3.1.1函数的概念第1课时课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念及三要素（定义域、对应关系、值域），通过复习初中函数问题（如y=√x²与y=x是否同一函数），结合复兴号列车运行等4个实例，搭建从具体到抽象的认知支架，衔接初中与高中知识。 其亮点是以现实情境实例驱动数学抽象，对比定义域差异培养逻辑推理，例题构建函数模型发展数学建模。采用问题链导学和规律总结，帮助学生深化概念理解，教师可借助结构化流程提升教学效率。

3.1.1 函数的概念 第1课时 人教A必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 1．通过实例，理解函数的概念与表示（数学抽象）； 2．掌握函数的定义域、对应关系和值域（逻辑推理）； 3.了解函数的实际背景（数学建模）. 【学习与素养目标】 【复习回顾】 与 y=|x|是同一个函数吗？是函数吗？ 要解决以上问题，需要进一步学习函数的概念。 3 【问题导学】 S=350t 【思考】 【提醒】 【问题导学】 【新知探究】 问题 1 和问题 2 中的函数有相同的 对应关系 f : y=350x， 它们是同一个函数吗？为什么？ 【思考】 结论：自变量的取值范围不同，不是同一函数. 【问题导学】 【结论】 【问题导学】 恩格尔系数r是年份y的函数吗？ 【结论】 【问题导学】 4个问题的共同特征 【规律总结】 函数的概念与表示 【讲授新知】 一般地，设A,B 是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系f， 在集合 中都有唯一确定的数 y和它对应,，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作 其中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域； 与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域． 函数的三要素：定义域，对应关系，值域 1.关于函数的值域的探讨 函数 f ，即 结论：函数f:A→B中， 定义域是A， 值域不一定是B！ 初中学过的函数：一次函数、二次函数、反比例函数，请确定函数的定义域和值域。 定义域 值域 【回顾与联想】 初中学过哪些函数？其函数解析式、定义域和值域分别是什么？ 2.基本函数的定义域和值域 1.一次函数y=ax+b(a≠0) y=ax+b(a>0) 2.二次函数的定义域和值域 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c (a<0) 【思考】 y=k/x (k>0) 21 定义域 值域 初中学过的函数：一次函数、二次函数、反比例函数，请确定函数的定义域和值域。 【回顾与联想】 【思考】 y=a (a>0) 【例题探究】 例 1 解： x 10-x 例题1 解： 10-x x 【变式训练】 解： 设正方形的边长为x,面积为y，则 其中，x>0 , y>0. 边长x 面积为y 27 【变式训练1】 解： 设正方体的棱长为x,体积为y，则 其中，x>0 , y>0. 棱长x 体积为y 28 【课堂达标练习】 ACD 2.（多选）下列关于函数的叙述正确的是（ ） A.函数的定义域和值域都是非空数集 B.给定函数y=f(x)的x的一个值，y可以有两个值与其对应 C.给定函数y=f(x)的y的一个值，x可以有两个值与其对应 D.给定函数f:x→2x, xZ,则f(x)的值域是偶数集 1.下列关于函数y=f(x)=2x+1的叙述正确的是（ ） A.若 xQ，则函数的定义域是Q,值域是R B.若 xR，则函数的定义域为R，值域不是R C.若 xZ，则函数的定义域为Z，值域是Z D.若 xZ，则函数的定义域为Z，值域是奇数集 D 【课堂达标练习】 {x∣1≤ x ≤3} 3.如图，函数y=f(x)的部分图象，则函数f(x)的定义域 为 ,值域为 . O 1 2 3 x y 2 1 {y∣1≤ y ≤2} 【课后练习】 解： 【课后练习】 解： 对应关系为 f(1)=f(2)=2, f(3)=3, f(4)=5, f(5)=4. 【课后练习】 解：依题意， 设正方形的边长为y ,面积为x，则 其中，x>0 , y>0. 边长y 面积为x 34 1．理解函数 f:A→B的概念; （一对一，多对一是函数，一对多不是函数）. 2．函数 f:A→B的定义域和值域:都是非空数集， 定义域为A,值域为B或集合B的真子集. 【课堂小结】 3.结论：函数f:A→B中， 定义域是A， 值域不一定是B,值域可能是B，可能是B的真子集！ 课本第72页，第1,3题． 【布置作业】 初中我们学习过函数的概念，正方形的周长 与边长x 的对应关系是 ，这里x为正实数， 这个函数与正比例函数 ，x为实数是同一函数吗？ 又如，函数 与 相同吗？ 问题 1 某＂复兴号＂高速列车加速到 后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的 路程S（单位：km ）与运行时间t（单位：h）的 关系可表示为 结论：问题1的条件是半小时内，不能判断列车以 运行 半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t 的变化范围． 有人说：＂根据对应关系 ，这趟列车 加速到 后，运行 1 h 就前进了 350 km ．＂你认为这个说法正确吗？ 问题 2 某电气维修公司要求工人每周工作至少 1 天，至多 6 天． 如果公司确定的工资标准是每人每天 350 元，而且每周付一次工资，那么 你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资 （单位：元） 是他工作天数 的函数吗？ 显然，工资 是一周工作天数 的函数，其对应关系是 其中， 的变化范围是数集 的变化范围是数集 ．对于数集 中 的任一个工作天数 ，按照对应关系 ，在数集 中都有唯一 确定的工资 与它对应． 问题 3下图是某市某天的空气质量指数（简称 AQI）变化图． 如何根据该图确定这一天内任一时刻 的空气质量指数（AQI）的值 ？你认为这里的 是 的函数吗？ 从图中的曲线可知， 的变化范围是数集 ， AQI 的值 都在数集 中．对于数集 中的 任一时刻 ，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集 中都有 唯一确定的 AQI 的值 与之对应．因此，这里的 是 的函数． 问题 4 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高． 下表是我国城镇居民恩格尔系数变化情况． 上述问题1～4中的变量之间有哪些共同特征？ 由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ （1）都包含两个非空数集，用 来表示； （2）都有一个对应关系 f； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性： 对于数集 中的任意一个数 ，按照对应关系，在数集 中 都有唯一确定的数 和它对应． 显然，值域是集合 的子集． 在问题1与问题2中，值域就是和； 在问题3中，值域是数集的真子集； 在问题4中，值域， 是数集的真子集． 1.一次函数 的定义域是R， 值域也是R．对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数 ． 2.二次函数 的定义域是R，值域是B. 当 时， ； 当 时， ． 对应关系f把R中的任意一个数x， 对应到B中唯一确定的数 ． 【解】反比例函数的定义域为 ， 对应关系为“倒数的 倍”， 值域为 ． 3.反比例函数 的定义域、对应关系和值域各是什么？ 【解】常数函数y=a的定义域为R， 对应关系为“函数值恒为a”， 值域为{a}． 4.常数函数y=a的定义域、对应关系和值域各是什么？ 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系， 可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数 可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长 与半径的关系等． 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 来描述． 把 看成二次函数，那么它的定义域是R， 值域是 ． 对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数 ． 如果对x的取值范围作出限制，例如 ， 那么可以构建如下情境： ． 其中，x的取值范围是 y的取值范围是 ． 对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积． 长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么 构造问题情境，其变量可以用函数解析式 来描述。 2.构造问题情境，其变量可以用函数解析式 来描述。 1.一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m, 且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为. 求此函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数. 函数的定义域为， 值域为.对应关系把集合A中的任意 一个数t，对应到集合B中唯一确定的数. 3.集合A，B与对应关系f如下图所示： 是否为从集合A到B的函数？如果是，那么定义域、值域 与对应关系各是什么？ 4.构造问题情境，其变量可以用函数解析式 来描述。 $