专题一函数性质综合应用讲义-2026届高三数学一轮复习

专题一.函数性质的综合应用 1． 知识梳理： （一）函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间． （3）函数单调性的常用结论：若函数f (x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数； ②若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反； ③函数y＝f (x)在公共定义域内与y＝(f (x)≠0)的单调性相反； ④复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”． （2） 函数的奇偶性 1.函数奇偶性定义： 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f (x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f (0)＝0．如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)． (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)若y＝f (x＋a)是奇函数，则f (－x＋a)＝－f (x＋a)；若y＝f (x＋a)是偶函数，则f (－x＋a)＝f (x＋a)． （三）函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D且f (x＋T)＝f (x)，那么函数y＝f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期． （3）函数周期性常用结论：对f (x)定义域内任一自变量的值x： ①若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a>0)． ②若f (x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． ③若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． ④若f (x＋a)＝f (x＋b)，则T＝|a－b|(a≠b)． 4.函数的对称性 （1）轴对称和中心对称 ①若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称，则f (a－x)＝f (a＋x)⇔f (2a－x)＝f (x)． ②若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于点(a，0)对称． ③若函数y＝f (x)满足f (a－x)＋f (b＋x)＝c，则函数f (x)的图象的对称中心为． （4）函数的周期性与对称性的关系 ①如果f (x)的图象关于点(a，0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，则函数f (x)的周期T＝4|a－b|． ②如果f (x)的图象关于点(a，0)对称，且关于点(b，0)(a≠b)对称，则函数f (x)的周期T＝2|a－b|． ③若函数f (x)的图象关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|． 考点一　函数的奇偶性与单调性 例1.(1)若定义在R上的奇函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x－1)0的x的取值范围是(　　) A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3] (2)(多选)已知f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f (x)，g(x)在(－∞，0]上均单调递减，则(　　) A．f (f (1))＜f (f (2))　　B．f (g(1))＜f (g(2)) C．g(f (1))＜g(f (2)) D．g(g(1))＜g(g(2)) 答案：(1)D　(2)BD 方法总结：1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． 2．对于抽象函数不等式的求解，先将不等式变形为f (x1)>f (x2)的形式，再结合单调性，脱去“f ”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解． 对点练习：1．(1)偶函数y＝f (x)在区间[0，4]上单调递减，则有(　　) A．f (－1)>f >f (－π) B．f >f (－1)>f (－π) C．f (－π)>f (－1)>f D．f (－1)>f (－π)>f (2)(多选)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)是奇函数，g(x)＝(1－x)f (x)，函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，则下列命题为真命题的是(　　) A．f (－x－1)＝－f (x＋1) B．函数g(x)在(－∞，1]上单调递减 C．若a＜2－b＜1，则g(1)＜g(b)＜g(a) D．若g(a)＞g(a＋1)，则a＜ 答案：(1)A　(2)BCD 考点二　函数的奇偶性与周期性 例2　(1)函数y＝f (x)和y＝f (x－2)均为定义在R上的奇函数，若f (1)＝2，则f (2 025)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 (2)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋2)是偶函数，f (2x＋1)是奇函数，则(　　) A．f ＝0 B．f (－1)＝0 C．f (2)＝0 D．f (4)＝0 答案：(1)D　(2)B　 方法总结：综合运用奇偶性与周期性解题的方法步骤 (1)根据已知条件及相关函数的奇偶性，推得函数的周期； (2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间或与已知的函数值建立关系，必要时可再次利用奇偶性将自变量的符号进行转化； (3)代入已知的解析式求值． 对点练习：2．(多选)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为偶函数，f (3x＋2)为奇函数，则(　　) A．f (x)的图象关于x＝1对称 B．f (x)的图象关于(1，0)对称 C．f (x＋4)＝f (x) D．＝1 答案：AC 考点三　函数的奇偶性与对称性 例3.　(1)已知定义在R上的函数f (x)是奇函数，对任意x∈R都有f (x＋1)＝f (1－x)，当f (－3)＝－2时，则f (2 025)＝(　　) A．2 B．－2 C．0 D．－4 (2)若定义在R上的偶函数f (x)满足f (2－x)＝－f (x)，且当1x2时，f (x)＝x－1，则f ＝(　　) A． C． D．－ 答案：(1)B　(2)D 方法总结：由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等． 对点练习：3．(1)定义在R上的奇函数f (x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f (x)在[0，2)上单调递增，则(　　) A．f (11)<f (12)<f (21) B．f (21)<f (12)<f (11) C．f (11)<f (21)<f (12) D．f (21)<f (11)<f (12) (2)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f (x)＝2－2x，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 025)的值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案：(1)A　(2)D　 考点四　函数的对称性与周期性 例4.　已知定义在R上的函数f (x)，满足f (－x)＋f (x)＝2，f (1－x)＝f (1＋x)，若f ＝，则f (2)＋f ＝(　　) A．2 B． C． 答案：D 对点练习：4．(1)已知f (x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f (x＋2)＝f (2－x)＋4f (2)，若函数y＝f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，则f (2 026)＝(　　) A．6 B．3 C．0 D．－3 (2)设函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f (x)＝ax2＋b．若f (0)＋f (3)＝6，则f ＝(　　) A．－ B．－ C． 答案：(1)C　(2)D　 学科网（北京）股份有限公司 $