4.4.2探索三角形相似的条件(2) 学案 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

4.4.2探索三角形相似的条件(2) 【学习目标】 1.通过画图理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，并规范书写格式. 2.认识三种相似基本图形：“子母”相似型、“旋转”相似型、“双垂直”相似型； 3.会用“SAS”判定相似，并进行相关的推理与计算. 【知识回顾】 ★知识点： 相等的两个三角形相似. 【预习探究】 1. 相等的两个三角形相似. 2.射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项. 符号语言： 【新知精析】 ★题型一：旋转型（∠1=∠2) 例1.如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE. 针对训练： 1.如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ） A． B. C． D. 2.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　） A． B． C． D． 3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形. （1） 求证：△ACF∽△GCA； （2） 求∠1+∠2的度数. ★题型二：子母型(∠ACD=∠B) 例2.如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE是两条高，求证：△ADE∽△ABC． 针对训练： 4. 如图,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______. 5.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（　　） A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：AD C．AB2＝CD•BC D．AB2＝BD•BC 6.如图，在等边△CDE中，A、B分别是ED、DE延长线上的点，且DE2＝AD•EB，求∠ACB的度数． ★题型三：双垂直相似 例3.已知，如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证： （1）AQ⊥QP； （2）△ADQ∽△AQP． 针对训练： 7.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=9，CD=1，BD=6，点E在BD上移动，当E，C，D为顶点的三角形与△ABE相似时，求DE= . 8.如图，正方形ABC的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当MC= 时，△ADE与△MNC相似． (7题图) (8题图) 9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，求证：△FED∽△DEB. 【拓展培优】 例2. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD． （1）求证：∠ACF＝∠ABD； （2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB． 【思维特训】 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，AC＝6cm，在线段BC上，动点P以2cm/s的 速度从点B向点C匀速运动；同时在线段CA上，点Q以acm/s的速度从点C向点A匀速运 动，当点P到达点C（或点Q到达点A）时，两点运动停止，在运动过程中． （1）当点P运动s时，△CPQ与△ABC第一次相似，求点Q的速度a； （2）当△CPQ与△ABC第二次相似时，求点P总共运动了多少秒？ 学科网（北京）股份有限公司 $$