第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合试题 2025--2026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019） 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 5．已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 6．命题恒成立，命题成立，若是真命题，是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 8．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式（）的解集为，下列选项中正确的是（    ） A． B． C．的最小值为4 D．若，则的最小值为4 11．已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为 ． 13．已知实数x、y满足，，则的取值范围为 . 14．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 16．（15分） （1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 17．（15分） 已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 18．（17分） 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19．（17分） 已知函数，． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式． 答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． C 【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可 【详解】由或，， 若或成立，则不一定成立，故充分性不成立， 若成立，则或一定成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 2． C 【分析】利用特殊值法可判断AD错误，利用作差法计算可得B正确，再由不等式性质可得C错误. 【详解】对于A，当时，可知不成立，故A错误； 对于B，由，可得，则，即，故B错误； 对于C，因为，可得； 所以，故C正确； 对于D，，当时，，故D错误． 故选：C 3． B 【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 4． A 【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A 5． A 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 6． D 【分析】根据含有量词的命题真假关系分别求出真假时的范围，即可求解． 【详解】因为恒成立为真命题， 所以在时恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即， 因为命题成立为假命题， 所以为真命题，则，即， 若是真命题，是假命题，则． 故选：D 7． A 【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为， 所以，所以， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小： 因为， 因为，所以，即， 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A. 8． B 【分析】原不等式可化为，即可得，即或，再分及，结合解集及正整数解的个数讨论即可得. 【详解】原不等式可化为， 即恰有2个整数解， ，解得或. 当时，不等式的解集为， ，个整数解为1，2， ，即，解得； 当时，不等式的解集为， ，个整数解为，， ，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． BD 【分析】根据不等式性质证明B正确，利用作差法证明D正确，其余举反例即可. 【详解】，所以B正确； 当时，满足， 但，所以A，C； ,故D正确. 故选：BD 10． ACD 【分析】由不等式的解集判断该函数开口向上，从而判断A选项；又因为方程只有一个解，根据求解的值；再根据均值不等式计算CD即可. 【详解】选项A中，因为关于的不等式（）的解集为， 所以判断二次函数开口向上，即，选项A正确； 选项B中，因为方程只有一个解，得， 解得，选项B错误； 选项C中，因为，且，所以，， 当且仅当，即，时，取到最小值，选项C正确； 选项D中，若，则，， 当且仅当，即时等号成立，选项D正确. 故选：ACD. 11． BC 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， A选项，， ，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以A选项错误. B选项，，， ， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. D选项，， 整理得，， 当且仅当时等号成立，所以D选项错误. C选项，， 由D选项的分析可知：，所以C选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． ，或 【分析】先移项、通分，再转化为整式不等式求解即可. 【详解】由得，，通分得， 此不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为，或 故答案为：，或 13． 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】通过观察可知， 由于，则， 而，所以. 故答案为： 14． 【分析】变形得到在上恒成立，由基本不等式求出，得到. 【详解】， 因为，所以问题等价于在上恒成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1） ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1）利用比较法，作差即可判断大小： （2）结合不等式性质即可证明． 【详解】解：（1） . （2）证明：因为，可得， 则，又，可得． 16．（15分） （1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值； （2）利用基本不等式可证得所求不等式成立. 【详解】（1）因为，，且， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为、、都是正数， 由基本不等式可得，，， 由不等式的基本性质可得， 当且仅当时，等号成立. 故. 17．（15分） (1) (2)证明见解析 【分析】（1）变换得到，再利用均值不等式计算得到答案； （2）变换，展开利用均值不等式即可证明. 【详解】（1）因为，所以， ，，故，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为8； （2）证明： ， 当且仅当，即时取等号，所以. 18．（17分） (1) (2) (3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 19．（17分） (1) (2)答案见解析 【分析】（1）先对二次项系数分类讨论，再依据二次函数性质建立不等式，求解参数即可. （2）对参数分类讨论，再求解不等式即可. 【详解】（1）由题意得对任意的恒成立， 当时，，而， 此时对任意的不成立，故排除， 故我们讨论的开口，当时，此时开口向下，不符合题意，故排除， 当时，此时开口向上，符合题意，令， 故，解得，得到实数的取值范围为. （2）当时，，令，解得 当时，我们讨论如下，因为， 所以，令， 解得或，当时，解得， 此时， 故得到的解集为， 当时，我们做出如下讨论，令，解得， 此时，令，解得， 令，解得，此时令，解得， 当时，恒成立，令，解得 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $