6.2.2 线段的比较与运算 课件 2025--2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件围绕“几何图形初步”中的线段相关概念与性质展开，从尺规作图、线段长短比较到中点、和差关系及两点间距离等核心内容层层递进，通过“问题导入—探究发现—归纳总结”的学习支架结构，自然衔接知识起点与新知生成，帮助学生建立清晰的几何认知脉络。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，如用叠合法比较线段长度体现几何直观与推理能力，借助“两点之间线段最短”解释生活现象彰显应用意识，再以线段和差作图规则提炼出“内外分明”的操作口诀强化符号表达与逻辑条理。教学设计注重情境化引导与分层练习，既提升学生解决实际问题的能力，又助力教师高效落实课标要求，实现知识建构与素养发展的双目标。

6.2.2 线段的比较与运算 第六章 几何图形初步 人教版初中数学/七年级上册 授课教师：XXX 日期：XXX 1 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 学习目标 1.会使用尺规作图画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短； 2.了解线段中点、等分点的概念，理解两点间距离的定义，能够运用和、差、倍、分关系求线段的长度； 3.掌握“两点之间，线段最短”的基本事实，并能用它解释一些生活中的现象； 4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化. 预习反馈 (打“√”或“×”) (1)线段AB长5分米，线段CD长15厘米，则AB＜CD.( ) (2)若线段AB=BC，则点B是线段AC 的中点.( ) (3)若AB的中点是C，则AB=2AC.( ) (4)线段EF长10 cm，就是说点E与点F的距离是10 cm.( ) × √ × √ 50厘米 A C B 点B也可能不在线段AC上，如图 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 新课导入 同学们，已知一条线段AB，你能画出一条与AB一样长度的线段a吗？ A B 0 1 3 4 5 2 7 8 9 6 3 a 新知探究 有两种方式可以画出来. 方法一：就是我们上面演示的，先用刻度尺量出线段AB的长度，再画一条线段a与线段AB的长度相同. 方法二：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 5 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 新知探究 尺规作图 用直尺画射线 AC，再用圆规在射线 AC上截取AB=a. 这就是“作一条线段”等于已知线段的尺规作法. a A C B AB=a 6 新知探究 想一想，两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别发挥了什么作用? 圆规：将线段长度固定. 刻度尺：测量长度. 直尺：画射线. 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 新知探究 探究 怎样比较两条线段的长短呢？你能从比身高上受到启发吗? 我身高1.56m，比你高6cm. 我身高1.5m. 度量法 a b 0 1 3 4 5 2 7 8 9 6 a=2.5cm b=3.2cm 叠合法 a b 8 新知探究 采用叠合法，将一条线段移到另一条线段上时，通常使它们的一个端点重合. A B C(A) B D 记作：AB<CD. 图中，点A与点C重合，点B落在点C，D之间，这时我们说线段AB小于线段CD. 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 新知探究 叠合法比较线段大小的三种情况： 1.线段AB 小于线段 CD(AB<CD)，点B落在C，D之间，如图： C(A) D B 2.线段 AB 等于线段CD(AB=CD)，点B与点D重合，如图： C(A) D B 3.线段AB 大于线段 CD(AB>CD)，点B在线段CD的延长线上，如图： C(A) D B 新知探究 探究 如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路. A B 将它们展直，可以发现线段AB最短. 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 新知探究 这样，可以得到一个关于线段的基本事实： 两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短. 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离. 新知探究 如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和呢？ a b b B A C a AC=a+b 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 新知探究 如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的差呢？ a b b B A a AD=a-b D 总结归纳 总结：线段和差作图，“内” “外”要分清. 在进行线段的和差作图时，要注意“加”在“外”画(即在线段的延长线上画)，“减”在“内”画(即在线段上画). 作图时，作图痕迹要保留，并且结论必须写明哪条线段是所求作的线段。 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 典例解析 例1. 如图，已知线段a、b，作一条线段，使它等于2a-b. a b b B A C a a D AD=2a-b 巩固练习 1.如图，已知线段a，b，求作线段AB，使得AB=a+2b.小明给出了四个步骤： ① 在射线AM上截取线段AP=a； ② 则线段AB=a+2b； ③ 在射线PM上截取PQ=b，QB=b； ④画射线AM. 你认为正确的顺序是( ) A. ①②③④ B. ④①③② C. ④③①② D. ④②①③ B b a 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 巩固练习 2. 如图，下列关系式中与图形不符合的是( ) A. AD-CD=AC B. AC-BC=AB C. AB+BD=AD D. AC+BD=AD B A D C D 新知探究 如图，已知线段a，求作线段AB=2a. a M A B a a AB=2a 如上图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫做线段AB的中点. 因此可得：AM=MB=AB，AB=2AM=2MB. 19 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 新知探究 在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点就是线段的中点. A B B 20 归纳总结 两个角度理解中点： 1. 形的角度：需要满足两个条件： (1) 这个点必须在线段上； (2) 这个点要把这条线段分成两条相等的钱段. 2. 数的角度：若AB=2AM=2MB或AM=MB= AB，则点M是线段AB的中点。 21 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 新知探究 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等. M A B N M A B N P AM=MN=NB= AB. AB=3AM=3MN=3NB. AM=MN=NP=PB= AB. AB=4AM=4MN=4NP=4PB. 巩固练习 1.下列条件中能确定C是线段AB的中点的是（ ） A. AC=BC B. AB=BC C. AC=BC= AB D. AC+BC=AB 2.如图，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点.若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（ ） A. 2cm B.3cm C.4cm D.6cm D A B C C B 23 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 巩固练习 3.如图，点C在线段AB的延长线上，且BC=2AB，D是AC的中点，若AB=2cm，求BD的长. 解：因为AB=2cm，所以BC=2AB=4cm. 所以AC=AB+BC=6cm. 因为D是AC的中点， 所以AD= AC=3cm. 所以BD=AD-AB=lcm. B A C D 24 巩固练习 4.如图，AC=6cm，BC=15cm，M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN= BC，求MN的长. 解：因为M是AC的中点，AC=6cm， 所以MC= AC= ×6=3(cm) 因为BC=15cm 所以CN= BC= ×15=5(cm) 所以MN=MC+CN=3+5=8(cm) M A B C N 25 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 课堂练习 1. 估计下列图中线段AB与AC的大小关系，再用刻度尺或圆规检验. A C B A B C C B A （1） （2） （3） 解：(1)AB>AC. (2)AB<AC. (3)AB=AC (检验略) 26 A M 课堂练习 2.如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于a+2b. a b 解析：作射线AM，在射线AM上顺次截取AB=a，BC=CD=b，则线段AD 就是所求作的钱段。 b b a B C D 27 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 课堂练习 3.点M，N，P在同一条直线上，MN=3cm，NP=1cm.求线段MP的长. 解： 如图，当点P在线段MN的延长线上时，MP=MN+NP=3+1=4(cm)； 当点P在线段 MN上时，MP=MN-NP=3-1=2(cm). 综上，线段MP的长为4cm或2cm. M P N M N P 28 随堂检测 1.下列说法正确的个数为( ) ①线段的长短比较可以由刻度尺测量； ②线段的长短比较可以在同一条直线上，把一端点重合，再比较另一端点是否重合； ③线段的长实质是两点间的距离； ④连接两点间的所有线中，线段最短. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个. D 29 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 随堂检测 2.如图，AB=CD，可得AC与BD的大小关系是( ) A. AC＞BD B. AC＜BD C. AC=BD D. 不能确定 C 由AB=CD得， AB+BC=CD+BC ∴AC=BD 随堂检测 3.若AB=MA+MB，AB＜NA+NB，则( ) A.点N在线段AB上，点M在线段AB外 B.点M，N均在线段AB上 C.点M，N均在线段AB外 D.点M在线段AB上，点N在线段AB外 D 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 随堂检测 4.把甲、乙两地间一段弯曲的公路改为直路，可以缩短路程，其理由是______________________. 两点之间，线段最短 随堂检测 5.如图，点C，B，D在射线AM上，用a，b，c的和差关系表示线段AD. 解：由图知AD=AC+CD，而AC=AB-BC，所以AD=a-b+c. 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 随堂检测 6.如图，有一张三角形纸片，你能准确地比较线段AB与线段BC的长短吗？ 解：方法一：用刻度尺测量可知AB＞BC， 方法二：把线段BC移到线段AB上，可知点C在点A，B之间，所以AB＞BC. A C B 随堂检测 7. 如图，D为线段BC的中点，E为线段AC的中点.若ED=9，求线段AB的长度. 解：因为D是线段BC的中点， 所以CD=BD. 因为E为线段AC的中点， 所以AE=CE. 所以AB=AC+BC=2EC+2CD=2ED=2×9=18. E A B C D 在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主相离。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式不等式的本质有助于更好地截取。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。公式分解法的教学重点应该放在如何改进上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在球体体积的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。 课堂总结 1.尺规作图：只用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图. 点B落在C，D之间，线段AB小于线段CD，记作AB<CD. 点B与点D重合，线段AB等于线段CD，记作AB=CD. 点B在线段CD的延长线上，线段AB大于线段CD，记作AB>CD. 2.比较线段的大小： 3.线段的性质：两点之间，线段最短. 4.两点的距离：连接两点间的线段的长度. 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点. 36 $