15.1.2 线段的垂直平分线 导学案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.1.2 线段的垂直平分线 15.1.2　第1课时　线段垂直平分线的性质与判定 素养目标 1.知道线段的垂直平分线的性质及判定并能简单应用. 2.理解原命题与逆命题、互逆定理的概念. 线段垂直平分线的性质和判定. 【自主预习】 1.线段的垂直平分线上一点到线段两个端点的距离有什么关系? 2.与线段两个端点的距离相等的点一定在什么线上? 3.互为逆命题的两个命题的题设和结论有什么关系? 4.写一个互为逆定理的例子. 1.线段AB的垂直平分线上有一点P,若PA=3,则PB的长为 ( ) A.3 B.4 C.2 D.6 2.三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的 ( ) A.三条中线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条高的交点 D.三条角平分线的交点 3.下列命题的逆命题是假命题的是 ( ) A.对顶角相等 B.两直线平行,同位角相等 C.若a2=b2,则a=b D.若a=b,则a3=b3 4.下列说法不正确的是 ( ) A.任何命题都有逆命题 B.“三角形的内角和等于180°”是真命题 C.真命题的逆命题不一定是真命题 D.每个定理都有逆定理 【合作探究】 知识点一：线段的垂直平分线的性质 　　阅读课本本课时第1个“思考”之前的内容,解答下列问题. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离　　　　.  知识点二：线段的垂直平分线的判定 　　阅读课本本课时第一个“思考”的内容,解答下列问题. 1.与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的　　　　上.  2.线段的垂直平分线可以看成与这条线段　　　　　　　　的集合.  如图,AC=AD,BC=BD,则有 ( ) A.AB与CD互相垂直平分 B.CD垂直平分AB C.AB垂直平分CD D.CD平分∠ACB 知识点三：原命题与逆命题、互逆定理 　　阅读课本本课时第二个“思考”的内容,解答下列问题. 两个命题的题设、结论正好　　　　,具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的　　　　命题.  　　如果一个定理的逆命题经过证明是　　　命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理,其中一个定理叫作另一个定理的　　　　定理.  1.下列命题的逆命题是真命题的是 ( ) A.全等三角形的面积相等 B.如果a=b,那么|a|=|b| C.两直线平行,内错角相等 D.两个全等三角形的三对对应角相等 2.下列定理没有逆定理的是 ( ) A.两直线平行,内错角相等 B.两直线平行,同旁内角互补 C.对顶角相等 D.若两个三角形的三边对应相等,则这两个三角形全等 题型 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用 例　如图,在△ABC中,∠BAC>90°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. (1)求证:点P在线段BC的垂直平分线上. (2)已知∠FAN=56°,求∠FPN的度数. 变式训练　如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E,△ADE的周长是7. (1)求BC的长. (2)若∠B+∠C=60°,求∠DAE的度数. 15.1.2　第2课时　作轴对称图形的对称轴 素养目标 1.能依据轴对称的性质找出轴对称图形的对称轴. 2.能作出轴对称图形的对称轴,即线段垂直平分线的尺规作图. 3.会用尺规作图的方法过直线外一点作这条直线的垂线. 作轴对称图形的对称轴. 【自主预习】 1.怎样确定一条线段的垂直平分线? 2.怎样过直线外一点作该直线的垂线? 1.用直尺和圆规作线段的垂直平分线,下列作法正确的是 ( ) A. B. C. D. 2.观察图中尺规作图的痕迹,可知线段BD一定是 ( ) A.△ABC的角平分线 B.△ABC的中线 C.AC边的垂直平分线 D.△ABC的高 3.如图,这是一个轴对称图形,对称轴是直线 ( ) A.a B.b C.c D.d 【合作探究】 知识点一：作线段的垂直平分线 　　阅读课本本课时“思考”的内容,解答下列问题. 1.回忆:线段的垂直平分线是一条直线,如何确定一条直线? 2.思考:找到两点到已知线段的两个端点的距离相等,就能作出该线段垂直平分线的依据是什么? 3.如图,根据作图痕迹可使得AC=　　　　,AD=　　　　,所以点C和点D都是线段AB垂直平分线上的点.作直线CD,使用的工具是　　　　.  4.我们也可以用作线段垂直平分线的方法作出线段的　　　　.  如图,在△ABC中,分别以顶点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧(弧所在圆的半径均相等),两弧相交于点M,N,连接MN,分别与边AB,BC相交于点D,E.若AC=5,△AEC的周长为18,则BC的长为　　　　.  知识点二：作轴对称图形的对称轴 　　阅读课本本课时“思考”至“例”之间的内容,解答下列问题. 1.下列图形都是轴对称图形,它们各有几条对称轴? 2.由轴对称的性质可知,如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的 .因此,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的 ,就可以得到这两个图形的对称轴.  作轴对称图形的对称轴的方法:找到一对 ,作出连接它们的 的 线,就可以得到这个图形的对称轴.  1.画出下列各个轴对称图形的所有对称轴. 2.角有 条对称轴,正方形有 条对称轴,圆有 条对称轴.  知识点三：过直线外一点作直线的垂线 阅读课本本课时“例”的内容,解答下列问题. 已知:如图,直线AB和AB外一点C. 求作:AB的垂线,使它经过点C. 作法:(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的　　　　.  (2)以点C为圆心,CK的长为半径作弧,交　　　　于点D和点E.  (3)分别以点D和点E为圆心,大于　　　　的长为半径作弧,两弧交于点F.  (4)作直线CF,则直线CF就是所求作的垂线. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=5,AB=12,BC=13.以点A为圆心,AC的长为半径作弧,交BC于点D;再分别以点C和点D为圆心,大于DC的长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线AE交BC于点F,则AF的长为　　　　.  题型 尺规作图的综合问题 例　如图,AM平分∠BAC,BC边的垂直平分线l分别交AC,BC,射线AM于点E,F,G. (1)尺规作图:作BC的垂直平分线l,并标出点E,F,G(保留作图痕迹,不写作法). (2)在(1)的条件下,连接BE,若∠AGE=∠C,求证:AG垂直平分BE. 课时1 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:相等. 2.解:在该线段的垂直平分线上. 3.解:题设和结论正好相反. 4.解:“两直线平行,同位角相等”的逆定理是“同位角相等,两直线平行”.(答案不唯一) 自学检测 1.A　2.B　3.A　4.D 【合作探究】 知识生成 知识点一 相等 知识点二 1.垂直平分线 2.两个端点距离相等的所有点 对点训练 C 知识点三 揭示概念 相反　逆 归纳总结 真　逆 对点训练 1.C　2.C 题型精讲 例 解:(1)证明:如图,连接BP,AP,PC. ∵PE垂直平分AB,PM垂直平分AC, ∴PA=PB,PA=PC, ∴PB=PC, ∴点P在线段BC的垂直平分线上. (2)∵PE⊥AB,PM⊥AC, ∴FA=FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90°, ∴∠ABC+∠BFE=∠ACB+∠MNC=90°. 设∠ABC=x,∠ACB=y, ∴∠ABC=∠BAF=x,∠ACB=∠CAN=y,∠BFE=90°-x,∠MNC=90°-y, ∴∠PFN=∠BFE=90°-x,∠PNF=∠MNC=90°-y. ∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°,∠FAN=56°, ∴2x+2y+56°=180°, ∴2(x+y)=124°, ∴x+y=62°. ∵∠PFN+∠PNF+∠FPN=180°, ∴90°-x+90°-y+∠FPN=180°, ∴∠FPN=180°-180°+(x+y)=62°. 变式训练 解:(1)∵DM是线段AB的垂直平分线, ∴DA=DB. 同理可得EA=EC. ∵△ADE的周长为7, ∴DA+DE+EA=7, ∴BC=DB+DE+EC=7. (2)∵DA=DB,EA=EC, ∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C. ∵∠B+∠C=60°, ∴∠ADE+∠AED=2∠B+2∠C=120°, ∴∠DAE=180°-120°=60°. 课时2 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:根据线段的垂直平分线性质,找到两个点使它们到线段两个端点的距离相等,过这两点画直线. 2.解:先设法在直线上画出一条线段,使得已知这点到这条线段两个端点的距离相等,再作线段的垂直平分线. 自学检测 1.C　2.D　3.C 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.解:由于两点确定一条直线,找到该直线上的两点连线即可. 2.解:到线段两个端点的距离相等的点在该线段的垂直平分线上. 3.BC　BD　无刻度的直尺 4.中点 对点训练 13 知识点二 1.解:依次有1条、4条、5条、3条对称轴. 2.垂直平分线　垂直平分线 归纳总结　对应点　线段　垂直平分 对点训练 1.解:如图. 2.1　4　无数 知识点三 (1)两旁　(2)AB　(3)DE 对点训练 题型精讲 例 解:(1)如图,BC的垂直平分线l,点E,F,G即所求. (2)证明:∵EF是BC的垂直平分线, ∴EB=EC,∠GFM=90°. 易证得△BEF≌△CEF, ∴∠EBC=∠C. ∵∠AGE=∠C, ∴∠EBC=∠AGE. ∵∠GMF=∠BMD, ∴∠BDM=∠GFM=90°, ∴AG⊥BE, ∴∠BDA=∠EDA=90°. ∵AM平分∠BAC, ∴∠BAD=∠EAD. ∵AD=AD, ∴△ABD≌△AED(ASA), ∴BD=ED, ∴AG垂直平分BE. 学科网（北京）股份有限公司 $