22.2一元二次方程的解法同步练习 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

22.2一元二次方程的解法 一、填空题 1．已知关于的方程的两个根是和，则的值为　 　 ． 2．已知m和n是方程的两根，则　 　． 3．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值为　 　. 4．设x1，x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为　 　． 5．如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程的两个解（其中），点E在BC边上，连接AE，把沿AE折叠，点B落在点处.当为直角三角形时，则的长是　 　． 二、单选题 6．解一元二次方程的过程中，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k>-1 B．k≥-1 C．k>-1且k≠0 D．k≥-1且k≠0 8．一元二次方程 的根的情况（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 9．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A．-9 B．9 C．-36 D．36 10．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 11． 已知关于 的方程 的两个根分别为 ， 则二次三项式 可因式分解为（　　） A． B． C． D． 12．用配方法解一元二次方程 时，此方程可变形为（　　） A． B． C． D． 13．用配方法解方程 时，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 14．某节数学课上，老师让学生解关于的方程，下面是这三位同学的解答过程： 小逸 小明 小琛 两边同时除以，得． 整理得， 配方得， ，， ，． 移项得， ， 或， ，． 下列选项中，说法正确的是（　　） A．只有小明的解法正确 B．只有小琛的解法正确 C．只有小逸的解法错误 D．小逸和小琛的解法都是错误的 15．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根为x1，x2，下列说法：①若a，c异号，则方程ax2+bx+c=0一定有实数根：②若b=a+c，则方程ax2+bx+c=0一定有实数根；③若a=1，b=2，c=3，由根与系数的关系可得x1+x2=-2.x1x2=3，其中结论正确的有(　　) A．① B．①② C．①②③ D．②③ 16．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 17．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（　　） A． B． C． D． 三、解答题 18．用适当的方法解方程 （1） （2） 19．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是-2，4，写出这个方程. 20．解一元二次方程：． 21．关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若两根为、且，求m的值． 22．如图，已知正方形 的边长为 1 ， 正方形 的面积为 ， 点 在 边上， 点 在 的延长线上， 设以线段 和 为邻边的矩形的面积为 ， 且 ． （1）求线段 的长． （2） 若 为 边的中点， 连结 ， 求证： ． 23．已知关于的方程. （1）当时，求这个方程的根. （2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的值. 24．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 参考答案 1．2 2． 3．0 4．7 5．或2 6．C 7．D 8．B 9．B 10．B 11．D 12．D 13．A 14．C 15．B 16．C 17．A 18．（1）， 移项得：， 配方得：，即， 直接开平方得：， ，； （2） 提公因式得：， ∴或， ，． 19．解：∵一元二次方程的二次项系数是3， ∴a=3， ∵一元二次方程的两个根是-2，4， ∴ ∴ ∴一元二次方程为. 20．解：∵， ∴， ∴，． 21．（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2）解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， 整理得：， 解得：，． 又， ． 22．（1）解：设正方形CEFG的边长为a， ∵正方形ABCD的边长为1， 解得， (舍去) ， 即线段CE的长是 （2）证明：∵点H为BC边的中点， 23．（1）解：对于方程x3 -(a2 +a)x+a2=0， ∴x3-a2x-ax+a2=0， ∴x(x2-a)-a(x-a)=0， 即x(x+a)(x-a)-a(x-a)=0， ∴(x -a)(x2+ax-a)=0， 当a=1时，该方程可转化为(x-1)(x2 +x-1)=0， ∴可得x-l=0或x2+x-1=0， 由x-1=0，解得： x=1， 由x2 +x -1= 0，解得： x= ∴方程的解为：x1=1，x2=，x3= 故答案为：1；； （2）依题意得：x-a=0或x2+ax-a=0， 由x-a=0，解得： x=a， ∵原方程恰有两个不相等的实数根， ∴x2+ax-a=0有两个相等的实数根， ∴根的判别式△=a2-4x1x(-a)=0，即a2 +4a = 0， 解得：a=0或a =-4， 当a =0时，方程只有一个实数根x=0，不符合题意， 当a=-4时，则x= -4，x2-4x+4=0， 由x2-4x+4=0解得：x=2， 此时方程恰有两个实数根x1=-4，x2=2. 综上所述：若方程恰有两个不相等的实数根，则a=-4. 故答案为：﹣4 24．（1） （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴4m+13是完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为可化为：， ∴， 故其“快乐数”数是； （3）解：∵为“快乐方程”， ∴是完全平方数， 设，a为整数， 则， ∴或或或或或或或 解得或或（舍）或(舍)， ∴方程为：或； ∵为“快乐方程”， ∴是完全平方数， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：， 综上，n的值为0或3． 学科网（北京）股份有限公司 $