精品解析：广东省江门市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考数学试题

江门一中2027届高二上学期开学考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法、除法运算化简，即可判断. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为. 故选：D 2. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项不正确的（ ） A. 丁险种最受参保人青睐 B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D. 30~41周岁参保人数最多 【答案】C 【解析】 【分析】根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可. 【详解】对A：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故A正确； 对B：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故B正确； 对C：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故C错误； 对D：由扇形图可知，31~41周岁的参保人数最多，故D正确． 故选：C． 3. 若圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥的底面半径为1，体积为，可得圆锥的高及母线，然后可得圆锥侧面展开图的面积. 【详解】因圆锥的底面半径为1，体积为，则圆锥的高满足， 则圆锥母线长为，则圆锥侧面展开的侧面积为：. 故选：B 4. 某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94，96，98，96，95，97．则这组数据的（ ） A. 众数为98 B. 平均数为95 C. 方差为 D. 标准差为 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、平均数、方差、标准差定义计算可得结果. 【详解】易知这组数据中只有96出现了两次，所以众数为96，即A错误； 平均数为，因此B错误； 方差为；即C正确； 标准差为，即D错误. 故选：C 5. 已知的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用正弦定理将角的正弦关系转化为边的关系，再通过余弦定理建立关于的等式，从而求解的值. 【详解】因为，所以. 根据正弦定理可得，所以. 因为，所以根据余弦定理，可得：， 化简可得，所以. 因为为的边，，所以. 故选：D. 6. 设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且，则 B. 若，，且，则 C. 若，，且，则 D. 若，，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，由答案不完备可判断错误；对于D，直接证明正确即可. 【详解】对于A，若，，且，则或异面，故A错误； 对于B，若，，且，则平行或相交，故B错误； 对于C，若，，且，则相交或，故C错误； 对于D，若，，则，因为，所以存在使得， 所以，，所以. 故选：D. 7. 如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（ ） A. m B. 15m C. m D. 30m 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理求解． 【详解】设，由得， 又，，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 故选：D． 8. 函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法中不正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的最小正周期是 C. 函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D. 若圆半径为，则函数的解析式为 【答案】A 【解析】 【分析】由图易得点的横坐标为，所以的周期为，所以，从而可得.再根据三角函数的图象性质对选项进行逐一分析可得答案. 【详解】关于对称，则，∴ ，即，∴，B正确. ，， 所以，又，又，∴. . 由，. 时，. ∴在单调减，在上单调递增.A错； 向左平移个单位，， 时，∴关于对称，C正确； 圆半径为时，，∴，∴. ，D正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 当与夹角为锐角时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标公式判断A；由向量模的坐标公式计算判断B；根据投影向量的定义判断C；根据，且与不同向判断D即可. 【详解】对于A，由，则，解得，故A正确； 对于B，，， ，解得或，故B错误； 对于C，当时，， 则由投影向量公式得在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，当与夹角为锐角时，则，且与不同向， ，解得且，故D错误. 故选：AC. 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分和两种情况结合正弦函数的单调性讨论即可；对于B，得到或，即可判断；对于C，可以得到，但是不一定是最大角，由此即可判断；对于D，由正弦定理即可判断. 【详解】对于A：由，则当时，， 当时，由可知，所以，A正确； 对于B：由，，，得：或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C：由正弦定理可将转化为， 则，所以，但无法判断A，B的范围，C错误. 对于D：由，根据正弦定理得： ，∴，且， 所以满足条件的三角形有两个，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ） A. BP的最小值为 B. 当P在上运动时，都有 C. 当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】判断BP的最小值即为正三角形的边上的高，即可判断A；证明平面，根据线面垂直的性质定理可判断B；根据线面平行的性质结合棱锥的体积公式可判断C；将平面沿着翻折到平面上，将的最小值转化为线段AC的长度，判断D. 【详解】对于A，连接，在正方体中，， 故BP的最小值为正三角形的边上的高，即，A正确； 对于B，连接， 由于平面，平面，故， 而平面， 故平面，平面，故； 同理可证，平面， 故平面，平面，故，即，B正确； 对于C，连接，因为， 故四边形为平行四边形，则平面，平面， 故平面，P点在直线上运动，即P到平面的距离为定值， 而为边长为的正三角形，其面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，由于 故三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，将平面沿着翻折到平面上，连接， 与交于点P，则即为的最小值； 在中，，， 即的最小值为，D错误； 故选：ABC 【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于D选项的判断，解答时要采用将空间问题平面化的方法，即将两平面翻折到一个平面上，从而将两条线段的和变为一条线段的长度问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某机构研究得出10名肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为8，12，11，7，9，17，14，13，12，15，则这10个数据的第70百分位数是________． 【答案】13.5## 【解析】 【分析】利用百分位数的定义计算即可. 【详解】将这10个数据从小到大排列得7，8，9，11，12，12，13，14，15，17， 又，故第70百分位数是． 故答案为：13.5 13. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 14. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该整臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， ∴三棱锥A－BCD的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥A－BCD的外接球的半径为R，内切球的半径为r， ∵三棱锥A－BCD的外接球的表面积为， ∵BC＝CD＝4，∴，解得AB＝4， ∴， ∵AB＝BC＝CD＝4，∴AC＝BD＝， ∴三棱锥的表面积为， 又∵，∴. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，，. （1）若，求的值； （2）若，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合向量线性运算的几何意义，用、表示出向量，即可求出、的值，代入即可. （2）将也用、表示，结合已知条件和数量积的定义求解即可. 【小问1详解】 ，，，又，，故. 【小问2详解】 ，， 又，，，， 故的值为. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 参考公式：其中为总样本平均数． 【答案】（1），平均数74，中位数为75 （2）6人 （3）总平均数65，总方差36 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数、中位数的计算公式计算即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率之和为结合频率分布直方图可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． 区间，，的频率分别为． 因为， 的频率为，故中位数位于内 设中位数为x，则， 解得x＝75； 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 17. 已知函数． （1）设，，求的值； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得到，再根据同角三角函数关系可得，由，利用两角差的正弦公式可求得结果； （2）利用正弦型函数最值求法可求得，由此可得的范围； 【小问1详解】 ， ，， ，，， ； 【小问2详解】 当时，， 当，即时，取得最小值，， 即实数的取值范围为. 18. 已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1） 在四棱锥中，连接，，由平面， 平面，得，由正方形，得， 而，，平面，所以平面. （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）先把直线与直线所成的角转化为直线与直线所成的角，即为或其补角，再利用直角三角形的边角关系求解. （3）将四棱柱补成正四棱柱，利用线面角的概念明确直线与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正方形，得，而平面， 平面，则平面，又平面， 平面平面，因此. 直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角. 由平面，平面，得，而, ，，平面，则平面. 又平面，因此，， 则，，， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【小问3详解】 在四棱锥中，平面，四边形是正方形， 将四棱锥补形为正四棱柱，平面即平面， 在平面内过作于，连接， 由平面，得，而，，平面， 则平面，是直线与平面所成的角. 取中点，连接，，由是的中点，则， 平面，而平面，则. 设，则EG＝，DG＝， 则DE＝，而DF＝， 由直线与平面所成角的正弦值为， ， 整理得，解得或，所以或. 19. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求的大小； （2）若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点）．设，，回答以下问题： （ⅰ）当时，求的长度； （ⅱ）当取最小值时，求的面积． 【答案】（1）. （2）（ⅰ）;（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理：和三角形内角之间的关系：，化简原方程式，再根据两角差的正弦公式：，结合三角形角的取值范围，确定角的大小. （2）（ⅰ）根据余弦定理，结合题给条件和（1）中结论，列出关于的方程，解方程即可. （ⅱ）根据余弦定理，列出关于m，n的方程，根据基本不等式（，,当且仅当时等号成立）确定m的最小值，进而求出相应的其他参数，代入三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 已知，根据正弦定理(R为三角形ABC外接圆半径)， 则有，，. 代入原式可得：，化简得 . 因为，所以， 所以. 化简得：. 因为，所以，所以. 上式可变形为：， 所以. 又因为，所以，则，即. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，由（1）知，，所以是等边三角形. 由折叠可知：,. 在中，根据余弦定理：. 已知，，则 解得. 故时，. （ⅱ）在中，根据余弦定理： 令，则. 根据基本不等式：（，,当且仅当时等号成立）， 对于，有，当且仅当，即时成立. 此时取最小值：， 则，. 的面积：, 因为，,， 则. 故m取最小值时，的面积为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门一中2027届高二上学期开学考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项不正确的（ ） A. 丁险种最受参保人青睐 B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D. 30~41周岁参保人数最多 3. 若圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94，96，98，96，95，97．则这组数据的（ ） A. 众数为98 B. 平均数为95 C. 方差为 D. 标准差为 5. 已知的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且，则 B. 若，，且，则 C. 若，，且，则 D. 若，，且，则 7. 如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（ ） A. m B. 15m C. m D. 30m 8. 函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法中不正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的最小正周期是 C. 函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D. 若圆半径为，则函数的解析式为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 当与夹角为锐角时， 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 11. 如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ） A. BP的最小值为 B. 当P在上运动时，都有 C. 当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某机构研究得出10名肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为8，12，11，7，9，17，14，13，12，15，则这10个数据的第70百分位数是________． 13. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 14. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该整臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，，. （1）若，求的值； （2）若，，，求的值. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 参考公式：其中为总样本平均数． 17. 已知函数． （1）设，，求的值； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 19. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求的大小； （2）若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点）．设，，回答以下问题： （ⅰ）当时，求的长度； （ⅱ）当取最小值时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $