1.2矩形的性质与判定 同步练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列语句中，不是属于矩形性质的是（    ） A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等 C．四个内角都是直角 D．两条对角线互相垂直 2．点为矩形对角线与的交点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　） A．3 B． C．3 D． 5．如图，在长方形中，，，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形和四边形都是矩形，且点A在上，设矩形和矩形的面积分别为，，则与的大小关系为（    ）    A． B． C． D．不能确定 7．如图，将一张长方形纸片先沿短边对折，再沿长边对折，最后在字母x处打一个洞，将纸片展开后所得图象为（   ） A． B． C． D． 8．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为4，则线段的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、填空题 9．如图，在平行四边形中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件 ，使平行四边形是矩形． 10．已知矩形中，，，点E在直线上，．则线段的长为 ． 11．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）. 12．如图，矩形中，对角线、相交于点，于点，，，则的长为 ． 13．如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ． 14．在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E是CD边的中点，过点E作直线EM垂直直线AE交BC边于点M，连接AM．则AM的长为 ． 15．四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是 ． 16．如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长 ． 17．如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为 ．    三、解答题 18．已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； (2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 19．如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证： (1)四边形是平行四边形 (2)． 20．已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： (1)求的坐标； (2)求的坐标． 21．如图，在梯形中，，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (2)经过多长时间，四边形是矩形？ 22．如图，已知在四边形中，，，，点是边上的中点，点为边上一点，连接、，与的延长线交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的值． 23．如图，在矩形中，E为边上一点，平分，F为的中点，连接，过点E作分别交于G，H两点． (1)求证：； (2)请判断的位置关系，并说明理由； 24．综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 参考答案 1．解；根据矩形的性质：对边平行且相等；四个角都是直角；对角线互相平分；对角线相等． A、B、C均为矩形的性质，“两条对角线互相垂直”不是矩形的性质； 故选D． 2．C 【分析】根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝6， ∴OD＝BD＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，熟知矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键． 3．D 【分析】因为矩形的对角线互相平分且相等，所以BO=DO=AO=CO，在△ABO和△ADO中，因为底BO=DO，高相同，所以S△ABO=S△ADO，同理可得S△ABO=S△ADO=S△BCO=S△DCO，所以矩形ABCD面积=4S△ABO． 【详解】则由题意可得：BO=DO=AO=CO 则在△ABO和△ADO中， ∵BO=DO，高相同 ∴S△ABO=S△ADO 同理可得S△ABO=S△ADO=S△BCO=S△DCO ∴S矩形ABCD =4S△AOB=4×4=16 故选 D 【点睛】本题考查了矩形，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 4．B 【分析】由矩形的性质得OA＝OB，再由线段垂直平分线的性质得AB＝AO，则OA＝AB＝OB＝1，得BD＝2，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵BE＝EO，AE⊥BD， ∴AB＝AO， ∴OA＝AB＝OB＝1， ∴BD＝2， ∴AD＝＝＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，求出BD＝2是解题的关键． 5．C 【分析】根据长方形的性质：对边相等，四个角都是直角；可知：CB=AD=5，以及平面直角坐标系中点的坐标变化即可得出点A的坐标． 【详解】∵四边形ABCD是长方形 ∴CB=AD=3 ∴点B（-1-3，-1）即B（-4，-1） ∵AB=5 ∴点A（-4，-1+5），即A（-4，4） 故选：C 【点睛】本题主要考查了长方形的性质以及平面直角坐标系中点的变化规律，熟练的掌握长方形对边相等，四个角都是直角的性质是解题的关键． 6．A 【分析】由矩形的性质可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形的面积，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，利用矩形的性质求解面积是解本题的关键． 7．A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，．结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状是解题的关键． 【详解】解：当将一张长方形纸片先沿短边对折，再沿长边对折时，所打的四个洞分别以两折痕为对称轴，且四个洞靠近短折痕，远离长折痕， 故选：A． 8．C 【分析】设P点坐标(x，y)，结合矩形周长求得y与x的函数 关系式，然后利用一次函数性质求得A，B两点坐 标，再利用勾股定理及三角形等面积公式求得OP最小值． 【详解】解：设P点坐标为（x，y）， 则：2（x+y）=4， 整理得：y=-x+2， ∵P是线段AB上任意一点， ∴AB所在直线解析式为：y=-x+2， 当x=0时，y=2， 当y=0时，x=2， ∴OA=OB=2， ∴在中，由勾股定理得：， ∴OP⊥AB时，OP最短， 此时，， 即：4=， 解得：OP=， ∴线段的最小值为：， 故选：C． 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键．根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”填空． 【详解】解：添加条件： 理由：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形（矩形的定义）． 故答案是：（答案不唯一）． 10．5或． 【分析】点E的位置存在两种情况，点E在线段CD上和点E在线段CD延长线上，结合矩形的性质和勾股定理即可得出结果． 【详解】解：点E的位置存在两种情况， 当点E在线段CD上时，如图所示， ∵矩形ABCD， 在中， 当点E在线段CD延长线上时，如图所示， ∵矩形ABCD， 在中， 故答案为：5或． 11．合格 【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等，长、宽、对角线构成的就是直角三角形，可得此桌面合格． 【详解】解：解：∵802＋602＝10000＝1002， 即：AD2＋DC2＝AC2， ∴∠D＝90°， 同理：∠B＝∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴这个桌面合格． 故答案为：合格． 12．2 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的对角线相等且平分是解题关键． 由矩形的性质可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 故答案为：2． 13．28 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由条件推出矩形的面积的面积，证明． 由矩形的性质推出矩形的面积的面积，证明，得到，进而得到求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，． 在和中 ∴ (AAS)， ∴， ∴， ∴． 故答案为：28． 14．10 【分析】勾股定理求得，设，则，进而在 中用勾股定理分别表示出各边的关系，最后根据列出方程，求得的值，进而求得的值． 【详解】如图， 四边形是矩形， ，, ， ， E是CD边的中点， ， 在， 设，则， 在中， ， 即① 在中，， 即， 在中， 即② 联立①②即 解得 将代入②，解得（负值舍去） 故答案为：10． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 15．6 【分析】根据题意可得，平行四边形的底边与矩形的长相等，平行四边形的高变为矩形的宽的一半，则平行四边形的面积是矩形的面积的一半，即可求解． 【详解】解：过点作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形，所对的直角边是斜边的一半，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的面积公式． 16． 【分析】本题考查了图形的折叠问题及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的线段是解题的关键．阴影部分的周长为，即矩形的周长计算解题． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ， 故答案为：． 17． 【分析】此题考查了矩形的性质以及勾股定理、三角形面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．首先连接，在矩形中，，，可求得以及的面积，继而可得，则可求得答案． 【详解】解：连接，    ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵ ∴． 故答案为：． 18．(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． 【详解】（1）解：线段即为所求， （2）解：点即为所求， 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据矩形的对边平行得出，又，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的对边相等得出，根据矩形的对角线相等得出，等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质．掌握矩形的性质是解题的关键． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题． （1）根据折叠性质得，，由勾股定理得，可得点坐标； （2）在中，根据勾股定理即可求点坐标． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ， ，， 在中，由勾股定理得， 点坐标为； （2） ，， 由折叠可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， 点坐标为． 21．(1)经过时，四边形是平行四边形 (2)经过时，四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的想在，矩形的性质： （1）设经过时，四边形是平行四边形，则，根据即可求解； （2）设经过时，四边形是矩形，则，根据，即可求解． 【详解】（1）解：设经过时，四边形是平行四边形，则， 由题意得，， ∴ ∵， ∴， 解得，    即经过时，四边形是平行四边形； （2）解：设经过时，四边形是矩形，则， 由题意得，， ∴， ∵， ， 解得， 即经过时，四边形是矩形． 22．(1)证明见解析； (2)的值为． 【分析】（）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到求得，得到，根据矩形的判定定理得到结论； （）根据平行四边形的性质得到，求得，，推出 ，得到，由点是边上的中点，得到，然后证明，根据全等三角形的性质得到，再由等量代换得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 23．(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，关键是证明三角形全等． （1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，进而得出即可证出结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，再判定，即可得出，据此完成解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2），理由如下： 如图，连接， ∵，F为的中点， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 24．（1）①；②，见解析；（2） 【分析】（1）①根据矩形的性质得，和，由折叠得，即可利用勾股定理求得和，设，则，再次利用勾股定理即可求得； ②根据得和，由折叠得，，即可判定，有，结合等腰三角形的性质得，即； （2）根据题意可知只有满足题意，证明，有，设，则，，，，，在中利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）①∵四边形为矩形，，， ∴，，， 由折叠得，， 在中，， 则， 设，则， 在中，，即，解得， 则； ②，理由如下， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 则； （2）如图， ∵点F落在上方，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，，，， 在中，，即，解得， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $