专题03 压轴题数轴动点分类（期中真题汇编，重庆专用）七年级数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03压轴题数轴动点分类 ☆3大高频烤点概览 考点01动点变速问题 考点02多动点问题 考点03折线问题 考点04最值问题 考点05定值问题 目目 考点01 动点变速问题 1.(24-25七上重庆巴蜀中学.半期)己知点P、C、Q在数轴上对应的数为-16、20、40. P D A -16 0 20 40 图① P N MO -16 20 40 图② (1)如图①，动点D从点P以每秒2个单位的速度向数轴的正方向运动，到达点A时方向不变，速度变为每 秒3个单位；动点E从点Q开始以每秒4个单位的速度向数轴的负方向运动，到达点C时方向不变，速度变 为每秒2个单位，点D、点E两点同时开始运动 ①当运动 秒时，点D与点E相遇； ②当点D与点E的距离是6时，请求出运动的时间. (2)如图②，线段M但的长度为4（点M在点Q左侧），线段PN的长度为6（点N在点P右侧)·若PN从 点P出发（运动后为P'W'),以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时MQ从点Q出发（运 动后为M),以每秒4个单位的速度沿着数轴的负方向运动；当点N'运动到点A时，线段P'W'立即以原 来速度的2倍继续沿数轴正方向运动，当点N'运动到点C时，线段P'W'变为原速继续向正方向运动，当点 N与点Q重合时运动停止：当点M运动到点C时，线段M口的速度变为医来的？，当点M”运动到点A时， 线段M⑨变为原速返回至初始位置停止运动.设M⑨出发的时间为t秒，在整个运动过程中，是否存在时 间t使两条线段重叠部分的长度为3，若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由。 2.(24-25七上·重庆南开融侨中学期末)如图，数轴上有A,B,C三个点，分别表示数-20，-8,16，有 两条动线段PQ和MN(点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边)， / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PQ=2,MN=4,线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段P2以每秒3个单 位的速度从点A开始向右匀速运动.当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到 点A时，线段P?、MN同时停止运动.设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）， PA(O)M B(N) C -20 -8 0 16 (1)当t=20时，点M表示的数为一，点Q表示的数为 (2)在整个运动过程中，当CQ=PM时，求出点M表示的数. (3)在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复， 请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1.5时所对应的t的值， 目目 考点02 多动点问题 3.(24-25七上·重庆合川七校联盟·期中)阅读下面材料：若点A、B在数轴上分别表示实数α、b,则 A、B两点之间的距离表示为AB,且AB=a-b; 回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是_； ②在①的情况下，如果AB=3,那么x为 (2)当代数式x+1+x-2取最小值时，求此时x的取值范围及该代数式的最小值. (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数a、b、c,a是最大的负整数，且(c-5)+a+b=0, ①求出a、b、c的值. ②点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分 别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为 BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说 明理由；若不变，请求其值 B 4.(24-25七上·重庆西南大学附中·期中)阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a,B点表示的数为b,则点A到点B的距离记为AB,线段AB的长可以 / 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 用右边的数减去左边的数表示，即AB=b-a. LaA11bBL→ -2-10123 图1 -6-5-4-3-2-1012345 图2 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移 动9cm到达C点，用1个单位长度表示lcm. (I)请你在数轴上表示出A,B,C三点的位置： (2)点C到点A的距离CA=cm;若数轴上有一点D,且AD=5,则点D表示的数为 (3)若将点A向右移动xCm,则移动后的点表示的数为；（用代数式表示） (4)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A.C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间 为t秒，试探索：AC-AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由 5.(24-25七上·重庆西南大学附中期中)如图，已知数轴上点A表示的数为-4，B、C是数轴上原点右侧 的点，其中，AB=5,B是AC的中点. OB (I)点B表示的数是_，点C表示的数是_ (②)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，多少秒后点M与点C相距3个单位长 度？ (3)动点P、R分别从点A、B同时出发，分别以每秒2个、1个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q 从点C出发，以每秒1.5个单位长度的速度向左匀速运动，每当两动点相遇时，相遇的两动点会立即以原 速往相反方向运动，令运动时间为，当：P口=RQ时，求t的值 6.(24-25七上·重庆八中.期中)已知a为最大的负整数，|b=1,c=5,且bc>0,b+c>0,请解决下列 问题 (1)a= ，b=,c= (2)在数轴上，a,b,c所对应的点分别为点A,B,C,点P为数轴上点A,B之间一点（不包括点A,B) 其对应的数为x,化简：x+1-3x-1-2x-5. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)在(2)的条件下，点A,B,C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向数轴负方向运 动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度向数轴正方向运动.设运动时 间为t秒，则BC-AB的值是否随时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出该值 目目 考点03 折线问题 7.(24-25七上·重庆八中宏帆期中)【背景引入】数轴是数形结合思想的重要工具.如图，某数学兴趣小 组利用“希沃白板”模拟研发了一条类似数轴的“弯折数轴”，创设以下条件：点A表示数-10，点C表示数 4,O为原点，点D表示数12，点B表示数24.并规定：「AB]表示A、B两点间线段（或折线段）的长度， 如：[AB]=AC+CO+OD+DB=34,[AC]=6; 【问题情境】若点P从点A沿弯折数轴以2个单位长度/秒的速度向正方向运动，同时点Q从点B沿弯折数 轴以4个单位长度/秒的速度向负方向运动，且P、Q两点在CO段的速度变为在水平线上的一半，在0D上 的速度变为在水平线上的1.5倍.当点P运动到点D时即停止运动，此时点Q也随之停止运动，设P点运动 的时间为t秒 【初步认知】 (1)当t=1时，[PQ]= (2)P、Q两点在线段 上相遇，请求出它们相遇时的运动的时间t; 【深入探究】 (3)当满足条件[PQ]=4[PO]时，点P的运动时间t是多少？ D 8.(24-25七上·重庆兼善中学.半期)如图，将一条数轴在原点0和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”. 图中点A表示-6，点B表示8，点C表示16，我们称点A和点C在数轴上相距22个单位长度.动点P从点 A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点0运动到点B期间速度变为原来的 2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动， 从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒. 0 6 B C 8 16 (1)动点P从点A运动至点C需要多少秒？ 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 (②)P、Q两点相遇时，求相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，O、P两点在数轴上相距的距离与B、Q两点在数轴上相距的距离相等. 9.(2425七上重庆清华中学教育集团期中)如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折 线数轴”，图中，点A表示的数为-8，点B表示的数为6，点C表示的数为12，我们称点A和点C在数轴 上相距20个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运 动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿 着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.设运动的 时间为t秒，则： 0 -8 0 (1)动点P从点A运动至点O需要秒，从点O运动至点B需要_秒，从点B运动至点C需要_秒 (2)若P,Q两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少？ (3)请直接写出当t为何值时，P,O两点在数轴上相距的长度与2，B两点在数轴上相距的长度相等， 10.(24-25七上重庆西南大学附中期中)(a+6)+c-10=0,如图1，点B与点A到原点的距离相等， Q、b、C分别表示A、B、C三点在数轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点O和点B处各弯折一次， 使A0与BC处于水平位置、动点P从点A出发到点C停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上 坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点Q从点C处出发到点A停止，以每秒1个单位的 速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复为原来的速度，若P、Q同时出发，设 运动时间为t. B A B C A→P 图1 图2 (1)a=,b=c= (2)当P、Q两点相遇时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在t,使动点Q、B两点在数轴上相距的长度是P、0两点在数轴上相距的长度的 1.5倍，若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由. 11.(24-25七上重庆清华中学半期)如图，将一条数轴在原点0和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”， 图中，点A表示的数为-8，点B表示的数为6，点C表示的数为12，我们称点A和点C在数轴上相距20 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 个长度单位，动点P从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间 速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的 负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒，则： B 6 12 A P 0 -8 0 (1)动点P从点A运动至点O需要_秒，从点O运动至点B需要秒，从点B运动至点C需要秒. (2)若P,Q两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少？ (3)请直接写出当t为何值时，P,O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等， 12.(24-25七上重庆凤鸣山中学教育集团期中)如图，将一条数轴在原点0和点B处各折一下，得到一 条“折线数轴”.图中点A表示一7，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距25 个单位长度.动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向 运动，从点0运动到点B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；动点？从点C出发，以2个单位 长度/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点0期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢 复原速. A→P 10 (1)求动点P从点A运动到点C共需多少秒？ (2)当P、Q两点相遇时，求相遇点M所对应的数是多少？ (3)设P、Q两点的运动时间为t秒，当P、0两点在“折线数轴”上相距的长度与Q、B两点在“折线数轴”上 相距的长度相等时，请直接写出t的值. 13.(24-25七上重庆南开中学期中)点M,N在数轴上分别表示有理数m,n且满足 (m+4)2+n-4=0.现将数轴在点M，N处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”， 其中点S为绳子上一点且满足MS=S.在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之 和，如图1，A,M两点的距离为线段AM的长，记为Dw=AM,记A,B两点的距离为 Dn=BN NS+SM +MA. / 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (1)请直接写出m= ； (2)若MS=6,点B在数轴上表示有理数6，一动点P从点M出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方 向运动，同时，另一动点Q从点B出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点S 处均停止，设运动时间为t秒，请问t取何值时，使得Dpv+Dow=Dw-2? (3)如图2，已知MS=9,动点P从点M出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点Q从 点N出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点P速度立即变为原来的一 半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点Q保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动.设运动时间为 t秒，是否存在t使得Dw=3Dow？如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由. 目目 考点04 最值问题 14.(24-25七上·重庆江津双福育才中学期中)【用数学的眼光观察现实世界】若点A,B在数轴上分别 表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB,则AB=a-b.即5-3表示5与3两数在数轴上所 对应的两点之间的距离 65432012345678→ 【用数学的思维思考现实世界】 (1)点A、B表示的数分别为-6,2，则AB= ,x+2在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数 的点的距离 (2)①求x-2+x-3+x+4的最小值，并写出此时x的值. ②当x满足什么条件时，x-3+x+6取得最小值，最小值是多少？ (3)当x取何值时，2x-5+3x+2取得最小值，最小值是多少？ 15.(24-25七上·重庆兼善中学半期)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”， 数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，2-(-3)既可以表示2与-3之差的绝对值，也可以表示2 和-3这两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离.如图，在数轴上有一根铁丝，铁丝的左端点A对应的 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 数为-6，右端点B对应的数为-3.现将铁丝向右移动，此时点A对应的数为Q,点B对应的数为b.请结 合上述内容解答下列问题： A B 765-432012345→ (1)铁丝的长为 (2)若铁丝向右移动1个单位长度，则a+b=； (3)若a+b=11,请计算铁丝向右移动的距离； (4)+b是否有最小值？如果有，请直接写出该最小值；如果没有，请说明原因. 16.(24-25七上·重庆綦江区联盟校期中)认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间 的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值，如图1，在数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为1，点 C表示的数为3，则B,C之间的距离表示为：BC=3-,A,C之间的距离表示为： AC=3-(-2=3+2.若点P在数轴上表示的数为x,则P,A之间的距离表示为：PA=x-(-2=x+2 ,P,B之间的距离表示为：PB=x-1. 图1 利用数轴探究下列问题： (1)x+2+x-1的最小值是，此时x的取值范围； (2)请按照(1)问的方法思考：x+3+x-1+x-2的最小值是，此时x的值是： (3)如图2，在一条笔直的街道上有E,F,G,H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为100m,己知 E,F,G,H四个小区各有2个，1个，2个，2个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个 同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有 学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有学生从小区门口到汇合 地点的路程之和的最小值. E F GH 图2 17.(24-25七上·重庆十一中教育集团期中)结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： -5-4-3-2-1012345→ (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_；表示-3和2两点之间的距离是_；一般地，数轴上表示数m和 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数n的两点之间的距离等于m-.如果表示数a和-1的两点之间的距离是3，那么a=-· (2)当a+4+a-2=6时，所有可能整数a的和为多少？ (3)a+3+a-1+a-4有最小值吗？如果有，请求出它的最小值，并指明此时a的取值 18.(24-25七上重庆万州文德初中期中)认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间 的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值，如图1，在数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为1， 点C表示的数为3，则B,C之间的距离表示为：BC=3-1,A,C之间的距离表示为： AC=3-（-2=|3+2.若点P在数轴上表示的数为x,则P,A之间的距离表示为：PA=x-(-2=x+2, P,B之间的距离表示为：PB=x-1 B -5-4-3-2-101234 图1 E F 图2 利用数轴探究下列问题： (1)x+2+x-1的最小值是_，此时x的取值范围_： (2)请按照(1)问的方法思考：x+3+x-1+x-2的最小值是_，此时x的值是-： (3)x-4+x-4+x++x+x的最小值是_，此时x的值是_： (④)如图2，在一条笔直的街道上有E,F,G,H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为200m.已知E ,F,G,H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同 学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校.聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学 生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有学生从小区门口到汇合地 点的路程之和的最小值. 目目 考点05 定值问题 19.(24-25七上重庆九十五中.半期)如图1，在数轴上点M表示的数为m,点N表示的数为n,点M到 点N的距离记为MN,即MN=m-n,如图2，在数轴上点A表示数a,点B表示数b,点C表示数c,a 是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式2x3y2-3x+1的次数. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·LM 上上 m 0 A B 图1 图2 (1)a=-,b=-,c=_ (2)x是数轴上任意一个有理数，则x+3+x-4有最小值是_，x+3-x-4有最大值是_，当x+3引-x-4取 得最大值时相应的有理数x的取值范围是_· (3)如图3，点E,F,G是数轴上的三点，E点表示数是-5，F点表示数是-2，G点表示数是6，点E,F, G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3个单位 长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为EF,点E与点G之间 的距离表示为EG,点F与点G之间的距离表示为FG,若mFG-3EF的值是一个定值，请求出m的值. E F G 6方432101234567→ 图3 20.(24-25七上重庆渝北实验中学期中)如图：在数轴上点A表示数-2，点B表示数1，点C表示数8， 点A,点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 设运动时间为t秒(t>0). 。 -11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-101234567891011 (I)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：AC表示点A到点C之间的距离，运动之前，AC的距离 为 ,运动t秒后，点A表示的数为 (用含t的式子表示)； (2)若t秒钟过后，点C在线段AB之间，且AC-2BC=0,求t值； (3)当点C在点B右侧时，是否存在常数m,使m·BC-AB的值为定值？若存在，求出m和m·BC-AB的值； 若不存在，请说明理由. 21.(24-25七上·重庆育才中学.半期)己知点A、点B在数轴上分别对应有理数a、b,其中a、b满足 a-16+b+8=0. (1)a= ,b= (2)如图，点C在点A、点B之间（点C不与A、B重合），现有一个小球从A出发向左匀速运动，经过一 秒到达AC的中点，又经过四秒之后到达BC的中点，试求点C所对应的有理数； (3)在(2)的条件下，动点P从B点出发沿数轴以每秒6个单位的速度向右运动，当点P运动到点A之后 立即以原速沿数轴向左运动.动点P从B点出发的同时，动点Q从C点出发沿数轴以每秒1个单位的速度 向右运动，动点M也从A点出发沿数轴以每秒3个单位的速度向左运动.设运动的时间为t秒，是否存在 专题03 压轴题数轴动点分类 3大高频考点概览 考点01 动点变速问题 考点02 多动点问题 考点03 折线问题 考点04 最值问题 考点05 定值问题 地 城 考点01 动点变速问题 1．（24-25七上·重庆巴蜀中学·半期）已知点、、在数轴上对应的数为、、． (1)如图①，动点从点以每秒个单位的速度向数轴的正方向运动，到达点时方向不变，速度变为每秒个单位；动点从点开始以每秒个单位的速度向数轴的负方向运动，到达点时方向不变，速度变为每秒个单位，点、点两点同时开始运动． ①当运动秒时，点与点相遇； ②当点与点的距离是时，请求出运动的时间． (2)如图②，线段的长度为（点在点左侧），线段的长度为（点在点右侧）．若从点出发（运动后为），以每秒个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时从点出发（运动后为），以每秒个单位的速度沿着数轴的负方向运动；当点运动到点时，线段立即以原来速度的倍继续沿数轴正方向运动，当点运动到点时，线段变为原速继续向正方向运动，当点与点重合时运动停止；当点运动到点时，线段的速度变为原来的，当点运动到点时，线段变为原速返回至初始位置停止运动．设出发的时间为秒，在整个运动过程中，是否存在时间使两条线段重叠部分的长度为，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)或或或或 【来源】重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年七年级上学期半期考试数学试题 【分析】（1）①先求得秒后，点表示的数是，点表示的数是，进而设秒后相遇，则点表示的数为，点表示的数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； ②根据点与点的距离是时，分相遇前与相遇后列出方程，即可求解； （2）根据题意分析得出线段在运动过程中，、点表示的数，线段在运动过程中，、点表示的数，列出代数式，进而分三种情况讨论，当线段，在相向运动时，当返回时，追及过程中，当停止时，结合数轴，根据两条线段重叠部分的长度为，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①根据图①可得，点表示的是，点、、在数轴上对应的数为、、 ∴， 当到达点时，所用时间为秒， 当到达点时，所用时间为秒，当继续运动秒，此时点表示的数为， ∴秒后，点表示的数是，点表示的数是， ∵ ∴相遇在之间， 设秒后相遇，则点表示的数为，点表示的数为 ∴ 解得：； ②设点与点的距离是时，运动的时间为， ∴或 解得：或； （2）解：∵线段的长度为（点在点左侧），线段的长度为（点在点右侧）．点、、在数轴上对应的数为、、． ∴表示的数是，点表示的数是 当到达点时，所用时间为秒， 当点运动到点时，所用时间为秒 当点与点重合时，所用时间为秒， 线段在运动过程中，依题意， ①当时，点表示的数为，点表示的数为 ②当时，点表示的数为，点表示的数为 ③当时，点表示的数为，点表示的数为 当点运动到点时，所用时间为秒， 当点运动到点时，所用时间为秒， 当变为原速返回至初始位置，所用时间为：秒， 线段在运动过程中，依题意， ①当时，点表示的数为，点表示的数为 ②当时，点表示的数为，点表示的数为 ③当时，点表示的数为，点表示的数为 当线段，在相向运动时，当时两条线段重叠部分的长度为，即或 则或 解得：或； 当返回时，追及过程中，则或 即时，则或 解得：或 当停止时，即时，线段继续运动， 则， 解得：， 综上所述，或或或或． 【点睛】本题考查了数轴上动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论求得动点表示的数是解题的关键． 2．（24-25七上·重庆南开融侨中学·期末）如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数，16，有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点M表示的数为　　，点Q表示的数为　　． (2)在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． (3)在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1.5时所对应的t的值． 【答案】(1)8， (2)或2 (3)5.5或8.5或18.25或19.75 【详解】（1）解：依题意，∵， ∴当时，点M表示的数为8； ∵， ∴当时，点Q表示的数为； 故答案为：8，； （2）解：当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时 当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴当时，点M表示的数是或2； （3）解：当从A向C运动时， 时，与开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为，P表数为，M表示的数为，N表示的数是， 若线段和重合部分长度为1.5 则 或， 解得或， 由 得， ∴当时，与的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q表示的数是1， 再过（秒），Q到达C，此时， 则M所在点表示的数是，N所在点表示的数4， 当从C向A运动时， 时，与开始有重合部分，有重合部分时， Q表示的数为，表示的数为， M表示的数为，N表示的数是， 若线段和重合部分长度为1.5， 或， 解得或， ∴重合部分长度为1.5时所对应的t的值是5.5或8.5或18.25或19.75． 地 城 考点02 多动点问题 3．（24-25七上·重庆合川七校联盟·期中）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点A和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)当代数式取最小值时，求此时的取值范围及该代数式的最小值． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①求出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点A与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)①；②或5 (2)当时，最小，最小值是 (3)①，，；②不变，2 【来源】重庆市合川区初中“七校联盟”2024-2025学年七年级上学期期中质量检测 数学试题 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是； ②∵，即， ∴， ∴或． 故答案为：①；②或5； （2）解：∵， ∴即为数轴上表示数x的点到表示的点的距离与该点到表示数2的点的距离之和，如下图，    ∴的最小值，即数轴上表示数x的点到表示的点的距离与该点到表示数2的点的距离之和最小， ∴当时，最小，最小值是； （3）解：①∵是最大的负整数， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， ∴，，； ②的值不随着时间的变化而改变，其值是2，理由如下： ∵点以每秒1个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴． 4．（24-25七上·重庆西南大学附中·期中）阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置： (2)点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________； (3)若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示） (4)若点B以每秒的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1)A表示，B表示，C表示4，图见解析； (2)6；或3； (3)； (4)不会变化，理由见解析． 【详解】（1）A：，即，A表示， B：，即，B表示， C：，即，C表示4， A、B、C三点的位置如图所示： （2）（cm）； 设D表示的数为a， ， ，解得：或， 点D表示的数为或3； 故答案为：6；或3； （3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； 故答案为： （4）的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意得：平移后，cm ， ， ， 的值恒为3，不会随着t的变化而变化． 5．（24-25七上·重庆西南大学附中·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为，B、C是数轴上原点右侧的点，其中，，B是的中点．    (1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ； (2)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，多少秒后点M与点C相距3个单位长度？ (3)动点P、R分别从点A、B同时出发，分别以每秒2个、1个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1.5个单位长度的速度向左匀速运动，每当两动点相遇时，相遇的两动点会立即以原速往相反方向运动，令运动时间为t，当时，求t的值． 【答案】(1)1，6 (2)或秒 (3)或或 【详解】（1）解：∵A表示的数为，，B在A的右侧， ∴B表示的数为， ∵B是的中点， ∴， ∴C表示的数为． 故答案为：1，6； （2）解：设点M运动t秒后与点C相距3个单位长度，此时M表示的数为， 当M在C的左侧时，， 解得； 当M在C的右侧时，， 解得； ∴或秒后点M与点C相距3个单位长度； （3）解：当R、Q相遇时，， 此时P表示的数为， ∴R、Q 相遇前，P、R没有相遇， 当时，P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 当时，当R、Q相遇时，相遇点表示的数为，此后R、Q变向，即R向左运动，Q向右运动， 此时P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 当P、R相遇时，，相遇点表示的数为，此后P、R变向，即P向左运动，R向右运动， 此时P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 此后P向左运动，R向右运动，Q也向右运动，且Q的运动速度大于R的运动速度，则Q、R不再相遇． 综上，当或或时，． 6．（24-25七上·重庆八中·期中）已知a为最大的负整数，，且，，请解决下列问题． (1)a＝______，b＝______，c＝______． (2)在数轴上，a，b，c所对应的点分别为点A，B，C，点P为数轴上点A，B之间一点（不包括点A，B）其对应的数为x，化简：． (3)在（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向数轴负方向运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度向数轴正方向运动．设运动时间为t秒，则的值是否随时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出该值． 【答案】(1)；1；5 (2)； (3)值的不随着时间t的变化而改变．该值为2． 【详解】（1）解：∵， ∴b、c同号， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a是最大的负整数， ∴， 故答案为：；1；5； （2）解：当时，， ∴ ； （3）解：不变，理由如下： 由题意可得，t秒时，点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为， ∴，， ∴， 即值的不随着时间t的变化而改变． 【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，数轴上点的特点是解题的关键． 地 城 考点03 折线问题 7．（24-25七上·重庆八中宏帆·期中）【背景引入】数轴是数形结合思想的重要工具．如图，某数学兴趣小组利用“希沃白板”模拟研发了一条类似数轴的“弯折数轴”，创设以下条件：点表示数，点表示数为原点，点表示数12，点表示数24．并规定：表示A、B两点间线段（或折线段）的长度，如： 【问题情境】若点从点沿弯折数轴以2个单位长度/秒的速度向正方向运动，同时点从点沿弯折数轴以4个单位长度/秒的速度向负方向运动，且P、Q两点在CO段的速度变为在水平线上的一半，在上的速度变为在水平线上的倍．当点运动到点时即停止运动，此时点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． 【初步认知】 （1）当时，_________； （2）P、Q两点在线段_________上相遇，请求出它们相遇时的运动的时间； 【深入探究】 （3）当满足条件时，点的运动时间是多少？ 【答案】（1）；（2）；它们相遇时的运动的时间；（3）点的运动时间为秒． 【详解】解：（1）当时，，， ∴， 故答案为：； （2）点在上用时：（秒）， ∵，点在上的速度是（个单位长度/秒）， ∴点在上用时：（秒）， ∵，点在上的速度是（个单位长度/秒）， ∴点在上用时：（秒）， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴点在上用时：（秒）， ∵，点在上的速度是（个长度单位/秒）， ∴点在上用时：（秒）， ∵，点在上的速度是 (个单位长度/秒）， ∴点在上用时：（秒）， ∵点从到用时为：（秒），点到用时为：（秒），秒时，点在上， ∴、两点在线段上相遇， ∵点在上运动的速度是个单位长度/秒，点在上运动的速度是（个单位长度/秒），， ∴， 解得：， 故答案为：；它们相遇时的运动的时间； （3）分以下情况： ①当秒时，点在上，点在上， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得：， ②当，点在上，点在上 ∵ ， ， ∵， ∴， 解得：（舍去）； ③当时，点在上，点在上， ， ， ∵， ∴， 解得：（舍去）； 综上所述，点的运动时间为秒． 8．（24-25七上·重庆兼善中学·半期）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【答案】(1)点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； (2)对应的数为：4； (3)当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【来源】重庆市兼善中学2024-2025学年上学期七年级半期考试数学试题 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）由分别在上的运动时间之和可得答案； （2）先判断相遇点在上，再列式计算即可； （3）分情况讨论：当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，再利用、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A运动至C点需要的时间 （秒） 答：点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； （2）解：当时，重合，而的运动路程为， ∴此时在上，即相遇点在上， ∴相遇时间为， ∴对应的数为：； （3）解：当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 综上：当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 9．（24-25七上·重庆清华中学教育集团·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为，点B表示的数为6，点C表示的数为，我们称点A和点C在数轴上相距个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，则： (1)动点P从点A运动至点O需要 秒，从点O运动至点B需要 秒，从点B运动至点C需要 秒． (2)若两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少？ (3)请直接写出当t为何值时，两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)； (2)点M在折线数轴上所表示的数是； (3)t的值为2或5或8或 【来源】重庆市清华中学教育集团2024—2025学年上学期七年级期中数学试卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意列出方程解决问题． （1）根据时间路程速度列式计算即可得到答案； （2）求出Q从C到B需要6秒，可知M表示的数可表示为，也可表示为，故，解出t的值，即可得到答案； （3）分①P在上，Q在上，②P在上，Q在上，③P在上，Q在上，④P在上，Q在上，四种情况列方程即可解得答案． 【详解】（1）∵点A表示的数为， 点B表示的数为6， 点C表示的数为， ∵动点P从点A出发，以2单位/秒的速度运动， ∴动点P从点A运动至点O需要（秒）， 从点O运动至点B需要（秒）， 从点B运动至点C需要（秒）； （2）根据题意知，M在上， ∵Q从C到B需要6秒， ∴M表示的数可表示为， 也可表示为， ∴， 解得， ∴， ∴点M在折线数轴上所表示的数是； （3）①当P在上，Q在上时， ，， ∴， 解得； ②当P在上，Q在上时， ， ∴， 解得； ③当P在上，Q在上时， ， ∴， 解得； ④当P在上，Q在上时，Q从B到O需要3秒， ， ∴， 解得． 10．（24-25七上·重庆西南大学附中·期中），如图1，点与点到原点的距离相等，、、分别表示、、三点在数轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点和点处各弯折一次，使与处于水平位置、动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复为原来的速度，若、同时出发，设运动时间为． (1)_____，_____，_____； (2)当、两点相遇时，求运动时间的值； (3)在运动过程中，是否存在，使动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当、两点相遇时，运动时间的值为 (3)存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或 【来源】重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年七年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了非负性，数轴上动点问题，一元一次方程的运用，理解数轴动点的运动中的数量关系，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据非负性，相反数即可求解； （2）分别用含的式子表示出点运动的路程，根据相遇问题，分类讨论即可求解； （3）分别用含的式子表示出点表示的数，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点与点到原点的距离相等， ∴点表示的数为，即， 故答案为：； （2）解：动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，设运动时间为， 由（1）可知，当在点表示的数为，点表示的数为， ∴点从的时间为，从的时间为，从的时间为， 点从的时间为，从的时间为，从的时间为， ∴当时，点在上，点在上，不能相遇，不符合题意； 当时，点走的路程为， 点走的路程为， 当、两点相遇时，， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，， 解得，； ∴当、两点相遇时，运动时间的值为； （3）解：存在，理由如下， 第一种情况：时，点在上，点在上， 点、两点在数轴上相距为：， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 第二种情况：时，点在上、在上， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得：； 第三种情况：时，点、在上， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 第四种情况：时，点在上，点在上， 点、两点在数轴上相距为：， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得：；（舍去） 第五种情况：时，点在上，点在上时， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，（舍去）； 综上所述，存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或． 11．（24-25七上·重庆清华中学·半期）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点表示的数为，点表示的数为6，点表示的数为12，我们称点和点在数轴上相距20个长度单位，动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒，则： (1)动点从点运动至点需要 秒，从点运动至点需要 秒，从点运动至点需要 秒． (2)若，两点在点处相遇，则点在折线数轴上所表示的数是多少？ (3)请直接写出当为何值时，，两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)4，6，3 (2) (3)或5，8，11 【来源】重庆市清华中学2024-2025学年上学期七年级数学半期考试卷 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用路程除以速度求解即可得到答案； （2）先判断在段相遇，再利用相遇时两点的路程和为6，再列方程求解即可； （3）分四种情况讨论：①当点P在上，点Q在上时；②当点P在上时，点Q在上时；③当点P在上时，点Q在上时；④当点P在上时，点Q在上时，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：动点P从点A运动至点O需要秒， 从点O运动至点B需要秒， 从点B运动至点C需要秒． 故答案为：4，6，3； （2）解：动点Q从点C运动至点B需要秒， 从点B运动至点O需要秒， 从点O运动至点A需要秒． 由题意可得在段相遇， ∴， 解得， ∴点在折线数轴上所表示的数是； （3）解：①当点P在上，点Q在上时，， ∵， ∴， 解得； ②当点P在上时，点Q在上时，， ∵， ∴， 解得； ③当点P在上时，点Q在上时，， ∵， ∴， 解得； ④当点P在上时，点Q在上时，， ∵， ∴， 解得； 综上：当或5，8，11时秒，． 12．（24-25七上·重庆凤鸣山中学教育集团·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示－7，点表示10，点表示18，我们称点和点在“折线数轴”上相距25个单位长度．动点、同时出发，点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速． (1)求动点从点运动到点共需多少秒？ (2)当、两点相遇时，求相遇点所对应的数是多少？ (3)设、两点的运动时间为秒，当、两点在“折线数轴”上相距的长度与、两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，请直接写出的值． 【答案】(1)20秒 (2) (3)或或或 【来源】重庆市凤鸣山中学教育集团校2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用： （1）根据时间等于路程除以速度，分3段，计算即可； （2）先确定点在段相遇，求出点到达点时，点在上运动的路程，用点的速度乘以相遇所需的时间，即可得出结果； （3）分四种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A运动至C点需要的时间为： 答：点P从点A运动至C点需要的时间是20秒； （2）由题可知，点P从点A到点O需要7秒，点Q从点C到点B需要4秒， ∵， ∴当点到达点时，此时点Q 运动的长度为， ∴点在上运动的路程为：， 则P，Q两点的相遇点M在上， 此时， 答：相遇点M所对应的数是； （3）由题意，可知：点P从点A到点O需要7秒，点P从点O到点B需要5秒，点Q从点C到点B需要4秒，点从到需要秒， 共有 4 种可能： ①当动点P在上，动点Q在上时，则：，解得：； ②当动点P在上，动点Q在上时，则：，解得：； ③当动点P在上，动点Q在上时，则：，解得：； ④当动点P在上，动点Q在上时，则：，解得：． 综上：的值为或或或． 13．（24-25七上·重庆南开中学·期中）点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为． (1)请直接写出________，________； (2)若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？ (3)如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4 (2) (3)存在，或 【来源】重庆南开中学 2024—2025学年上学期七年级期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了非负数和为零的条件、数轴上动点问题、相遇问题的一元一次方程的应用等知识点， （1）由题中条件，利用平方与绝对值非负性，结合非负式和为0的条件求解即可得到答案； （2）由含t的代数式表示出，，，再列方程求解即可得到答案； （3）根据数轴上动点问题，分相遇前和相遇后分两种情况列方程求解即可得到答案； 根据题意，数形结合列方程求解是解决问题的关键． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）∵， ∴点N在数轴上表示有理数4， ∵点B在数轴上表示有理数6， ∴B点位置如图所示， ∵， 由题意知，，，， ∵， ∴， 当时，， ∴（舍去）， 当时，， ∴时，使得； （3）存在，理由如下， ∵， ∴相遇时，两点各自运动的时间为（秒）， ∴由题意知，当时，，， ∴， ∴（舍去）， 当时，，， ∴, ∴， 当时，， ∴； ∴综上所述，当或时，． 14．（24-25七上·重庆江津双福育才中学·期中）【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．地 城 考点04 最值问题 【用数学的思维思考现实世界】 (1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离． (2)①求的最小值，并写出此时x的值． ②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？ (3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)①当时，取得最小值7；②当时，取得最小值9； (3)14 【详解】（1）解：，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数的点的距离； 故答案为：，； （2）解：①表示到的距离与到2的距离以及到3的距离之和， 所以当时，的值最小为； ②∵表示到的距离与到3的距离之和， ∴当时，的值最小为； （3）解：∵表示到的距离3倍的与到5的距离的2倍之和， ∴x越接近，的值越小， ∴当时，的值最小为． 15．（24-25七上·重庆兼善中学·半期）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，既可以表示2与之差的绝对值，也可以表示2和这两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离．如图，在数轴上有一根铁丝，铁丝的左端点对应的数为，右端点对应的数为．现将铁丝向右移动，此时点对应的数为，点对应的数为．请结合上述内容解答下列问题： (1)铁丝的长为_______； (2)若铁丝向右移动1个单位长度，则_______； (3)若，请计算铁丝向右移动的距离； (4)是否有最小值？如果有，请直接写出该最小值；如果没有，请说明原因． 【答案】(1) (2) (3)铁丝向右移动个单位长度时，． (4)有，的最小值为． 【来源】重庆市兼善中学2024-2025学年上学期七年级半期考试数学试题 【详解】（1）解：∵铁丝的左端点对应的数为，右端点对应的数为， ∴铁丝的长为； （2）解：∵铁丝向右移动1个单位长度， ∴，， 则； （3）解：设铁丝向右移动个单位长度，， ∴，， ∵， ∴， ∴当时， ∴， 解得：， 当时， ∴，舍去， 当时， ∴， 解得：（不符合题意舍去）， ∴铁丝向右移动个单位长度时，． （4）解：由（3）可得：设铁丝向右移动个单位长度，， ∴， 当时， ∴； 当时， ∴， 当时， ∴， ∴， 综上：的最小值为． 16．（24-25七上·重庆綦江区联盟校·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)米 【来源】重庆市綦江区联盟校2024-2025学年七年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】（）由可知式子表示到和到的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解； （）同理（）解答即可； （）以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分、、时，去绝对值，得出的取值范围，可知当时，即点与点重合时，该距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴式子表示到和到的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为，此时的取值范围， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子表示分别到、、的距离之和， 同（1）可知，时，到到、的距离之和最小， ∴当时，分别到、、的距离之和最小， 即时，分别到、、的距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （3）解：如图，以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 由（1）（2）可知点在、之间， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：当时，即点与点重合时，该距离之和最小，最小值为， 17．（24-25七上·重庆十一中教育集团·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么 ． (2)当时，所有可能整数a的和为多少？ (3)有最小值吗？如果有，请求出它的最小值，并指明此时a的取值． 【答案】(1)3；5；或 (2) (3)7 【详解】（1）， 4和1的两点之间的距离是； ， 和2两点之间的距离是5； ， 或， 解得或． （2）， 数a在点与2两点之间， 与2两点之间的整数点有， ． （3）当数a位于和之间的位置时，的值最小， 当时最小， 时，为最小值． 18．（24-25七上·重庆万州文德初中·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是 ，此时x的取值范围 ； (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是 ，此时x的值是 ； (3)的最小值是 ，此时x的值是 ； (4)如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)3； (2)5，1 (3)9，0 (4)汇合地点M的位置在点F时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1200米 【详解】（1）如图 ①若点P在点A左侧，得，， ， ②若点P在线段上，得，， ， ③若点P在点A左侧，得，， ， ④有图可知，当时，最小，最小值3， 故答案为：3； （2）的几何意义是表示数x的点与，1，2三数对应点的距离之和， 当时，距离之和最小，最小值为，2对应点间的距离， 的最小值为； 故答案为：5；1 （3）的几何意义是表示数x的点与，0，4三数对应点的距离之和， 当，得，， 当，得，， , 当，得，， , , 当，得，， , 综上所述 ：当时，的最小值为9； 故答案为：9；0 （4）如图： 以点G为原点建立数轴，则点E，F，G，H四点分别表示，，0，200，点M表示的数为x，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， ①当时， ； ②当时， ， ， ； ③当时， 此时； ④当， ， ， ⑤当时 综上所述：当时距离最小，最小值为 汇合地点M的位置在点时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为 19．（24-25七上·重庆九十五中·半期）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数．地 城 考点05 定值问题 (1) ， ， ． (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． (3)如图，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【答案】(1) (2)7；7； (3)或 【来源】重庆市第九十五初级中学校2024-2025学年七年级上学期半期检测数学试题 【分析】（1）根据相反数的定义、有理数相关知识以及多项式的次数的定义，即可获得答案； （2）代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的和，进而得到当时，最小，求解即可；代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的差，然后分情况讨论，即可得到答案； （3）根据题意，t秒后，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，首先求得当F点与G点重合时，，然后分和两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴； 故答案为：； （2）代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的和， 当时，， 此时， 当时，， 当时，， 此时， 故当时，的值最小，最小值为7； 代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的差， 当时，， 当时，， 此时， 当时，， ∴有最大值是7，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是； 故答案为：7；7；； （3）根据题意，t秒后，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是， 当F点与G点重合时，可有 ，解得， 分两种情况讨论： ①当时，，， ∴， ∵若的值是一个定值， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵若的值是一个定值， ∴，解得． 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题主要考查了相反数、有理数分类、多项式的次数、数轴上两点间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 20．（24-25七上·重庆渝北实验中学·期中）如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数8，点A，点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（）． (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点A到点C之间的距离，运动之前，的距离为____________，运动t秒后，点A表示的数为____________（用含t的式子表示）； (2)若t秒钟过后，点C在线段之间，且，求t值； (3)当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求出m和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10， (2) (3)当时的值为定值 【来源】重庆市渝北区实验中学2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题． （1）根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值直接求解即可得到答案； （2）表示出，，三点所表示的数，得当点在线段之间时，，，根据题意列出方程； （3）表示出，根据值为定值得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵运动前点表示数，点表示数8， ∴， ∵点以每秒2个单位长度速度运动， ∴点表示的数为：， 故答案为：10，； （2）点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， ∴点表示的数为：，点表示的数字为：，点表示的数字为：， ∵， ∴点在点左侧， 则当点在线段之间时，，， ∵， ∴， 解得：； （3）存在，当时的值为定值，理由如下， ∵点在点右侧， ∴，， 则， 当时，即：，， ∴当时的值为定值． 21．（24-25七上·重庆育才中学·半期）已知点A、点B在数轴上分别对应有理数a、b，其中a、b满足． (1)____________，____________； (2)如图，点C在点A、点B之间（点C不与A、B重合），现有一个小球从A出发向左匀速运动，经过一秒到达的中点，又经过四秒之后到达的中点，试求点C所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，动点P从B点出发沿数轴以每秒6个单位的速度向右运动，当点P运动到点A之后立即以原速沿数轴向左运动．动点P从B点出发的同时，动点Q从C点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动，动点M也从A点出发沿数轴以每秒3个单位的速度向左运动．设运动的时间为t秒，是否存在正数k使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，写出所有满足条件的正数k，并把其中一个正数k的求解过程写出来． 【答案】(1)16； (2)10 (3)或 【来源】重庆市育才中学教育集团2024-2025学年七年级上学期半期考试数学试题 【分析】（1）根据非负数的性质得到，则； （2）由（1）得点A表示的数为16，点B表示的数为，则；设的中点分别为E、D，可证明，则小球的运动速度为个单位长度/秒，进而可求出，则点C表示的数为； （3）先求出点P运动4秒后到达点B，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，则，，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，则，，两种情况可求出，再根据t的范围去绝对值，结合是定值，即的值与t无关进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16；； （2）解：由（1）得点A表示的数为16，点B表示的数为， ∴； 如图所示，设的中点分别为E、D， ∴， ∴， ∵经过四秒小球从点E运动到点D， ∴小球的运动速度为个单位长度/秒， ∵小球从A出发向左匀速运动，经过一秒到达的中点E， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； （3）解：秒， ∴点P运动4秒后到达点A， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， ∴，， 当时， ，， ∴ ， ∵k为正数， ∴的值与t有关，不是定值，此时不符合题意； 当时， ，， ∴ ， ∴当时，的值是定值， ∴； 当时， ，， ∴ ， ∵k为正数， ∴的值与t有关，不是定值，此时不符合题意； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， ∴，， 当时， ∴， ， ∴当时，的值是定值， ∴； 当时， ∴， ， ∵k为正数， ∴的值与t有关，不是定值，此时不符合题意； 综上所述，或． 22．（24-25七上·重庆暨华中·期中）综合探究 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． (1)【问题探究】点A到点B的距离______，点A到点C的距离______； (2)【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（）． ①在运动过程中，当时，求运动时间t的值； ②试探究在运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) (2)①或；②在移动的过程中，的值不随着时间的变化而变化 【来源】重庆市暨华中学校2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，数轴，绝对值方程，解题的关键是掌握数轴上点的表示及两点间的距离公式和整式的化简等知识点． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）①由移动时间为秒知点表示的数为点表示的数为点表示的数为，表示出，再列方程求解即可； ②据此得出和的长，再代入化简可得． 【详解】（1）解：根据题意可得点A对应的数是，点B对应的数是，点C对应的数是， ∴． 故答案为：； （2）解：由题意得：秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ①在运动过程中，当时， 则，解得：或． ②在移动的过程中，的值不随着时间的变化而变化， 理由如下：， ， ， ∴在移动的过程中，的值总等于12，保持不变． 23．（24-25七上·重庆九十五中·半期）阅读下面的材料并解决问题： 如图，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，点A到点B的距离记为线段的长，那么A、B两点之间的距离为：，若点B在点A的右边，则．    若多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为b，且． (1) ___； (2)若将数轴折叠，使得A与C点重合． ①点B与数___表示的点重合； ②若此数轴上P、Q两点之间的距离为2022（P在Q的左侧），且当A与C点重合时P、Q两点也恰好重合，则点P表示的数是___； (3)若数轴上有一点M，且点M表示数m，则的最小值为___； (4)若点A、B、C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)2 (2)①3；② (3)6 (4)的值不变，其值为18 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为b， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：2． （2）解：①∵点A与点C中点表示的数为：， ∴将数轴折叠，使得A与C点重合时，与点B重合的点表示的数为： ； 故答案为：3； ②∵数轴上P、Q两点之间的距离为2022（P在Q的左侧），当A与C点重合时，P、Q两点也恰好重合， ∴点P表示的数是：； 故答案为：； （3）解：∵， ∴表示点M到，1，5三个数表示的点的距离之和， ∴当点M表示是数为，即时，最小，且最小值为： ， 故答案为：6； （4）解：根据题意得运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴ ． ∴的值不变，且其值为18． 【点睛】本题主要考查了数轴上点表示有理数，整式混合运算的应用，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离公式，准确计算． 24．（24-25七上·重庆江津双福育才中学·期中）若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，我们把A、B两点之间的距离表示为，A在原点的右边与原点的距离为1，b为多项式的二次项系数 (1)______；______；线段的长_____； (2)点C在数轴上对应的数是c，且c与b互为相反数，在数轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点A和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，t秒钟后，若点A和点C之间的距离表示为，点A和点B之间的距离表示为，那么的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，，3 (2)存在，或 (3)不变，2 【来源】重庆市江津区双福育才中学校2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，多项式， （1）根据点A在数轴上的位置得出a，再根据多项式的系数得出b，然后根据数轴上两点之间的距离得出线段； （2）设点P对应的数为y，再分三种情况根据列出方程，可得答案； （3）根据点A，B，C运动的情况可表示，即可得出的值. 【详解】（1）解：因为点A在原点的右边与原点的距离是1，b为多项式的二次项系数， 所以， 线段的长， 故答案为：1；；3； （2）解：因为， 所以， 设设点P对应的数为y，可得下图： 点P在点A右侧时，不存在P点； 点P在点B的左侧时，， 解得：； 当点P在点A，B之间时， ， 解得. 综上点P对应的数是或； （3）解：的值不随着时间t的变化而变化，理由如下： ∵t秒钟后，若点A和点C之间的距离表示为，点A和点B之间的距离表示为， ∴t秒后，点A的位置是，点B的位置为，点C的位置为， ∴， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而变化． 25．（24-25七上·重庆十八中两江实验·期中）综合运用 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时，； (4)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)10，3； (2)当秒时，P、Q两点相遇，相遇点表示的数为4； (3)当秒或3秒时，； (4)不变， 【详解】（1）解：数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8， ，线段的中点表示的数为， 故答案为：3； （2）解：由题意可知：t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相同， ∴，解得：， ∴， ∴当秒时，P、Q两点相遇，相遇点表示的数为4； （3）解：由题意可知：， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴当秒或3秒时，； （4）解：不变，理由如下： 由题意可知：中点M表示的数为，中点N表示的数为， ∴， ∴线段的长度不变． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $