因式分解： 12xy 2 (x−y) 2 −18x 2 y(y−x) 2 。 10a 2 (x+y) 2 −5a(x+y) 3 。 创新作业： 设计一个因式分解的实际应用案例（如面积计算、工程问题等），并制作信息图。 $