1.1锐角三角函数 同步课堂讲义2024-2025学年浙教版九年级数学下册

1.1锐角三角函数 讲解目录 【知识点1】锐角三角函数的定义 1 【知识点2】同角三角函数的关系 2 【知识点3】特殊角的三角函数值 2 【知识点4】互余两角三角函数的关系 2 【题型1】利用同角三角函数的关系计算 2 【题型2】利用同角三角函数的关系证明 3 【题型3】利用互余两角三角函数的关系求值 4 【题型4】利用锐角三角函数的定义求三角函数值 4 【题型5】应用三角函数的定义解决实际问题 5 【题型6】特殊角的三角函数值 7 【题型7】利用互余两角三角函数的关系证明 7 【题型8】特殊角的三角函数值的计算 8 【题型9】利用锐角三角函数的定义计算和证明 8 【题型10】利用三角函数定义求网格中的三角函数值 10 【题型11】三角函数的定义 11 【题型12】利用互余两角三角函数的关系求三角函数值 12 【题型13】利用互余两角三角函数的关系求角 12 【题型14】利用三角函数定义求图形中的三角函数值 13 【题型15】利用锐角三角函数的定义求边长 14 【题型16】利用同角三角函数的关系求三角函数值 14 【题型17】特殊角的三角函数的实际应用 15 【题型18】根据特殊角的三角函数值求角度 16 【题型19】根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 17 知识讲解 【知识点1】锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA=∠A的对边除以斜边=． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA=∠A的邻边除以斜边=． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 【知识点2】同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A=1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA•cosA． 【知识点3】特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°=； cos30°=；tan30°=； sin45°=；cos45°=；tan45°=1； sin60°=；cos60°=； tan60°=； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 【知识点4】互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA． 题型专练 【题型1】利用同角三角函数的关系计算 【典型例题】已知sinαcosα＝，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（　　） A. B.﹣ C. D.± 【举一反三1】常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（　　）（假设有任意角α） A.（sinα+cosα）2 B.sinα2+cosα2 C.sinα2+cotα2 D.sin2α+cos2α 【举一反三2】若tanA＝2，则＝　　． 【举一反三3】计算：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°＝　　． 【举一反三4】对于同一锐角α有：sin2α+cos2α＝1，现锐角A满足sinA+cosA＝． 试求：（1）sinA•cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值． 【题型2】利用同角三角函数的关系证明 【典型例题】在△ABC中，已知∠C＝90°，设q＝sinA+cosA，则（　　） A.q＜1 B.q≤1 C.q＝1 D.q＞1 【举一反三1】对于锐角α，下列等式中成立的是（　　） A.sinα＝cosα•tanα B.cosα＝tanα•cotα C.tanα＝cotα•sinα D.cotα＝sinα•cosα 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子正确的是（　　） A.sinA+cosA＜1 B.sinA+cosA＝1 C.sinA+cosA＞1 D.sinA+cosA≥1 【举一反三3】各三角函数之间的关系：（1）sinα＝　　；（2）sin2α+cos2α＝　　；（3）tanα＝　　． 【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则： （1）三边之间的关系为 　　（即勾股定理）； （2）两个锐角之间的关系为 　　； （3）边角之间的关系为sinA＝　　，cosA＝　　，tanA＝　　． 【举一反三5】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA＝，求sinA•cosA的值． 【题型3】利用互余两角三角函数的关系求值 【典型例题】计算sin49°﹣cos41°的结果为（　　） A. B.﹣ C.1 D.0 【举一反三1】下列计算正确的是（　　） A.tan70°•tan20°＝1 B.cos70°+cos20°＝1 C.sin70°＝2sin35° D.cos70°＝cos20°+cos50° 【举一反三2】sin2θ+sin2（90°﹣θ）（0°＜θ＜90°）等于（　　） A.0 B.1 C.2 D.2sin2θ 【举一反三3】已知Rt△ABC中，两直角边a＝7，b＝10，则tanB•sinA＝　　． 【举一反三4】计算：tan54°•tan36°＝　　． 【举一反三5】化简下列各式： （1）4cos2（90°﹣θ）+4sin2（90°﹣θ）+4 （2）． 【举一反三6】计算：cos210°+cos220°+cos270°+cos280°． 【题型4】利用锐角三角函数的定义求三角函数值 【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，那么下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sinB的值为（　　） A. B. C. D.2 【举一反三2】一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（　　） A. B. C. D.或 【举一反三3】已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个等腰三角形底角的正弦值为 　  　． 【举一反三4】如图，以A为圆心，任意长为半径画弧，交射线AP于点B，再以点B为圆心、AB为半径画弧，两弧相交于点C，画射线AC，则∠A的余弦值为 　　． 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c． （1）如图1，已知b＝24，c＝25，求∠A的正弦、余弦、正切值； （2）如图2，已知tanA＝，求∠B的三角函数值． 【题型5】应用三角函数的定义解决实际问题 【典型例题】近年，长春市城区内的背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便．如图所示，其中一款路灯的灯杆AC高9米，灯臂AB长1米，灯臂与水平面的夹角为α，则灯臂的最高点B到地面的距离为（　　） A.（9+sinα）米 B.（9+cosα）米 C.（9+tanα）米 D.9cosα米 【举一反三1】如图，某校A与公路距离为3000米，又与该公路旁上的某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，则商店与车站的距离约为（　　） A.875米 B.3125米 C.3500米 D.3275米 【举一反三2】如图，草坪边上有两条相互垂直的小路m，n，垂足为O，在草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘上有A，B，C三棵小树，为了估测圆形花坛的半径，在小路上D，E，F三点观测，发现均有两棵树与观测点在同一直线上，从观测点E沿着ED方向走5米到G点．测得∠BGD＝45°，OF＝18米，∠AFO＝90°，tan∠BDE＝tan∠BED＝，则树B到小路m的距离为 　　米，圆形花坛的半径长为 　　米． 【举一反三3】某公园在草坪上的点O处安装了一个如图1所示的自动旋转喷灌装置（该装置喷射的范围是一个以点O为圆心，以射程为半径的圆形区域）．草坪的左右两侧有A，B两个休息亭，在小亭A和B之间有一条长40米的笔直人行步道．经测量∠OAB＝20°，∠OBA＝40°．若将该自动旋转喷灌装置的射程设置为9米，请判断水是否会喷洒到人行步道AB上，并说明理由（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）． 【题型6】特殊角的三角函数值 【典型例题】cos60°的值是（　　） A. B.1 C. D. 【举一反三1】tan45°的值是（　　） A. B.1 C. D. 【举一反三2】tan30°的值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】cos45°的值为     A． B． C． D． 【举一反三4】计算：＝　　． 【举一反三5】小明利用如图所示的量角器量出∠AOB的度数，求sin∠AOB的值. 【题型7】利用互余两角三角函数的关系证明 【典型例题】已知Rt△ABC中，∠C为直角，设x＝sinA+cosA，y＝sinB+cosB，则x，y的大小关系为（　） A.x＞y B.x＝y C.x＜y D.以上情况都有可能 【举一反三1】在△ABC中，若sinA＝sinB＝，则△ABC是（　　） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是　　，sinA与cosB的关系是　　．因此sin（90°﹣A）＝　　；cos（90°﹣A）＝　　． 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，证明sin2A+sin2B=1． 【举一反三4】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c． （1）若a＝5，b＝10，求sinA，cosA，sinB，cosB； （2）若b＝3，c＝3，求sinA，cosA，sinB，cosB； （3）通过（1）（2）我们不难发现有这样一个规律：sin2A+cos2A＝1，请你利用所学过的知识来证明这一规律 （4）由（1）（2）的计算你还发现了什么？用语言描述你的发现． （5）试解决下列问题： ①求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值； ②若，求sinα•cosα的值 ③∠A为锐角，化简 【题型8】特殊角的三角函数值的计算 【典型例题】下列各式不正确的是（　　） A.cos30°＝sin60° B.tan45°＝2sin30° C.sin30°+cos30°＝1 D.tan60°•cos60°＝sin60° 【举一反三1】tan60°+3tan30°的值等于（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】式子2cos30°﹣tan45°的值是（　　） A.1﹣ B.0 C.﹣1 D.﹣ 【举一反三3】计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°＝　　． 【举一反三4】计算： （1）+2sin60°﹣3tan30°+tan45° （2）4sin30°﹣•cos45°+（π﹣3.14）0+tan60°． 【题型9】利用锐角三角函数的定义计算和证明 【典型例题】若α为锐角，则sinα+cosα的值（　　） A.小于1 B.等于1 C.大于1 D.以上答案都不对 【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则cosA•tanA的值为（　　） A.cotA B. C. D.sinA 【举一反三2】在直角三角形中，由于斜边长大于直角边长且均为正数，所以0＜，0，，由此可知：sinA，cosA，tanA的取值范围分别是：　，，． 【举一反三3】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合． （1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是　　； （2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：　　；α的取值范围是　　． 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝． （1）求sinA的值． （2）你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．求： （1）sinA，cosB． （2）cosA，sinB． （3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由． 【题型10】利用三角函数定义求网格中的三角函数值 【典型例题】如图，四边形ABCD为菱形，则等于（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为　　． 【举一反三4】如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫（小猫位置不变），如果每块正方形地砖的边长为1米，求小猫观察老鼠最大视角的正弦值．（不计墙的厚度） 【举一反三5】如图，每个小方格都是边长为1的正方形，将方格纸中的△ABC绕点D按顺时针方向旋转90°，得到对应△A′B′C′． （1）请你在方格纸中画出△A′B′C′； （2）求tan∠ABC． 【题型11】三角函数的定义 【典型例题】在Rt△ABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的余弦值（　） A.扩大3倍 B.扩大9倍 C.保持不变 D.缩小3倍 【举一反三1】sinα表示的是（　　） A.一个角 B.一个角的度数 C.线段的长度 D.一个比值 【举一反三2】我们把直角三角形中一个锐角的　　边与　　边的比叫做这个锐角的正切，锐角A的正切记做　　， 【举一反三3】如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题： （1）ctan30°＝　　； （2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值． 【举一反三4】阅读课本本课时开始至“例1”前的内容，回答下列问题（阅读时注意：直角三角形的三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系） （1）直角三角形中，除直角外有几个元素？它们分别是哪些元素？ （2）直角三角形两个锐角有什么数量关系？三边之间有什么关系？ （3）sinA＝＝　　，cosA＝＝　　，tanA＝＝　　． 【题型12】利用互余两角三角函数的关系求三角函数值 【典型例题】已知0°＜A＜90°，那么cos（90°﹣A）等于（　　） A.cosA B.sin（90°+A） C.sinA D.sin（90°﹣A） 【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，若，则cosB的值为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】若sin65°＝，则cos25°＝　　． 【举一反三3】在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，则cosA＝　　，tanB＝　　． 【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，求tanA的值． 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求∠B的三个三角函数的值． 【题型13】利用互余两角三角函数的关系求角 【典型例题】已知tanα•tan20°＝1且α为锐角，那么α等于（　） A.20° B.70° C.（）° D.（）° 【举一反三1】已知锐角α，且sinα＝cos38°，则α＝（　　） A.38° B.62° C.52° D.72° 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB＝2：3，那么a：b等于　． 【举一反三3】cos51°10′＝sin　　． 【举一反三4】若tanα•tan50°＝1，求锐角α的度数． 【举一反三5】已知锐角α满足cosα＝sin55°，求α的值． 【题型14】利用三角函数定义求图形中的三角函数值 【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD＝8，BD＝4，那么tanB的值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），点B（0，﹣4），则tan∠ABO等于（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】△ABC中，a＝15，b＝17，∠A为定值，若满足上述条件的△ABC的∠C唯一存在，则tanC的值是　　． 【举一反三3】如图，等腰△ABC的顶角∠A＝30°，腰长AB＝2，BD为AC边上的高，根据已知条件，可求出tan15°的值为　　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求：sinB的值． 【题型15】利用锐角三角函数的定义求边长 【典型例题】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝8，则AC等于（　　） A.6 B.16 C.12 D.4 【举一反三1】在Rt△ABC中，已知sinA＝，则∠A的对边为（　　） A.3 B.4 C.5 D.无法确定 【举一反三2】小聪有一块含有30°角的直角三角板，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图的方法，小聪发现点A处的三角板读数为12cm，点B处的量角器的读数为74°和106°，由此可知三角板的较短直角边的长度为 　　cm．（参考数据：tan37°＝0.75） 【举一反三3】如图，已知△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m． （1）用含α和m的式子表示BC．（用两种方法） （2）用含α和m的式子表示AB． 【题型16】利用同角三角函数的关系求三角函数值 【典型例题】已知∠A是锐角，，则tanA的值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】x为锐角，，则cosx的值为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D在BC边上，且∠ADC＝45°，DC＝6，则tan∠BAD＝　　． 【举一反三4】已知，锐角α的正切值是3，则它的余弦值是 　　． 【举一反三5】（1）已知∠A是锐角，sinA＝，求∠A的其他三角函数值； （2）已知∠A是锐角，tanA＝．求∠A的其他三角函数值． 【题型17】特殊角的三角函数的实际应用 【典型例题】一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为30°，若窗高AB＝1.8米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则挡板AC（垂直于AB）的长最少应为（　　） A.米 B.米 C.3.6米 D.1.8米 【举一反三1】如图，是一个风力发电机组的部分框架图，已知A、B之间的距离为300m，则点M到直线AB的距离（结果带根号）（　　） A.600（3﹣） B.150（3+） C.120（3+） D.150（3﹣） 【举一反三2】如图，两条带子，带子a的宽度为2cm，带子b的宽度为1cm，它们相交成α角，如果重叠部分的面积为4cm，则α的度数为 　　度． 【举一反三3】用一副如图1所示的七巧板，拼出如图2所示中间有一个空白正方形的“风车图”，则图2中tan∠ABC＝　　． 【举一反三4】小亮周末到公园散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一栋楼房BD，如图，假设小亮行走到F处时正好通过树顶C看到楼房的E处，此时∠BFE＝30°，已知树高AC＝10米，楼房BD＝30米，E处离地面25米． （1）求树与楼房之间的距离AB的长； （2）小亮再向前走多少米从树顶刚好看不到楼房BD？（结果保留根号） 【题型18】根据特殊角的三角函数值求角度 【典型例题】如图是一张简易活动餐桌，现测得OA＝OB＝40cm，OC＝OD＝60cm，现要求桌面离地面的高度为50cm，那么两条桌腿的张角∠COD的大小应为（　　） A.150° B.135° C.120° D.100° 【举一反三1】在△ABC中，若∠B＝90°，，则∠C的度数是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 【举一反三2】已知，则锐角α的取值范围是 　　． 【举一反三3】求满足下列条件的锐角α． （1）2sinα﹣＝0； （2）3tan（α+10°）＝． 【举一反三4】已知tan2α﹣2tanα+1＝0，求锐角α． 【题型19】根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典型例题】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【举一反三1】在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，这个三角形一定是（　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【举一反三2】在△ABC中，tanA＝1，，则△ABC的形状（　） A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.无法确定 【举一反三3】在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanA﹣|+（cosB﹣）2＝0，则△ABC是　　三角形． 【举一反三4】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝．判断△ABC的形状，并说明理由． 【举一反三5】已知，△ABC中，∠C为最大角，且|sin2A﹣|+（2cos2B﹣1）2＝0，试判断△ABC的形状． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1锐角三角函数 讲解目录 【知识点1】锐角三角函数的定义 1 【知识点2】同角三角函数的关系 2 【知识点3】特殊角的三角函数值 2 【知识点4】互余两角三角函数的关系 2 【题型1】利用同角三角函数的关系计算 2 【题型2】利用同角三角函数的关系证明 4 【题型3】利用互余两角三角函数的关系求值 7 【题型4】利用锐角三角函数的定义求三角函数值 10 【题型5】应用三角函数的定义解决实际问题 13 【题型6】特殊角的三角函数值 18 【题型7】利用互余两角三角函数的关系证明 19 【题型8】特殊角的三角函数值的计算 22 【题型9】利用锐角三角函数的定义计算和证明 24 【题型10】利用三角函数定义求网格中的三角函数值 27 【题型11】三角函数的定义 31 【题型12】利用互余两角三角函数的关系求三角函数值 33 【题型13】利用互余两角三角函数的关系求角 36 【题型14】利用三角函数定义求图形中的三角函数值 37 【题型15】利用锐角三角函数的定义求边长 40 【题型16】利用同角三角函数的关系求三角函数值 42 【题型17】特殊角的三角函数的实际应用 46 【题型18】根据特殊角的三角函数值求角度 50 【题型19】根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 53 知识讲解 【知识点1】锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA=∠A的对边除以斜边=． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA=∠A的邻边除以斜边=． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 【知识点2】同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A=1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA•cosA． 【知识点3】特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°=； cos30°=；tan30°=； sin45°=；cos45°=；tan45°=1； sin60°=；cos60°=； tan60°=； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 【知识点4】互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA． 题型专练 【题型1】利用同角三角函数的关系计算 【典型例题】已知sinαcosα＝，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（　　） A. B.﹣ C. D.± 【答案】B 【解析】把已知条件两边都乘以2，再根据sin2α+cos2α＝1，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出cosα与sinα的取值范围，从而得到sinα﹣cosα＜0，最后开方即可得解． ∵sinαcosα＝， ∴2sinα•cosα＝， ∴sin2α+cos2α﹣2sinα•cosα＝1﹣， 即（sinα﹣cosα）2＝， ∵0°＜α＜45°， ∴＜cosα＜1，0＜sinα＜， ∴sinα﹣cosα＜0， ∴sinα﹣cosα＝﹣． 故选：B． 【举一反三1】常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（　　）（假设有任意角α） A.（sinα+cosα）2 B.sinα2+cosα2 C.sinα2+cotα2 D.sin2α+cos2α 【答案】D 【解析】根据题意即可写出式子． “正弦平方加余弦平方”的数学语言为：sin2α+cos2α． 故选：D． 【举一反三2】若tanA＝2，则＝　　． 【答案】3 【解析】利用勾股定理易得∠A所在的直角三角形的斜边，运用三角函数定义求解． ∵tanA＝2，设∠A的对边为2k，则邻边为k， ∴斜边为k． ∴sinA＝，cosA＝， ∴＝3． 故答案为：3 【举一反三3】计算：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°＝　　． 【答案】44 【解析】利用sin2A+cos2A＝1，即可求解． 原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245 ＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245 ＝44+ ＝44． 故答案为：44． 【举一反三4】对于同一锐角α有：sin2α+cos2α＝1，现锐角A满足sinA+cosA＝． 试求：（1）sinA•cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值． 【答案】（1）∵sinA+cosA＝， ∴sin2A+cos2A+2sinAcosA＝， 即1+2sinAcosA＝， ∴sinAcosA＝； （2）∵（sinA﹣cosA）2＝sin2A+cos2A﹣2sinAcosA， ＝1﹣， ＝， ∴sinA﹣cosA＝±． 【题型2】利用同角三角函数的关系证明 【典型例题】在△ABC中，已知∠C＝90°，设q＝sinA+cosA，则（　　） A.q＜1 B.q≤1 C.q＝1 D.q＞1 【答案】D 【解析】根据锐角三角函数的定义得sinA＝，cosA＝，可得q＝，根据三角形三边的关系得a+b＞c，所以＞1，即可得出答案． ∵sinA＝，cosA＝， ∴q＝sinA+cosA＝+＝， ∵a+b＞c， ∴＞1， ∴q＞1． 故选：D． 【举一反三1】对于锐角α，下列等式中成立的是（　　） A.sinα＝cosα•tanα B.cosα＝tanα•cotα C.tanα＝cotα•sinα D.cotα＝sinα•cosα 【答案】A 【解析】根据锐角三角函数的定义，分别验证每个选项的正误即可． 如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠A＝α，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c， 有sinα＝，cosα＝，tanα＝，cotα＝，于是： A． cosα•tanα＝•＝＝sinα，因此选项A符合题意； B． tanα•cotα＝•＝1≠cosα，因此选项B不符合题意； C． cotα•sinα＝•＝＝cosα，因此选项C 不符合题意； D． sinα•cosα＝•＝≠cotα，因此选项D不符合题意； 故选：A． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子正确的是（　　） A.sinA+cosA＜1 B.sinA+cosA＝1 C.sinA+cosA＞1 D.sinA+cosA≥1 【答案】C 【解析】根据三角函数的定义得到sinA＝，cosA＝，则sinA+cosA＝，然后根据三角形三边的关系可判断sinA+cosA＞1． ∵sinA＝，cosA＝， ∴sinA+cosA＝， ∵a+b＞c， ∴sinA+cosA＞1． 故选：C． 【举一反三3】各三角函数之间的关系：（1）sinα＝　　；（2）sin2α+cos2α＝　　；（3）tanα＝　　． 【答案】（1）cos（90°﹣α）；（2）1；（3） 【解析】根据同角的三角函数的关系解答即可． （1）因为α与（90°﹣α）互余，所以sin＝cos（90°﹣α）； （2）根据同角三角函数关系，得sin2α+cos2α＝1； （3）因为tanα•cotα＝1，可得tanα＝． 故答案为：（1）cos（90°﹣α）；（2）1；（3） 【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则： （1）三边之间的关系为 　　（即勾股定理）； （2）两个锐角之间的关系为 　　； （3）边角之间的关系为sinA＝　　，cosA＝　　，tanA＝　　． 【答案】（1）a2+b2＝c2；（2）互余；（3）；；． 【解析】（1）够根据勾股定理可直接得到答案； （2）根据直角三角形中两锐角互余可得答案； （3）根据锐角的三角函数定义可得答案． （1）三边的关系（勾股定理）是：a2+b2＝c2； （2）两个锐角之间的关系是互余； （3）sinA＝；scosA＝；tanA＝． 故答案为：a2+b2＝c2；互余；；；． 【举一反三5】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA＝，求sinA•cosA的值． 【答案】（1）证明：∵sinA＝，cosA＝， ∴sin2A+cos2A＝， ∵∠C＝90°， ∴根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2， ∴sin2A+cos2A＝1． （2）解：∵sinA+cosA＝， ∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA•cosA＝， ∵sin2A+cos2A＝1， ∴1+2sinA•cosA＝， ∴sinA•cosA＝． 【题型3】利用互余两角三角函数的关系求值 【典型例题】计算sin49°﹣cos41°的结果为（　　） A. B.﹣ C.1 D.0 【答案】D 【解析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． ∵sin49°＝cos41°， ∴sin49°﹣cos41°＝0． 故选：D． 【举一反三1】下列计算正确的是（　　） A.tan70°•tan20°＝1 B.cos70°+cos20°＝1 C.sin70°＝2sin35° D.cos70°＝cos20°+cos50° 【答案】A 【解析】先对每个选项进行化简，然后根据之间的等量关系，解出本题即可． A、∵tan70°•tan20°＝•＝1， 故本选项正确． B、∵cos70°+cos20°＝sin20°+cos20° ∵sin220°+cos220°＝1 sin20°+cos20°≠sin220°+cos220° ∴sin20°+cos20≠1， ∴cos70°+cos20°≠1 故本选项错误． C、∵sin70°＝sin（35°+35°）， ∴sin70°≠2sin35°， 故本选项错误． D、∵cos70°＝cos（20°+50°）， ∴cos70°≠cos20°+cos50， 故本选项错误． 故选：A． 【举一反三2】sin2θ+sin2（90°﹣θ）（0°＜θ＜90°）等于（　　） A.0 B.1 C.2 D.2sin2θ 【答案】B 【解析】sin（90°﹣θ）＝cosθ；sin2θ+cos2θ＝1． sin2θ+sin2（90°﹣θ） ＝sin2θ+cos2θ＝1． 故选：B． 【举一反三3】已知Rt△ABC中，两直角边a＝7，b＝10，则tanB•sinA＝　　． 【答案】 【解析】根据直角三角函数的知识，求出相应的三角函数值，从而解答本题． ∵在Rt△ABC中，两直角边a＝7，b＝10 ∴斜边c＝ ∴tanB＝，sinA＝ ∴tanB•sinA＝ 故答案为： 【举一反三4】计算：tan54°•tan36°＝　　． 【答案】1． 【解析】根据互余两角的正切值乘积为1，即可解答． ∵54°+36°＝90°， ∴tan54°•tan36°＝1， 故答案为：1． 【举一反三5】化简下列各式： （1）4cos2（90°﹣θ）+4sin2（90°﹣θ）+4 （2）． 【答案】解：（1）原式＝4sin2θ+4cos2θ+4＝4（sin2θ+cos2θ）+4＝4+4＝8； （2）原式＝﹣1＝﹣1＝1+tan2θ﹣1＝tan2θ． 【举一反三6】计算：cos210°+cos220°+cos270°+cos280°． 【答案】解：原式＝cos210°+cos220°+sin220°+sin210° ＝sin210°+cos210°+sin220°+cos220° ＝1+1 ＝2． 【题型4】利用锐角三角函数的定义求三角函数值 【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，那么下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据勾股定理就可以求出斜边AB，根据三角函数的定义即可判断正确的选项． 如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得：． A、因，故此选项不符合题意； B、因，故此选项不符合题意； C、因，故此选项符合题意； D、因，故此选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sinB的值为（　　） A. B. C. D.2 【答案】C 【解析】直接利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数关系得出答案． ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC， ∴设BC＝1，则AC＝2，故AB＝， 则sinB＝＝． 故选：C． 【举一反三2】一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（　　） A. B. C. D.或 【答案】D 【解析】先根据勾股定理求出第三边，再根据正切函数的定义求出较小锐角的正切值． 当两条边长为3和4是直角边时，则较小锐角的正切值＝； 当3是直角边，4是斜边时，另一条边＝＝，则较小锐角的正切值＝． 故选：D． 【举一反三3】已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个等腰三角形底角的正弦值为 　  　． 【答案】或． 【解析】过点A作作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中先利用勾股定理求出AD，再利用边角间关系求出底角的正弦． 如图1：当腰为4，底为6时， 过点A作AD⊥BC，垂足为D． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝3，∠B＝∠C． 在直角△ABD中， ． ∴． 如图2：当腰为6，底为4时， 过点A作AD⊥BC，垂足为D． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝2，∠B＝∠C． 在直角△ABD中， ． ∴． 故答案为：或． 【举一反三4】如图，以A为圆心，任意长为半径画弧，交射线AP于点B，再以点B为圆心、AB为半径画弧，两弧相交于点C，画射线AC，则∠A的余弦值为 　　． 【答案】． 【解析】连接BC，过C作CH⊥AB于H，由题意知：AB＝AC＝2BC，令BC＝a，则AB＝2a，设BH＝x，则AH＝AB﹣BH＝2a﹣x，由勾股定理得到a2﹣x2＝（2a）2﹣（2a﹣x）2，求出x＝a，得到AH＝AB﹣BH＝a，即可求出osA的值． 连接BC，过C作CH⊥AB于H， 由题意知：AB＝AC＝2BC， 令BC＝a，则AB＝AC＝2a， 设BH＝x，则AH＝AB﹣BH＝2a﹣x， 由勾股定理得：CH2＝BC2﹣BH2＝AC2﹣AH2， ∴a2﹣x2＝（2a）2﹣（2a﹣x）2， ∴x＝a， ∴AH＝AB﹣BH＝a， ∴cosA＝＝． 故答案为：． 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c． （1）如图1，已知b＝24，c＝25，求∠A的正弦、余弦、正切值； （2）如图2，已知tanA＝，求∠B的三角函数值． 【答案】解：（1）∵b＝24，c＝25， a＝＝7， ∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝； （2）∵tanA＝， ∴设a＝3k，则b＝2k， ∴c＝k， ∴sinB＝＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝． 【题型5】应用三角函数的定义解决实际问题 【典型例题】近年，长春市城区内的背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便．如图所示，其中一款路灯的灯杆AC高9米，灯臂AB长1米，灯臂与水平面的夹角为α，则灯臂的最高点B到地面的距离为（　　） A.（9+sinα）米 B.（9+cosα）米 C.（9+tanα）米 D.9cosα米 【答案】A 【解析】过点B作BE⊥AD，垂足为E，延长BE交CF于点G，根据题意可得：AC＝EG＝9米，BG⊥CF，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 如图：过点B作BE⊥AD，垂足为E，延长BE交CF于点G， 由题意得：AC＝EG＝9米，BG⊥CF， 在Rt△ABE中，AB＝1米，∠BAE＝α， ∴BE＝AB•sinα＝sinα（米）， ∴BG＝BE+EG＝（sinα+9）米， ∴灯臂的最高点B到地面的距离为（9+sinα）米， 故选：A． 【举一反三1】如图，某校A与公路距离为3000米，又与该公路旁上的某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，则商店与车站的距离约为（　　） A.875米 B.3125米 C.3500米 D.3275米 【答案】B 【解析】利用线段垂直平分线的性质可知C与该校A及车站D的距离相等，则点C在线段AD的垂直平分线上．依此解直角三角形即可． 作AD的垂直平分线CE，作AF⊥CD，垂足为F． 则AF＝3000，AD＝5000． 根据勾股定理得 DF＝4000． ∴cos∠D＝＝． 在直角△CED中，cos∠D＝＝＝， ∵AD＝5000， ∴DE＝2500． ∴． 解得 CD＝3125（米）． 故选：B． 【举一反三2】如图，草坪边上有两条相互垂直的小路m，n，垂足为O，在草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘上有A，B，C三棵小树，为了估测圆形花坛的半径，在小路上D，E，F三点观测，发现均有两棵树与观测点在同一直线上，从观测点E沿着ED方向走5米到G点．测得∠BGD＝45°，OF＝18米，∠AFO＝90°，tan∠BDE＝tan∠BED＝，则树B到小路m的距离为 　　米，圆形花坛的半径长为 　　米． 【答案】15，． 【解析】设圆型草坪的圆心为M，连接MB交AC于点R，延长MB交ED于点T，连接CM，先通过直角三角形BTE求出BT，利用相似三角形的性质求出CR，利用勾股定理解决问题即可． 设圆型草坪的圆心为M，连接MB交AC于点R，延长MB交ED于点T，连接CM， ∵A，F，C在同一条直线上，且∠AFO＝90°，m⊥n， ∴AC∥ED， ∴∠BED＝∠BCA，∠BDE＝∠CAB， ∵tan∠BDE＝tan∠BED， ∴∠BED＝∠BDE， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴BA＝BC， ∴＝， ∴MT⊥AC， ∴MT⊥ED， ∵∠BGT＝45°， ∴GT＝BT， ∴在Rt△BET中，tan∠BET＝＝＝， ∴4BT＝3BT+3EG， ∴BT＝3EG＝3×5＝15（米）， ∴ET＝EG+GT＝5+15＝20（米）， BR＝OF﹣BT＝18﹣15＝3（米）， ∵AB∥ED， ∴△CBR∽△EBT， ∴， ∴CR＝•ET＝×20＝4（米）， 在Rt△CRM中，CM＝r， CM2＝CR2+MR2＝CR2+（CM﹣BR）2， r2＝42+（r﹣3）2， 解得：r＝， 故答案为：15，． 【举一反三3】某公园在草坪上的点O处安装了一个如图1所示的自动旋转喷灌装置（该装置喷射的范围是一个以点O为圆心，以射程为半径的圆形区域）．草坪的左右两侧有A，B两个休息亭，在小亭A和B之间有一条长40米的笔直人行步道．经测量∠OAB＝20°，∠OBA＝40°．若将该自动旋转喷灌装置的射程设置为9米，请判断水是否会喷洒到人行步道AB上，并说明理由（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）． 【答案】解：水不会喷洒到人行步道AB上， 理由：过点O作OC⊥AB，垂足为点C， 设CO＝x米， 在Rt△ACO中，∠A＝20°， ∴（米）， 在Rt△BCO中，∠B＝40°， ∴（米）， ∵AC+BC＝AB， ∴， 解得：x＝10.08， ∵10.08米＞9米， ∴水不会喷洒到人行步道AB上． 【题型6】特殊角的三角函数值 【典型例题】cos60°的值是（　　） A. B.1 C. D. 【答案】A 【解析】根据特殊角的三角函数值，即可解答． cos60°的值是， 故选：A． 【举一反三1】tan45°的值是（　　） A. B.1 C. D. 【答案】B 【解析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案． tan45°＝1． 故选：B． 【举一反三2】tan30°的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． tan30°＝． 故选：D． 【举一反三3】cos45°的值为     A． B． C． D． 【答案】 【解析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论． cos45°＝． 故答案为：． 【举一反三4】计算：＝　　． 【答案】﹣1． 【解析】根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可． 【举一反三5】小明利用如图所示的量角器量出∠AOB的度数，求sin∠AOB的值. 【答案】解：由题意得∠AOB＝60°， ∴， 【题型7】利用互余两角三角函数的关系证明 【典型例题】已知Rt△ABC中，∠C为直角，设x＝sinA+cosA，y＝sinB+cosB，则x，y的大小关系为（　） A.x＞y B.x＝y C.x＜y D.以上情况都有可能 【答案】B 【解析】先根据互为余角的三角函数之间的关系得出sinA＝cosB，sinB＝cosA，再由等式的性质可知sinA+cosA＝cosB+sinB，从而得出正确选项． ∵在Rt△ABC中，∠C为直角， ∴∠A+∠B＝90°， ∴sinA＝cosB，sinB＝cosA， ∴sinA+cosA＝cosB+sinB， 又∵x＝sinA+cosA，y＝sinB+cosB， ∴x＝y． 故选：B． 【举一反三1】在△ABC中，若sinA＝sinB＝，则△ABC是（　　） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 【答案】A 【解析】根据特殊角度的三角函数值求出两个锐角的度数后判断△ABC的形状． ∵sinA＝sinB＝， ∴∠A＝30°，∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°． ∴△ABC是钝角三角形． 故选：A． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是　　，sinA与cosB的关系是　　．因此sin（90°﹣A）＝　　；cos（90°﹣A）＝　　． 【答案】互余，sinA＝cosB，cosA，sinA． 【解析】根据余角的定义，一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案． Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是互余，sinA与cosB的关系是sinA＝cosB．因此sin（90°﹣A）＝cosA；cos（90°﹣A）＝sinA， 故答案为：互余，sinA＝cosB，cosA，sinA． 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，证明sin2A+sin2B=1． 【答案】解：Rt△ABC中，∠C＝90°， sin2A+sin2B＝（）2+（）2＝+＝＝1． 【举一反三4】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c． （1）若a＝5，b＝10，求sinA，cosA，sinB，cosB； （2）若b＝3，c＝3，求sinA，cosA，sinB，cosB； （3）通过（1）（2）我们不难发现有这样一个规律：sin2A+cos2A＝1，请你利用所学过的知识来证明这一规律 （4）由（1）（2）的计算你还发现了什么？用语言描述你的发现． （5）试解决下列问题： ①求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值； ②若，求sinα•cosα的值 ③∠A为锐角，化简 【答案】解：（1）c＝＝5， ∴sinA＝＝，cosA＝＝，sinB＝＝，cosB＝＝； （2）a＝＝3， ∴sinA＝＝，cosA＝＝，sinB＝＝，cosB＝＝； （3）∵a2+b2＝c2， ∴sin2A+cos2A ＝（）2+（）2 ＝ ＝ ＝1， 即sin2A+cos2A＝1； （4）一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值； （5）①∵sinA＝cos（90°﹣A）， ∴原式＝sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos22°+cos21° ＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+（sin23°+cos23°）+…+sin245° ＝1+1+…+1+ ＝44+ ＝； ②∵， ∴（sinα+cosα）2＝， 即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝， ∵sin2α+cos2α＝1， ∴2sinαcosα＝， ∴sinα•cosα＝； ③∵sin2A+cos2A＝1； ∴原式＝ ＝ ＝ ＝|cosA﹣1| ＝1﹣cosA． 【题型8】特殊角的三角函数值的计算 【典型例题】下列各式不正确的是（　　） A.cos30°＝sin60° B.tan45°＝2sin30° C.sin30°+cos30°＝1 D.tan60°•cos60°＝sin60° 【答案】C 【解析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案． A、cos30°＝sin60°＝，正确，不合题意； B、tan45°＝2sin30°＝1，正确，不合题意； C、sin30°+cos30°＝+＝，故原式计算错误，符合题意； D、tan60°•cos60°＝sin60°＝，正确，不合题意； 故选：C． 【举一反三1】tan60°+3tan30°的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】利用特殊锐角三角函数值计算即可． 原式＝+3× ＝+ ＝2， 故选：B 【举一反三2】式子2cos30°﹣tan45°的值是（　　） A.1﹣ B.0 C.﹣1 D.﹣ 【答案】C 【解析】把30°的余弦值、45°的正切值代入，计算即可． 2cos30°﹣tan45° ＝2×﹣1 ＝﹣1， 故选：C． 【举一反三3】计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°＝　　． 【答案】． 【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案． 原式＝﹣（）2+1﹣2× ＝﹣+1﹣ ＝． 故答案为：． 【举一反三4】计算： （1）+2sin60°﹣3tan30°+tan45° （2）4sin30°﹣•cos45°+（π﹣3.14）0+tan60°． 【答案】解：（1）原式＝+2×﹣3×+1 ＝1+﹣+1 ＝2； （2）原式＝4×﹣×+1+× ＝2﹣1+1+3 ＝5． 【题型9】利用锐角三角函数的定义计算和证明 【典型例题】若α为锐角，则sinα+cosα的值（　　） A.小于1 B.等于1 C.大于1 D.以上答案都不对 【答案】C 【解析】根据锐角三角函数的定义，可得分式的加减，根据三角形三边的关系，可得答案． sinα+cosα＝+＝＞1， 故选：C． 【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则cosA•tanA的值为（　　） A.cotA B. C. D.sinA 【答案】D 【解析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可． ∵cosA＝，tanA＝， ∴cosA•tanA＝×＝＝sinA． 故选：D． 【举一反三2】在直角三角形中，由于斜边长大于直角边长且均为正数，所以0＜，0，，由此可知：sinA，cosA，tanA的取值范围分别是：　，，． 【答案】0＜，0，． 【解析】根据锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案． sinA，cosA，tanA的取值范围分别是 0＜，0，， 故答案为：0＜，0，． 【举一反三3】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合． （1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是　　； （2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：　　；α的取值范围是　　． 【答案】（1）垂直（2）m•tan 0°＜α＜90° 【解析】解：（1）连接CD，OM． ∵OC＝OD，又OM是公共边，∠OCM＝∠ODM＝90°， ∴Rt△COM≌Rt△DOM（HL）， ∴∠COM＝∠DOM， 又∵OC＝OD， ∴CD⊥OM； （2）由（1）知∠COM＝∠DOM， ∴∠COM＝， 在Rt△COM中，CM＝OC•tan∠COM＝m•tan； 因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°． 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝． （1）求sinA的值． （2）你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由． 【答案】解：（1）在Rt△ABC中，sinA＝＝＝； （2）能． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵∠CBD+∠C＝90°，∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠CBD， ∴sin∠CBD＝sinA＝． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．求： （1）sinA，cosB． （2）cosA，sinB． （3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由． 【答案】解：（1）根据勾股定理可知：AB＝， ∴sinA＝＝，cosB＝＝． （2）cosA＝＝，sinB＝＝． （3）由（1）、（2）可知：sinA＝cosB，cosA＝sinB． 【题型10】利用三角函数定义求网格中的三角函数值 【典型例题】如图，四边形ABCD为菱形，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】答题时首先知道菱形的对角线互相垂直，然后由锐角三角函数的定义，求得． ∵菱形的对角线互相垂直， ∴＝． 故选A． 【举一反三1】如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】把CD平移到BM，过M作MH⊥AB于H，得到∠ABM＝∠AOC，由勾股定理求出AB＝，BM＝2，由三角形面积公式得到MH＝5×4，求出MH＝，即可求出sin∠ABM＝，于是得到sin∠AOC＝． 把CD平移到BM，过M作MH⊥AB于H， ∴∠ABM＝∠AOC， 由勾股定理得：AB＝＝，BM＝＝2， ∵△ABM的面积＝AB•MH＝AM•BN， ∴MH＝5×4， ∴MH＝， ∴sin∠ABM＝＝， ∴sin∠AOC＝sin∠ABM＝． 故选：D． 【举一反三2】如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过点A作BC的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 过点A作BC的垂线，垂足为M， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， AM＝， AB＝． 在Rt△ABM中， sinB＝． 故选：A． 【举一反三3】正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为　　． 【答案】 【解析】找出OB边上的格点C，连接AC，利用勾股定理求出AO、AC、CO的长度，再利用勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形，然后根据余弦＝计算即可得解． 如图，C为OB边上的格点，连接AC， 根据勾股定理，AO＝＝2， AC＝＝， OC＝＝， 所以，AO2＝AC2+OC2＝20， 所以，△AOC是直角三角形， cos∠AOB＝＝＝． 故答案为：． 【举一反三4】如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫（小猫位置不变），如果每块正方形地砖的边长为1米，求小猫观察老鼠最大视角的正弦值．（不计墙的厚度） 【答案】解：如图：连接AE并延长，连接AF并延长，连接BD， 则小猫观察老鼠最大视角为：∠BAD， 由题意得： AB2＝62+32＝45， BD2＝22+12＝5， AD2＝52+52＝50， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴△ABD是直角三角形， ∴∠ABD＝90°， ∴sin∠BAD＝＝＝， 【举一反三5】如图，每个小方格都是边长为1的正方形，将方格纸中的△ABC绕点D按顺时针方向旋转90°，得到对应△A′B′C′． （1）请你在方格纸中画出△A′B′C′； （2）求tan∠ABC． 【答案】解：（1）如图所示： （2）tan∠ABC＝． 【题型11】三角函数的定义 【典型例题】在Rt△ABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的余弦值（　） A.扩大3倍 B.扩大9倍 C.保持不变 D.缩小3倍 【答案】C 【解析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，可得答案． Rt△ABC中，cosA＝， Rt△ABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的余弦， cosA＝＝． 故选：C． 【举一反三1】sinα表示的是（　　） A.一个角 B.一个角的度数 C.线段的长度 D.一个比值 【答案】D 【解析】根据三角函数的定义解答． sinα表示三角函数值，是个比值． 故选：D． 【举一反三2】我们把直角三角形中一个锐角的　　边与　　边的比叫做这个锐角的正切，锐角A的正切记做　　， 【答案】对；邻；tanA 【解析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 我们把直角三角形中一个锐角的对边与 邻边的比叫做这个锐角的正切，锐角A的正切记做tanA； 故答案为：对；邻；tanA 【举一反三3】如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题： （1）ctan30°＝　　； （2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值． 【答案】解：（1）∵Rt△ABC中，α＝30°， ∴BC＝AB， ∴AC＝＝＝AB， ∴ctan30°＝＝． 故答案为：； （2）∵tanA＝， ∴设BC＝3x，AC＝4x， ∴ctanA＝＝＝． 【举一反三4】阅读课本本课时开始至“例1”前的内容，回答下列问题（阅读时注意：直角三角形的三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系） （1）直角三角形中，除直角外有几个元素？它们分别是哪些元素？ （2）直角三角形两个锐角有什么数量关系？三边之间有什么关系？ （3）sinA＝＝　　，cosA＝＝　　，tanA＝＝　　． 【答案】（1）直角三角形中，除直角外还有5个元素，它们分别是三条边a，b，c，两个锐角∠A和∠B． （2）直角三角形的两个锐角的数量关系为：∠A+∠B＝90°； 三边符合勾股定理：a2+b2＝c2． （3）∠A的对边为a，斜边为c，∠A的邻边为b， ∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝ 故答案为：，，． 【题型12】利用互余两角三角函数的关系求三角函数值 【典型例题】已知0°＜A＜90°，那么cos（90°﹣A）等于（　　） A.cosA B.sin（90°+A） C.sinA D.sin（90°﹣A） 【答案】C 【解析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解． 如图，△ABC中，∠C＝90°． 则∠A+∠B＝90°． ∵cos（90°﹣A）＝cosB＝＝sinA． 故选：C． 【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，若，则cosB的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据锐角三角函数关系得出设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理可计算出AB＝x，进而然后根据余弦的定义得出答案． ∵∠C＝90°，tanA＝， ∴＝， 设BC＝x，AC＝3x， 故AB＝＝x， 则cosB＝＝＝． 故选：D． 【举一反三2】若sin65°＝，则cos25°＝　　． 【答案】 【解析】根据互余两锐角三角函数之间的关系进行判断即可． ∵65°+25°＝90°， ∴cos25°＝sin65°＝， 故答案为：． 【举一反三3】在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，则cosA＝　　，tanB＝　　． 【答案】；2． 【解析】根据正弦的定义得到sinC＝＝，则可设BC＝x，则AB＝3x，再利用勾股定理计算出AC，然后根据余弦和正切的定义求解． 如图，∵∠C＝90°，sinA＝， ∴sinC＝＝， 设BC＝x，则AB＝3x， ∴AC＝＝2x， ∴cosA＝＝＝， tanB＝＝＝2． 故答案为；2． 【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，求tanA的值． 【答案】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，得 sinA＝cosB＝＝， 设BC＝3x，AB＝5x，勾股定理得 AC＝＝4x， 由正切等于对边比邻边，得 tanA＝＝＝． 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求∠B的三个三角函数的值． 【答案】解：∵∠A+∠B＝90°， ∴cos∠B＝sin∠A＝， sin∠B＝＝， tan∠B＝＝＝． 【题型13】利用互余两角三角函数的关系求角 【典型例题】已知tanα•tan20°＝1且α为锐角，那么α等于（　） A.20° B.70° C.（）° D.（）° 【答案】B 【解析】互为余角的两个角的正切值互为倒数． ∵tanα•tan20°＝1 ∴α＝90°﹣20°＝70° 故选：B． 【举一反三1】已知锐角α，且sinα＝cos38°，则α＝（　　） A.38° B.62° C.52° D.72° 【答案】C 【解析】直接利用一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A），即可得出答案． ∵锐角α，且sinα＝cos38°，sinA＝cos（90°﹣∠A）， ∴sinα＝cos（90°﹣α）＝cos38°， ∴90°﹣α＝38°， 解得：α＝52°． 故选：C． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB＝2：3，那么a：b等于　． 【答案】2:3 【解析】根据正弦的定义得到sinA＝，sinB＝，再由sinA：sinB＝2：3得到：＝2：3，然后利用比例性质化简即可． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，c为∠C对的边， ∴sinA＝，sinB＝， ∵sinA：sinB＝2：3， ∴：＝2：3， ∴a：b＝2：3． 故答案为2：3． 【举一反三3】cos51°10′＝sin　　． 【答案】38°50′ 【解析】根据一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，可知所求角的度数为90°﹣51°10′，计算即可得出结果． ∵90°﹣51°10′＝38°50′， ∴cos51°10′＝sin38°50′． 故答案为：38°50′． 【举一反三4】若tanα•tan50°＝1，求锐角α的度数． 【答案】解：∵在△ACB中∠C＝90°，∠A＝α，∠B＝50°， ∵tanA＝，tanB＝， ∴tanA•tanB＝×＝1， ∴∠A+∠B＝90°， ∵tanα•tan50°＝1， ∴α＝90°﹣50°＝40°． 【举一反三5】已知锐角α满足cosα＝sin55°，求α的值． 【答案】解：∵cosα＝sin55°， ∴α+55°＝90°， 即：α＝35°， 【题型14】利用三角函数定义求图形中的三角函数值 【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD＝8，BD＝4，那么tanB的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据相似三角形的判定和性质可以求得CD的长，然后即可求得tanB的值． ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠DCB＝90°， ∵∠ACD+∠A＝90°， ∴∠A＝∠DCB， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∵AD＝8，BD＝4， ∴， 解得CD＝4， ∴tanB＝＝＝， 故选：D． 【举一反三1】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），点B（0，﹣4），则tan∠ABO等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先得出OAOB的长，再根据三角函数的定义再求tan∠ABO即可． ∵点A（3，0），点B（0，﹣4）， ∴OA＝3，OB＝4． ∴tan∠ABO＝， 故选：A． 【举一反三2】△ABC中，a＝15，b＝17，∠A为定值，若满足上述条件的△ABC的∠C唯一存在，则tanC的值是　　． 【答案】 【解析】根据∠A为定值，又a＜b，那么∠A必为锐角，要使∠C有唯一值，则以点C为圆心，15为半径的圆与AB相切．得到直角△ABC，然后求出∠C的正切． ∵a＜b，∠A为定值， ∴∠A为锐角． 要使∠C有唯一的值，则以点C为圆心，15为半径画的弧与AB相切．如图所示： 得到直角△ABC，AC＝17，BC＝15， 则：AB＝＝8， ∴tanC＝＝． 故答案为：． 【举一反三3】如图，等腰△ABC的顶角∠A＝30°，腰长AB＝2，BD为AC边上的高，根据已知条件，可求出tan15°的值为　　． 【答案】 【解析】根据题意得∠CBD＝15°．在Rt△ABD中，根据∠A＝30°，AB＝2，可求出BD和AD；因为AB＝AC＝2，所以可以求出CD． 运用正切函数定义求解． 如图所示，∠ABC＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∠ABD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DBC＝15°． ∵∠A＝30°，∴BD＝AB＝×2＝1，AD＝＝， DC＝AC﹣AD＝2﹣． ∴tan15°＝＝2﹣． 故答案为：2﹣ 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求：sinB的值． 【答案】解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝， ∴CD＝3， 在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝＝＝4， 在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝＝＝， ∴sinB＝＝＝． 【题型15】利用锐角三角函数的定义求边长 【典型例题】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝8，则AC等于（　　） A.6 B.16 C.12 D.4 【答案】B 【解析】根据正切＝，即可求解． 如图： ∵，BC＝8， ∴， 故选：B． 【举一反三1】在Rt△ABC中，已知sinA＝，则∠A的对边为（　　） A.3 B.4 C.5 D.无法确定 【答案】D 【解析】根据三角函数的定义即可作出判断． sinA表示∠A的对边与斜边的比值，无法确定对边和斜边的具体长度． 故选：D． 【举一反三2】小聪有一块含有30°角的直角三角板，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图的方法，小聪发现点A处的三角板读数为12cm，点B处的量角器的读数为74°和106°，由此可知三角板的较短直角边的长度为 　　cm．（参考数据：tan37°＝0.75） 【答案】9 【解析】如图所示，连接圆心O和点B，则OA＝OB，由题可知∠BOC＝2∠CAB＝74°．在直角三角形ABC中运用三角函数定义求出BC． 如图所示，连接圆心O和点B， 则OA＝OB． 由意题可知∠BOC＝2∠CAB＝74°， ∴在直角三角形ABC中， ∠CAB＝37°． ∵AB＝12，tan∠BAC＝， ∴BC＝ABtan37°＝12×0.75＝9． ∴短直角边为9cm． 【举一反三3】如图，已知△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m． （1）用含α和m的式子表示BC．（用两种方法） （2）用含α和m的式子表示AB． 【答案】解：（1）方法一：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m， ∴∠A＝90°﹣α ∴，即：， ∴BC＝mtan（90°﹣α）； 方法二：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m， ∴tan∠B＝， ∴tanα＝， ∴BC＝． （2）∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m， ∴sinα＝， ∴AB＝． 【题型16】利用同角三角函数的关系求三角函数值 【典型例题】已知∠A是锐角，，则tanA的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】首先利用同角的正弦值和余弦值的关系求出∠A的余弦值，然后根据tanA＝来得到所求的结论． ∵∠A是锐角，sinA＝，且sin2A+cos2A＝1， ∴cosA＝， ∴tanA＝＝＝． 故选：B． 【举一反三1】x为锐角，，则cosx的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据同角三角函数的平方关系：sin2x+cos2x＝1解答即可． ∵sin2x+cos2x＝1，， ∴cosx＝＝＝． 故选：B． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据已知先设BC＝2k，AB＝3k，然后利用勾股定理求出AC，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． ∵∠C＝90°，sinA＝， ∴＝， ∴设BC＝2k，AB＝3k， ∴AC＝＝＝k， ∴tanA＝＝＝， 故选：D． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D在BC边上，且∠ADC＝45°，DC＝6，则tan∠BAD＝　　． 【答案】 【解析】作DE⊥AB于点E，在直角△ABC中，根据三角函数的定义，即可求得AB的长，然后在直角△BDE中，利用三角函数求得DE，BE的长，根据正弦函数的定义即可求解． 作DE⊥AB于点E． ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝＝ ∴设BC＝4m，则AB＝5m，AC＝3m ∵在Rt△ADC中，∠C＝90°，∠ADC＝45° ∴CD＝AC＝3m． ∵DC＝6， ∴3m＝6 解得：m＝2 ∴AB＝10； 在直角△BDE中，，∴BC＝8， ∴BD＝2， ∴sinB＝ ∴BE＝ DE＝BD•sinB＝ ∴AE＝10﹣＝ ∴tan∠BAD＝＝ 故答案为：． 故答案为： 【举一反三4】已知，锐角α的正切值是3，则它的余弦值是 　　． 【答案】． 【解析】根据题意设锐角α的邻边为a，则对边为3a，求出斜边长，然后根据余弦等于邻边与斜边的比计算． 设锐角α的邻边为a，则对边为3a， ∴斜边为， ∴， 故答案为：． 【举一反三5】（1）已知∠A是锐角，sinA＝，求∠A的其他三角函数值； （2）已知∠A是锐角，tanA＝．求∠A的其他三角函数值． 【答案】（1）∵sinA＝， ∴＝，即c＝5a． ∴b＝＝2a． ∴cosA＝＝＝， tanA＝＝＝． （2）∵tanA＝， ∴＝，即a＝b． ∴c＝＝b， ∴sinA＝＝＝， cosA＝＝． 【题型17】特殊角的三角函数的实际应用 【典型例题】一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为30°，若窗高AB＝1.8米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则挡板AC（垂直于AB）的长最少应为（　　） A.米 B.米 C.3.6米 D.1.8米 【答案】A 【解析】根据已知作出辅助线，再利用＝tan30°得出AC的长即可． 如图所示：设光线为CB，作DB⊥AB于点B， ∵光与水平线夹角为30°， ∴∠CBD＝30°， ∵AC∥BD， ∴∠ACB＝30°， ∵AB＝1.8米， ∴＝tan30°， ∴AC＝＝＝1.8＝． 故选：A． 【举一反三1】如图，是一个风力发电机组的部分框架图，已知A、B之间的距离为300m，则点M到直线AB的距离（结果带根号）（　　） A.600（3﹣） B.150（3+） C.120（3+） D.150（3﹣） 【答案】D 【解析】首先过点M作MC⊥AB于点C，利用平行线的性质得出：∠BMC＝45°，∠AMC＝30°，进而利用锐角三角函数关系用未知数表示出AB的长，进而得出答案． 过点M作MC⊥AB于点C， 由题意可得出：∠BMC＝45°，∠AMC＝30°， ∴BC＝MC， 设BC＝MC＝x，则tan30°＝， ∴AC＝x， ∴BC+AC＝x+x＝300， 解得：x＝150（3﹣）． 故选：D． 【举一反三2】如图，两条带子，带子a的宽度为2cm，带子b的宽度为1cm，它们相交成α角，如果重叠部分的面积为4cm，则α的度数为 　　度． 【答案】30 【解析】如图所示，重叠部分为一个平行四边形ABCD，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，根据题意得到AE＝1，AF＝2，∵平行四边形ABCD面积＝4，由此可以求出BC＝4，CD＝AB＝2．然后在直角三角形ABE中，根据sinB＝＝可以求出∠B＝30°，由此得解． 如图所示，根据题意得重叠部分为一个平行四边形ABCD． 作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， 则AE＝1，AF＝2． ∵平行四边形ABCD面积＝底×高＝4， ∴BC＝4，CD＝AB＝2． 在直角三角形ABE中，sinB＝＝， ∴∠B＝30°， 即α＝30°． 【举一反三3】用一副如图1所示的七巧板，拼出如图2所示中间有一个空白正方形的“风车图”，则图2中tan∠ABC＝　　． 【答案】3． 【解析】连接AG并延长交BC于点H，设AK＝a，则EK＝EC＝EF＝KG＝AN＝BG＝a，证明BG垂直平分NF，可得B，G，K在同一条直线上，根据勾股定理可得AB＝a，由∠C＝∠HAC＝45°，可得AH⊥BC，然后利用勾股定理和锐角三角函数即可求出结果． 如图，连接AG并延长交BC于点H， 设AK＝a， 则EK＝EC＝EF＝KG＝AN＝BG＝a， ∵BN＝BF，NG＝FG， ∴BG垂直平分NF， ∵GK⊥AE， ∴B，G，K在同一条直线上， ∴AB＝a， ∵∠C＝∠HAC＝45°， ∴∠AHC＝90°， ∴AH⊥BC， ∴AH＝AC＝a， ∴BH＝＝a， ∴tan∠ABC＝＝＝3． 故答案为：3． 【举一反三4】小亮周末到公园散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一栋楼房BD，如图，假设小亮行走到F处时正好通过树顶C看到楼房的E处，此时∠BFE＝30°，已知树高AC＝10米，楼房BD＝30米，E处离地面25米． （1）求树与楼房之间的距离AB的长； （2）小亮再向前走多少米从树顶刚好看不到楼房BD？（结果保留根号） 【答案】解：（1）由题意得： BE＝25米，∠DBF＝90°， 在Rt△ACF中，∠BFE＝30°，AC＝10， ∴AF＝＝＝10（米）， 在Rt△BFE中，BF＝＝＝25（米）， ∴（米）， ∴树与楼房之间的距离AB的长为15米； （2）由题意得： ∠CAG＝∠DBG＝90°， ∵∠AGC＝∠BGD， ∴△ACG∽△BDG， ∴， ∴， 解得：米， ∴（米）， ∴小亮向前走米刚好看不到楼房BD． 【题型18】根据特殊角的三角函数值求角度 【典型例题】如图是一张简易活动餐桌，现测得OA＝OB＝40cm，OC＝OD＝60cm，现要求桌面离地面的高度为50cm，那么两条桌腿的张角∠COD的大小应为（　　） A.150° B.135° C.120° D.100° 【答案】C 【解析】过O点作AB、CD的垂线EF，交AB与E，交CD与F，因为OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，所以可假设∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF＝α，在△AOE中，cosα＝，∴OE＝40cosα，同理OF＝60cosα，根据EF＝OE+OF＝100cosα＝50即可求出∠COD的大小． 如图，过O点作AB、CD的垂线EF，交AB于E，交CD于F． 因为OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD， 所以可设∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF＝α． 在△AOE中cosα＝， ∴OE＝40cosα， 同理OF＝60cosα， ∴EF＝OE+OF＝100cosα＝50， ∴cosα＝， ∴∠AOE＝60°，∠COD＝120°． 故选：C． 【举一反三1】在△ABC中，若∠B＝90°，，则∠C的度数是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C 【解析】利用特殊角的三角函数值得到锐角∠A＝30°，然后根据三角形内角和计算∠C的度数． ∵sinA＝， ∴锐角∠A＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°． 故选：C． 【举一反三2】已知，则锐角α的取值范围是 　　． 【答案】0°＜α≤60°． 【解析】根据二次根式的性质得到sinα﹣≤0，得到sinα≤，根据特殊角的三角函数值计算即可． ∵＝﹣sinα， ∴sinα﹣≤0， ∴sinα≤， ∴0°＜α≤60°， 故答案为：0°＜α≤60°． 【举一反三3】求满足下列条件的锐角α． （1）2sinα﹣＝0； （2）3tan（α+10°）＝． 【答案】解：（1）2sinα﹣＝0，即sinα＝， ∵sin60°＝， ∴锐角α＝60°； （2）3tan（α+10°）＝，即tan（α+10°）＝， ∵tan30°＝， ∴锐角α+10°＝30°， 即锐角α＝20°． 【举一反三4】已知tan2α﹣2tanα+1＝0，求锐角α． 【答案】45°． 解：∵tan2α﹣2tanα+1＝0， ∴（tanα﹣1）2＝0， 即tanα﹣1＝0， 又∵α是锐角， ∴α＝45°． 【题型19】根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典型例题】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】B 【解析】先由三角函数sin30°＝，cos30°＝，得出∠A与∠B的度数，再由三角形内角和定理求出∠C的度数，即可得出答案． ∵cosB＝， ∴∠B＝30°， ∵sinA＝， ∴∠A＝30°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴△ABC是钝角三角形， 故选：B． 【举一反三1】在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，这个三角形一定是（　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】B 【解析】根据特殊角的三角函数值求解． 在△ABC中， ∵cosA＝，tanB＝， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 故△ABC为直角三角形． 故选：B． 【举一反三2】在△ABC中，tanA＝1，，则△ABC的形状（　） A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.无法确定 【答案】A 【解析】根据特殊锐角三角函数值求得∠A，∠B的度数后进行判断即可． ∵tanA＝1，cosB＝， ∴∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 则△ABC的形状是锐角三角形， 故选：A． 【举一反三3】在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanA﹣|+（cosB﹣）2＝0，则△ABC是　　三角形． 【答案】等边． 【解析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算，再利用等边三角形的判定方法得出答案． ∵|tanA﹣|+（cosB﹣）2＝0， ∴tanA﹣＝0，cosB﹣＝0， 则tanA＝，cosB＝， 故∠A＝60°，∠B＝60° 则△ABC是等边三角形． 故答案为：等边． 【举一反三4】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝．判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】解：锐角三角形，理由如下： ∵∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝， ∴∠A＝45°，∠B＝60°． ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°． ∴△ABC是锐角三角形． 【举一反三5】已知，△ABC中，∠C为最大角，且|sin2A﹣|+（2cos2B﹣1）2＝0，试判断△ABC的形状． 【答案】解：∵△ABC中，∠C为最大角，且|sin2A﹣|+（2cos2B﹣1）2＝0， ∴∠A与∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝， ∴∠A＝∠B＝45°，即∠C＝90°， 则△ABC为等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $