专题4.10 相似三角形几何模型探究（一线三等角）基础知识专项突破讲练 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

专题4.9 相似三角形几何模型探究（一线三等角） 目录 一．模型梳理与题型分类精析 1 【知识回顾】相似三角形的判定： 1 【模型的认识】 1 【模型1】同侧一线三等角 2 1. 同侧一线三直角 2 【题型1】利用同侧一线三直角求值证明 2 2. 同侧一线三锐角 8 【题型2】利用同侧一线三锐角求值证明 9 3. 同侧一线三钝角 13 【题型3】利用同侧一线三钝角求值证明 13 【模型2】异侧一线三等角 18 4. 异侧一线三直角 18 【题型4】利用异侧一线三直角求值证明 18 5. 异侧一线三锐角 19 【题型5】利用异侧一线三锐角求值证明 19 二. 同步练习​ 27 【基础巩固（10题）】 27 【能力提升（8题）】 37 一．模型梳理与题型分类精析 相似三角形是初中几何中非常重要的知识点，是中考的常考题型，在相似三角形中也有一些固定的几何模型，本专题来探究“一线三等角”模型 【知识回顾】相似三角形的判定： 【判定1】两角对应相等两个三角形相似； 【判定2】两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似； 【判定3】三边对应成比例的两个三角形相似。 【模型的认识】 观察下面的6个图形，标出的角都是相等的，观察这些图形有些什么规律呢？ 经观察，它的规律有如下特点： 三个角都相等，而且这三个相等的角都在同一条直线上，像这样的模型就称为“一线三等角”模型.前三个图形相等的角在同侧，后三个图形相等的角在异侧，我们分别称之为“同侧一线三等角”模型和“异侧一线三等角”模型 . 【模型1】同侧一线三等角 1. 同侧一线三直角 ，则 图1 证明：在中， 【题型1】利用同侧一线三直角求值证明 【例题1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，点E为边的中点，连接，．已知，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）详见分析 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握三角形相似的判定及性质． （1）根据题意证明出，得到，然后代数求解即可； （2）由得到，然后等量代换得到，然后结合即可证明． 解：（1）解：， ，， ， ， ， ，点为边的中点， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ． 【变式1】（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点是对角线上一点（不与、重合），连接，过点作的垂线，交边于点，则 ；若，的面积为，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，过点E作于G，延长交于H，可证明四边形是矩形，得到，，，，则可证明，得到；设，则，，即；证明，可得，则，，再根据三角形面积计算公式求解即可． 解：如图所示，过点E作于G，延长交于H， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 【变式2】（2023·辽宁大连·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点是x轴上一动点，是等腰直角三角形，，，点C在直线的右侧，以C为中心，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点A的对应点是点P，连接． （1）如图1，若点B的坐标为，C点坐标是______． （2）如图2，若与x轴正半轴夹角是，求m的值． 【答案】（1）；（2）m的值为2或． 【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，得出关于m的方程是解题的关键． （1）过点C作轴于点D，通过证得，得出，，即可求得，从而求得； （2）分两种情况讨论通过证得三角形全等和等腰直角三角形性质得出关于m的方程，解方程即可． 解：（1）解：过点C作轴于点D，如图1， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 又，， ∴， ∴． ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：当点B在x轴正半轴上时，如图， 过点C作轴于点D，过点P作轴于点E， 过点C作轴交于点M，交于点N． 四边形和四边形均是矩形． ，，． ， ． 又， ． 又， ． ，． ，． 由旋转，知，． 同理，． ，． ． ，． 与x轴正半轴夹角是，轴， ． ． ． ． 当点B在x轴负半轴上时，如图， 过点C作轴于点M，过点A作交的延长线于点N， 过点P作交的延长线于点Q， 设交y轴于点H． 同理上种情况，得，． ，，，． ． ，． ，． 与x轴正半轴夹角是， ． ． ． ． 综上，m的值为2或． 2. 同侧一线三锐角 ，则 图2 证明：在中， 【题型2】利用同侧一线三锐角求值证明 【例题2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2或4 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，由相似三角形的性质可求解即可． 解：（1）证明：在中， ， ， ， ， ． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：或， ∴的长为2或4． 【变式1】（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质，可得，从而得到，可证明，即可求解． 解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 【变式2】（22-23九年级上·吉林长春·期末）【基础问题】如图1，在矩形中，点、分别在边、上，，，，，求长． 【拓展延伸】（1）如图2，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，，，则长为______． （2）如图3，在四边形中，，交于点，，交于点，，，，则______． 【答案】【基础问题】；【拓展延伸】（1）9；（2） 【分析】基础问题：证明得出，代入数据即可得出答案； 拓展延伸：（1）证明，得出，即，解出即可； （2）根据平行线的性质和已知条件得出，即可证明，即可得出，代入数据求出，根据求出结果即可． 解：基础问题： 证明：∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 拓展延伸： （1）∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； 故答案为：9； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． 3. 同侧一线三钝角 ，则 图3 证明：在中， 【题型3】利用同侧一线三钝角求值证明 【例题3】．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 【变式1】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，菱形的边长为4，，点E、F分别是边上的动点，，则线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接，证明，得到，设，则，，转化成二次函数的最值即可求解． 解：如图，在上截取，连接， 是菱形，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的边长为4， ， ， 设，则，， ， 线段长度的最大值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，作出辅助线证明三角形相似是解题的关键． 【变式2】（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且，探究线段之间的数量关系． （1）特例发现 先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：． （2）类比探究 再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）． （3）拓展运用 如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）， 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）证明，则，即可得到结论； （2）证明，得到，则，即可得到结论； （3）作，求出，证明，得到，则，，求出，，由得到，则，即可得到． 解：（1）证明：当时， ，， ∵， ∴ ∴ 当时，， ∴ ∴， ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ （3）作 ∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 【模型2】异侧一线三等角 4. 异侧一线三直角 ，则 图4 证明：在中， 【题型4】利用异侧一线三直角求值证明 【例题4】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，直线经过点A，过点B，C分别作的垂线，垂足分别为点，延长交于点，若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，先证明，可得，，求解，再证明，利用相似三角形的性质进一步求解即可. 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴==， ∴， ∴， ∴． 5. 异侧一线三锐角 ，则 图5 证明：在中， 【题型5】利用异侧一线三锐角求值证明 【例题5】（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． （1）如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； （2）当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【答案】（1）见分析；（2）①6；② 【分析】（1）由余角的性质可求，由角的数量关系可证，，即可求解； （2）①由等腰直角三角形的性质可求，的长，通过证明，可得，即可求解； ②由勾股定理可求，由轴对称的性质可得，，，由“”可证，可得，，通过证明，可求，，由勾股定理可求解． 解：（1）证明：如图1，作，交于，， ，， ， ， ， ，， ； （2）解：①如图2，作，交于，， ，， ， ，， ，， ，，， ，， ， ， ， ，（舍去）， 即的长为6； ②在中，，，， ， ，， ， 如图，作关于对称的，在上截取，连接，并延长交于， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点拨】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，求函数关系式等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，为边上的中线，于点，连接．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意，设，则，运用勾股定理得到，等面积法得到，再证，得到，则，如图，过点作延长线于点，则，可证，得到，求出，由此即可求解． 解：∵为等腰直角三角形，， ∴设， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，， ∴， ∴，即， 解得，， 如图，过点作延长线于点，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： ． 【变式2】（2025·四川资阳·一模）【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质可知，，结合，即可通过三角形两角相等证明； （2）过点作的延长线于点，易证，，从而得到，，再由，得到，结合，设，可求得，即可求得； （3）在上取点，使，过点作的延长线于点，易证，推出，从而求得，，结合直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半可知，得到，设，则，，然后利用勾股定理在中表示出，即可在中求得，最后在中即可求得． 解：（1）证明：，，， ， ，，， ， ． （2）解：过点作的延长线于点， 则，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，即 ，解得， ， ，， ， ． （3）解：在上取点，使，过点作的延长线于点，如图， 则，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ，，， 在中，． 【点拨】本题考查了三角形外角的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线构建出相似三角形是解题的关键． 二. 同步练习​ 【基础巩固（10题）】 一、单选题 1．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过作轴于，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，于是得到结论，正确的作出辅助线是解题的关键． 解：过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质． 根据正方形的性质可得，由，可设，则，证明，根据相似三角形的性质表示出，证明得到，求出，即可求解． 解：∵四边形是正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 由 ∵， ， ，即， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：B． 3．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质及相似三角形判定与性质，先证明，得出，代入计算求出答案． 解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 二、填空题 5．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在正方形中，M是边上的动点，N在上，且，若，设，当 时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似． 【答案】2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 先根据得出，再由得出，再分与两种情况进行讨论． 解：∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得， 综上所述，当或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似， 故答案为：2或． 6．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，点E是AD的中点，点F是上一点，连接，，，若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上性质是解题的关键． 根据题意得出∽，设，则，进而得出，，即可求解． 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ∽， ， 点E是中点， ， 设，则， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，，，点在上移动．当以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似时，求的长． 【答案】的长为16.8或24或4 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解决问题的关键是熟练掌握并应用相似三角形的判定，即两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 设则根据垂直的定义得到再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当 时，，即，当 时，，即 ，解方程求出即可. 解：设，则． ， ．分以下两种情况讨论： ①当时，， 即，解得， ； ②当时，， 即，解得， 或． 综上所述，当以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似时，的长为或或． 8．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在梯形中，，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，则 ． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． （1）根据题意得到，，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据线段比例得到，根据相似三角形的性质即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，且， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，矩形中，点是边上的点，且，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和矩形的性质． （1）先求出，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明结论； （2）先证明，进而得出，即可证明结论． 解：（1）证明：矩形中，，，， ，， ∵且， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ． 10．（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，以点A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上，点F在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质； （1）利用两角分别相等的两个三角形相似可证明出结论； （2）利用，求出，再证，可求，进而解答即可． 解：（1）证明：，， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， ∴； （2）由（1）知， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， 又， ∴， ，即， ， ， （负值已舍）， ． 【能力提升（8题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，E、F分别是上的点，若，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，先根据矩形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得出答案． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，选项C正确； 与、与、与都是只有一对相等的直角，所以都不是相似三角形， 故选：C． 二、填空题 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，，，是边上的动点（不与、重合），过点作的垂线交射线于点．设，，则把表示为的函数解析式为 ： 【答案】 【分析】先求解，如图，作于，作于，可得，，，，再证明，利用相似三角形的性质建立函数关系式即可. 解：∵，，， ∴， 如图，作于，作于， ∴， ∴，， ∵, ∴, ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点拨】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，函数解析式，作出合适的辅助线是解本题的关键. 3．（2025·四川达州·模拟预测）如图，已知中，，点是线段上一动点，过点作交于点，当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的判别式等知识，过点作于，设，构建一元二次方程，利用判别式求出的最大值，可得结论．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 解：过点作于，如图所示： 设， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ∴或（，不符合题意，舍去）， ∴， ∴的最大值为， 当点从点运动到点的过程中，开始时，点从点B开始向左运动，达到最大值时，然后点应该是再往右运动，然后回到点B， ∴点经过的路径长是2倍的的最大值， ∴点经过的路径长是， 故答案为：． 三、解答题 4．（21-22九年级上·山东济南·期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 【答案】感知：（1）；应用：（2）①见分析；②3.6；拓展：（3）2或 【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证； ②根据相似三角形的性质计算，即可求解； （3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解． 解：感知：（1）∵△ABC∽△DAE， ∴， ∴， 故答案为：； 应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B， ∴∠BAP=∠CPD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD； ②BC=12，点P为BC中点， ∴BP=PC=6， ·∵△ABP∽△PCD， ∴，即， 解得：CD=3.6； 拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD， ∴PC=AB=10， ∴BP=BC-PC=12-10=2； 当AP=AD时，∠ADP=∠APD， ∵∠APD=∠B=∠C， ∴∠ADP=∠C，不合题意， ∴AP≠AD； 当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B， ∵∠C=∠C， ∴△BCA∽△ACP， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ． 【点拨】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 5．（2022七年级下·上海·专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． （1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； （2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； （3）在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3）4 【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再证得PE＝PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE＝PC来实现； （2）由（1）不难得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积； （3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP＝x，则CP＝6﹣x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可． 解：（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°， 因此直角三角形PEB中，， ∴∠BPE＝30°， ∵∠EPF＝60°， ∴FP⊥BC， 在△BEP和△CPF中， ， ∴△BEP≌△CPF， ∴EP＝PF， ∵∠EPF＝60°， ∴△EPF是等边三角形． （2）过E作EH⊥BC于H， 由（1）可知：FP⊥BC，， 在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°， ∵∠PFE＝60°， ∴∠GFC＝90°， 直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4， ∴GC＝2CF＝8， ∴GB＝GC﹣BC＝2， 直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4， ∴PE＝2，BE＝2， ∴EH＝BE•PE÷BP＝， ∴S△GBE＝； （3）∵在BPE中，∠B＝60°， ∴∠BEP+∠BPE＝120°， ∵∠EPF＝60°， ∴∠BPE+∠FPC＝120°， ∴∠BEP＝∠FPC， 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CFP， ∴， 设BP＝x，则CP＝6﹣x． ∴＝， 解得：x＝2或4． 当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2， 过E作EH⊥BC于H， 则EH＝BE•sin∠B＝2，BH＝2， ∴PH＝0， 即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去； 当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4， 则△BEP是等边三角形， ∴PE＝4． 故PE＝4． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用． 6．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点E在边上，且，求证：； 问题拓展 （2）如图1，在正方形中，点E在边上，且，若，，求的长； 问题解决 （3）市政府要规划一个形如梯形的花园，如图2，，米．园林设计者想在该花园内设计一个四边形区域来种植花卉，其他区域种植草皮．要求E、F分别位于、边上，，且，米．为了美观，要求平分，求种植花卉区域四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）4；（3）4500平方米 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据正方形的性质和余角的性质可得出，然后利用两角对应相等判定两三角形相似即可； （2）利用（1）中，根据相似三角形的性质求解即可； （3）过D作于G，连接，设，则，证明，得出，，证明，根据相似三角形的性质求出，，则可得出，解方程求出a的值，然后根据割补法求出边形的面积即可． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴， 由（1）知：， ∴， 又，， ∴， 解得； （3）过D作于G，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 解得， ∴，，， ∴四边形的面积为， 即种植花卉区域四边形的面积4500平方米． 8．（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？ （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值； 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （）根据（）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 解：（1）解：． ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 即，即， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ， 解得：， ∴， ∴， 9．（24-25八年级下·山东泰安·期末）某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】【探究问题】见分析【知识应用】（1）或（2）或 【分析】探究问题：利用三角形外角的性质，得到，即可求解； 知识应用：（1）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可；（2）分两种情况，、，分别求解即可． 解：【探究问题】解：证明：由三角形外角的性质可得： ， ， ， 又， ； 【知识应用】解：（1）设，则， ，， ，，， ，， ， ， ， 即， 化简可得：， 解得或， 即或； （2）由（1）可得，， ， 则为等腰三角形，有两种情况，或， ① 当时， 由（1）可得，，， ， ， ； ② 当时， 可得， 则， ， 设，则， ， 由可得， ， 即 解得， ， 综上，或. 【点拨】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解一元二次方程，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 10．（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． （1）如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； （2）当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【答案】（1）见分析；（2）①6；② 【分析】（1）由余角的性质可求，由角的数量关系可证，，即可求解； （2）①由等腰直角三角形的性质可求，的长，通过证明，可得，即可求解； ②由勾股定理可求，由轴对称的性质可得，，，由“”可证，可得，，通过证明，可求，，由勾股定理可求解． 解：（1）证明：如图1，作，交于，， ，， ， ， ， ，， ； （2）解：①如图2，作，交于，， ，， ， ，， ，， ，，， ，， ， ， ， ，（舍去）， 即的长为6； ②在中，，，， ， ，， ， 如图，作关于对称的，在上截取，连接，并延长交于， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点拨】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，求函数关系式等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.9 相似三角形几何模型探究（一线三等角） 目录 一．模型梳理与题型分类精析 1 【知识回顾】相似三角形的判定： 1 【模型的认识】 1 【模型1】同侧一线三等角 2 1. 同侧一线三直角 2 【题型1】利用同侧一线三直角求值证明 2 2. 同侧一线三锐角 3 【题型2】利用同侧一线三锐角求值证明 4 3. 同侧一线三钝角 5 【题型3】利用同侧一线三钝角求值证明 5 【模型2】异侧一线三等角 6 4. 异侧一线三直角 6 【题型4】利用异侧一线三直角求值证明 7 5. 异侧一线三锐角 7 【题型5】利用异侧一线三锐角求值证明 7 二. 同步练习 9 【基础巩固（10题）】 9 【能力提升（8题）】 11 一．模型梳理与题型分类精析 相似三角形是初中几何中非常重要的知识点，是中考的常考题型，在相似三角形中也有一些固定的几何模型，本专题来探究“一线三等角”模型 【知识回顾】相似三角形的判定： 【判定1】两角对应相等两个三角形相似； 【判定2】两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似； 【判定3】三边对应成比例的两个三角形相似。 【模型的认识】 观察下面的6个图形，标出的角都是相等的，观察这些图形有些什么规律呢？ 经观察，它的规律有如下特点： 三个角都相等，而且这三个相等的角都在同一条直线上，像这样的模型就称为“一线三等角”模型.前三个图形相等的角在同侧，后三个图形相等的角在异侧，我们分别称之为“同侧一线三等角”模型和“异侧一线三等角”模型 . 【模型1】同侧一线三等角 1. 同侧一线三直角 ，则 图1 证明：在中， 【题型1】利用同侧一线三直角求值证明 【例题1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，点E为边的中点，连接，．已知，，． （1）求的长； （2）求证：． 【变式1】（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点是对角线上一点（不与、重合），连接，过点作的垂线，交边于点，则 ；若，的面积为，则与的函数关系式为 ． 【变式2】（2023·辽宁大连·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点是x轴上一动点，是等腰直角三角形，，，点C在直线的右侧，以C为中心，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点A的对应点是点P，连接． （1）如图1，若点B的坐标为，C点坐标是______． （2）如图2，若与x轴正半轴夹角是，求m的值． 2. 同侧一线三锐角 ，则 图2 证明：在中， 【题型2】利用同侧一线三锐角求值证明 【例题2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 【变式1】（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D．4 【变式2】（22-23九年级上·吉林长春·期末）【基础问题】如图1，在矩形中，点、分别在边、上，，，，，求长． 【拓展延伸】（1）如图2，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，，，则长为______． （2）如图3，在四边形中，，交于点，，交于点，，，，则______． 3. 同侧一线三钝角 ，则 图3 证明：在中， 【题型3】利用同侧一线三钝角求值证明 【例题3】．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【变式1】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，菱形的边长为4，，点E、F分别是边上的动点，，则线段长度的最大值为 ． 【变式2】（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且，探究线段之间的数量关系． （1）特例发现 先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：． （2）类比探究 再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）． （3）拓展运用 如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长． 【模型2】异侧一线三等角 4. 异侧一线三直角 ，则 图4 证明：在中， 【题型4】利用异侧一线三直角求值证明 【例题4】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，直线经过点A，过点B，C分别作的垂线，垂足分别为点，延长交于点，若，求的面积． 5. 异侧一线三锐角 ，则 图5 证明：在中， 【题型5】利用异侧一线三锐角求值证明 【例题5】（23-24九年级下·浙江杭州）在中，已知，于，，，求的长． （1）如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； （2）当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【变式1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，为边上的中线，于点，连接．则 ． 【变式2】（2025·四川资阳·一模）【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长． 二. 同步练习​ 【基础巩固（10题）】 一、单选题 1．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 3．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 4．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 二、填空题 5．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在正方形中，M是边上的动点，N在上，且，若，设，当 时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似． 6．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，点E是AD的中点，点F是上一点，连接，，，若，，则的值为 ． 三、解答题 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，，，点在上移动．当以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似时，求的长． 8．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在梯形中，，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，则 ． 9．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，矩形中，点是边上的点，且，，． （1）求证：； （2）求证：． 10．（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，以点A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上，点F在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【能力提升（8题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，E、F分别是上的点，若，则一定有（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，，，是边上的动点（不与、重合），过点作的垂线交射线于点．设，，则把表示为的函数解析式为 ： 3．（2025·四川达州·模拟预测）如图，已知中，，点是线段上一动点，过点作交于点，当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是 ． 三、解答题 4．（21-22九年级上·山东济南·期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 5．（2022七年级下·上海·专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． （1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； （2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； （3）在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 6．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点E在边上，且，求证：； 问题拓展 （2）如图1，在正方形中，点E在边上，且，若，，求的长； 问题解决 （3）市政府要规划一个形如梯形的花园，如图2，，米．园林设计者想在该花园内设计一个四边形区域来种植花卉，其他区域种植草皮．要求E、F分别位于、边上，，且，米．为了美观，要求平分，求种植花卉区域四边形的面积． 8．（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？ （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值； 9．（24-25八年级下·山东泰安·期末）某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 10．（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． （1）如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； （2）当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $