专题25.1 在重复试验中观察不确定现象（高效培优讲义）数学华东师大版九年级上册

专题25.1 在重复试验中观察不确定现象 1.明确“三类事件” 的定义与判断(随机事件、必然事件、不可能事件);（重点） 2.理解“频率”与“概率” 的关系(频率趋近于概率；（重点） 3.掌握“重复试验的条件一致性”要求；（重点） 4.区分“随机事件"与“必然/不可能事件”(易因“概率大小”误判)；（难点） 5.理解“频率趋近于概率”的“过程性”((易忽略“大量试验”前提)；（难点） 6.把控“重复试验的条件一致性”(易因“细节疏漏”改变条件)。（难点） 事件的判断 (1)必然事件:无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中都一定会发生的事件为必然事件， (2)不可能事件:在每次试验中都一定不会发生的事件为不可能事件. (3)确定事件:必然事件和不可能事件在试验中是否发生都是我们能够预先确定的，所以统称为确定事件 (4)随机事件:无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件，我们称它们为随机事件 一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件;描述违背真理或违背客观存在的事实的事件是不可能事件。 1.一般地，随机事件发生的机会是有大小的，不同的随机事件发生的机会的大小有可能不同 2.事件发生的机会(1)必然事件:发生的机会为100%或1;(2)不可能事件:发生的机会为0； (3)随机事件:发生的机会介于0和1之间(不包括0和1) 描述随机事件发生的机会大小的常用语: “机会极小”“不大可能”“可能”“很可能”“机会极大”等 在随机事件中，虽然其结果是随机的、无法预测的但随着试验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件发生的频率会逐渐稳定到某一个数值附近，正因为随机现象发生的频率有这样趋于稳定的特点，所以我们就可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小 特别解读:(1)随着试验次数的增加，随机事件发生频率的图象呈现“先波澜起伏，后风平浪静”的趋势，(2)频率是通过试验得到的，可能取多个数值，具有随机性，所以只能近似地反映事件发生机会的大小 每一个随机事件发生的频率在很多次试验之后才会稳定下来，所以把仅通过几次试验得到的频率作为某一随机事件发生的机会的稳定值是不恰当的. 题型一、事件的分类 例1（24-25九年级上·四川泸州·期末）下列事件是必然事件的是（ ） A．掷一枚硬币，正面向上 B．篮球运动员投篮一次，未投中 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．经过有信号灯的路口，遇到绿灯 1-1下列事件是随机事件的是（    ） A．2021年全年有402天 B．打开电视，正在播放广告 C．刚出生的婴儿体重 D．袋中只有10个红球，任意摸出1个球是红球 1-2一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是（ ） A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球 C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球 1-3下列语句所描述的事件： ①任意画一个多边形，其外角和为； ②经过任意两点画一条直线； ③任意画一个三角形，其两边之和小于第三边； ④任意一个平行四边形对角线相等； 其中是随机事件的是 （填序号）． 1-4（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件是 ．（填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”） 题型二、判断事件发生的可能性的大小 例2（24-25九年级上·浙江金华·期末）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 2-1（24-25九年级上·山东潍坊·期末）下列说法正确的是（   ） A．“我市明天下雨的概率为”，意味着我市明天有的时间下雨 B．任意投掷一枚硬币1000次，出现正面向上的次数不一定是500次 C．从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是必然事件 D．“某彩票中奖概率是”，表示买10000张这种彩票一定会有1张中奖 2-2（24-25九年级上·贵州黔南·期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 2-3（23-24九年级上·河北张家口·期末）不透明袋子里有个红球，4个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到黑球的可能性更大，写出一个满足条件的m的值： ． 2-4（2024·江苏泰州·二模）如图，在A、B、C（）三地之间的电缆有一处断点，断点出现在A、B两地之间的可能性为，断点出现在B、C两地之间的可能性为，则 ．（填“”、“”、“”） 题型三、改变条件使事件发生的可能性相同 例3（2023·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 3-1（23-24九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ． 3-2（23-24九年级上·广东·单元测试）盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 题型四、列举随机实验的所有可能结果 例4（24-25九年级上·全国·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 4-1在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 4-2（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 题型五、判断实验所得结果是否是等可能的 例5（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 5-1（23-22九年级上·广东阳江·阶段练习）在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 5-2（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（  ) A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面 B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面 C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面 D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面 例1下列事件是必然事件的是（    ） A．没有水分，种子发芽． B．将生石灰放入自来水中，水温上升． C．在部分电路欧姆定律中，I随R的增大则减小． D．守株待兔． 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类．根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，对各个选项中的事件进行判断，从而得出结论． 【详解】解：A．没有水分，种子不能发芽．该事件为不可能事件，不合题意； B．将生石灰放入自来水中，生石灰与水发生化学反应，该反应为放热反应，必然导致水温上升．该事件为必然事件，符合题意； C．在部分电路欧姆定律中，当U一定时，I随R的增大则减小．该事件不是必然事件，不合题意； D．守株待兔为随机事件，不合题意． 故选B． 例2一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球， (1)会出现哪些可能的结果？ (2)事先能确定摸出的一定是红球吗？ (3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？ (4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？ 【答案】(1)白、黄、红三种 (2)不能 (3)红球 (4)袋子中白球、黄球、红球的个数相同 【分析】（1）根据事情发生的可能性，注意判断即可； （2）根据红球的多少判断，只能确定出现的可能性较大； （3）根据红球的数量多，抽出的可能性就大； （4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可． 【详解】（1）解：会出现：白、黄、红三种 （2）解：不能确定摸出的球一定是红球； （3）解由于红球数量最多，所以红球出现的概率最大； （4）解：袋子中白球、黄球、红球的个数相同时，三者的概率相等． 【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题． 1．下列事件是必然事件的是（   ） A．打开手机就有未接电话 B．学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人 2．调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（    ）． A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低 B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同 C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高 D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占 3．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9． 4．在做针尖落地的实验中，正确的是（　　） A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度 C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 5．下列事件中是确定事件的是 （填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 6．一个盒子中有 a 个红球和 b 个黄球，每个球除了颜色外都相同． 若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是 ． 7．学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分． 科学奇遇记 序号 主题活动 开始时间 结束时间 积分 A 科普实验 8:00 10:00 7 B 设计工坊 9:00 11:00 8 C 微观世界 10:30 11:50 5 D 机器人体验 11:30 13:30 9 E 温室生态展 13:00 14:40 7 F 人工智能展 14:00 16:45 8 G 梦幻剧场 15:00 17:30 5 H 创意荟 16:00 19:00 10 回答下列问题： （1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为 （填活动序号，写出一种即可）； （2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有 种． 8．在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． (1)当n为何值时，这个事件不可能发生？ (2)当n为何值时，这个事件必然发生？ 9．为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的学生有________人；请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数； (3)若该校八年级共有500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？________．（直接写出结果） 10．一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球， (1)会出现哪些可能的结果？ (2)事先能确定摸出的一定是红球吗？ (3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？ (4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？ 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.1 在重复试验中观察不确定现象 1.明确“三类事件” 的定义与判断(随机事件、必然事件、不可能事件);（重点） 2.理解“频率”与“概率” 的关系(频率趋近于概率；（重点） 3.掌握“重复试验的条件一致性”要求；（重点） 4.区分“随机事件"与“必然/不可能事件”(易因“概率大小”误判)；（难点） 5.理解“频率趋近于概率”的“过程性”((易忽略“大量试验”前提)；（难点） 6.把控“重复试验的条件一致性”(易因“细节疏漏”改变条件)。（难点） 事件的判断 (1)必然事件:无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中都一定会发生的事件为必然事件， (2)不可能事件:在每次试验中都一定不会发生的事件为不可能事件. (3)确定事件:必然事件和不可能事件在试验中是否发生都是我们能够预先确定的，所以统称为确定事件 (4)随机事件:无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件，我们称它们为随机事件 一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件;描述违背真理或违背客观存在的事实的事件是不可能事件。 1.一般地，随机事件发生的机会是有大小的，不同的随机事件发生的机会的大小有可能不同 2.事件发生的机会(1)必然事件:发生的机会为100%或1;(2)不可能事件:发生的机会为0； (3)随机事件:发生的机会介于0和1之间(不包括0和1) 描述随机事件发生的机会大小的常用语: “机会极小”“不大可能”“可能”“很可能”“机会极大”等 在随机事件中，虽然其结果是随机的、无法预测的但随着试验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件发生的频率会逐渐稳定到某一个数值附近，正因为随机现象发生的频率有这样趋于稳定的特点，所以我们就可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小 特别解读:(1)随着试验次数的增加，随机事件发生频率的图象呈现“先波澜起伏，后风平浪静”的趋势，(2)频率是通过试验得到的，可能取多个数值，具有随机性，所以只能近似地反映事件发生机会的大小 每一个随机事件发生的频率在很多次试验之后才会稳定下来，所以把仅通过几次试验得到的频率作为某一随机事件发生的机会的稳定值是不恰当的. 题型一、事件的分类 例1（24-25九年级上·四川泸州·期末）下列事件是必然事件的是（ ） A．掷一枚硬币，正面向上 B．篮球运动员投篮一次，未投中 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．经过有信号灯的路口，遇到绿灯 【答案】C 【分析】本题考查的是事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； B、篮球运动员投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、经过有信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 1-1下列事件是随机事件的是（    ） A．2021年全年有402天 B．打开电视，正在播放广告 C．刚出生的婴儿体重 D．袋中只有10个红球，任意摸出1个球是红球 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、2021年全年有402天，是不可能事件，不符合题意； B、打开电视，正在播放广告是随机事件，符合题意； C、刚出生的婴儿体重，是不可能事件，不符合题意； D、袋中只有10个红球，任意摸出1个球是红球，是必然事件，不符合题意； 故选：B． 1-2一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是（ ） A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球 C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件，理解必然事件的定义是解题的关键． 根据必然事件的定义分析各选项． 【详解】解：A：袋中有3个黑球，若摸出的3个球恰好是全部黑球（3个黑球），则无白球，所以“至少有1个球是白色球”是随机事件，故该选项不合题意； B：袋中仅有2个白球，摸出3个球时，最多只能取到2个白球，剩余1个必为黑球，因此无论何种情况，至少1个黑球必然存在，所以“至少有1个球是黑色球”是必然事件，故该选项符合题意； C：若摸出1个白球和2个黑球，则白球不足2个，所以“至少有2个球是白球”是随机事件，故该选项不合题意； D：若摸出2个白球和1个黑球，则黑球仅1个，不满足条件，所以“至少有2个球是黑色球”是随机事件，故该选项不合题意． 故选：B． 1-3下列语句所描述的事件： ①任意画一个多边形，其外角和为； ②经过任意两点画一条直线； ③任意画一个三角形，其两边之和小于第三边； ④任意一个平行四边形对角线相等； 其中是随机事件的是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：任意画一个多边形，其外角和为，是必然事件； 经过任意两点画一条直线，是必然事件； 任意画一个三角形，其两边之和小于第三边，是不可能事件； 任意一个平行四边形对角线相等，不一定； 只有矩形（以及正方形）这类特殊的平行四边形对角线相等，所以④是随机事件． 故答案为：． 1-4（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件是 ．（填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”） 【答案】随机事件 【分析】本题考查了事件的分类，随机事件∶在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件∶在一定条件下，一定不会发生的事件． 根据事件的分类即可得到答案． 【详解】解：在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件，可能发生，也可能不发生，是随机事件， 故答案为：随机事件． 题型二、判断事件发生的可能性的大小 例2（24-25九年级上·浙江金华·期末）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了可能性的大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可解答． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上， ∵每一次投掷硬币都是一个独立事件，其结果不受前面投掷结果的影响， ∴投掷第5次硬币正面朝上、反面向上的可能性相同，即投掷第5次硬币正面朝上的概率是． 故选：A． 2-1（24-25九年级上·山东潍坊·期末）下列说法正确的是（   ） A．“我市明天下雨的概率为”，意味着我市明天有的时间下雨 B．任意投掷一枚硬币1000次，出现正面向上的次数不一定是500次 C．从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是必然事件 D．“某彩票中奖概率是”，表示买10000张这种彩票一定会有1张中奖 【答案】B 【分析】概率表示可能性的大小，概率值越大，表示事件发生的可能性越大，但不一定必然发生．本题主要考查了事件的分类，概率的定义，解本题的要点在于了解概率值越大表示事件发生的可能性越大，但不一定必然发生． 【详解】解：A、下雨的概率为，表示明天降雨的可能性有六成，即下雨的可能性较大，故该选项不符合题意； B、任意投掷一枚硬币1000次，出现正面向上的次数不一定是500次，故该选项符合题意； C、从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是随机事件，故该选项不符合题意； D、“某彩票中奖概率是”，表示买10000张这种彩票不一定会有1张中奖，故该选项不符合题意； 故选：B 2-2（24-25九年级上·贵州黔南·期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 【答案】D 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意； B．大海捞针是不可能事件，不符合题意； C．返老还童是不可能事件，不符合题意； D．旭日东升是必然事件，符合题意； 故选：D． 2-3（23-24九年级上·河北张家口·期末）不透明袋子里有个红球，4个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到黑球的可能性更大，写出一个满足条件的m的值： ． 【答案】1（或2或3） 【分析】本题考查了可能性的大小，可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据“哪种球的数量大哪种球的可能性就大”直接确定答案即可． 【详解】解：∵不透明袋子里有个红球，4个黑球，从中任意摸出一个球，摸到黑球的可能性更大， ∴红球的数量小于黑球的数量，即 ∴写出一个满足条件的m的值：1（或2或3）． 故答案为：1（或2或3）． 2-4（2024·江苏泰州·二模）如图，在A、B、C（）三地之间的电缆有一处断点，断点出现在A、B两地之间的可能性为，断点出现在B、C两地之间的可能性为，则 ．（填“”、“”、“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小，根据即可判断． 【详解】解：∵断点出现在A、B，C点之间的可能性一致， 又∵， ∴， 故答案为：． 题型三、改变条件使事件发生的可能性相同 例3（2023·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论． 【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数 由各选项可知，只有D选项符合 故选D． 【点睛】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键． 3-1（23-24九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ． 【答案】2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 3-2（23-24九年级上·广东·单元测试）盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）不放红球即可． （2）都放红球即可． （3）根据可能性的程度确定红球比例即可． 【详解】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球； （2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球； （3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键． 题型四、列举随机实验的所有可能结果 例4（24-25九年级上·全国·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【分析】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解． 【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：、；、；、这3种结果， 故选：D． 4-1在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【答案】D 【分析】本题考查列举法（树状图法）．利用树状图法首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对应的白球的个数即可． 【详解】解：画树状图如图所示： 则取法的种数是16． 故选：D． 4-2（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 【详解】解∶①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 题型五、判断实验所得结果是否是等可能的 例5（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率． 【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为， ∴选择周二打疫苗的概率为：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键． 5-1（23-22九年级上·广东阳江·阶段练习）在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 【答案】B 【分析】看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可． 【详解】解：A、一只小球，不能出现两种情况，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； B、两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃），符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项正确； C、一个啤酒瓶盖，只有压平的瓶盖才可以，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； D、尖朝上的概率＞面朝上的概率，不能做替代物，故此选项错误； 故选B． 【点睛】考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考. 5-2（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（  ) A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面 B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面 C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面 D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面 【答案】C 【分析】本题考查了概率，看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可． 【详解】A选项中，一个瓶盖可用盖面朝上表示硬币的正面，盖面朝下表示硬币的反面，两者出现的概率不一样，不可作实验替代物，所以本选项不正确； B选项中，图钉尖着地的概率与针帽着地的概率不同，不可做实验替代物，所以本选项错误； C选项中，用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面，两数产生的概率相同，能代替抛掷硬币的实验，所以本选项正确； D选项中，转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面，由于还有一个“黄色区域”，本实验中有三种等可能结果，与抛掷硬币实验情况不一样，所以本选项错误； 故选：C． 例1下列事件是必然事件的是（    ） A．没有水分，种子发芽． B．将生石灰放入自来水中，水温上升． C．在部分电路欧姆定律中，I随R的增大则减小． D．守株待兔． 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类．根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，对各个选项中的事件进行判断，从而得出结论． 【详解】解：A．没有水分，种子不能发芽．该事件为不可能事件，不合题意； B．将生石灰放入自来水中，生石灰与水发生化学反应，该反应为放热反应，必然导致水温上升．该事件为必然事件，符合题意； C．在部分电路欧姆定律中，当U一定时，I随R的增大则减小．该事件不是必然事件，不合题意； D．守株待兔为随机事件，不合题意． 故选B． 例2一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球， (1)会出现哪些可能的结果？ (2)事先能确定摸出的一定是红球吗？ (3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？ (4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？ 【答案】(1)白、黄、红三种 (2)不能 (3)红球 (4)袋子中白球、黄球、红球的个数相同 【分析】（1）根据事情发生的可能性，注意判断即可； （2）根据红球的多少判断，只能确定出现的可能性较大； （3）根据红球的数量多，抽出的可能性就大； （4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可． 【详解】（1）解：会出现：白、黄、红三种 （2）解：不能确定摸出的球一定是红球； （3）解由于红球数量最多，所以红球出现的概率最大； （4）解：袋子中白球、黄球、红球的个数相同时，三者的概率相等． 【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题． 1．下列事件是必然事件的是（   ） A．打开手机就有未接电话 B．学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人 【答案】D 【分析】本题主要考查了必然事件，掌握必然事件是一定发生的事件成为解题的关键． 根据必然事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 打开手机就有未接电话是随机事件，不符合题意； B． 学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖是随机事件，不符合题意； C． 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6是不可能事件，不符合题意； D． 五个人分成四组，这四组中有一组有两人是必然事件，符合题意． 故选D． 2．调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（    ）． A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低 B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同 C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高 D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占 【答案】C 【分析】本题考查求概率，求出任意50人中有两个人生日相同的概率，进行判断即可． 【详解】解：由题意，任意两人，生日不相同的概率为， 第3人与其余2人生日均不相同的概率为：， 第4人与其余3人生日均不相同的概率为：， 第50个人与其余49人生日均不相同的概率为：， ∴（50人中至少有2人生日相同的概率）； ∴调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同是正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高； 故选C． 3．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9． 【答案】A 【分析】先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得：是由中的两个不相同的数字相加所得的数， 只能是1与3的和， 即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3， ， 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5， ， 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7， ， 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10， 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9， 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件、等可能事件，正确列出每位同学的所有可能结果，进行逐一判断是解题关键． 4．在做针尖落地的实验中，正确的是（　　） A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度 C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 【答案】B 【分析】根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可． 【详解】A．在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意； B．符合模拟实验的条件，正确，符合题意； C．应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意； D．所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是模拟实验的条件．解答本题的关键是注意实验器具和实验环境应相同，实验的结果带有一定的偶然性． 5．下列事件中是确定事件的是 （填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了确定事件和随机事件的定义，掌握确定性事件包括不可能事件和必然事件成为解题的关键． 根据确定事件和随机事件的定义逐个判断即可． 【详解】解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； ②对于实数、，有，是不可能事件，是确定性事件，符合题意； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； ④14人中至少有2人在同一个月过生日是必然事件，是确定性事件，符合题意． 故答案为：②④． 6．一个盒子中有 a 个红球和 b 个黄球，每个球除了颜色外都相同． 若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解题的关键． 由于从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则盒子里面红球的个数小于黄球的个数，据此即可解答． 【详解】解：∵从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性， ∴盒子里面红球的个数小于黄球的个数， ∴． 故答案为：． 7．学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分． 科学奇遇记 序号 主题活动 开始时间 结束时间 积分 A 科普实验 8:00 10:00 7 B 设计工坊 9:00 11:00 8 C 微观世界 10:30 11:50 5 D 机器人体验 11:30 13:30 9 E 温室生态展 13:00 14:40 7 F 人工智能展 14:00 16:45 8 G 梦幻剧场 15:00 17:30 5 H 创意荟 16:00 19:00 10 回答下列问题： （1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为 （填活动序号，写出一种即可）； （2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有 种． 【答案】 （或或） 2 【分析】本题考查事件的可能性，列举法的应用： （1）三项活动的时间不能有冲突，由此可解； （2）根据各项活动的积分可得，要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，再判断时间是否冲突，即可求解． 【详解】解：（1）由表格可知，活动G，H的开始时间比F（人工智能展）的结束时间早，不能参加， 活动E的结束时间比F（人工智能展）的开始时间晚，不能参加， 所以需要从活动A，B，C，D中选两项，其中A与B时间冲突，B与C时间冲突，C与D时间冲突， 可选A和C，或A 和D，B和D， 故他参加活动的方案可以为：（或或）； （2）参加活动最高可得积分：，第二可得， 所以要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，即或， 又因为H与F时间冲突， 所以他参加活动的方案只能是，共1种； 参加四个活动有一种方案获得29积分； 故答案为：2 故答案为：（或或）；2． 8．在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． (1)当n为何值时，这个事件不可能发生？ (2)当n为何值时，这个事件必然发生？ 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】本题考查了事件的分类，理解必然事件的定义是解题的关键． （1）这个事件不可能发生，摸球数小于个，即可求解； （2）这个事件必然发生，摸球数大于个，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 当或时，不可能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件不可能发生； （2）解：由题意得 当或或时，一定能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件必然发生． 9．为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的学生有________人；请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数； (3)若该校八年级共有500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？________．（直接写出结果） 【答案】(1)100人，见解析 (2)144°； (3)“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大． 【分析】（1）根据阅读时间1小时的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出阅读时间为1.5小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）用“1.5小时”部分所对的扇形所占的百分比乘以360°即可求得答案； （3）分别求得可能性大小后比较即可确定正确的答案． 【详解】（1）本次调查的学生有30÷30%=100（人）， 阅读1.5小时的学生有：100-12-30-18=40（人）， 补全的条形统计图如右图所示， 故答案为：100； （2）360°×=144°， 即“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数144°； （3）“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”的可能性为； “抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性为， ∴“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大． 故答案为：“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球， (1)会出现哪些可能的结果？ (2)事先能确定摸出的一定是红球吗？ (3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？ (4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？ 【答案】(1)白、黄、红三种 (2)不能 (3)红球 (4)袋子中白球、黄球、红球的个数相同 【分析】（1）根据事情发生的可能性，注意判断即可； （2）根据红球的多少判断，只能确定出现的可能性较大； （3）根据红球的数量多，抽出的可能性就大； （4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可． 【详解】（1）解：会出现：白、黄、红三种 （2）解：不能确定摸出的球一定是红球； （3）解由于红球数量最多，所以红球出现的概率最大； （4）解：袋子中白球、黄球、红球的个数相同时，三者的概率相等． 【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题． 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $