不等式性质与基本不等式复习学案--2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3：不等式性质与基本不等式 ※知识要点 1.作差法比较大小：设a,b∈R,则： ①a-b>0→a>b; ②a-b=0→a=b:③a-b<0→a<b: 2.不等式的性质： (1)基本性质：对称性、传递性、可加性、可乘性； (2)同向可加性：a>b,c>d= (3)同向同正可乘性：a>b>0,c>dD0→ (4)可乘（开）方性：a>b>0→ 3.基本不等式： (1)成立条件： 一；(2)等号条件：当且仅当 注意：两种常用变形①a+b≥；②ab≤ 4.利用基本不等式求最值：己知x>0,y>0,则 (I)若y=p,则当时，和x十y取得最小值 (2)若x十y=S,则当时，积y取得最大值 注意：(1)求最值口诀：和定积最，积定和最 (2)基本不等式求最值须满足：一一，二—，三 5.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥(a,b∈R): 2哈+8≥—a,b同号)： (2)调和不等式链：√2 ≥安≥西≥兵a>0b>0 2 。十6 ※题型讲练 考点一比较数（式）的大小 【例1】己知x=-a2-2a+3,y=4-3a,则() A.x<y B.x=y C.x>y D.x与y的大小无法判断 变式训练1： 1.已知a,b为实数，求证：2a2+b2+1≥ab+2a. 考点二不等式的基本性质 命题点1利用性质比较大小 【例2】（多选）下列命题为真命题的是() A.若a>c,b>d,则ab>cd B.若a<b,时>则ab>0 C.若a>b>c>0.则品>品 D.若a<b<0,则a2>ab>b2 命题点2利用性质求解范围 【例3】（多选）已知1≤a≤2,3≤b≤5，则() A.a+b的取值范围为4,7] B.b-2a的取值范围为[1,3] C. ab的取值范围为[3,10] D. 的取值范围为， 变式训练2： 1.下列命题中正确的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,则a2>b2 C. 若a>b>0,m>0.则2<台 D.若-1<a<5,2<b<3,则-4<a-b<3 2.(多选)若实数a,b满足1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，则下 列说法正确的有() A.a的取值范围为[0,4] B. b的取值范围是[-1,3] C.3a-2b的取值范围是[-2,10] D.3a-2b的取值范围是[-6,14] 考点三基本不等式求最值 命题点1配凑法 【例4】已知函数y=x-4+名c>-1).当x=a时， y取得最小值b,则a+b=() A.-3 B.2 C.3 D.8 命题点2常数代换法 【例5】若m>0.n>0,且3m+2n-1=0,则品+号的最小 值为() A.20 B.12 C.16 D.25 命题点3消元法 【例6】若x>0,y>0,且满足x2+2y一3=0，则2x+y最小 值是 变式训练3： 1.(多选)下列结论中，正确的结论有() A.若0<x<1,则x(4-3x)取得最大值时x的值为号 B.若x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y最小值为6 C. 因为器=2=中4+高之2： Vx2+4 所以+5的最小值为2 Vx2+4 D.若a>0.b>0咀+=1.则a+2b最小值为3 考点四基本（重要）不等式的应用 【例7】1.若实数a,b,满足ab>0,则a2+b2+品+1的 最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.(多选)若a>0,b>0,且a+4b=1,则下列说法正确的 是() A.ab有最大值号 B.Va+2Wb有最大值2 C.+有最小值5 D.Q2+16b2有最小值号 3.若x>1,a≤二恒成立，则a的最大值为 ※课后练习 [A组基础保分练] 1.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有() A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 2.已知m<8,则m+的最大值为() A.4 B.6 C.8 D.10 3.下列函数中最小值为4的是() A.y=4x+月 B.当x>0时，y=+2x5 x+1 C.当x<时，y=2x-1+2x-3 1 D.y=Vx2+1+ 4 4.(多选)下对于实数a,b,c,下列命题正确的是() A.若a>b,c<d,则a-c>b-d B.若c>a>b>0.则品。>品 C.若0<a<2,3<b<5,则-3<2a-b<-1 D.若1<a+b<3,3<2a+b<5,则-3<2a-b<11 5.(多选)己知实数a,b均为正数且满足a+2b=1,则下面 不等式正确的是() A.ab≤i B.a2+4b2≥1 C.8+6218 D.a2+4b≥2 6.已知0<x<年则√x6-4)的最大值为 7.若a,b∈R,且a2+4b2=ab+3,则ab最大值为 8.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位： 年)的关系式为y=一x2+18x一25(x∈N,则每台机器为该公 司创造的最大年平均利润为 万元. 7.若，bER,b>0,则a+4o+的最小值为 ab 10.己知a,b都是正实数 (1)试比较a3+b3与ab2+a2b的大小，并证明； (2)当a+b=1时，求证：(1+(1+)≥9. [B组能力提升练] 11.(多选)若实数m>0,n>0,满足2m+n=1,以下选项 中正确的有() A. mn的最小值为 B. ”+的最小值为1+22 m n' C. 年+的最小值为号 3 D.4m2+n2的最小值为号 12.(多选)《几何原本》第二卷的几何代数法，是通过图形来 证明很多代数的公理或定理，也称之为无字证明，现有图形如 图所示，C为线段AB上的点，且AC=a,BC=b,O为AB的中 点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D,连接 OD,AD,BD,过点C作OD的垂线，垂足为E,则该图形可以 完成的所有的无字证明为() A.ab(a0,b0) 2 B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) 2 C.Vab≥五(a>0,b>0) a b D. a+b≤ 2 a>0.b>0 专题4：一元二次方程、不等式 ※知识要点 1.三二次的对应关系 △=b2-4ac △>0 △=0 △<0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x0 0=x2x 0 ax2+bx+c=0 b x1,x2(x<x) 没有实数根 (a>0)的根 x=x2=一2a ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 2.分式不等式与整式不等式 4>0<0 2≥0≤0 注意：简单的绝对值不等式(a>0,则： ①|xI>a台 ②|x|<a- ※题型讲练 考点一一元二次（分式）不等式的解法 【例1】（多选）下列不等式的解集正确的是( A.-x2+4x-4<0的解集是{xx≠23 B.恕≤0的解集是k≤-5或x>1 C.x2-x+>0的解集是R D.|x-1<3的解集是(-2,4) 变式训练1： 1.不等式≥1的解集是( ) A.≤x≤23 B.x≤x<2 C.x>2或x≤争 D.x≥净 2.(多选)解关于x的不等式：ax2+(2-4a)x-8>0,则下列 说法中正确的是() A.当a=0时，不等式的解集为{xx>4} B.当a>0时，不等式的解集为xx>4域x<-3 C.当a<0时，不等式的解集为x子<x<4} D.当a=一时，不等式的解集为 考点二三个二次的关系 【例2】（多选）已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为 xx<-或x>2,则下列结论正确的是() A.a>0 B.b=-za C.c>0 D.a-b+c<0 变式训练2： 1.(多选)己知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为 {x一3≤x≤4}，则下列说法正确的是( A.a<0 B.不等式bx+c>0的解集为{xx>-123 C.不等式cx2-bx+a<0的解集为x<-或x> D.4a+2b+c>0 题型三一元二次不等式恒成立问题 命题点1在R上恒成立 【例3】已知关于x的不等式mx2-mx+1>0对Vx∈R恒成立， 则实数m取值范围是() A.0≤m<4 B.0<m<4 C.0<m≤4 D.0≤m≤4 命题点2在给定区间上恒（存在）成立 【例4】己知命题p:“x∈[-1,4]，不等式x2-2x-m≤0恒 成立”，若中为真命题，则实数m的取值范围为 变式训练3： 1.(多选)若不等式ax2+ax一4<0的解集为R,则实数a的取 值可以是() A.-10 B.-8 C.0 D.2 2.关于x的不等式x2-ax+a+320在区间[-2,0]上恒成立， 则实数a的取值范围是一. 考点四一元二次不等式的应用 【例5】1.已知关于筋不等式伦a色29-k<0 (k>O)仅有一个整数解，则k的取值范围为() A.[4,5) B.(4,5] C.[3,4) D.(3,4] 2.设a∈R,若关于x的不等式x2-ax+1≥0在1≤x≤2上 有解，则实数α的最大值为 3.已知x>0,y>0.且右+=号若x+y>m2+3m恒 成立，则实数m的取值范围是 ※课后练习 [A组基础保分练] 1.已知全集U=R,A=x2+2x<3,B=≤0， 则An(CuB)=() A.{x|-3<x<0} B.{x|-3<x≤0} C.{xl-3<x<2 D.{xl0≤x<1 2.设x∈R,则x2-5x<0是“x-1<1”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知关于x的不等式mx2+4mx-4≥0的解集为②，则m的 取值范围是() A.-1<m≤0 B.-1<m<0 C.-1≤m<0 D.-1≤m≤0 4.(多选)已知关于x的不等式x2-4x-a-1≥0在x∈[1,4 上有解，则a的取值可以是() A.-6 B.-5 C.-1 D.0 5.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为 {x-3<x<2,则() A.a<0 B.a+b+c>0 C.不等式bx+c>0的解集为{xx>6} D.不等式cx2+br+a<0的解集为-号<x<孕 6。不等式号≥2的解集是 7.已知实数0<a<1,则关于x的不等式(a-x)(x-)>0 的解集是 8.已知关于x的不等式x2-ax+1<0在(，1)上恒成立，则实 数a的取值范围是 9.若命题：“任意实数x使得不等式ax2+(a-2)x+是>0成 立为假命题，则实数α的取值范围是 10.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为xx<1或x>b}. (1)求a,b的值； (2)当x>0y>0且满足+9=1时，有2x+y≥k2+k+2恒 成立，求k的取值范围. [B组能力提升练] 11.关于x的不等式x2-(a+2)x+a+1<0的解集中，恰有 2个整数，则a的取值范围是() A.{al2<a≤3 B.{a3<a≤4 C.{al-3≤a<-2或2<a≤3} D.{al-3≤a<-2或3<a≤4} 12.已知关于x的不等式>1a∈R (1)若不等式的解集为xx<1或x>2),则a=_: (2)求关于x的不等式的解集. 专题3：不等式性质与基本不等式 ※知识要点 1．作差法比较大小：设a，b∈R，则： ①a－b＞0⇔a＞b； ②a－b＝0⇔a＝b； ③a－b＜0⇔a＜b； 2．不等式的性质： (1)基本性质：对称性、传递性、可加性、可乘性； (2)同向可加性： a>b，c>d⇒ ； (3)同向同正可乘性： a>b>0，c>d>0⇒ ； (4)可乘(开)方性： a>b>0⇒ ⇒ ． 3．基本不等式： ； (1)成立条件： ；(2)等号条件：当且仅当 ． 注意：两种常用变形①a＋b ；②ab ； 4．利用基本不等式求最值：已知x＞0，y＞0，则 (1)若xy＝p，则当 时，和x＋y取得最小值 ． (2)若x＋y＝s，则当 时，积xy取得最大值 ． 注意：(1)求最值口诀：和定积最 ，积定和最 ； (2)基本不等式求最值须满足：一 ，二 ，三 ． 5．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)； (2)＋≥ (a，b同号)； (2)． ※题型讲练 考点一　比较数(式)的大小 【例1】已知，，则(      ) A． B． C． D． 与的大小无法判断 变式训练1： 1．已知，为实数，求证： 考点二　不等式的基本性质 命题点1　利用性质比较大小 【例2】(多选)下列命题为真命题的是(      ) A． 若，，则 B． 若 ，且，则 C． 若，则 D． 若，则 命题点2　利用性质求解范围 【例3】(多选)已知，，则(     ) A． 的取值范围为 B． 的取值范围为 C． 的取值范围为 D． 的取值范围为 变式训练2： 1．下列命题中正确的是(      ) A． 若，则 B． 若，则 C． 若，，则 D． 若，，则 2．(多选)若实数，满足，则下列说法正确的有(      ) A． 的取值范围为 B． 的取值范围是 C． 的取值范围是 D． 的取值范围是 考点三 基本不等式求最值 命题点1　配凑法 【例4】已知函数，当时， 取得最小值，则(      ) A． B． C． D． 命题点2　常数代换法 【例5】若，，且，则的最小值为(      ) A． B． C． D． 命题点3　消元法 【例6】若，，且满足x2＋2xy－3=0，则2x＋y最小值是   ． 变式训练3： 1．(多选)下列结论中，正确的结论有       A． 若，则取得最大值时的值为 B． 若，，，则最小值为 C． 因为， 所以的最小值为2 D． 若，且，则最小值为 考点四 基本(重要)不等式的应用 【例7】1．若实数，，满足，则的最小值为(      ) A． B． C． D． 2．(多选)若，，且，则下列说法正确的是(      ) A． 有最大值 B． 有最大值 C． 有最小值 D． 有最小值 3．若，恒成立，则的最大值为 ． ※课后练习 [A组　基础保分练] 1．设，，则有(      ) A． B． C． D． 2．已知，则的最大值为(      ) A． B． C． D． 3．下列函数中最小值为的是(      ) A． B． 当时， C． 当时， D． 4．(多选)下对于实数，，，下列命题正确的是(      ) A． 若，，则 B． 若，则 C． 若，，则 D． 若，，则 5．(多选)已知实数，且满足，则下面 不等式正确的是(      ) A． B． C． D． 6．已知，则的最大值为          ． 7．若，，且，则最大值为           ． 8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公 司创造的最大年平均利润为    万元． 7．若，，，则的最小值为            ． 10．已知，都是正实数． 试比较与的大小，并证明 当时，求证： [B组　能力提升练] 11．(多选)若实数，，满足，以下选项中正确的有(      ) A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 12．(多选)《几何原本》第二卷的几何代数法，是通过图形来证明很多代数的公理或定理，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，则该图形可以完成的所有的无字证明为(      ) A． B． C． D． ≤ (a＞0，b＞0) 专题4：一元二次方程、不等式 ※知识要点 1．三二次的对应关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 x1，x2(x1＜x2) x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 2．分式不等式与整式不等式 (1)＞0(＜0)⇔ ； (2)≥0(≤0)⇔ ． 注意：简单的绝对值不等式(a＞0)，则： ①｜x｜＞a⇔ ， ②｜x｜＜a⇔ ． ※题型讲练 考点一　一元二次(分式)不等式的解法 【例1】(多选)下列不等式的解集正确的是(      ) A． 的解集是 B． 的解集是或 C． 的解集是R D． 的解集是 变式训练1： 1．不等式的解集是(      ) A． B． C． 或 D． 2．(多选)解关于的不等式：，则下列说法中正确的是(      ) A． 当时，不等式的解集为 B． 当时，不等式的解集为或 C． 当时，不等式的解集为 D． 当时，不等式的解集为∅ 考点二　三个二次的关系 【例2】(多选)已知关于的不等式的解集为或，则下列结论正确的是(      ) A． B． C． D． 变式训练2： 1．(多选)已知关于的不等式的解集为 ，则下列说法正确的是(      ) A． B． 不等式的解集为 C． 不等式的解集为或 D． 题型三　一元二次不等式恒成立问题 命题点1　在R上恒成立 【例3】已知关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是(      ) A． B． C． D． 命题点2　在给定区间上恒(存在)成立 【例4】已知命题：“，不等式恒成立”，若为真命题，则实数的取值范围为 ． 变式训练3： 1．(多选)若不等式的解集为，则实数的取值可以是(      ) A． B． C． D． 2．关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是           ． 考点四　一元二次不等式的应用 【例5】1．已知关于的不等式组 仅有一个整数解，则的取值范围为(      ) A． B． C． D． 2．设，若关于的不等式在上有解，则实数的最大值为 ． 3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是           ． ※课后练习 [A组　基础保分练] 1．已知全集，，，则 (      ) A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的(      ) A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 3．已知关于的不等式的解集为∅，则的取值范围是(      ) A． B． C． D． 4．(多选)已知关于的不等式在 上有解，则的取值可以是(      ) A． B． C． D． 5．(多选)已知关于的不等式的解集为，则(      ) A． B． C． 不等式的解集为 D． 不等式的解集为 6．不等式的解集是 ． 7．已知实数，则关于的不等式 的解集是            ． 8．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是            ． 9．若命题：“任意实数使得不等式成 立”为假命题，则实数的取值范围是          ． 10．已知不等式的解集为或． 求，的值； 当，且满足时，有恒成立，求的取值范围． [B组　能力提升练] 11．关于的不等式的解集中，恰有 个整数，则的取值范围是(      ) A． B． C． 或 D． 或 12．已知关于的不等式， 若不等式的解集为或，则 ； 求关于的不等式的解集． 2 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3：不等式性质与基本不等式 ※知识要点 1．作差法比较大小：设a，b∈R，则： ①a－b＞0⇔a＞b； ②a－b＝0⇔a＝b； ③a－b＜0⇔a＜b； 2．不等式的性质： (1)基本性质：对称性、传递性、可加性、可乘性； (2)同向可加性： a>b，c>d⇒a＋c>b＋d ； (3)同向同正可乘性： a>b>0，c>d>0⇒ac>bd ； (4)可乘(开)方性： a>b>0⇒an>bn ⇒n>n ． 3．基本不等式： ； (1)成立条件：a＞0，b＞0 ；(2)等号条件：当且仅当a＝b ． 注意：两种常用变形①a＋b2 ；②ab ； 4．利用基本不等式求最值：已知x＞0，y＞0，则 (1)若xy＝p，则当x＝y 时，和x＋y取得最小值2 ． (2)若x＋y＝s，则当x＝y 时，积xy取得最大值 ． 注意：(1)求最值口诀：和定积最 大 ，积定和最 小 ； (2)基本不等式求最值须满足：一 正 ，二 定 ，三 相等 ． 5．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab (a，b∈R)； (2)＋≥2 (a，b同号)； (2)． ※题型讲练 考点一　比较数(式)的大小 【例1】已知，，则(    A   ) A． B． C． D． 与的大小无法判断 变式训练1： 1．已知，为实数，求证： 证明：， 当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号； ， 当且仅当时取等号． 考点二　不等式的基本性质 命题点1　利用性质比较大小 【例2】(多选)下列命题为真命题的是(  BCD ) A． 若，，则 B． 若 ，且，则 C． 若，则 D． 若，则 命题点2　利用性质求解范围 【例3】(多选)已知，，则(     ) A． 的取值范围为 B． 的取值范围为 C． 的取值范围为 D． 的取值范围为 【答案】AC  变式训练2： 1．下列命题中正确的是(   D    ) A． 若，则 B． 若，则 C． 若，，则 D． 若，，则 2．(多选)若实数，满足，则下列说法正确的有(     ) A． 的取值范围为 B． 的取值范围是 C． 的取值范围是 D． 的取值范围是 【答案】ABC  考点三 基本不等式求最值 命题点1　配凑法 【例4】已知函数，当时， 取得最小值，则(   C    ) A． B． C． D． 命题点2　常数代换法 【例5】若，，且，则的最小值为(   D   ) A． B． C． D． 命题点3　消元法 【例6】若，，且满足x2＋2xy－3=0，则2x＋y最小值是   ． 【答案】3 变式训练3： 1．(多选)下列结论中，正确的结论有       A． 若，则取得最大值时的值为 B． 若，，，则最小值为 C． 因为， 所以的最小值为2 D． 若，且，则最小值为 【答案】ABD  考点四 基本(重要)不等式的应用 【例7】1．若实数，，满足，则的最小值为  (    B   ) A． B． C． D． 2．(多选)若，，且，则下列说法正确的是   AC   A． 有最大值 B． 有最大值 C． 有最小值 D． 有最小值 3．若，恒成立，则的最大值为 ． 【答案】4  ※课后练习 [A组　基础保分练] 1．设，，则有(    A   ) A． B． C． D． 2．已知，则的最大值为(  A    ) A． B． C． D． 3．下列函数中最小值为的是(  B   ) A． B． 当时， C． 当时， D． 4．(多选)下对于实数，，，下列命题正确的是(  ABD  ) A． 若，，则 B． 若，则 C． 若，，则 D． 若，，则 5．(多选)已知实数，且满足，则下面 不等式正确的是(   AC   ) A． B． C． D． 6．已知，则的最大值为          ． 7．若，，且，则最大值为          ． 8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润为  8  万元． 7．若，，，则的最小值为            ． 10．已知，都是正实数． 试比较与的大小，并证明 当时，求证： 解：结论：， 当且仅当时，等号成立． 证明： ， 因为，都是正数，所以， 当且仅当时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立 因为，，都是正数，且， 所以 ， 当且仅当时，等号成立．  [B组　能力提升练] 11．(多选)若实数，，满足，以下选项中正确的有(  BCD  ) A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 12．(多选)《几何原本》第二卷的几何代数法，是通过图形来证明很多代数的公理或定理，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，则该图形可以完成的所有的无字证明为(    AC   ) A． B． C． D． ≤ (a＞0，b＞0) 专题4：一元二次方程、不等式 ※知识要点 1．三二次的对应关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 x1，x2(x1＜x2) x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x｜x＜x1或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x｜x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2．分式不等式与整式不等式 (1)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 注意：简单的绝对值不等式(a＞0)，则： ①｜x｜＞a⇔ (－∞，－a)∪(a，＋∞) ， ②｜x｜＜a⇔ (－a，a) ． ※题型讲练 考点一　一元二次(分式)不等式的解法 【例1】(多选)下列不等式的解集正确的是(  ABD   ) A． 的解集是 B． 的解集是或 C． 的解集是R D． 的解集是 变式训练1： 1．不等式的解集是(   B   ) A． B． C． 或 D． 2．(多选)解关于的不等式：，则下列说法中正确的是(    ) A． 当时，不等式的解集为 B． 当时，不等式的解集为或 C． 当时，不等式的解集为 D． 当时，不等式的解集为∅ 【答案】ABD  考点二　三个二次的关系 【例2】(多选)已知关于的不等式的解集为或，则下列结论正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】BCD  变式训练2： 1．(多选)已知关于的不等式的解集为 ，则下列说法正确的是(     ) A． B． 不等式的解集为 C． 不等式的解集为或 D． 【答案】ABD  题型三　一元二次不等式恒成立问题 命题点1　在R上恒成立 【例3】已知关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 命题点2　在给定区间上恒(存在)成立 【例4】已知命题：“，不等式恒成立”，若为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】  变式训练3： 1．(多选)若不等式的解集为，则实数的取值可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC  2．关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是          ． 【答案】 解：由题意得， 因为，， 所以 当且仅当时取到等号． 所以． 考点四　一元二次不等式的应用 【例5】1．已知关于的不等式组 仅有一个整数解，则的取值范围为(    B   ) A． B． C． D． 2．设，若关于的不等式在上有解，则实数的最大值为 ． 3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是           ． 【答案】  ※课后练习 [A组　基础保分练] 1．已知全集，，，则(    B   ) A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的    B   A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 3．已知关于的不等式的解集为∅，则的取值范围是(   A    ) A． B． C． D． 4．(多选)已知关于的不等式在 上有解，则的取值可以是(  ABC  ) A． B． C． D． 5．(多选)已知关于的不等式的解集为，则(  ABD   ) A． B． C． 不等式的解集为 D． 不等式的解集为 6．不等式的解集是 ． 7．已知实数，则关于的不等式 的解集是            ． 8．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是            ． 9．若命题：“任意实数使得不等式成 立”为假命题，则实数的取值范围是           ． 10．已知不等式的解集为或． 求，的值； 当，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 【答案】解：因为不等式的解集为或， 所以和是方程的两个实数根且， 所以，解得． 故，． 由知，于是有， 故， 当且仅当时，等号成立， 依题意必有，即， 得， 所以的取值范围为．  [B组　能力提升练] 11．关于的不等式的解集中，恰有 个整数，则的取值范围是(   C    ) A． B． C． 或 D． 或 12．已知关于的不等式， 若不等式的解集为或，则 ； 求关于的不等式的解集． 【答案】解：不等式可化为， 原不等式的解集为或，故； 当时，不等式为，解得， 当时，方程的两根分别为，， 当时，，故不等式的解为； 当时， 若，即时，不等式的解为或， 若，即时，不等式的解为且， 若，即时，不等式的解为或， 综上可知， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 2 - 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