2.2 基本不等式课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式，从回顾完全平方公式切入，通过变量替换引出√ab≤(a+b)/2，结合分析法、几何图形（圆中弦与半径关系）证明，构建代数到几何的学习支架，帮助学生理解公式来源与本质。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过几何直观（圆中CD=√ab）培养观察能力，分析法证明训练逻辑推理，实际应用（矩形菜园、贮水池造价）强化模型意识。采用探究式教学，学生能提升推理与应用能力，教师可借助系统案例提升教学效果。

2.2 基本不等式 基本不等式的证明 回顾：前面我们利用完全平方公式得出了一个重要不等式： 有当且仅当时，等号成立. 思考：如果，，我们用分别代替上式中的，可以得到一个新的什么不等式？ 基本不等式，当且仅当时，等号成立 算术平均数 几何平均数 ，当且仅当时，等号成立. 基本不等式的证明 探究：有其他方法证明基本不等式“，当且仅当时，等号成立”吗？ 分析法：要证 只要证 只要证 只要证 只要证 显然成立，当且仅当时，等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 基本不等式的证明 探究：在图中，是圆的直径，点是上一点， 过点作垂直于的弦，连接你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 如图，可证 因而 由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为. 显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立. 基本不等式的证明 思考：1. 两个不等式成立的条件是？ 有当且仅当时，等号成立. ，有,当且仅当时，等号成立. 2.如何理解等号成立的条件是“当且仅当”？ a=b时，等号成立；a≠b时，等号不成立。 基本不等式的证明 探究：证明 基本不等式的证明 探究：证明 拨 知 识 点 证明 *n元基本不不等式 拓展： ①三元不等式： 当为正实数时 当且仅当时成立 ②n元基本不等式： 当且仅当时成立 n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 用基本不等式证明不等式 1.设正实数、满足，判断下列不等式是否正确。 （1） （2） （3） 1.设正实数、满足，判断下列不等式是否正确。 （1） （2） （3） 解：，当且仅当时，等号成立 ，当且仅当时，等号成立 ，则，当且仅当时，等号成立 用基本不等式证明不等式 用基本不等式求最值 2.已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 用基本不等式求最值 2.已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明：∵都是正数，∴ (1)当积等于定值时，∴ 当且仅当时，等号成立. (2)当和等于定值时，∴ 当且仅当等号成立. 1.积定和最小，和定积最大. 2.一正二定三相等 拨 知 识 点 基本不等式实际应用 3-1.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 基本不等式解决实际问题 3-1.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为 (1)由已知得由，可得 ∴当且仅当时，上式等号成立. 因此，菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 基本不等式实际应用 3-1. (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：(2)由已知得矩形菜园的面积为 由可得 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是. 基本不等式实际应用 3-2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 基本不等式实际应用 3-2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元. 根据题意，有 由容积为,可得 ∴ 当时，上式等号成立，此时 所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. *常用数学公式 完全立方公式 完全立方公式 立方和公式 立方差公式 $