1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕空间向量表示点、直线和平面的核心内容展开，以“点→位置向量，线→方向向量，面→法向量”为逻辑主线，通过从具体几何对象到抽象向量表达的转化过程，构建清晰的知识支架。教学设计由浅入深，先引导学生用向量描述点与直线，再过渡到平面法向量的定义与求法，层层递进，自然衔接新旧知识。 其亮点在于紧扣数学核心素养，突出“抽象能力”“逻辑推理”和“数学建模”三方面融合。例如，在典例2中通过正方体情境多角度求解平面法向量，既训练运算能力又强化空间观念，体现数学语言的精确表达。小结环节提炼出“设、选、列、解、赋、得”六步法，结构清晰便于迁移应用。学生能系统掌握向量工具解决立体几何问题的方法，教师可直接用于课堂讲授或分层练习，提升教学效率与思维深度。

1.4.1.1 空间中点、线、面的向量表示 1. 能用向量语言描述点、直线和平面； 2. 理解直线的方向向量和平面的法向量. 学习目标 1.教学重点：理解直线的方向向量和平面的法向量. 2.教学难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题. 重难点 几何中 点 线 面 向量中 ？ ？ ？ 探究新知 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面． 如何用向量表示空间中的一个点？ 思考1 定点O P p 向量的坐标 起点的坐标 终点的坐标 坐标 探究新知 如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量. 点→点+位置向量 P 几何中 向量中 点 方向向量 a A B 点P在直线l上 充要条件 一个点 一个方向 + 如何用向量表示空间中的直线？ 思考2 探究新知 l 如图，a是直线l 的方向向量，在直线l上取 = a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知： 存在实数t，使得 ，即 线→点+方向向量 = t P a A B 进一步地，如图，取定空间中的任意一点O， O 可以得到：P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 =+t ① 或=+t ② ① ②式称为空间直线l的向量表示. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 类型一直线的方向向量(数学运算) 【典例1】(1)(多选题)若M(1,0,-1),N(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是 (　　) A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(-3,0,1) (2)已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z等于 (　　) A.0 B.1 C. D.3 【总结升华】 直线的方向向量的关注点 (1)实质:求直线的方向向量就是求与该直线共线的向量. (2)注意:直线的方向向量有无数个. 【即学即练】 已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是 (　　) A.-1　 B.1或-1　 C.-3　 D.1 【解析】选A.由题意可得a∥b,所以b=λa, 则(-4,2x2,6x)=λ(2,-1,3)=(2λ,-λ,3λ),所以,解得x=-1. （1）不共线的三点确定一个平面 （2）直线和直线外一点确定一个平面 （3）两条相交直线确定一个平面 （4）两条平行直线确定一个平面 （5）一个定点和两个定方向确定一个平面？ 探究新知 如何用向量表示空间中的平面？ 思考3 O P a b 这样点O与向量a,b不仅可以确定平面α,还可以具体表示出α内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用. a b B C P A O 探究新知 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． l 如何用向量表示空间中的平面？ 思考 （5）一个定点和两个定方向确定一个平面？ （6）一个定点和一个定方向确定一个平面？ A P 平面过点A，且是唯一的 a 如图，直线l，取直线l的方向向量a，称向量a为平面的法向量. 如果另有一条直线m⊥，在直线m上任取向量b , b与a有什么关系？ 平面的法向量 y x z D A B C D1 A1 B1 C1 M 课本例题 已知长方体ABCD-­A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系. （1）求平面BCC1B1的一个法向量； （2）求平面MCA1的一个法向量． 14 解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量. z是自由变量 最好法向量不要出现分数，方便运算 求平面法向量的步骤 类型二平面的法向量(数学运算) 【典例2】(一题多解) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求: (1)平面BDD1B1的一个法向量; (2)平面BDEF的一个法向量. 【母题变式】 1.在本例条件下求平面A1BD的一个法向量. 2.本例条件改为:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.求平面ACD1的一个法向量. 【总结升华】 求平面法向量n的三个注意点 (1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量. (2)取特殊值:在求n的坐标时,可令x,y,z中的任一个为特殊值,得另外两个值,从而得到平面的一个法向量. (3)注意0:假设法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特殊值时,一定要注意这个坐标不 为0. 【即学即练】 1.如图,已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC =1,AD=. (1)求平面ABCD的一个法向量; (2)求平面SAB的一个法向量. 1、空间中点、直线和平面的向量表示 点→点+位置向量 线→点+方向向量 平面→点+法向量 设向量 选向量 列方程组 解方程组 赋非零值 得结论 2、归纳求平面法向量的步骤： 课堂小结 【解析】选AB.因为M,N在直线l上,所以=(1,1,3),故向量(1,1,3),(2,2,6)都是 直线l的一个方向向量. 【解析】选A.因为A(0,y,3)和B(-1,2,z),=(-1,2-y,z-3), 因为直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3), 故设=km. 所以-1=2k,2-y=-k,z-3=3k. 解得k=-,y=z=.所以y-z=0. 【解析】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),E(1,0,2). (1)方法一:设平面BDD1B1的法向量为n=(x1,y1,z1), 因为=(2,2,0),=(0,0,2),则即令x1=1,则y1=-1,z1=0, 所以平面BDD1B1的一个法向量为n=(1,-1,0).(答案不唯一) 方法二:易证AC⊥平面BDD1B1,所以=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0)是平面BDD1B1 的一个法向量.(答案不唯一) (2)因为=(2,2,0),=(1,0,2), 设平面BDEF的法向量为m=(x2,y2,z2), 所以 即 令x2=2,则y2=-2,z2=-1, 所以平面BDEF的一个法向量为m=(2,-2,-1).(答案不唯一) 【解析】如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),于是=(2,0,2),=(2,2,0). 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则即 令x=1,则y=-1,z=-1,所以平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1).(答案不唯一) 【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图 所示的空间直角坐标系.依题意得A(3,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,2),则=(-3,4,0),=(-3,0,2). 设n=(x,y,z)是平面ACD1的法向量, 则n·=0,n·=0,即 令z=6,则x=4,y=3, 所以n=(4,3,6)是平面ACD1的一个法向量.(答案不唯一) 【解析】以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图 所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(,0,0),S(0,0,1). (1)因为SA⊥平面ABCD, 所以=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. (2)易知AD⊥AB,AD⊥SA,且AB∩SA=A,AB,SA⊂平面SAB,所以AD⊥平面SAB, 所以=(,0,0)是平面SAB的一个法向量. 2.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在BC,DD1上是否分别存在点E,F,使是平面ABF的一个法向量?若存在,请证明你的结论,并求出点E,F满足的条件;若不存在,请说明理由. 【解析】以D1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1), B1(1,1,0), 设F(0,0,h),E(m,1,1),则=(0,1,0),=(m-1,0,1),=(1,0,1-h), 因为·=0,所以B1E⊥AB,若是平面ABF的一个法向量,则·=m-1+1-h=m-h=0,所以h=m,即E,F满足D1F=CE时,是平面ABF的一个法向量. $