第十四章 全等三角形 夹半角、婆罗摩笈模型及情景创新 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第12讲 夹半角模型 板块一 90°角夹 角 模型1:45°角在90°角内部 模型2：45°角部分在 角内部 条件:正方形ABCD,∠EAF=45° 方法:延长EB至点G,使BG=DF 结论:△ADF≌△ABG,△AEF≌△AEG. 条件:正方形ABCD,∠EAF=45° 方法:在 BC 上截取BG=DF 结论:△ADF≌△ABG,△AEF≌△AEG. 典例精讲 题型 ① 45°角在90°角内部 【例1】如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,∠EAF=45°. (1)求证:EF=BE+DF; (2)求证:EA 平分∠BEF,FA 平分∠DFE. 答案证明:(1)延长EB 至点G,使BG=DF,连接AG,则△ADF≌△ABG(SAS),∴AF=AG,∠DAF=∠BAG,∴∠DAF+∠BAF=∠BAG+∠BAF,即∠GAF=∠BAD=90°,∵∠EAF=45°,∴∠GAE=∠EAF=45°,∴△GAE≌△FAE(SAS),∴EF=EG=BE+BG=BE+DF; (2)∵△GAE≌△FAE,∴∠AEB=∠AEF,∴AE 平分∠BEF. ∵△GAE≌△FAE,∴∠AFE=∠G. ∵△ADF≌△ABG,∴∠AFD=∠G. ∴∠AFD=∠AFE,∴AF 平分∠DFE. 题型 ② 45°角部分在 90°角内部 【例2】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D 在△ABC 外部,点E 在AB 边上,∠DCE=∠DAC=45°.求证:AD+DE=BE. 证明:在AB上截取BF=AD,连接CF. ∵∠DAC=∠B=45°,AC=BC, ∴△DAC≌△FBC(SAS), ∴CD=CF,∠DCA=∠FCB, ∴∠DCF=∠ACB=90°, ∴∠DCE=∠ECF=45°, 又∵CE=CE, ∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=FE, ∴AD+DE=BF+EF=BE. 实 战 演 练 1.在例1的条件下，若点E在BC的延长线上，点F 在CD的延长线上，其余条件不变。 (1)探究 EF 和BE，DF 三条线段之间的数量关系并证明； (2)探究∠AFD 与∠AFE 之间的数量关系并证明. 答案解:(1)EF=BE-DF,证明如下:在BE上截取BG=DF,连接AG,则△ADF≌△ABG(SAS), ∴AF=AG,∠DAF=∠BAG, ∴∠DAF+∠DAG=∠BAG+∠DAG,即∠GAF=∠BAD=90°. ∵∠EAF=45°,∴∠GAE=∠EAF=45°, ∴△GAE≌△FAE(SAS),∴EF=EG=BE-BG=BE-DF; (2)∠AFD+∠AFE=180°,证明如下: 由(1)知△ADF≌△ABG,△GAE≌△FAE, ∴∠AFD=∠AGB,∠AFE=∠AGE, ∴∠AFD+∠AFE=∠AGB+∠AGE=180°. 2.如图,在四边形ABCD中, E,F分别为BC,CD上的点, 45°.探究 EF,BE,DF 之间的数量并证明. 解:EF=BE+DF.证明如下: 延长CD 至点G,使DG=BE. 由∠BAD=∠C=90°,得 ∴∠ADG=∠ABE,∴△ABE≌△ADG(SAS), ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∴∠GAE=∠DAG+∠DAE=∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°=2∠EAF, ∴∠GAF=∠EAF,∴△AGF≌△AEF(SAS), ∴EF=GF=DG+DF=BE+DF. 3.如图，在 中， 于点A，点E在AB上，且 求证:AD+BE=DE. 证明:延长AB至点F,使BF=AD,连接CF. ∵AC=BC,∠ACB=90°, ), ∴CD=CF,∠ACD=∠BCF,∵∠DCE=45°, ∴ ∴∠DCE=∠FCE=45°.∵CD=CF,CE=CE,∴△CDE≌△CFE(SAS), ∴DE=EF,∴AD+BE=BF+BE=EF=DE. 板块二 120°角夹60°角 模型1:60°角在 角内部 模型 角部分在 角内部 条件:∠BDC=120°,BD=CD,∠EDF=60°,等边△ABC. 方法:延长EB 至点G,BG=CF 结论:△CDF≌△BDG,△DEF≌△DEG. 条件： ∠EDF=60°,等边△ABC. 方法:在BA 上截取BG=CF 结论:△CDF≌△BDG,△DEF≌△DEG. 典例 精 讲 题型① 60°角在120°角内部 【例】如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠BCD=120°,E,F分别为AB,AD上的点,∠ECF=∠A=60°. (1)求证:EF=BE+DF; (2)求证:点 C 在∠BAD的平分线上. 证明:(1)延长FD 至点G,使DG=BE,连接CG, . , 答案∴∠CDG=∠B,∴△CBE≌△CDG(SAS), ∴CG=CE,∠DCG=∠BCE,∴∠ECG=∠BCD=120°=2∠ECF, ∴∠ECF=∠GCF,∴△ECF≌△GCF(SAS), ∴EF=GF=DG+DF=BE+DF; (2)过C作CM⊥AB 于点M,CN⊥AD 于点N,证CM=CN, ∴点C在∠BAD 的平分线上.(或利用CE 平分∠BEF,CF 平分∠EFD 说明也可). 实 战 演 练 题型② 60°角部分在120°角内部 如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°,E为AB上一点,∠DCE=∠DAE=60°.求证:AD+DE=BE. 证明:在BA上截取BF=AD,连接CF. ∵AC=BC,∠ACB=120°,∴∠CAB=∠B=30°. ∵∠DAE=60°,∴∠DAC=60°-30°=30°,∴∠DAC=∠B. ∴△ACD≌△BCF(SAS),∴CD=CF,∠DCA=∠BCF. ∵∠DCA+∠ACE=∠DCE=60°,∴∠BCF+∠ACE=60°, ∴∠FCE=120°-60°=60°,∴∠DCE=∠FCE, ∵CD=CF,CE=CE,∴△CED≌△CEF, ∴DE=EF,∴AD+DE=BF+EF=BE. 添加老师微信：xls25089，免费领取【全套】2026版初、高资料 板块三 角夹 角 模型1：α°角在2α⁺角内部 模型 角部分在 角内部 条件： 方法:延长FD 至点G,使DG=BE 结论： 条件： 方法：截取 结论： 典 例 精 讲 题型①α°角在2α°角内部 【例】如图,在四边形ABCD 中,E为AB上一点,F为AD 上一点,( 2∠ECF,∠B+∠D=180°. (1)求证:EF=BE+DF; (2)求证:EC平分∠BEF,FC平分∠DFE. 证明:(1)延长AD 至点G,使DG=BE,连接CG. 答案∵∠B+∠ADC=180°,∴∠CDG=∠B, ∵CB=CD,DG=BE,∴△BCE≌△DCG(SAS), ∴∠ECG=∠BCD=2∠ECF. ∴∠ECF=∠GCF.又∵CE=CG,CF=CF, ∴△ECF≌△GCF(SAS),∴EF=FG=DG+DF=BE+DF; (2)由△ECF≌△GCF 得∠CFE=∠CFD,∴FC平分∠DFE; ∵∠BEC=∠G=∠CEF,∴EC 平分∠BEF. 【点睛】①等腰三角形腰的旋转；②通过旋转对剩余半角进行拼凑；③产生一组旋转全等和一组轴对称全等；④旋转全等的旋转角度为 2α；⑤对角互补使夹半角模型产生一组“截长补短”的相应结论. 实 战 演 练 题型② α°角部分在2α°角内部 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点 E,F分别在BC,CD 的延长线上,∠BAD=2∠EAF.求证:EF=BE-DF. 证明:在 BE上截取BG=DF,连接AG. ∵∠B+∠ADC=∠ADF+∠ADC=180°, ∴∠B=∠ADF,又∵AB=AD, ∴△ABG≌ADF(SAS), ∴AG=AF,∠BAG=∠DAF, ∵∠BAD=2∠EAF,∴∠GAE=∠FAE, 又∵AE=AE,∴△GAE≌△FAE(SAS). ∴EF=EG=BE-BG=BE-DF. 第13讲 婆罗摩笈多模型 板块一 向外作双等腰直角三角形 模型1：知中点，证垂直 模型2：知垂直，证中点 条件:AB⊥AD,AC⊥AE,AB=AD,AC=AE,F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论:AF⊥DE,DE=2AF 条件： 方法：作 结论：G是DE的中点， 典 例 精 讲 题型①证中点 【例1】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BD⊥AB,EB⊥BC,AB=DB,BC=BE,延长CB交DE 于点 F,求证:F 是DE 的中点. 证明:过点D作DH⊥FB,交BF 的延长线于点H. ∵∠ACB=90°,BD⊥AB,AB=DB, ∴可证△ABC≌△BDH(AAS), 答案∴BC=DH=BE,∴△DHF≌△EBF(AAS). ∴DF=EF,∴F 是DE的中点. 题型❷ 证线段二倍 【例2】如图,在△ABC 中,分别以AB 和AC 为边作△ABE 和△ACD,AB=AE,AC=AD,连接DE,延长CA 交DE于F.若∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°,求 的值. 解:过点E 作EH⊥AF,交AF 的延长线于点H. ∵∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°, ∴∠EHA=∠ACB,∠EAH+∠BAC=∠ABC+∠BAC=90°, ∴∠EAH=∠ABC,∵AB=AE,∴△AHE≌△BCA,∴EH=AC,AH=BC, ∵AC=AD,∴EH=AD,∵∠EHA=∠FAD=90°,∠EFH=∠DFA, 实 战 演 练 题型③求面积 如图,在 Rt△ABC 中, 分别以AC，BC 为一直角边作等腰Rt△ACE 和等腰 Rt△BCD,连接 DE 交BC 的延长线于点F.求 的面积. 解:过E作EH⊥BF 交BF 的延长线于点H,∴∠ABC=∠ACE=∠H=90°. ∴∠ACB+∠ECH=∠ACB+∠CAB=90°,∴∠BAC=∠ECH. ∵AC=CE,∴△ABC≌△CHE(AAS),∴BC=EH=3,CH=AB=6, ∵∠CHE=∠DCH=90°,BC=CD,∴EH∥CD,EH=CD, ∴△CEF 的面积为 板块二 向内作双等腰三角形 模型1：知中点，证垂直 模型2：知垂直，证中点 条件:AB⊥AD,AC⊥AE,AB=AD, AC=AE,F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论:AF⊥DE,DE=2AF 条件： AD 方法：作 结论：G是DE的中点， 典例 精讲 【例】如图,AC=AE,AD=AB,∠ACB=∠DAB=90°,AE∥CB,AC,DE交于点F. (1)求证:∠DAC=∠B; (2)猜想线段AF，BC 的数量关系并证明. 答案解:(1)∵∠ACB=∠DAB=90°,AE∥BC, ∴∠DAC=90°=∠BAC=∠BAE,∴∠DAC=∠B; (2)BC=2AF,证明如下:过点D作DG⊥AC,交AC的延长线于点G, ∵AG⊥DG,∴∠AGD=∠ACB=90°. ∴△AGD≌△BCA(AAS),∴DG=AC=AE,AG=BC, ∴△AEF≌△GDF(AAS),∴AF=GF,∴BC=AG=2AF. 实 战 演 练 1.如图,AD 为△ABC的中线,AE=AB,AF=AC,连接EF,EF=2AD.求证: ∠BAC=180°. 证明:延长AD至点H,使HD=AD,连接CH, ∵BD=CD,AD=HD,∠ADB=∠HDC,∴△ADB≌△HDC, ∴∠BAD=∠CHD,AB=HC, ∴AB∥CH,∴∠BAC+∠ACH=180°, ∵EF=2AD,HA=2AD,∴EF=HA, ∵AE=AB,AB=HC,∴HC=AE,又AC=AF, ∴△AHC≌△FEA,∴∠EAF=∠ACH, ∴∠EAF+∠BAC=180°. 2.如图,在△ABC 中,分别以 AB 和AC 为边作△ABE 和A ，且∠BAE+∠CAD=180°. AB 与DE交于点F,F 为DE的中点.求证: 证明:过点E 作EG∥AD,交AB 的延长线于点G. ∵EG∥AD,∴∠DAE+∠AEG=180°,∴∠AEG=∠CAB. ∵AC=AD,EG∥AD,F为DE的中点,∴△DAF≌△EGF, ∴EG=AD=AC,AF=GF,∴AG=2AF. ∵AB=AE,∠AEG=∠CAB,EG=AC, ∴△ABC≌△EAG,∴BC=AG=2AF. 第14讲 实践操作与全等三角形 板块一 无刻度直尺作图(一)格点画图 仅用无刻度直尺在所给的网格中按下列要求画图。 典例精讲 题型① 平移与平行 【例1】如图,将△ABC平移，使点A 与点D 重合. 题型②全等取中点 【例2】如图,画△ABC 的三条中线。 题型③全等构垂直 【例3】如图,先画 AF⊥AB,且AF=AB,再过点D 画DG⊥AB 于点G. 实 战 演 练 1.如图1,分别在边AB,BC 上画点M,N,使得MN 经过点O,且MN∥AC. 2.如图2,在 BC 边上画点 H,使得S△ACH=2S△ABH. 3.如图3,先画△ABC的中线BD,再画BD的中点E. 4.如图4，画一条直线l，使得直线l平分△ABC 的周长. 5.如图5,分别过点C,E 画AB 的垂线,垂足分别为 H,P. 6.如图6,画△ABC的三条高AG,BH,CM. 板块二 无刻度直尺作图(二)非格点画图 仅用无刻度直尺在所给的网格中按下列要求画图. 典例精讲 题型①等距截中点 【例1】如图,A,B,C,D都是网格线上的点，分别画AB,CD的中点E,F. 题型② 倍长构平行 【例2】如图,A,B,C都是网格线上的点，BC 经过格点O,画CD∥AB,且CD=AB. 题型③ 转化构图法 【例3】如图,在 BC 上画点D,使得∠CAD=∠ABC. 实 战 演 练 1.如图1,E,F分别是AB,CD 上的点,画EF 的中点O. 2.如图2,C 是网格内的点,画AC 的中点 P. 3.如图3,C 是网格线上的点,先画CE∥AB,再画AC的中点 P. 4.如图4,C 是网格线上的点,先画CD∥AB,且CD=AB,再画CD的中点O. 5.如图5,过点 P 画PE⊥AB,垂足为 E. 6.如图6,在△ABC内画点P,使得 1:2:3. 板块三 尺规作图(一)作全等 典例精讲 题型① SSS作全等 【例】如图,在四边形ABCD中,AD=BC=AB,AC=BD. (1)尺规作图:在AD左侧作△ADE,使得△ADE≌△ABC;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,求证:E,D,C 三点共线. 答案解：(1)如图所示： (2)∵AD=BC,DB=CA,AB=AB, ∴△ADB≌△BCA(SSS), ∴∠DAB=∠CBA. ∵AD=BC,AC=BD,CD=CD, ∴△ADC≌△BCD(SSS), ∴∠DAB=∠BCD. ∵∠DAB+∠CBA+∠ADC+∠BCD=360°. ∴∠CBA+∠ADC=180°. 由(1)得∠ADE=∠CBA, ∴∠ADE+∠ADC=∠CBA+∠ADC=180°. ∴E,D,C 三点共线. 实 战 演 练 题型② 作等角得全等 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=10. (1)尺规作图:在AC上方作∠ACD=∠ABC,且CD=AB,连接AD;(保留作图痕迹) (2)若AD⊥AB,求四边形ABCD 的面积. 解：(1)如图所示： (2)过点D 作DE⊥AC 于点E. 由(1)得∠ACD=∠ABC. ∵AB=CD,∠DEC=∠ACB=90°, ∴△DCE≌△ABC(AAS), ∴CE=BC,DE=AC=10. ∵AD⊥AB, ∴∠DAC+∠BAC=∠BAC+∠B=90°, ∴∠DAE=∠ABC=∠ACD, ∴△ADE≌△CDE(AAS), ∴AE=CE=5. 板块四 尺规作图(二)作角的平分线 典 例 精 讲 【例】如图,已知△ABC. (1)尺规作图：作△ABC的角平分线AD；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下,DE⊥AB 于点E,F是边AC上一点,DF=DB,若AE=4,AF=3,求AB的长. 答案解：(1)如图所示： (2)在AB上截取AH=AF,连接DH. 由(1)得∠FAD=∠HAD, ∵AF=AH,AD=AD, ∴△AFD≌△AHD(SAS), ∴AH=AF=3,DF=DH. ∵DF=DB, ∴DH=DB, ∵DE⊥AB, ∴Rt△DHE≌Rt△DBE(HL), ∴HE=BE. ∵HE=AE=AH=AE=AF=4-3=1, ∴BE=HE=1, ∴AB=AE+BE=4+1=5. 实 战 演 练 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E,F 分别是边BC,AC上的点. (1)尺规作图：作∠ACB 的角平分线CD交AB 于点D；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下,连接ED,DF,若DE⊥DF,AD=4,BD=6. ①求证:DE=DF;②求△ADF 与△BDE 的面积的和. 解：(1)如图所示； (2)①过点D 分别作DM⊥BC,DN⊥AC,垂足分别为 M,N,由(1)得 DM=DN, ∵DE⊥DF, ∴∠FDE=∠ACB=90°, ∴∠DEC+∠DFC=180°, ∴∠DEM=∠DFN, ∴△DEM≌△DFN(AAS); ∴DE=DF; ②在BC 上截取EP=AF,连接DP. ∵DE=DF,∠DEP=∠DFA,EP=FA, ∴△DEP≌△DFA(SAS), ∴DP=DA=4,∠EDP=∠FDA, ∴∠BDE+∠ADF=∠BDE+∠EDP=∠BDP=90°. 第15讲 情境创新题 板块一 阅读理解与新定义 (1)理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形. 如图1,在△ABC中,AB=10,AC=6,BC=9. ①若P为AC 上一点,当AP 的长为 3 时,△ABP 与△CBP 是偏等积三角形; ②若Q是AB上一点,AQ=5,则△CAQ与△CBQ 是 偏等积三角形(填“是”或“不是”); (2)运用定义:如图2,D为BC上一点,△ABD 与△ACD 是偏等积三角形, 且线段AD 的长为偶数，则AD的长为 6 ； (3)拓展加深:①如图3,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°(0°<∠BCE<90°).求证:△ACD与 是偏等积三角形； ②如图4,△ABC 与△ADE 是偏等积三角形, 求证： 解:(1)①∵△ABP与 在AP，CP 边上的高相等， ∴当 时,△ABP 与 面积相等，但 与 不全等， ∴此时△ABP与△CBP 是偏等积三角形，故答案为3； t与△CBQ 不全等. ∴△CAQ 与△CBQ 是偏等积三角形; (2)过点C 作CE∥AB 交AD 的延长线于点E. ∵△ABD 与△ACD 是偏等积三角形,且 与 在BD,CD 边上的高相等,∴BD=CD. ∵CE∥AB,∴∠E=∠BAD,∴△ECD≌△ABD(AAS),∴ED=AD,EC=AB=4. ∵AC-EC<AE<AC+EC,且AC=12,AE=2AD,∴12-4<2AD<12+4,∴4<AD<8. ∵线段AD 的长为偶数,∴AD=6,故答案为6; (3)① 0°。 ∴∠ACD≠∠BCE.∵CA=CB,CD=CE,∴△ACD 与△BCE 不全等. 延长DC至点F,使CF=DC,连接AF.由定义可知,△ACD与△ACF 是偏等积三角形. ∵∠ACD+∠ACF=∠ACD+∠BCE=180°,∴∠ACF=∠BCE.∵CE=CD=CF,CA=CB, 与△BCE 是偏等积三角形； ②过点D 作DF⊥AE 交EA 的延长线于点F,过点C 作CM⊥AB 于点M. ∵△ABC与△ADE是偏等积三角形, ∵AB=AE,AC=AD,∴CM=DF,∵∠AMC=∠AFD=90°,∴Rt△ACM≌Rt△ADF(HL), ∴∠BAC=∠DAF.∵∠DAE+∠DAF=180°,∴∠BAC+∠DAE=180°. 板块二 综合与实践 【问题情景】如图，小池塘的两端有A，B两点，现需要测量该小池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢? 【解决方案】同学们想出了如下的两种方案： 方案①：如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D,BC至点E,使 最后量出 DE 的长就是A，B两点的距离； 方案②:如图2,过点B 作AB 的垂线BF,在BF上取C,D两点,使 接着过点D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出 DE 的长即是A，B两点的距离. 问：(1)方案①是否可行?请说明理由； (2)方案②是否可行?请说明理由； (3)小明同学提出，在方案②中，并不一定需要 ,只需要 AB∥DE 就可以了，请把小明所说的条件补上. (4)【拓展加深】如图3，在方案②的条件下，在DE 下方有更大池塘，大池塘一端M在直线AC上，大池塘两端M，N所在直线垂直于BC，垂足为H，HN的长度可测量.请设计一种测量MN长度的方案，并说明你的方案是可行的. 答案解:(1)可行,理由如下:在△ABC 和△DEC 中, ∴△ABC≌△DEC(SAS),∴AB=DE; (2)可行,理由如下:∵BF⊥AB,DE⊥BF,∴∠B=∠BDE. 在△ABC 和△EDC 中,∴△ABC≌△EDC(ASA),∴AB=DE; (3)只需AB∥DE 即可,∵AB∥DE,∴∠B=∠BDE,在△ABC和△EDC中, ∴△ABC≌△EDC(ASA),∴AB=DE,故答案为AB∥DE; (4)方案:在CD 的左侧作∠PCD=∠ECD,交NH的延长线于点P,测量PH,HN 的长,再计算PH-HN的长即为MN的长。 理由如下:∵∠PCH=∠MCH,CH=CH,∠CHP=∠CHM=90°, ∴△CPH≌△CMH,∴PH=MH,∴MN=MH-NH=PH-NH. 学科网（北京）股份有限公司 $