15.3.2 等边三角形 导学案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3.2 等边三角形 15.3.2　第1课时　等边三角形的性质与判定 素养目标 1.知道等边三角形是特殊的等腰三角形,等边三角形是轴对称图形. 2.会叙述、推理证明等边三角形的性质和判定. 3.经历应用等边三角形性质和判定的过程,增强分析问题、解决问题的能力. 等边三角形的性质、判定及其应用. 【自主预习】 1.等边三角形的三个角有什么关系? 2.满足什么条件的三角形是等边三角形? 1.在一个三角形中,添加下列条件,不能得到该三角形是等边三角形的是 ( ) A.有两个内角是60°的三角形 B.三边都相等的三角形 C.有一个角是60°的等腰三角形 D.有两个外角相等的等腰三角形 2.在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【合作探究】 知识点一：等边三角形的性质 　　阅读课本本课时“探究”后面第一、第二自然段的内容,解答下列问题. 如图,△ABC是等边三角形,试完成如下证明过程. 证明:在等边△ABC中,由定义有AB= .  ∴ =∠C.同理可得∠B=∠A,∠A=∠C,∴∠A= = .  又∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠A=∠B=∠C= .  　　等边三角形的三个角都 ,并且每一个角都等于 .  如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为 ( ) A.25°　　　B.60°　　　C.85°　　　D.95° 知识点二：等边三角形的判定 　　阅读课本本课时“探究”后面第三自然段至“例4”的内容,解答下列问题. 1.如果一个三角形有两个角是60°,那么第三个角的度数为 ,从而可知该三角形是 三角形.  2.若一个等腰三角形有一个角等于60°(若这个角是顶角,则两个底角分别等于 ;若这个角是底角,则另一个底角为 ,顶角为60°),则这个三角形是 三角形.  判定一个三角形是等边三角形的方法: ①定义法: 的三角形是等边三角形.  ② 的三角形是等边三角形.  ③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.  1.在△ABC中,∠A=60°,添加下列一个条件后,仍不能判定△ABC为等边三角形的是 ( ) A.AB=AC B.∠A=∠B C.AD⊥BC(D为BC上一点) D.∠B=∠C 2.如图,在△ABC中,D为AB上一点,AD=DC=BC,且∠A=30°,AD=5,则AB的长为 .  题型 等边三角形判定与性质的综合应用 例　如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F. (1)求证:△ABD是等边三角形. (2)求证:BE=AF. 变式训练　如图,在△ABC中,∠B=60°,延长BC到点D,延长BA到点E,使AE=BD,连接CE,DE,使EC=DE,求证:△ABC是等边三角形. 15.3.2　第2课时　含30 °角的直角三角形的性质 素养目标 1.通过拼图,探索、发现、归纳、证明含30°角的直角三角形的性质. 2.掌握有一个角为30°的直角三角形的性质与应用. 含30°角的直角三角形的性质定理及应用. 【自主预习】 在直角三角形中,30°的角所对的直角边与斜边有什么数量关系? 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,AB的长为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图,∠C=90°,∠B=2∠A,AB=6,则线段BC的长为　　　　.  【合作探究】 知识点：含30 °角的直角三角形的性质 　　阅读课本本课时的全部内容,解答下列问题. 1.如图1,若△ABC是等边三角形,AD是高,因为等边三角形是轴对称图形,沿AD折叠后,点B与点C重合,则BD= = ,∠ADB=∠ADC= ,∠BAD=∠CAD= = °. 又AB=BC,∴BD= AB.  2.上述结果我们也可以采用如下方法证明: 如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B= .  如图3,延长BC至点D,使CD=BC,连接AD,又AC= ,∴△ABC≌△ADC(SAS),∴AB= ,∴△ABD是 三角形,∴BC= BD=AB.  　　在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 .  1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm,则斜边的长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 2.(真情境)如图,这是屋架设计图的一部分,D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE均垂直于横梁AC,AB=8米,∠A=30°,则DE的长为 ( ) A.4米 B.3米 C.2米 D.1米 3.如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,若AD=2,则BD的长为 .  题型1 含30°角的直角三角形的性质的应用 例1　如图,∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上一点,过点P作PC平行OA交OB于点C,PD⊥OA于点D,且PC=6. (1)求证:△OPC是等腰三角形. (2)求PD的长. 变式训练　如图,在△ABC中,∠ACB=30°,线段AC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E,点O在DE上,∠OAB=∠OBA. (1)求证:△OAB是等边三角形. (2)若OD=2,OE=4,求BE的长. 题型2 含30°角的直角三角形的性质的实际应用 例2　如图,一艘轮船由南向北航行,在A处测得小岛P在北偏西15°的方向上,两小时后,轮船在B处测得小岛P在北偏西30°的方向上,在小岛周围18海里内有暗礁,若轮船仍按15海里/时的速度向前航行,有无触礁的危险?请判断并说明理由. 【方法归纳交流】当题目中有15°的角出现时,常构造 三角形解决问题.  变式训练　(真情境)某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形ABC空地上种植某种草皮美化环境,其中AB=20m,AC=40m,∠BAC=150°.已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮一共需要多少钱? 15.3.2　第1课时　等边三角形的性质与判定 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:等边三角形的三个角相等且都等于60°. 2.解:三个角都相等的三角形或有一个60°角的等腰三角形是等边三角形. 自学检测 1.D　2.A 【合作探究】 知识生成 知识点一 AC　∠B　∠B　∠C　60° 归纳总结　相等　60° 对点训练 D 知识点二 1.60°　等边 2.60°　60°　等边 归纳总结　①三条边都相等　②三个角都相等　③60° 对点训练 1.C　2.10 题型精讲 例 证明:(1)∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC. ∵∠BAC=120°, ∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°. ∵AD=AB, ∴△ABD是等边三角形. (2)由(1)可知,△ABD是等边三角形, ∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD. ∵∠EDF=60°, ∴∠ADB=∠EDF, ∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE, ∴∠BDE=∠ADF. 在△BDE和△ADF中, ∴△BDE≌△ADF(ASA), ∴BE=AF. 变式训练 证明:如图,延长BD至点F,使DF=BC,连接EF. ∵EC=ED, ∴∠ECD=∠EDC, ∴∠ECB=∠EDF, ∴易证得△ECB≌△EDF(SAS), ∴BE=EF. ∵∠B=60°, ∴△BEF为等边三角形, ∴BE=BF. ∵AE=BD, ∴DF=AB. ∵BC=DF, ∴AB=BC, ∴△ABC是等边三角形. 15.3.2　第2课时　含30 °角的直角三角形的性质 参考答案 【自主预习】 预学思考 解:在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 自学检测 1.D　2.3 【合作探究】 知识点 1.CD　BC　90°　∠BAC　30　 2.60°　AC　AD　等边　 归纳总结　一半 对点训练 1.B　2.C　3.6 题型精讲 题型1 例1 解:(1)证明:∵OP平分∠AOB, ∴∠POB=∠POA. 又∵PC∥OA,∴∠POA=∠OPC, ∴∠POB=∠OPC, ∴OC=PC, ∴△OPC是等腰三角形. (2)如图,过点P作PE⊥OB,垂足为E. ∵OP平分∠AOB,∠AOB=30°, ∴∠POC=∠AOB=15°. 又∵∠POC=∠POA=∠OPC=15°, ∴∠PCE=∠POC+∠OPC=15°+15°=30°. ∵PE⊥OB,∴∠PEC=90°, ∴PE=PC=×6=3. ∵OP平分∠AOB,PE⊥OB,PD⊥OA, ∴PD=PE=3. 变式训练 解:(1)证明:∵DE是线段AC的垂直平分线, ∴OC=OA,∴∠OAC=∠OCA. ∵∠OAB=∠OBA,∴OA=OB. ∵OC=OA,∴OC=OB, ∴∠OBC=∠OCB, ∴∠OAC+∠OBC=∠OCA+∠OCB=30°, ∴∠OAB+∠OBA=180°-30°-30°=120°, ∴∠OAB=∠OBA=60°, ∴△OAB是等边三角形. (2)如图,过点O作OF⊥BC于点F. 在Rt△CDE中,∠ACB=30°,DE=OD+OE=6, 则CE=2DE=2×6=12,∠CED=60°, ∴∠EOF=30°,∴EF=OE=2, ∴CF=CE-EF=12-2=10. ∵OB=OC,OF⊥BC, ∴BC=2CF=20, ∴BE=BC-CE=20-12=8. 题型2 例2 解:有触礁的危险. 理由:过点P作PC⊥AB交AB延长线于点C(图略). ∵∠PAB=15°,∠PBC=30°, ∴∠APB=15°, ∴∠PAB=∠APB, ∴PB=BA, ∴PC=AB=15,即点C距小岛P只有15海里,而小岛周围18海里内有暗礁, ∴轮船继续向前航行,会有触礁的危险. 方法归纳交流　含30°角的直角 变式训练 解:如图,过点B作BE⊥CD,垂足为E. ∵∠BAC=150°, ∴∠EAB=180°-∠BAC=30°. 在Rt△ABE中,AB=20m, ∴BE=AB=10m, ∴△ABC的面积=AC·BE =×40×10 =200(m2), ∴200·a=200a(元), ∴购买这种草皮一共需要200a元. 第 5 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $