5.2 二次函数的图像和性质（题型专练）数学苏科版九年级下册

5.2 二次函数的图像和性质 题型一 一次函数与二次函数的图像共存问题 1．（2024·扬州·期末）在同一平面直角坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·崇川区·校级月考）二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·工业园区·校级月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·泗洪县·一模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二 二次函数的图像和性质 1．（2024·海门区·校级月考）抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1） 2．（2025·射阳县·月考）二次函数y＝2x2﹣8x+7图象的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1） 3．（2025·天宁区·校级模拟）关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．图象的顶点坐标是（﹣1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 4．（2023·宿豫区·月考）关于二次函数y＝x2﹣4x﹣3，下列说法正确的是（　　） A．它的图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） B．当x＞2时，y随x的增大而减小 C．它的图象关于直线x＝﹣2对称 D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3） 5．（2024·吴江区·校级月考）已知函数是y关于x的二次函数． （1）若该函数图象开口向上，求a的值； （2）在（1）的条件下，写出该函数图象的对称轴与顶点坐标． 6．（2023·如皋市·校级月考）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3． （1）求开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 题型三 根据二次函数的图像和性质求参 1．（2025·宿城区·校级月考）二次函数y＝x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取　　． 2．（2025·盱眙县·模拟）已知抛物线y＝x2+4x，点A（2，m）与点B（n，6）关于该抛物线的对称轴对称，那么m﹣n的值等于　　． 3．（2024·梁溪区·校级二模）已知二次函数y＝（x﹣a）（x+2a﹣1）的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为　　． 4．（2025·邗江区·三模）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是　　． 题型四 二次函数的图像上点的坐标特征 1．（2023·苏州·月考）A（，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 2．（2025·仪征市·校级三模）已知点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣x2+2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 3．（2025·盐城·月考）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4），其中y2＜y3＝y4，则y1，y2，y3中最值情况是（　　） A．y1最小，y3最大 B．y2最小，y1最大 C．y2最小，y3最大 D．无法判断 4．（2024·靖江市·期末）已知点（﹣4，m），（﹣3，n）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上．若m＞n，则a　　0．（用“＞”或“＜”连接） 题型五 二次函数的几何变换——平移 1．（2024·工业园区·月考）将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣3 C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣3 2．（2024·邗江区·校级期中）要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 3．（2025·海安市·校级月考）将抛物线y＝﹣2x2+4x+1向左平移2个单位，再向上平移3个单位后新抛物线的顶点坐标（　　） A．（3，6） B．（﹣3，6） C．（1，0） D．（﹣1，6） 4．（2024·南京·月考）已知二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象为抛物线C． （1）抛物线C顶点坐标为　　； （2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由． 题型六 二次函数的几何变换——对称/旋转 1．（2023·钟楼区·校级模拟）将抛物线y＝x2+2x﹣3关于y轴对称，所得到的抛物线解析式为　　． 2．（2024·姑苏区·校级月考）若抛物线y＝ax2+c与抛物线y＝﹣4x2+3关于x轴对称，则a＝　　，c＝　　． 3．（2023·射阳县·期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为　　． 4．（2024·虎丘区·校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式． 题型七 求二次函数的最值或根据二次函数的最值求参 1．（2025·阜宁县·月考）已知二次函数y＝（x+1）2+（x﹣3）2，当函数y取最小值时，x的值是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝1 2．（2025·铜山区·三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣mx+m2﹣m+2（m为常数）的图象经过点（0，2），点A（0，a）、B（1，b）在这个二次函数的图象上，且a＝b，则该二次函数有（　　） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值﹣2 3．（2025·秦淮区·校级期末）若y＝﹣4t2+12t+6，则y的取值范围是　　． 4．（2025·南京·校级期末）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣m的最小值是1，则m＝　　． 5．（2025·南京·模拟）若二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为6，则y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的最小值为　　． 题型八 构造二次函数求最值 1．（2024·梁溪区·期末）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 2．（2025·秦淮区·二模）已知x+y＝2．若，y≤2，则x2+y2的取值范围是　　． 3．（2025·苏州·二模）若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值为m，最大值为n，m+n的值为　　． 题型一 二次函数的图像和性质综合 1．（2025·秦淮区·二模）函数y＝|x|﹣2的图象如图所示．类似地，函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·灌南县·一模）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+2m2﹣1的顶点为A，当﹣3＜x＜2时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·浦口区·校级模拟）二次函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y＝y2﹣y1的顶点坐标有可能是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 4．（2025·淮安区·校级一模&2023·扬州·中考）已知二次函数（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限：②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．上述结论中正确结论的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 二次函数的图像上点的坐标特征综合 1．（2024·姑苏区·校级月考）已知a＞0，设函数y1＝a（x﹣1）2，y2＝a（x﹣2）2，y3＝a（x﹣3）2．直线x＝m的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（m，c1），B（m，c2），C（m，c3），下列说法正确的是（　　） A．若m＜1，则c2＜c3＜c1 B．若1＜m＜2，则c1＜c2＜c3 C．若2＜m＜3，则c3＜c2＜c1 D．若m＞3，则c3＜c2＜c1 2．（2025·仪征市·三模&2025·苏州·一模）若点A（m﹣1，y1），B（m+3，y2），C（2，y3）在二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象上，且y3≤y2≤y1，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m＞4 C．m＞1 D．m＜1 3．（2025·靖江市·校级月考）二次函数C1：y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（6，c），将C1向左平移t（t＞0）个单位长度后得到新抛物线C2，点P（7，y1）在C1上，点M（1﹣t，y2），点N（2﹣t，y3）在C2上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 4．（2025·连云港·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（1，m），B（2，m+2），C（0，﹣1）． （1）c＝　　，m的取值范围是　　； （2）点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求m的取值范围． 题型三 二次函数的几何变换综合 1．（2025·大丰区·校级月考）关于二次函数L1：y＝x2与L2：y＝﹣x2﹣2，若在同一平面直角坐标系内画出它们的图象，则下列说法不正确的是（　　） A．抛物线L1与L2的对称轴都是y轴 B．抛物线L1与L2关于直线y＝﹣1成轴对称 C．抛物线L1向下平移2个单位得到L2 D．抛物线L1与L2关于点（0，﹣1）成中心对称 2．（2024·徐州·期末）小徐说：若要二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0），可有4个方法： ①向右平移2个单位长度 ②向下平移4个单位长度 ③向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 其中正确的方法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·姑苏区·校级期中）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2平移到抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1，点P（m，n1），Q（m，n2）分别在抛物线C1，C2上． 甲：无论m取何值，都有n2＜0； 乙：若点P平移后的对应点为P′，则点P移动到点P′的最短路程为； 丙：当﹣3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ先变长后变短． 下列判断正确的是（　　） A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 4．（2024·盱眙县·校级一模）已知二次函数y＝﹣x2+mx+n图象经过点（2，3）． （1）请用含m的代数式表示n； （2）当m＝2时； ①请求出此时二次函数图象的顶点坐标； ②当t≤x≤2时，总有2t≤y≤4，求实数t的值； ③当﹣1≤x≤t（t＞0）时，将相应的函数图象向下平移t个单位长度，将相应的新函数的函数值记为y′，若y′都满足﹣3≤y′≤3，求t的取值范围． 题型四 根据二次函数的最值分类讨论求参 1．（2025·泗洪县·一模）二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为（　　） A．3 B．﹣1或3 C．﹣3或1 D．﹣3或3 2．（2023·高新区·校级月考）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（　　） A．3或1 B．3或3 C．3或1 D．1或1 3．（2025·无锡·校级二模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为　　． 题型五 构造二次函数求最值（升级版） 1．（2025·海州区·期末）小红同学在解决问题“已知x﹣y＝4，求xy的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若x+2y＝﹣8，则式子2﹣xy（　　） 小红的思路 设x＝m+2，y＝m﹣2， 则xy＝（m+2）（m﹣2）＝m2﹣4， ∵m2≥0， ∴m2﹣4≥﹣4， ∴xy的最小值为﹣4． A．有最小值﹣8 B．有最大值﹣8 C．有最小值﹣6 D．有最大值﹣6 2．（2025·海门区·校级月考）若a、b满足a2+b2＝2+ab，则（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）的最大值与最小值的差为（　　） A．4 B． C． D． 3．（2025·东台市·期中）若实数x，y，m满足x+y＝2，2xy+m＝6，则代数式8xy+10的最大值为　　． 1．（2025·仪征市·一模）约定，当x＝1时，代数式2x2+mx+n的值记为C（1），当x＝2时，代数式2x2+mx+n的值记为C（2）.若C（m）＝C（n+1），且m≠n+1，则C（1）+C（2）的值为　　． 2．（2025·高邮市·一模）定义：若一个函数的图象上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图象上的“亮点”．例如：点P（3，1）是正比例函数的图象上的“亮点”． （1）一次函数y＝﹣x+5的图象上的“亮点”是　　； （2）若点M是反比例函数图象的“亮点”，一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点M，求b的值； （3）若二次函数y＝ax2﹣3x﹣c（a≠0）的图象经过点A（2，0），试说明无论a取何值，该二次函数的图象上一定存在“亮点”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 二次函数的图像和性质 题型一 一次函数与二次函数的图像共存问题 1．（2024·扬州·期末）在同一平面直角坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故错误； B、正确； C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故错误； D、一次函数解析式为：y＝kx﹣2，图象应该与y轴交在负半轴上，故错误． 故选：B． 2．（2025·崇川区·校级月考）二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、由抛物线可知：a＞0，由直线可知：a＜0，不交于y轴同一点，故错误； B、由抛物线可知：a＞0，由直线可知：a＞0，都过点（0，c），正确； C、由抛物线可知：a＜0，由直线可知：a＜0，不交于y轴同一点，故错误； D、由抛物线可知：a＜0，由直线可知：a＞0，都过点（0，c），故错误． 故选：B． 3．（2024·工业园区·校级月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：对于一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的图象， ①当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、三象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，故错误； ②当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，故错误； ③当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，正确； ④当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第二、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，故错误． 故选：B． 4．（2025·泗洪县·一模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知：a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知：图象a＞0，b＜0，故错误； B、由一次函数的图象可知：a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知：图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可知：a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知：图象a＞0，b＞0，ab＞0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab＜0，故错误； D、由一次函数的图象可知：a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知：图象a＞0，b＞0，对称轴位于y轴左侧，则ab＞0，正确． 故选：D． 题型二 二次函数的图像和性质 1．（2024·海门区·校级月考）抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1） 【详解】解：∵抛物线为， ∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）． 故选：A． 2．（2025·射阳县·月考）二次函数y＝2x2﹣8x+7图象的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1） 【详解】解：二次函数y＝2x2﹣8x+7＝2（x﹣2）2﹣1的图象的顶点坐标是（2，﹣1）． 故选：D． 3．（2025·天宁区·校级模拟）关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．图象的顶点坐标是（﹣1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【详解】解：A：∵a＝﹣1，∴函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，故错误； B：当x＝0，y＝1，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，1），故错误； C：∵这个函数的顶点是（1，2），故错误； D：在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，正确． 故选：D． 4．（2023·宿豫区·月考）关于二次函数y＝x2﹣4x﹣3，下列说法正确的是（　　） A．它的图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） B．当x＞2时，y随x的增大而减小 C．它的图象关于直线x＝﹣2对称 D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3） 【详解】解：∵y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7， ∴它的图象的顶点坐标为（2，﹣7），故A错误； ∵a＝1＞0， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当x＞2时，y随x的增大而增大，故B错误； ∵对称轴为直线x＝2， ∴它的图象关于直线x＝2对称，故C错误； ∵当x＝0时，y＝3， ∴图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3），故D正确． 故选：D． 5．（2024·吴江区·校级月考）已知函数是y关于x的二次函数． （1）若该函数图象开口向上，求a的值； （2）在（1）的条件下，写出该函数图象的对称轴与顶点坐标． 【详解】解：（1）∵该函数为二次函数，且开口向上， ∴，解得：， ∴a＝4； （2）由（1）可得：该函数为：y＝2x2﹣4x﹣3， ∴该函数对称轴为直线， 将x＝1代入y＝2x2﹣4x﹣3得：y＝2﹣4﹣3＝﹣5， ∴顶点（1，﹣5）． 6．（2023·如皋市·校级月考）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3． （1）求开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 【详解】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5， ∵﹣2＜0， ∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线x＝1，顶点坐标为：（1，5）； （2）∵抛物线的开口向下， ∴x＞1时，y随x增大而减小，x＜1时，y随x增大而增大． 题型三 根据二次函数的图像和性质求参 1．（2025·宿城区·校级月考）二次函数y＝x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取　　． 【详解】解：由题意可知：抛物线对称轴为x＝1， ∴1，解得：k＝10． 故答案为：10． 2．（2025·盱眙县·模拟）已知抛物线y＝x2+4x，点A（2，m）与点B（n，6）关于该抛物线的对称轴对称，那么m﹣n的值等于　　． 【详解】解：由题意可得：对称轴为直线， ∵点A（2，m）与点B（n，6）关于该抛物线y＝x2+4x的对称轴对称， ∴m＝6，n＝﹣2×2﹣2＝﹣6， ∴m﹣n＝12． 故答案为：12． 3．（2024·梁溪区·校级二模）已知二次函数y＝（x﹣a）（x+2a﹣1）的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为　　． 【详解】解：y＝（x﹣a）（x+2a﹣1）＝x2+（a﹣1）x﹣2a2+a， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∴2， ∴a＝5． 故答案为：5． 4．（2025·邗江区·三模）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是　　． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣mx+3中，a＝1＞0， ∴此函数开口向上， ∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴直线x2，即2，解得：m≥4． 故答案为：m≥4． 题型四 二次函数的图像上点的坐标特征 1．（2023·苏州·月考）A（，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 【详解】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象开口向下，对称轴为x＝2，点A（，y1），B（1，y2）在对称轴的左侧，由y随x的增大而增大，有y1＜y2， 又由x，x＝1，x＝4离对称轴x＝2的远近可得：y1＜y3，y3＜y2， ∴y1＜y3＜y2． 故选：B． 2．（2025·仪征市·校级三模）已知点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣x2+2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 【详解】解：抛物线y＝﹣x2+2x+c的对称轴为直线x＝1，开口向下， 根据开口向下，距离对称轴越远函数值越小可得： 点（﹣1，y1）距离对称轴有2个单位长度， 点（1，y2）在对称轴上， 点（4，y3）距离对称轴有3个单位长度， ∴y3＜y1＜y2． 故选：A． 3．（2025·盐城·月考）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4），其中y2＜y3＝y4，则y1，y2，y3中最值情况是（　　） A．y1最小，y3最大 B．y2最小，y1最大 C．y2最小，y3最大 D．无法判断 【详解】解：∵P3（1，y3），P4（3，y4），且y3＝y4， ∴该二次函数的对称轴为：x＝2， ∵P2（﹣1，y2），P3（1，y3），且y2＜y3， ∴在对称轴左侧，即x＜2时，y随x的增大而增大， ∵P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3）中，﹣3＜﹣1＜1， ∴y1＜y2＜y3． 故选：A． 4．（2024·靖江市·期末）已知点（﹣4，m），（﹣3，n）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上．若m＞n，则a　　0．（用“＞”或“＜”连接） 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为直线x． ∵﹣4＜﹣3＜1，且m＞n， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴a＞0． 故答案为：＞． 题型五 二次函数的几何变换——平移 1．（2024·工业园区·月考）将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣3 C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣3 【详解】解：由“左加右减”的原则可知： 将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位所得直线的解析式为：y＝（x+1）2﹣8； 由“上加下减”的原则可知： 将抛物线y＝（x﹣5）2﹣8向上平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣3． 故选：D． 2．（2024·邗江区·校级期中）要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【详解】解：二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位， 即可得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象． 故选：B． 3．（2025·海安市·校级月考）将抛物线y＝﹣2x2+4x+1向左平移2个单位，再向上平移3个单位后新抛物线的顶点坐标（　　） A．（3，6） B．（﹣3，6） C．（1，0） D．（﹣1，6） 【详解】解：由题意可得：抛物线为y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3， 又由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”， ∴将抛物线y＝﹣2x2+4x+1向左平移2个单位，再向上平移3个单位后， 可得抛物线为y＝﹣2（x﹣1+2）2+3+3，即y＝﹣2（x+1）2+6． ∴此时顶点坐标为（﹣1，6）． 故选：D． 4．（2024·南京·月考）已知二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象为抛物线C． （1）抛物线C顶点坐标为　　； （2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由． 【详解】解：（1）∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1， ∴抛物线C的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1）， 故答案为：（1，1）； （2）∵将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1， ∴C1：y＝2x2+3， 将x＝2代入得：y＝2×22+3＝11≠3， ∴抛物线C1不经过点P（2，3）． 题型六 二次函数的几何变换——对称/旋转 1．（2023·钟楼区·校级模拟）将抛物线y＝x2+2x﹣3关于y轴对称，所得到的抛物线解析式为　　． 【详解】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，其顶点坐标是（﹣1，﹣4）， ∴关于y轴对称的顶点坐标是（1，﹣4）， ∴与抛物线y＝（x+1）2﹣4关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3． 故答案为：y＝x2﹣2x﹣3． 2．（2024·姑苏区·校级月考）若抛物线y＝ax2+c与抛物线y＝﹣4x2+3关于x轴对称，则a＝　　，c＝　　． 【详解】解：根据抛物线关于x轴对称的特征可知，x的符号不变，y的符号变为相反数， ∴抛物线y＝﹣4x2+3关于x轴对称的抛物线为﹣y＝﹣4x2+3，即y＝4x2﹣3， ∴a＝4，c＝﹣3． 故答案为：4，﹣3． 3．（2023·射阳县·期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为　　． 【详解】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1可知：抛物线顶点坐标是（2，1）． 由抛物线y＝x2﹣4x+5可知：C（0，5）， ∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）， ∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5． 故答案为：y＝﹣x2﹣4x+5． 4．（2024·虎丘区·校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式． 【详解】解：（1）将点M坐标代入y＝﹣x2+mx+3得：﹣（﹣2）2﹣2m+3＝3，解得：m＝﹣2， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）； （2）由旋转可知：抛物线的开口大小不变，但方向相反，顶点坐标不变， ∴旋转后的抛物线的表达式为y＝（x+1）2+4． 题型七 求二次函数的最值或根据二次函数的最值求参 1．（2025·阜宁县·月考）已知二次函数y＝（x+1）2+（x﹣3）2，当函数y取最小值时，x的值是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝1 【详解】解：将y＝（x+1）2+（x﹣3）2化简为：y＝2x2﹣4x+10＝2（x﹣1）2+8， ∴其顶点坐标为（1，8）， ∴函数y取最小值时，x的值是1． 故选：D． 2．（2025·铜山区·三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣mx+m2﹣m+2（m为常数）的图象经过点（0，2），点A（0，a）、B（1，b）在这个二次函数的图象上，且a＝b，则该二次函数有（　　） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值﹣2 【详解】解：∵点A（0，a）、B（1，b）在二次函数y＝x2﹣mx+m2﹣m+2（m为常数）的图象上，且a＝b， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴m＝1， ∴该函数解析式为y＝x2﹣x+2， ∵1＞0， ∴该函数图象的开口向上， ∴当时，该二次函数有最小值． 故选：A． 3．（2025·秦淮区·校级期末）若y＝﹣4t2+12t+6，则y的取值范围是　　． 【详解】解：∵y＝﹣4t2+12t+6＝﹣4（t2﹣3t）+15＝﹣4（t）2+15， ∴当t时，y取最大值为15， ∴y≤15． 故答案为：y≤15． 4．（2025·南京·校级期末）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣m的最小值是1，则m＝　　． 【详解】解：∵y＝x2﹣4x﹣m＝（x﹣2）2﹣4﹣m， ∴函数最小值为y＝﹣4﹣m＝1，解得：m＝﹣5． 故答案为：﹣5． 5．（2025·南京·模拟）若二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为6，则y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的最小值为　　． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值6， ∴设二次函数y＝﹣ax2+bx+2的顶点坐标为（m，6）， ∴通过关于x轴对称的抛物线为y＝ax2﹣bx﹣2的顶点坐标为（m，﹣6）， ∴再向左平移一个单位可得：y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的顶点坐标为（m﹣1，﹣6），且开口向上， ∴此时顶点坐标为（m﹣1，﹣6），最小值为﹣6． 故答案为：﹣6． 题型八 构造二次函数求最值 1．（2024·梁溪区·期末）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 【详解】解：把（1，3）代入y＝x2+mx+n得3＝1+m+n， ∴n＝﹣m+2， ∴mn+1 ＝m（﹣m+2）+1 ＝﹣m2+2m+1 ＝﹣（m﹣1）2+2， ∴mn+1有最大值2． 故选：D． 2．（2025·秦淮区·二模）已知x+y＝2．若，y≤2，则x2+y2的取值范围是　　． 【详解】解：∵x+y＝2， ∴y＝2﹣x≤2，解得：x≥0， ∵， ∴0≤x， 又∵x2+y2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2， ∴当x＝1时，x2+y2取最小值为2， 又∵当x＝0时，x2+y2＝0+22＝4；当x时，x2+y2， ∴2≤x2+y2≤4． 故答案为：2≤x2+y2≤4． 3．（2025·苏州·二模）若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值为m，最大值为n，m+n的值为　　． 【详解】解：∵2a+b＝2， ∴b＝2﹣2a， ∴2a2﹣4b＝2a2﹣4（2﹣2a）＝2（a+2）2﹣16， ∵b≥0， ∴2﹣2a≥0，解得：a≤1， ∵a≥0， ∴0≤a≤1， ∴当a＝0时，2a2﹣4b有最小值﹣8；当a＝1时，2a2﹣4b有最大值2， ∴m＝﹣8，n＝2， ∴m+n＝﹣6， 故答案为：﹣6． 题型一 二次函数的图像和性质综合 1．（2025·秦淮区·二模）函数y＝|x|﹣2的图象如图所示．类似地，函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由函数y＝|x|﹣2的图象可知：x为任意实数， ∴当x＞0时，函数为y＝﹣x2+4x﹣2， 当x＜0时，函数为y＝﹣x2﹣4x﹣2， 当x＝0时，函数为y＝﹣2， 纵观各选项，只有D选项图形符合． 故选：D． 2．（2025·灌南县·一模）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+2m2﹣1的顶点为A，当﹣3＜x＜2时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】解：∵y＝x2﹣（2m﹣1）x+2m2﹣1， ∴对称轴为x，且抛物线开口向上， ∴当x时，y随x的增大而增大， ∵当﹣3＜x＜2时，y随x的增大而增大， ∴3，解得：m， ∴0，（m）20， ∴抛物线的顶点在第二象限． 故选：B． 3．（2025·浦口区·校级模拟）二次函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y＝y2﹣y1的顶点坐标有可能是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 【详解】解：由题意可设y1＝a1x2+b1x+c1，y2＝a2x2+b2x+c2， 由图象可知：a1＞0，b1＞0，c1＜0，a2＜0，b2＜0，c2＞0． ∴a2﹣a1＜0，b2﹣b1＜0，c2﹣c1＞0， ∴0，0． ∵y＝y2﹣y1＝（a2﹣a1）x2+（b2﹣b1）x+（c2﹣c1）， ∴抛物线的顶点为（，）． ∴顶点在第二象限． 故选：B． 4．（2025·淮安区·校级一模&2023·扬州·中考）已知二次函数（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限：②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．上述结论中正确结论的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：∵a＞0时，抛物线开口向上， ∴对称轴为直线x0， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x时，y随x的增大而增大， ∵当x＝0时，y， ∴二次函数与y轴交点在y轴正半轴， ∴函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、四象限． 故选：B． 题型二 二次函数的图像上点的坐标特征综合 1．（2024·姑苏区·校级月考）已知a＞0，设函数y1＝a（x﹣1）2，y2＝a（x﹣2）2，y3＝a（x﹣3）2．直线x＝m的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（m，c1），B（m，c2），C（m，c3），下列说法正确的是（　　） A．若m＜1，则c2＜c3＜c1 B．若1＜m＜2，则c1＜c2＜c3 C．若2＜m＜3，则c3＜c2＜c1 D．若m＞3，则c3＜c2＜c1 【详解】解：如图， A．由图象可知：若m＜1，则c1＜c2＜c3，故错误； B．由图象可知：若1＜m＜2，则c2≤c1＜c3或c1≤c2＜c3，故错误； C．由图象可知：若2＜m＜3，则c3≤c2＜c1或c2≤c3＜c1，故错误； D．由图象可知：若m＞3，则c3＜c2＜c1，正确． 故选：D． 2．（2025·仪征市·三模&2025·苏州·一模）若点A（m﹣1，y1），B（m+3，y2），C（2，y3）在二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象上，且y3≤y2≤y1，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m＞4 C．m＞1 D．m＜1 【详解】解：由条件可知：二次函数的对称轴为直线， ∵点A（m﹣1，y1），B（m+3，y2），C（2，y3）在二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象上，且y3≤y2≤y1， ∴a＞0，且|m+3﹣2|＜|m﹣1﹣2|，即|m+1|＜|m﹣3|， 当m≥3时，m+1＜m﹣3，不等式无解； 当﹣1＜m＜3时，m+1＜3﹣m，解得：m＜1，即﹣1＜m＜1； 当m≤﹣1时，﹣m﹣1＜3﹣m，恒成立； 综上，m＜1． 故选：D． 3．（2025·靖江市·校级月考）二次函数C1：y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（6，c），将C1向左平移t（t＞0）个单位长度后得到新抛物线C2，点P（7，y1）在C1上，点M（1﹣t，y2），点N（2﹣t，y3）在C2上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【详解】解：∵当x＝0时，y＝c， ∴二次函数的图象过（0，c）， 又∵二次函数的图象过（6，c）， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴向左平移t（t＞0）个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线x＝3﹣t， ∵点P（7，y1）在C1上， ∴点P（7，y1）向左平移t（t＞0）个单位长度后的点（7﹣t，y1）在C2上， ∵点M（1﹣t，y2），点N（2﹣t，y3）在C2上， ∴|7﹣t﹣3+t|＝4，|1﹣t﹣3+t|＝2，|2﹣t﹣3+t|＝1， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∴y1＜y2＜y3． 故选：A． 4．（2025·连云港·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（1，m），B（2，m+2），C（0，﹣1）． （1）c＝　　，m的取值范围是　　； （2）点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求m的取值范围． 【详解】解：（1）将把C（0，﹣1）代入y＝ax2+bx+c（a＞0）得：c＝﹣1， 将A（1，m），B（2，m+2）代入得：a+b﹣1＝m①，4a+2b﹣1＝m+2②， ②﹣①得：3a+b＝2， ∴b＝2﹣3a， ∴m＝a+2﹣3a﹣1＝1﹣2a， ∵a＞0， ∴1﹣2a＜1， ∴m＜1， 故答案为：﹣1，m＜1； （2）设抛物线的对称轴为直线x＝t， ∵a＞0， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵0＜x1＜1，1＜x2＜2， ∴， ∵对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2， ∴M（x1，y1），N（x2，y2）的中点在对称轴右侧， ∴， ∴， ∴﹣b≤a， 由（1）可知：b＝2﹣3a， ∴3a﹣2≤a， ∴a≤1， ∴0＜a≤1， ∴﹣2≤﹣2a＜0 ∵﹣1≤m＝1﹣2a＜1， ∴﹣1≤m＜1． 题型三 二次函数的几何变换综合 1．（2025·大丰区·校级月考）关于二次函数L1：y＝x2与L2：y＝﹣x2﹣2，若在同一平面直角坐标系内画出它们的图象，则下列说法不正确的是（　　） A．抛物线L1与L2的对称轴都是y轴 B．抛物线L1与L2关于直线y＝﹣1成轴对称 C．抛物线L1向下平移2个单位得到L2 D．抛物线L1与L2关于点（0，﹣1）成中心对称 【详解】解：抛物线L1与L2的对称轴都是y轴，故A不合题意； 设点（x，y）在二次函数L1的图象上，y＝x2， 则此点关于直线y＝﹣1的对称点坐标为（x，﹣2﹣y），即（x，﹣2﹣x2）， ∴点（x，﹣2﹣y）在抛物线y＝﹣x2﹣2上， ∴抛物线L1与L2关于直线y＝﹣1成轴对称，故B不合题意； 将抛物线y＝x2向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝x2﹣2，故C符合题意； 设点（x，y）在二次函数L1的图象上，y＝x2， 则此点关于（0，﹣1）的对称点坐标为（﹣x，﹣2﹣y），即（﹣x，﹣2﹣x2）， ∴（﹣x，﹣2﹣y）在抛物线y＝﹣x2﹣2上，故D不合题意． 故选：C． 2．（2024·徐州·期末）小徐说：若要二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0），可有4个方法： ①向右平移2个单位长度 ②向下平移4个单位长度 ③向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 其中正确的方法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①若要二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2， 当x＝2时，y＝0，平移后的图象过（2，0），正确； ②若要二次函数y＝x2的图象向下平移4个单位长度得到y＝x2﹣4， 当x＝2时，y＝0，平移后的图象过（2，0），正确； ③若要二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y＝（x﹣1）2﹣1， 当x＝2时，y＝0，平移后的图象过（2，0），正确； ④若要二次函数y＝x2的图象沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到y＝﹣x2+4， 当x＝2时，y＝0，平移后的图象过（2，0），正确． 故选：D． 3．（2024·姑苏区·校级期中）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2平移到抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1，点P（m，n1），Q（m，n2）分别在抛物线C1，C2上． 甲：无论m取何值，都有n2＜0； 乙：若点P平移后的对应点为P′，则点P移动到点P′的最短路程为； 丙：当﹣3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ先变长后变短． 下列判断正确的是（　　） A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 【详解】解：∵抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1开口向下，顶点为（2，﹣1）， ∴无论m取何值，都有n2＜0；故甲说得对； ∵将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2的顶点为（﹣1，2），抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1）， ∴将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1， ∴点P移动到点P′的最短路程为3，故乙说得对； ∵PQ＝|﹣（m+1）2+2+（m﹣2）2+1|＝|﹣6m+6|， ∴当﹣3＜m＜1时，PQ＝﹣6m+6， ∴PQ随着m的增大而减小， ∴当﹣3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ由长变短，故丙说得不对． 故选：A． 4．（2024·盱眙县·校级一模）已知二次函数y＝﹣x2+mx+n图象经过点（2，3）． （1）请用含m的代数式表示n； （2）当m＝2时； ①请求出此时二次函数图象的顶点坐标； ②当t≤x≤2时，总有2t≤y≤4，求实数t的值； ③当﹣1≤x≤t（t＞0）时，将相应的函数图象向下平移t个单位长度，将相应的新函数的函数值记为y′，若y′都满足﹣3≤y′≤3，求t的取值范围． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+mx+n图象经过点（2，3）， ∴﹣4+2m+n＝3， ∴n＝7﹣2m； （2）①当m＝2时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴此时二次函数图象的顶点坐标坐标为（1，4）； ②∵抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，函数有最大值4， ∵当t≤x≤2时，t≤1，总有2t≤y≤4， ∴当x＝t时，y＝2t或x＝2时，y＝2t， 当x＝t时，y＝2t，则﹣t2+2t+3＝2t，解得或（舍去）， 当x＝2时，y＝2t，则3＝2t，解得（舍去）， 综上，； ③由题意可得：平移后的解析式为y′＝﹣（x﹣1）2+4﹣t， 当0＜t＜1时，此时y随x增大而增大， 当x＝﹣1时，y＝﹣t，当x＝t时，y＝﹣t2+t+3， ∵﹣3≤y′≤3， ∴，解得：t≤0或1≤t≤3，不合题意，舍去； 当t≥1时，则当x＝1时，y＝4﹣t， ∴，解得：1≤t≤3； 综上所述，1≤t≤3． 题型四 根据二次函数的最值分类讨论求参 1．（2025·泗洪县·一模）二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为（　　） A．3 B．﹣1或3 C．﹣3或1 D．﹣3或3 【详解】解：当y＝6时，有x2﹣2x+3＝6，解得：x1＝﹣1，x2＝3． ∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）， 当x＜1时，y随x的增大而减少，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值6，分两种情况讨论： ①若1＜a≤x≤a+2时，当x＝a时，y的最小值是6， ∴a＝3， ②若a≤x≤a+2＜2时，当x＝a+2时，y的最小值是6， ∴a+2＝﹣1，解得：a＝﹣3． 故选：D． 2．（2023·高新区·校级月考）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（　　） A．3或1 B．3或3 C．3或1 D．1或1 【详解】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最大值﹣5， 可得：﹣（1﹣h）2+1＝﹣5，解得：h＝1或h＝1（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最大值﹣5， 可得：﹣（3﹣h）2+1＝﹣5，解得：h＝3或h＝3（舍； ③当1≤h≤3时，最大值为1，不符合题意； 综上，h的值为1或3． 故选：C． 3．（2025·无锡·校级二模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为　　． 【详解】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大， ∴当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值， ①当x＝n时，y取最大值，此时2，即n． 又∵此时y最大值为n2﹣4n+3＝2， ∴n＝2（不合题意，舍去）或n＝2； ②当x＝n+1时，y取最大值，此时2，即n． 又∵此时y最大值为（n+1）2﹣4（n+1）+3＝n2﹣2n＝2， ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去）； 综上，n＝2或1． 故答案为：2或1． 题型五 构造二次函数求最值（升级版） 1．（2025·海州区·期末）小红同学在解决问题“已知x﹣y＝4，求xy的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若x+2y＝﹣8，则式子2﹣xy（　　） 小红的思路 设x＝m+2，y＝m﹣2， 则xy＝（m+2）（m﹣2）＝m2﹣4， ∵m2≥0， ∴m2﹣4≥﹣4， ∴xy的最小值为﹣4． A．有最小值﹣8 B．有最大值﹣8 C．有最小值﹣6 D．有最大值﹣6 【详解】解：由题意可设x＝m﹣4，y， 则xy＝（m﹣4）（）， ∵m2≥0， ∴，即xy≤8， ∴2﹣xy≥﹣6， ∴2﹣xy有最小值为﹣6． 故选：C． 2．（2025·海门区·校级月考）若a、b满足a2+b2＝2+ab，则（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）的最大值与最小值的差为（　　） A．4 B． C． D． 【详解】解：∵a2+b2＝2+ab， ∴（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b） ＝4a2+9b2﹣12ab+a2﹣4b2 ＝5a2+5b2﹣12ab ＝5（a2+b2）﹣12ab ＝10+5ab﹣12ab， ＝10﹣7ab， ∵a2+b2＝2+ab， ∴（a+b）2＝2+3ab， ∴ab（a+b）2， ∴ab的最小值为， ∴﹣7ab的最大值为， ∴10﹣7ab的最大值为； ∵a2+b2＝2+ab， ∴（a﹣b）2＝2﹣ab≥0， ∴ab≤2， ∴﹣7ab≥﹣14， ∴10﹣7ab≥﹣4， ∴（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）的最大值与最小值的差为：（﹣4）． 故选：D． 3．（2025·东台市·期中）若实数x，y，m满足x+y＝2，2xy+m＝6，则代数式8xy+10的最大值为　　． 【详解】解：∵x+y＝2，2xy+m＝6， ∴y＝2﹣x， ∴m＝6﹣2xy＝6﹣2x（2﹣x）＝2（x﹣1）2+4， ∴m的最小值为4， ∵2xy+m＝6， ∴2xy＝6﹣m， ∴8xy+10＝4（6﹣m）+10＝﹣4m+34， ∴代数式8xy+10的最大值为18． 故答案为：18． 1．（2025·仪征市·一模）约定，当x＝1时，代数式2x2+mx+n的值记为C（1），当x＝2时，代数式2x2+mx+n的值记为C（2）.若C（m）＝C（n+1），且m≠n+1，则C（1）+C（2）的值为　　． 【详解】解：设y＝2x2+mx+n， 由抛物线的对称性及C（m）＝C（n+1）可得：， ∴3m+2n＝﹣2， ∴C（1）+C（2）＝2+m+n+8+2m+n＝10+3m+2n＝10﹣2＝8． 故答案为：8． 2．（2025·高邮市·一模）定义：若一个函数的图象上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图象上的“亮点”．例如：点P（3，1）是正比例函数的图象上的“亮点”． （1）一次函数y＝﹣x+5的图象上的“亮点”是　　； （2）若点M是反比例函数图象的“亮点”，一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点M，求b的值； （3）若二次函数y＝ax2﹣3x﹣c（a≠0）的图象经过点A（2，0），试说明无论a取何值，该二次函数的图象上一定存在“亮点”． 【详解】解：（1）设一次函数y＝﹣x+5的图象上的“亮点”是（x，x﹣2）， ∴x﹣2＝﹣x+5，解得：x， ∴x﹣2， ∴一次函数y＝﹣x+5的图象上的“亮点”是． 故答案为：； （2）∵点M是反比例函数图象的“亮点”， ∴x2，解得：x＝﹣1或x＝3， ∴M（﹣1，﹣3）或（3，1）， ∵一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点M， ∴﹣3＝2+b或1＝﹣6+b， ∴b＝7或﹣5； （3）∵二次函数y＝ax2﹣3x﹣c（a≠0）的图象经过点A（2，0）， ∴4a﹣6﹣c＝0， ∴c＝4a﹣6， ∴y＝ax2﹣3x﹣4a+6， ∵y＝ax2﹣4a﹣3x+6 ＝a（x+2）（x﹣2）﹣3（x﹣2） ＝（x﹣2）[a（x+2）﹣3]， ∴x＝2时，y＝0， ∴二次函数y＝ax2﹣3x﹣c（a≠0）的图象上有定点（2，0）， ∴无论a取何值，该二次函数的图象上一定存在“亮点”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $