2.2.3基本不等式(条件等式求最值问题)难点训练微专题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2.3基本不等式(条件等式求最值问题) 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 条件等式求最值问题经常利用消元法、换元法求最值 （1）消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式进行函数最值的求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解. （2）换元法,在求较复杂的式子的最值时,通常利用换元法将式子适当变形,简化式子,再利用基本不等式求解. 微专题训练 一、单选题 1．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 2．已知，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意将表达式中的“2”进行替换，将分式化为齐次式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，则的最大值为． 故选：D． 3．已知正实数，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用换元法，设，用表示出目标式，结合函数单调性可求答案. 【详解】设，又，且． 所以，当且仅当“”时取等号． 则， 故选：B． 4．已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 5．若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可． 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 6．已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案. 【详解】，，可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故选：D. 7．设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值. 【详解】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 8．若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 二、多选题 9．若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令，代入已知条件，再由判别式可求得的范围，从而可判断A、B选项，将已知条件变形为，再由均值不等式可得的范围，再利用代入法化简即可判断C、D选项. 【详解】令，即，代入可得：， 所以，解得，所以A正确，B正确； 由可变形为， 因为，将代入上式可得：解得，所以C不正确，D正确. 故选：ABD. 10．设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A：设，整理可得得，结合运算求解；对于BD：利用基本不等式分析判断；对于C：先证，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为正实数满足， 设，则， 因为， 即，整理可得得， 将其看为关于的一元二次方程，则，解得， 即，故A正确； 对于选项D：因为，且，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确； 对于选项B：因为，则， 当且仅当时，等号成立， 则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为 ， 因为，则，， 可得，当且仅当时，等号成立， 即，可得， 即，当且仅当时，等号成立 所以，故C正确； 故选：ACD. 11．已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【详解】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．若实数满足，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】/ 【分析】利用齐次化结合判别式可求最大值和最小值，从而得到它们的和. 【详解】因为，故， 而， 若，则，则， 若，则， 设，则，令， 则， 若，则； 若， 故， 故即且， 综上，， 故的最小值为，最大值为， 所以的最大值与最小值的和为． 故答案为：. 13．已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据已知需，令，结合基本不等式得，求出参数值确定最大值，注意等号成立条件. 【详解】要求目标式的最大值，则，即同号， 令，得， 所以， 由于的系数与题设比例相同，故，解得，则， 当且仅当，即且同号时等号成立. 故答案为：. 14．已知正数x，y满足，则xy的最大值是 ． 【答案】 【分析】解法1：由题意可得，令，，得，，代入，进而利用基本不等式可求解.解法2：，令，可得，令，可得，结合基本不等式可求解. 【详解】解法1：， 令，，得，， 则， 当且仅当，即时取得等号． 所以xy的最大值是； 解法2：， 令，则 令，则， ， 当且仅当，即时取得等号． 所以xy的最大值是. 四、解答题 15．已知，，求x的最大值． 【答案】18 【分析】利用换元法把条件转化，结合基本不等式可求答案. 【详解】设，，a，，则， 于是， 从而可得，等号当即时取得， 因此所求的最大值为18． 16．已知 (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式得到关于的不等式，整体换元解不等式得范围，再分析等号取到条件即可； （2）将条件等式转化为积为定值的形式，再结合整体元，利用基本不等式求解最值可得. 【详解】（1）由， 可得，当且仅当时等号成立. 令，则，即， 解得，又，则. 则， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. （2）由， 得，且， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3基本不等式(条件等式求最值问题) 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 条件等式求最值问题经常利用消元法、换元法求最值 （1）消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式进行函数最值的求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解. （2）换元法,在求较复杂的式子的最值时,通常利用换元法将式子适当变形,简化式子,再利用基本不等式求解. 微专题训练 一、单选题 1．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 2．已知，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 3．已知正实数，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C．3 D．2 4．已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 5．若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 6．已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 7．设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．若满足，则（    ） A． B． C． D． 10．设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 三、填空题 12．若实数满足，则的最大值与最小值的和为 ． 13．已知，则的最大值为 ． 14．已知正数x，y满足，则xy的最大值是 ． 四、解答题 15．已知，，求x的最大值． 16．已知 (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $