1.4.2充要条件课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1．4.2　充要条件 回顾 初中，我们已经对命题有了初步的认识 命题：可以判断真假的陈述句 命题的结构形式：若p，则q 条件 结论 判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．　 回顾 充分条件、必要条件 ①q ，p是q的充分条件 ②q ，q是p的必要条件 前推后 后推前 位置前后的确定：看题干问题 集合与条件间的关系，由p构成的集合为A，由q构成的集合为B， ①p⇒q ⇔ A⊆B ②p⇐q ⇔ A⊇B　 ③p⇔q ⇔ A=B 口诀：箭头指向谁谁的范围大 学习 目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义．　 2.会判断一些简单的充要条件问题．　 3.能对充要条件进行证明． 复习 一、逆命题 原命题：若p，则q 逆命题：若q，则p 【即时练】 1．“若x＞2，则x2－3x＋2＞0”的逆命题是(　　) A．若x2－3x＋2＜0，则x≥2 B．若x≤2，则x2－3x＋2≤0 C．若x2－3x＋2≤0，则x≥2 D．若x2－3x＋2＞0，则x＞2 解析：若x＞2，则x2－3x＋2＞0的逆命题为若x2－3x＋2＞0，则x＞2.故选D. √ 新知学习 探究 返回导航 思考 下列“若p，则q”命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程，则 （4）若A，则A与B均是空集。 提示：（1）（4）和它们的逆命题都是真命题 （2）是真命题，但它的逆命题是假命题 （3）是假命题，但它的逆命题是真命题 课本20页 新知学习 探究 返回导航 p⇔q 充分必要 充要 新知学习 探究 返回导航 【典例分析】 课本21页 例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：，： （4）p： 新知学习 探究 返回导航 【典例分析】 课本22页 例4 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件 充要条件的证明思路 证明充要条件：先证“充分性” 再证“必要性”　 新知学习 探究 返回导航 (对接教材例3)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ (1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3. 【解】　当|x|＝|y|时，x＝±y x3＝y3，但x3＝y3⇒x＝y⇒|x|＝|y|，故p不是q的充要条件(p是q的必要不充分条件)． 新知学习 探究 返回导航 (2)p：在△ABC中，AB>AC，q：在△ABC中，∠C>∠B. 【解】　在△ABC中，大边对大角， 故AB>AC⇔∠C>∠B， 所以p是q的充要条件． (3)p：A⊆B，q：A∪B＝B. 【解】　若A⊆B，则A∪B＝B， 反之若A∪B＝B，则A⊆B， 所以p是q的充要条件． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (条件变式)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 新知学习 探究 返回导航 求参数值(范围)的一般步骤： (1)根据已知条件转化为集合间的包含关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式(组)求解．　 新知学习 探究 返回导航 课堂自测 PART 02 第二部分 1．“x＝2”是“x2－4＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：将x＝2代入x2－4＝0，等式成立，所以“x＝2”是“x2－4＝0”的充分条件；由x2－4＝0，得到x＝±2，故“x＝2”不是“x2－4＝0”的必要条件．综上，“x＝2”是“x2－4＝0”的充分不必要条件．故选A. √ 课堂巩固 自测 返回导航 2．(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∩B＝A B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∪(∁UB)＝U 解析：由Venn图可知，B，C，D都是B⊆A的充要条件，故选BCD. √ √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 (2)a，b都是偶数________a＋b是偶数； 解析：a，b都是偶数，则a＋b是偶数；但a＋b是偶数得不出a，b都是偶数， 所以a，b都是偶数⇒a＋b是偶数． (3)x2＝1________|x|＝1. 解析：由x2＝1可得x＝±1，由|x|＝1可得x＝±1，所以x2＝1⇔|x|＝1. ⇒ ⇔ 课堂巩固 自测 返回导航 4．(教材P22T3改编)求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：充分性：如果b＝0，那么y＝kx(k≠0)， 当x＝0时，y＝0，该函数的图象过原点． 必要性：如果y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，那么当x＝0时，y＝0，即0＝k×0＋b，即b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(二　充要条件) 命题真假 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题 推出关系 既有p⇒q，又有q⇒p，记作eq \o(□,\s\up1(1))________ 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件 结论 p是q的eq \o(□,\s\up1(2))______________条件，简称为eq \o(□,\s\up1(3))________条件 eq \o(⇒,\s\up0(/)) eq \a\vs4\al(三　充要条件的应用) 　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解】　因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，)) 解得m≤3. 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 解：不存在．理由如下： 若p是q的充要条件， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＝1－m，,10＝1＋m，))方程组无解． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 3．从符号“⇒”“eq \o(⇒,\s\up0(/))”“⇔”中选择适当的一个填空： (1)x2＞1________x＞1； 解析：由x2＞1可得x＞1或x＜－1，故推不出x＞1，所以x2＞1eq \o(⇒,\s\up0(/))x＞1. eq \o(⇒,\s\up0(/)) $