专题4.9 相似三角形几何模型探究（A字型与8字型）基础知识专项突破讲练2025-2026学年北师大版九年级数学上册

专题4.9 相似三角形几何模型探究（A字型与8字型） 目录 一．模型梳理与题型分类精析 1 【知识回顾】相似三角形的判定： 1 【模型一】A字型相似： 2 1. A字型（基本模型） 2 【题型1】利用A字模型求值证明 2 2. 双A或多A字模型 5 【题型2】利用双或多A字模型求值证明 5 3. 三角形内接矩形模型 9 【题型3】利用三角形内接矩形模型求值证明 9 4. 斜（反）A字型 12 【题型4】利用斜（反）A字模型求值证明 13 5. 子母型（共边共角型） 15 【题型5】利用子母（共边共角）模型求值证明 16 6. 共角相似型 19 【题型6】利用共角相似模型求值证明 20 【模型二】8字型相似： 23 7. 8字型（基本模型） 23 【题型7】利用A字模型求值证明 23 8. 双（多）8字模型 24 【题型8】利用双（多）8字模型求值证明 25 9. 斜8字模型（蝴蝶模型） 28 【题型9】斜8模型（蝴蝶）模型求值证明 28 二. 同步练习​ 30 【基础巩固（8题）】 30 一．模型梳理与题型分类精析 相似三角形是初中几何中非常重要的知识点，是中考的常考题型，在相似三角形中也有一些固定的几何模型，本专题来探究“A字型”和“8字型”模型这两个几何模型 【知识回顾】相似三角形的判定： 【判定1】两角对应相等两个三角形相似； 【判定2】两边成比例且夹角相等两个三角形相似； 【判定3】三边成比例的两个三角形相似。 【模型一】A字型相似： 1. A字型（基本模型） 在中，，则 证明：在中， 【题型1】利用A字模型求值证明 【例题1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点D、E分别在的边、上，且． （1）求证：； （2）已知，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明； （2）根据相似三角形的性质，求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明及是解题的关键． 由点，分别是的三等分点，推导出，，由，证明，则，所以，由，证明，则，所以，求得，所以，于是得到问题的答案． 解：点，分别是的三等分点， ，， ，， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·上海·课后作业）在中，平分交于点，交于点，已知：，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查平行线的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．先由平分，可证明，则，长度可求，再证明，由对应边成比例即可求得长度． 解：， ， 又平分， ， ， ， ， 又， ， ， ∴， ， ，， 即， ． 故选：D． 【模型拓展】既然两个三角形相似，那么就有对应边成比例，同图1可知： 2. 双A或多A字模型 在中， ， ， ， ， ， ...等等 【题型2】利用双或多A字模型求值证明 【例题2】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证； （）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可． 解：（1）证明：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【变式1】．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，为的重心，若过点且，交、于、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题关键是作辅助线，连接并延长，交于点，由三角形的重心的性质可知，由 ，根据相似三角形的判定可知，得出，最后由，得出，从而求出． 解：如图，连接并延长，交于点， 为的重心， ， ， 过点且， 在和中， ， ， ． 又， 在和中， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】求解本题要掌握相似三角形的判定，两个三角形，有两个内角对应相等则两个三角形相似；重心的性质，三角形重心在中线远离顶点的三等分点处． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据得出，由相似三角形的性质得出，再由得出，从而可求出的长即可． 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 3. 三角形内接矩形模型 在中，，四边形是内接矩形，.则 证明：在中，， ， 是边上的高， 是的高， ，即：. 【题型3】利用三角形内接矩形模型求值证明 【例题3】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在 中，，矩形 的顶点D，G 分别在边、上，E，F在边上．若 ，则矩形 的面积为（   ） A．16 B．24 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、解一元二次方程，熟练掌握性质定理是解题的关键． 设，则 ． 根据矩形的性质易证，再根据相似三角形的性质得出，然后将值代入化简，求出一元二次方程的解即可得出答案． 解：设，则 ． ， ． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ， 即， 即， 解得或 （负值舍去）， ∴，， ∴矩形 的面积为． 故选 C． 【变式1】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，，，、、…都是正方形，且、、…在边上，、、…在边上．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据正方形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，同理可得，的长，归纳类推出一般规律，由此即可得． 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， 同理可得：，， 归纳类推得：，其中为正整数， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·河北沧州·期中）在中，，高，四边形一边在上，点，分别在上，交于点． （1）如图1，若四边形是正方形，则 ； （2）如图2，若四边形是矩形，且，用含的代数式表示 ． 【答案】 40 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明四边形是矩形，则，设，则，证明，则，即，计算求解即可； （2）同理（1），四边形是矩形，则，，同理（1），，则，即，解得，，根据，计算求解即可． 解：（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得，， 故答案为：40； （2）解：同理（1），四边形是矩形，则， ∴， 同理（1），， ∴，即，解得，， ∴， 故答案为：． 4. 斜（反）A字型 在中，.则 证明：在中， ， ， ，即：. 【题型4】利用斜（反）A字模型求值证明 【例题4】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，点分别是的边上的点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（）由补角性质可得，进而即可求证； （）由得，进而根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 解：（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果同时出发，用表示时间（）． （1）当 s时，的面积是； （2）当 s时，以、，为顶点的三角形与相似． 【答案】 2或4 3或 【分析】（1）根据题意，，结合动点P的速度为，动点Q的速度为，设运动时间为，则，，，根据面积公式解答即可． （2）分和两种情况解答． 本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，相似三角形，解题的关键是掌握这些知识点． 解：（1）解：根据题意，， ∵动点P的速度为，动点Q的速度为，设运动时间为， ∴，，， 故， 整理，得， 解得或， 故或, 故答案为：2或4． （2）当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 故答案为：3或． 【变式2】（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据是的中点，，得，再证明，则，代入数值进行化简进行，即可作答． 解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：3 5. 子母型（共边共角型） 在中，.则 证明：在中， ， ， ，即：. 【题型5】利用子母（共边共角）模型求值证明 【例题5】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在中，，于点，是中点，延长线交延长线于点．求证： （1）； （2） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，，可得，再由是中点，可得，进而推出，即证； （2）由（1）得到，因为，，可得，即证，可得，即证得结论． 解：（1）证明：，， ，， ， ，是中点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ，， ， 又， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，平分，若，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角形内角和列式计算得，运用角平分线的定义得，整理得，，再证明，代入数值到，进行解方程，即可作答． 解：∵在中，，， ∴． ∵平分， ∴．， ∴， ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 即（负值已舍去） 故选：B． 【点拨】本题考查了三角形内角和，三角形外角性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质，公式法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在中，，于点，是中点，延长线交延长线于点．求证： （1）； （2） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，，可得，再由是中点，可得，进而推出，即证； （2）由（1）得到，因为，，可得，即证，可得，即证得结论． 解：（1）证明：，， ，， ， ，是中点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ，， ， 又， ， ， ． 6. 共角相似型 如图7，，则 证明：在和中， 又， ， ，即：. 【题型6】利用共角相似模型求值证明 【例题6】（22-23九年级上·山东聊城·期中）如图，中，是直角，过斜边中点M而垂直于斜边的直线交的延长线于E，交于D，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）先证明，再由公共角，便可得； （2）首先证明，再由，得，写出比例式问题即可解决． 解：（1）证明：∵是直角，， ∴， ∵， ∴； （2）∵是直角，， ∴， ∴， ∵点M为直角斜边的中点， ∴，； 而， ∴． ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质定理，解题的关键是证明三角形相似． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，于，于，设与相交于点． （1）求证： （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找边之间的关系． 根据垂直定义可知，又因为是公共角，可证； 根据可证，根据对顶角相等可知，从而可证，根据相似三角形对应边成比例可知，根据对顶角相等可知，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证，从而可证，又因为是公共角，可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立． 解：（1）证明：于点， ， 于点， ， 在和中，，， ； （2）证明：， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【变式2】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，于点，于点，连接，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先通过两组角分别相等的三角形是相似三角形，得，则，变形得，再结合，则，即可作答． 解：证明：， ， 又， ， 又， ． 【模型二】8字型相似： 7. 8字型（基本模型） 在中，，则 证明： ， 【题型7】利用A字模型求值证明 【例题7】（24-25九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，、两处被池塘隔开，为了测量、两处间的距离，在外选一个适当的点，连接、并分别延长至点、，使得，，若测得m，则 m． 【答案】75 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，证明，根据相似三角形的性质即可解答． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：75 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，，，相交于点O，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．证明，根据对应边成比例代数求解即可． 解：∵， ，， ， ． ∴，即 ． 故答案为：． 8. 双（多）8字模型 在中，（类似于双A和多A字模型） 【题型8】利用双（多）8字模型求值证明 【例题8】（2025·江苏南京·三模）如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 由得到，，，进而求解即可． 解：∵ ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点．为中点，连接交于点，且．若的面积为2，则四边形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，平行四边形性质等．根据题意过点作，可得，再利用平行四边形性质可得，继而得到，再得到，继而得到，即可得到本题答案． 解：过点作， ∵，的面积为2， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积：， 故答案为：9． 【变式2】（21-22九年级上·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，点E为边上任意一点（不与点C、D重合），连接并延长与的延长线交于点F． （1）图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来． ， ， ， （2）若，，求的长及的值． 【答案】（1）；；；；；（2）， 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和图形可以直接写出图中的相似三角形； （2）根据，，平行四边形的性质和相似三角形的性质可以求得的长及的值． 解：（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，，，，， ∴； 故答案为：；；；；； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，． 9. 斜8字模型（蝴蝶模型） 如图11，.则 证明：在和中， 又， ， ，即：. 【题型9】斜8模型（蝴蝶）模型求值证明 【例题9】（2025·浙江嘉兴·二模）如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，对顶角相等，由，，则，所以，然后代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图，点D，C分别在上，交于点F，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． （1）根据等角的补角相等，由得到，加上对顶角相等得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）由于，则利用相似三角形的性质得到，从而根据比例的性质可求出的长． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，如果，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据“两边对应成比例，夹角相等”证明可以得出． 解：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 二. 同步练习​ 【基础巩固（8题）】 1.（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，D是的边上的点，且，，，则的长等于 ． 【答案】9 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明，则，求出，即可得到的长． 解：∵，， ∴ ∴, ∵，， ∴, ∴， ∴； 故答案为：9． 2.（25-26九年级上·河北·阶段练习）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 解：∵， ， ， ， ， ． 3.（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，．正方形的三个顶点E，F，D分别在边上．已知，，则正方形的边长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解一元一次方程，解题的关键是注意图形中的相等线段的替换． 根据正方形的性质可知，得，得，设正方形的边长为x，得，解得，得正方形的边长为3． 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为x， 则， 又，， ∴， ∴， 解得：， 则正方形的边长为3． 故答案为3． 4.（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图，在中，G是的重心，过点G且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质．利用三角形的重心性质得到，，得出，再证明，，得出，再求出，即可得出答案． 解：∵G是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，在中，，，，现要在其内部作正方形，使边在上，另两个顶点，分别在，上，则正方形的边长为（  ） A．48 B．46 C．42 D．40 【答案】A 【分析】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长； 解：设正方形零件的边长为， 在正方形中，， ， ， ， 即：． 解得：． 故选：A． 6．（2025·广东·模拟预测）黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉．古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联．如图，在中，，点在线段上，过点分别作于点于点，得到矩形，若矩形的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，求得，设，利用，列式计算即可求解 解：∵， ∴， ∴， 由矩形得， ∴， ∴， 设， 则，， ∴矩形的周长为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 7．（21-22九年级上·海南海口·期中）如图，在中是上一动点（不与、重合），过构造矩形，使在上，在上． （1）求证：点在运动过程中，； （2）连结，当四边形是平行四边形时，求的长度； （3）当与的面积和为时，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）或 【分析】（1）由四边形是矩形，可得，，则，根据平行线的性质得，由相似三角形的判定可得结论； （2）设的长度为．由勾股定理可求的长，由得，根据相似三角形的性质可求得，由（1）知，可得，根据平行四边形的性质得，则，即可得的值； （3）设的长度为，由（2）得出，，进而分别求得，根据与的面积和为，建立方程，解方程，即可求解． 解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设的长度为． 在中，，，， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：； 即 （3）解：设的长度为，由（2）可得， 在中，， 在中，， ∵与的面积和为 ∴ ∴ 解得：或 ∴的长度为或． 【点拨】本题考查了矩形，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，利用相似三角形的判定和性质以及勾股定理得出线段之间的等量关系是本题的关键． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形．顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上． （1）求的长及的值； （2）直接写出的长及的值； （3）猜想的值，并直接写出的长（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）先证明，设正方形边长为x，求出，即可求出； （2）同（1）方法证明即可； （3）找出规律作答即可． 解：（1）解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设正方形边长为x，则 即 解得：， ∴， ∴； （2）解：同（1）可知， 设正方形边长为y，则， 即， 解得， ∴ ∴； （3）解：， …… 9．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在上，交于点N，求的长 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．证明，则，设，表示出相关线段，代入求值即可． 解：设正方形的边长， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 10.（25-26九年级上·河北·阶段练习）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 解：∵， ， ， ， ， ． 11．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，点分别是的边上的点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（）由补角性质可得，进而即可求证； （）由得，进而根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 解：（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴． 12.（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，点在边上． （1）判断与是否相似？请说明理由． （2）当时，求的度数． 【答案】（1）相似，理由见分析；（2） 【分析】（1）利用两边对应成比例且夹角为公共角即可证明与相似． （2）利用相似三角形的性质即可求出答案． 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：（1）解：相似，理由如下： ，，， ． 又为公共角， △△； （2）解：△△，， ． 13．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，四边形的对角线，交于点E，则以下结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，根据选项正确三角形相似，由此进行判断即可 解：A.∵，， ∴， ∴；故A选项正确，不符合题意； B.∵， ∴， ∴， ∴故选项B正确，不符合题意； C.∵，， ∴ ∴，故选项C错误，符合题意； D.∵，， ∴ ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C 14.（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，为边的中点，交的延长线于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，关键是判定，推出．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，由三角形内角和定理推出，得到，判定，推出，即可求出的长． 解：，为边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， （舍去负值）． 故选：D． 15．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在四边形中，对角线与相交于点，且．已知，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出是解题关键．直接利用相似三角形的判定方法得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． 解：， ， ， ，，，， ， 解得：． 16.（25-26九年级上·全国·课后作业）在下面的两组图形中，各有两个三角形相似．试确定的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等． 对于图1，由图形中给出的线段长度，可以确定出这两个三角形的相似比，进而可求x的值； 对于图2，由于2个三角形相似，运用相似三角形角和边的性质就可以求出的值以及的值． 解：在题图1中，两个三角形相似， ， 解得． 在题图2中，两个三角形相似， ， 解得． 综上，． 17．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，是斜边上的中线，交于，交的延长线于． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）利用直角三角形斜边中线性质及同角的余角相等来推导角的关系，可推导出，已知，证明出； （2）先根据相似三角形的性质求出，再利用直角三角形斜边中线性质得到的长度，最后勾股定理求出的长度． 解：（1）解：证明：∵是斜边上的中线， ∴， ， ， ， ， ， ， 又， ∴； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ． 18．（21-22九年级上·辽宁大连·期末）如图， 是的高， 若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．证明，可得，代入数据求出，即可求解． 解：∵，是的高， ∴，又， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（2025九年级下·广东·专题练习）如图，已知平行四边形中，点是对角线上一点，，延长交边于点．求证：； 【答案】详见分析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，证明，得出，则可得出结论； 解：证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 20.（24-25八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． （1）求证：； （2）试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等量代换等知识，属于相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 （1）由与垂直，、为高，利用垂直的定义得到直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2），理由为：由（1）中相似三角形，得比例，再利用两角相等的三角形相似得到，得比例，等量代换即可得证； 解：（1）证明∶、是的高， ， ，， ， ， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.9 相似三角形几何模型探究（A字型与8字型） 目录 一．模型梳理与题型分类精析 1 【知识回顾】相似三角形的判定： 1 【模型一】A字型相似： 2 1. A字型（基本模型） 2 【题型1】利用A字模型求值证明 2 2. 双A或多A字模型 3 【题型2】利用双或多A字模型求值证明 3 3. 三角形内接矩形模型 4 【题型3】利用三角形内接矩形模型求值证明 4 4. 斜（反）A字型 5 【题型4】利用斜（反）A字模型求值证明 5 5. 子母型（共边共角型） 6 【题型5】利用子母（共边共角）模型求值证明 7 6. 共角相似型 7 【题型6】利用共角相似模型求值证明 8 【模型二】8字型相似： 9 7. 8字型（基本模型） 9 【题型7】利用A字模型求值证明 9 8. 双（多）8字模型 9 【题型8】利用双（多）8字模型求值证明 10 9. 斜8字模型（蝴蝶模型） 11 【题型9】斜8模型（蝴蝶）模型求值证明 11 二. 同步练习 12 【基础巩固（8题）】 12 一．模型梳理与题型分类精析 相似三角形是初中几何中非常重要的知识点，是中考的常考题型，在相似三角形中也有一些固定的几何模型，本专题来探究“A字型”和“8字型”模型这两个几何模型 【知识回顾】相似三角形的判定： 【判定1】两角对应相等两个三角形相似； 【判定2】两边成比例且夹角相等两个三角形相似； 【判定3】三边成比例的两个三角形相似。 【模型一】A字型相似： 1. A字型（基本模型） 在中，，则 证明：在中， 【题型1】利用A字模型求值证明 【例题1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点D、E分别在的边、上，且． （1）求证：；（2）已知，，，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·上海·课后作业）在中，平分交于点，交于点，已知：，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【模型拓展】既然两个三角形相似，那么就有对应边成比例，同图1可知： 2. 双A或多A字模型 在中， ， ， ， ， ， ...等等 【题型2】利用双或多A字模型求值证明 【例题2】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： （1）； （2）． 【变式1】．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，为的重心，若过点且，交、于、，则的值为 ． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 ． 3. 三角形内接矩形模型 在中，，四边形是内接矩形，.则 证明：在中，， ， 是边上的高， 是的高， ，即：. 【题型3】利用三角形内接矩形模型求值证明 【例题3】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在 中，，矩形 的顶点D，G 分别在边、上，E，F在边上．若 ，则矩形 的面积为（   ） A．16 B．24 C．32 D．36 【变式1】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，，，、、…都是正方形，且、、…在边上，、、…在边上．则线段的长为 ． 【变式2】（23-24九年级上·河北沧州·期中）在中，，高，四边形一边在上，点，分别在上，交于点． （1）如图1，若四边形是正方形，则 ； （2）如图2，若四边形是矩形，且，用含的代数式表示 ． 4. 斜（反）A字型 在中，.则 证明：在中， ， ， ，即：. 【题型4】利用斜（反）A字模型求值证明 【例题4】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，点分别是的边上的点，． （1）求证：；（2）若，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果同时出发，用表示时间（）． （1）当 s时，的面积是； （2）当 s时，以、，为顶点的三角形与相似． 【变式2】（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为 ． 5. 子母型（共边共角型） 在中，.则 证明：在中， ， ， ，即：. 【题型5】利用子母（共边共角）模型求值证明 【例题5】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在中，，于点，是中点，延长线交延长线于点．求证： （1） ； （2） 【变式1】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，平分，若，则长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在中，，于点，是中点，延长线交延长线于点．求证： （1） ； （2） 6. 共角相似型 如图7，，则 证明：在和中， 又， ， ，即：. 【题型6】利用共角相似模型求值证明 【例题6】（22-23九年级上·山东聊城·期中）如图，中，是直角，过斜边中点M而垂直于斜边的直线交的延长线于E，交于D，连接．求证： （1） ； （2）． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，于，于，设与相交于点． （1）求证： （2）求证：． 【变式2】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，于点，于点，连接，求证：． 【模型二】8字型相似： 7. 8字型（基本模型） 在中，，则 证明： ， 【题型7】利用A字模型求值证明 【例题7】（24-25九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，、两处被池塘隔开，为了测量、两处间的距离，在外选一个适当的点，连接、并分别延长至点、，使得，，若测得m，则 m． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，，，相交于点O，，，，则的长为 ． 8. 双（多）8字模型 在中，（类似于双A和多A字模型） 【题型8】利用双（多）8字模型求值证明 【例题8】（2025·江苏南京·三模）如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点．为中点，连接交于点，且．若的面积为2，则四边形的面积为 ． 【变式2】（21-22九年级上·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，点E为边上任意一点（不与点C、D重合），连接并延长与的延长线交于点F． （1）图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来． ， ， ， （2）若，，求的长及的值． 9. 斜8字模型（蝴蝶模型） 如图11，.则 证明：在和中， 又， ， ，即：. 【题型9】斜8模型（蝴蝶）模型求值证明 【例题9】（2025·浙江嘉兴·二模）如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图，点D，C分别在上，交于点F，． （1）求证：； （2）求的长． 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，如果，且，那么 ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（8题）】 1.（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，D是的边上的点，且，，，则的长等于 ． 2.（25-26九年级上·河北·阶段练习）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 3.（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，．正方形的三个顶点E，F，D分别在边上．已知，，则正方形的边长为 ． 4.（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图，在中，G是的重心，过点G且，，则 ． 5．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，在中，，，，现要在其内部作正方形，使边在上，另两个顶点，分别在，上，则正方形的边长为（  ） A．48 B．46 C．42 D．40 6．（2025·广东·模拟预测）黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉．古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联．如图，在中，，点在线段上，过点分别作于点于点，得到矩形，若矩形的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则的长为 ． 7．（21-22九年级上·海南海口·期中）如图，在中是上一动点（不与、重合），过构造矩形，使在上，在上． （1）求证：点在运动过程中，； （2）连结，当四边形是平行四边形时，求的长度； （3）当与的面积和为时，求的长度． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形．顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上． （1）求的长及的值； （2）直接写出的长及的值； （3）猜想的值，并直接写出的长（用含n的代数式表示）． 9．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在上，交于点N，求的长 10.（25-26九年级上·河北·阶段练习）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 11．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，点分别是的边上的点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 12.（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，点在边上． （1）判断与是否相似？请说明理由． （2）当时，求的度数． 13．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，四边形的对角线，交于点E，则以下结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14.（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，为边的中点，交的延长线于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．6 15．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在四边形中，对角线与相交于点，且．已知，，，，求的长． 16.（25-26九年级上·全国·课后作业）在下面的两组图形中，各有两个三角形相似．试确定的值． 17．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，是斜边上的中线，交于，交的延长线于． （1）求证：； （2）若，求的长度． 18．（21-22九年级上·辽宁大连·期末）如图， 是的高， 若，，，求的长． 19．（2025九年级下·广东·专题练习）如图，已知平行四边形中，点是对角线上一点，，延长交边于点．求证：； 20.（24-25八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． （1）求证：； （2）试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $