重难点02 基本不等式求最值7考点（期中真题汇编，广东专用）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

专题02 基本不等式求最值 7大高频考点概览 考点01直接法求最值 考点02配凑法求最值 考点03常数代换法求最值 考点04消元法求最值 考点05不等式法求最值 考点06二次与一次商式的最值 考点07基本不等式求最值的综合 地 城 考点01 直接法求最值 1．（24-25高一上·广东广州·期末）（多选）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·广东广州·期中）若，则的最小值为 ． 3．（23-24高一上·广东·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 地 城 考点02 配凑法求最值 4．（24-25高一下·广东·期中）函数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高一上·广东·期中）若，则的最小值为 ． 6．（24-25高一上·广东佛山·期中）若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25高一上·广东广州·期中）回答下列问题 (1)当时，求的最小值 (2)若，且，求的最小值． 地 城 考点03 常数代换法求最值 8．（24-25高一上·广东广州·期中）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 9．（24-25高一上·广东广州·期中）设且，则的最小值为 ． 10．（2023·广东深圳·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 11．（21-22高一·广东·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·广东东莞·期中）奇函数的定义域是，其中，则的最小值是 . 13．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 14．（24-25高一上·广东肇庆·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值. 15．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，且，求的最小值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 16．（23-24高一上·广东东莞·期中）函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D．1 地 城 考点04 消元法求最值 17．（21-22高一上·广东汕头·期中）已知则的最小值是 ． 18．（22-23高一上·广东深圳·期中）（多选）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 19．（24-25高一上·广东东莞·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 地 城 考点05 不等式法求最值 20．（23-24高一上·广东江门·期中）已知，且，则的最小值是 . 21．（22-23高一上·广东东莞·期中）若，且，则的最小值为 ，取得最小值的条件为 . 22．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知，，且，则的最小值为 . 23．（23-24高一上·广东广州·期中）若均为正数，且，则的最小值为 . 地 城 考点06 二次与一次商式的最值 24．（24-25高一上·广东·期中）已知，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 25．（20-21高二上·广东湛江·期中）若函数在处取最小值，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 地 城 考点07 基本不等式求最值的综合 26．（24-25高一上·广东肇庆·期中）关于基本不等式，下列选项正确的有（    ） A．函数的最小值为2 B．若，则最小值为2 C．若，则的最大值为 D．取得最大值为2 27．（24-25高一上·广东茂名·期中）（多选）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为4 B．的最小值为8 C．的最小值为9 D．的最小值为1 28．（24-25高一下·广东·期中）（多选）已知实数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 29．（24-25高一上·广东惠州·期中）（多选）已知，，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 30．（21-22高一上·广东深圳·期中）（多选）若，，且，则（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．的最大值为 31．（20-21高一上·广东揭阳·期中）（多选）已知且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 基本不等式求最值 7大高频考点概览 考点01直接法求最值 考点02配凑法求最值 考点03常数代换法求最值 考点04消元法求最值 考点05不等式法求最值 考点06二次与一次商式的最值 考点07基本不等式求最值的综合 地 城 考点01 直接法求最值 1．（24-25高一上·广东广州·期末）（多选）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由基本不等式与重要不等式，结合反例以及“1”的妙用，可得答案. 【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确. 对于B，因为，所以，即，所以，故B正确. 对于C，当时，，故C错误. 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：ABD. 2．（21-22高一上·广东广州·期中）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·广东·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由题意，直接利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2. 故选：A. 地 城 考点02 配凑法求最值 4．（24-25高一下·广东·期中）函数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，函数取得最小值4. 故选：C. 5．（24-25高一上·广东·期中）若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】将整理为，再根据不等式性质即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：3 6．（24-25高一上·广东佛山·期中）若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：B. 7．（24-25高一上·广东广州·期中）回答下列问题 (1)当时，求的最小值 (2)若，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造均值不等式求解即可； （2）由可得，利用均值不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，且， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立， 所以的最小值为. 地 城 考点03 常数代换法求最值 8．（24-25高一上·广东广州·期中）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为9. 故选：D. 9．（24-25高一上·广东广州·期中）设且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由乘“1”法，将和相乘，展开后，利用基本不等式即可求解； 【详解】由可得： ， 当且仅当，即时，取等号， 故答案为： 10．（2023·广东深圳·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 11．（21-22高一·广东·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用乘1法即得. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当,即，时，取等号. 故选：C. 12．（24-25高一上·广东东莞·期中）奇函数的定义域是，其中，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用的奇偶性得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为是奇函数，定义域为， 所以，即，经检验，满足题意， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）利用基本不等式求出最小值. （2）根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即得范围. 【详解】（1）由，得，当且仅当，即，时取等号. 则，而，解得，所以的最小值为16. （2）由，，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取值范围为. 14．（24-25高一上·广东肇庆·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值. 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，此时 【分析】（1）利用“”的妙用，把转化为，然后利用基本不等式求解； （2）将通过变形转化为，然后利用基本不等式求解； （3）利用“”的妙用，把转化为，然后利用基本不等式求解. 【详解】（1）由可得：，又， 所以，当且仅当，即时成立， 结合可知：取等条件为. （2）因为，所以，， 当且仅当，即时成立. （3）因为，， 所以， 当且仅当，即时成立，结合可知：取等条件为. 15．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，且，求的最小值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】构造，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，且，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，的最小值为. 故选：B 16．（23-24高一上·广东东莞·期中）函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由得过定点，则，再由“”的代换，利用基本不等式求最值. 【详解】由（且）， 令，则， 即的图象恒过定点，则， 由，所以，， 又， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 地 城 考点04 消元法求最值 17．（21-22高一上·广东汕头·期中）已知则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】由题意得到并代入，进而结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意，，所以当且仅当时取“=”. 故答案为：6. 18．（22-23高一上·广东深圳·期中）（多选）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 19．（24-25高一上·广东东莞·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】首先根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理得到的关系式，即可判断A，再结合基本不等式，以及函数关系求最值，即可判断BCD. 【详解】A选项，由题意得是的两个根， 故，消去得，A正确； B选项，， ，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，B正确； C选项，， 由基本不等式得 ，当且仅当， 即时，等号成立，C正确； D选项，，解得， ，故当时，取得最小值D错误. 故选：ABC 地 城 考点05 不等式法求最值 20．（23-24高一上·广东江门·期中）已知，且，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】判断出，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由于，即同号，则，故， 则，即， 当且仅当时，取得等号， 即的最小值是4， 故答案为：4 21．（22-23高一上·广东东莞·期中）若，且，则的最小值为 ，取得最小值的条件为 . 【答案】 9 . 【分析】利用基本不等式得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】因为，，解得或（舍去）， 则，当且仅当时等号成立. 故答案为：9；. 22．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】利用基本不等式得出关于的不等式，然后解不等式可得． 【详解】因为，，所以由基本不等式可得， 即，当时等号成立， 令，则不等式变为，解得或（舍去）， 即，所以，即的最小值为16. 故答案为：16. 23．（23-24高一上·广东广州·期中）若均为正数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式和一元二次不等式求解. 【详解】因为均为正数，所以，则， 又因为，所以， 令，则，即， 解得或（舍去）， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 地 城 考点06 二次与一次商式的最值 24．（24-25高一上·广东·期中）已知，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】变形后运用基本不等式计算即可. 【详解】解：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：A 25．（20-21高二上·广东湛江·期中）若函数在处取最小值，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，，而， 当且仅当，即时，等号成立，所以． 故选：C 地 城 考点07 基本不等式求最值的综合 26．（24-25高一上·广东肇庆·期中）关于基本不等式，下列选项正确的有（    ） A．函数的最小值为2 B．若，则最小值为2 C．若，则的最大值为 D．取得最大值为2 【答案】B 【分析】由等号取不到可知A错误；由基本不等式分别求解最值可判断BCD项. 【详解】A项， ， 当且仅当，即时，等号成立， 但方程无解，故等号取不到，即最小值必大于，故A错误； B项，由，则由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，取到最小值，故B正确； C项，若，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，取最大值，故C错误； D项，， 当且仅当，即时，，故D错误. 故选：B. 27．（24-25高一上·广东茂名·期中）（多选）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为4 B．的最小值为8 C．的最小值为9 D．的最小值为1 【答案】BC 【分析】利用基本不等式可得，利用换元法解不等式得，可得选项A错误；利用可得选项B正确；由得，结合基本不等式可得选项C正确；原式可变形为，根据可得选项D错误. 【详解】由得，. 令，则， ∴，∴，当且仅当时取得最小值4，选项A错误. ，当且仅当时，取得最小值8，选项B正确. 由得， ∴， 当且仅当，即时取得最小值9，选项C正确. 由得， ∵，∴，选项D错误. 故选：BC. 28．（24-25高一下·广东·期中）（多选）已知实数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】利用基本不等式判断A，由题可得，再利用乘“1”法及基本不等式判断B，结合对数的运算性质及A判断C，求出的最大值，即可判断D. 【详解】对于A：因为，，，所以，即， 解得（当时取等号），故A正确； 对于B：由，得， 所以 （当，时取等号），故B正确； 对于C：（当时取等号），故C错误； 因为，又， 所以，所以（当时取等号），故D错误． 故选：AB 29．（24-25高一上·广东惠州·期中）（多选）已知，，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式，结合“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】对于AB，由，，且，得，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，的最大值是，A错误，B正确； 对于C，由，，且，得， 当且仅当时取等号，因此的最大值是，C正确； 对于D，，当且仅当， 即时取等号，因此的最小值是，D正确. 故选：BCD 30．（21-22高一上·广东深圳·期中）（多选）若，，且，则（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据题设等量关系，利用基本不等式求各项目标式最值，注意取值条件即可. 【详解】A：因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，对； B：，当且仅当时，等号成立，对； C： ， 当且仅当，且，即，时，等号成立，对； D：，当且仅当，即，时，等号成立，错. 故选：ABC 31．（20-21高一上·广东揭阳·期中）（多选）已知且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【分析】对于A，由基本不等式“1”的妙用方法即可计算得解；对于B，由题设结合基本不等式即可求解判断；对于C，由基本不等式结合指数幂的运算性质即可求解；对于D，先由将变形为，再由基本不等式即可计算得解. 【详解】对于A，因为且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，故，当且仅当，即时等号成立，故B错； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $