精品解析：浙江省台州市温岭市第三中学2022-2023学年九年级上学期四科联赛考试数学试卷

市三中九年级四科联赛考试数学测试卷 一、选择题（每小题6分，共48分） 1. 是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（ ） A B. C. D. 2. 甲，乙，丙共人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为，，．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（　　） A. 第二名，第三名的总分之和为分或分 B. 第二名的总分可能超过分 C. 第三名总分共有种情形 D. 第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝5，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的最小值为（　　） A. 80 B. 82.5 C. 86 D. 88.5 4. 如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点爬行到点，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则不同的爬行路径有（ ）种 A. 32 B. 48 C. 64 D. 144 5. 如图，是的垂心，、、分别交、、于、、，则是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 6. 设动直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，当时，总有恒成立，则称函数与在上是“逼近函数”，则下列结论： ①函数与在上是“逼近函数”； ②函数与在上是“逼近函数”； ③函数与在上是“逼近函数”； 其中，正确的命题序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7. 如图，中，D为上一点，，， ，则的长是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（　　） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 二、填空题（每小题6分，共48分） 9. 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件出现的概率是___________（结果用数值表示）． 10. 两盒糖果共176块，从第二个盒子中取出16块放入第一个盒子中，这时第一个盒子中糖果的块数比第二个盒子中糖果的块数的倍（为大于1的整数）多31块，那么第一个盒子中原来至少有糖果___________块． 11. 一个正方体的表面积是，里边有个内切球，这个内切球中还内接一个小正方体，小正方体表面积为___________． 12. 若函数，当自变量分别取1，2，，100时，对应的函数值的和是 __． 13. 排成一行的学生，从左到右1至3报数，最后一个人报2．从右到左1至报数，最后一个人报1，这里与3互质．凡是报过1的学生出列，其余原地不动，共留下62名，其中只有21对学生原来相邻．原来有___________名学生；的值是___________． 14. 在平面直角坐标系中，点，动点在轴上运动，则的最大值为______． 15. 函数的最大值为___________． 16. 二次函数f（x）的图象开口向上，D为顶点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若三角形ABC外接圆与y轴相切，且∠DAC＝150°，则x≠0时，的最小值是_____． 三、解答题（第17题12分，18题16分，19—20题各18分，21-22题各20分，共104分） 17. 在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围. 18. 阅读材料，完成下列问题： 对于由n个实数构成的数组A＝(a1，a2，a3，…，an)，以及任意给定的正整数s，我们定义：∥A∥s，例如：A＝(1，﹣2)，∥A∥2． （1）求A＝(1，2，3，…，2022)时，∥A∥1＝_________； （2）若A＝(x，y，z，w)，∥A∥2022＝612，B，求∥B∥2022； （3）若A＝(x1，y1)，B＝(x2，y2)，C＝(x1+x2，y1+y2)，试比较∥A∥2+∥B∥2与∥C∥2大小关系． 19. 已知是的直径，是的切线，C是上的点，，M是直径上的动点，A与直线上的点的连线距离的最小值为d，B与直线上的连线距离的最小值为f． （1）求证：是切线． （2）设，求的正切值． （3）设，，求的取值范围． 20. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围； （3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？ 21. 如图，抛物线与轴交于两点（点A在点左侧），与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点． （1）若点纵坐标为3，求抛物线的函数表达式； （2）设是抛物线的对称轴上一点，是抛物线上一点，以点为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由； （3）在（1）的条件下，点为线段上一动点，轴交抛物线于，交直线于于．当点运动时，若在线段上总存在一点，使（用表示的面积，用表示的面积），请直接写出的取值范围． 22. 在矩形中，． （1）如图1，证明：． （2）如图2，作，、分别为、上一动点，若存在，试用含的代数式表示． （3）在（2）的基础上，连接交于，，连接，求、、的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市三中九年级四科联赛考试数学测试卷 一、选择题（每小题6分，共48分） 1. 是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题关键； 根据算术平均数的定义解答即可. 【详解】解：∵是的平均数，是的平均数，是的平均数， ∴，， ∴. 故选：B. 2. 甲，乙，丙共人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为，，．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（　　） A. 第二名，第三名的总分之和为分或分 B. 第二名的总分可能超过分 C. 第三名的总分共有种情形 D. 第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，分类讨论是解答本题的关键． 根据甲得分情况分类，然后列出第二名和第三名可能的得分情况，最后判断各个选项的正确性即可． 【详解】解：人的总得分为（分）， 依题意，甲的得分为，，或，，， 当甲得分为，，时，第二名、第三名的总分之和为分， 甲得分为，，时，第二名、第三名的总分之和为分，A正确； 甲得分为，，时，第二名得分有种情况：，，；，，；，，，总分分别为分，分，分，第三名得分对应有种情况：，，；，，；，，，总分分别为分，分，分； 甲得分为，，时，第二名得分有种情况：，，；，，；，，，总分分别为分，分，分，第三名得分对应有种情况：，，；，，；，，，总分分别为分，分，分， B，D正确，第三名的总分共有种情形，C错误， 故选：C． 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝5，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的最小值为（　　） A. 80 B. 82.5 C. 86 D. 88.5 【答案】B 【解析】 【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，利用面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=20，BC=15， ∴ 设PD=x，AB边上的高为h，则 ∵ ∴△ADP∽△ACB， ∴ ∴ ∴， 当时，此时 当时，有最小值，最小值为： 故选B 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题． 4. 如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点爬行到点，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则不同的爬行路径有（ ）种 A. 32 B. 48 C. 64 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了学生分析问题的能力，并能利用列表法的思想解答问题，综合性较强． 如下图，将图形分为五步，分别求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数，再求第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数的乘积，即可求出爬行路径种数． 【详解】解：如下图，将图形分为五步，求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径种数， 第一步：2； 第二步：2； 第三步：4； 第四步：2； 第五步：2； ∴ 则共有64种不同的爬行路径． 故选：C． 5. 如图，是的垂心，、、分别交、、于、、，则是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的垂心的概念及性质，三角形内心的定义，四点共圆的判定及圆的性质，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 利用三角形的垂心的性质推出，从而有C、D、H、E四点共圆，可得，同理可得，再利用直角三角形的性质和等量替换推出，可得平分，进一步可得点是三内角平分线的交点，所以点是的内心． 【详解】点是的垂心， ，，， 由，可得， ， C、D、H、E四点共圆， ， 同理可证B、D、H、F四点共圆， ， 又，， ， ， 平分， 同理可证平分，平分， 点是三内角平分线的交点，即点是的内心． 故选：A． 6. 设动直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，当时，总有恒成立，则称函数与在上是“逼近函数”，则下列结论： ①函数与在上是“逼近函数”； ②函数与在上是“逼近函数”； ③函数与在上是“逼近函数”； 其中，正确的命题序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数性质，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握一次函数，二次函数性质．由“逼近函数”定义逐项判断即可． 【详解】解：由“逼近函数”定义知在上，时，函数与在上是“逼近函数”， 令， 当时，最大为1，最小为， 函数与在上是“逼近函数”，①正确； 令， 在上，当时，最大为1，当时，最小为， 函数与在上是“逼近函数”，②正确； 令， 在上，当和时，取最大值1，时，取最小值为，③正确； 故选：D． 7. 如图，中，D为上一点，，， ，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题由已知的值，可以想到构造直角三角形；由是等腰三角形，可以尝试构造三线合一，所以作两条辅助线：过点D作于点E，过点B作于点F． 根据利用相似三角形及比例线段等建立方程组求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F， ∵中，， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴． 设，，则， 由作图可知，， ∴ ， 即： ①， 在中 ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 即： ， ∴ ， 在中，根据勾股定理得， ， 即：， ①②两式联立： ， 解得： （负值舍去）， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 8. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（　　） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG为平行四边形，即得出，从而可得出，即CH的长为的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH的长即可． 【详解】如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH． 由平移的性质可知，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形CDEG为平行四边形， ∴． 由轴对称的性质可知，，， ∴， ∴，即CH的长为的最小值． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形， 结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求． 故选B． 【点睛】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键． 二、填空题（每小题6分，共48分） 9. 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件出现的概率是___________（结果用数值表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题是一道古典概率题型，把五个元素全排列出来，根据题目要求排列中属性相克的两种物质不相邻，除去不符合题意的即可解题. 【详解】解：如下排列，金、土、火、木、水当左边的位置排定后(例如：金)，第二位(除去金本身)只有“土、水”两种属性，第二位排定后，其他三种属性也确定， 故满足条件的排列有种； 所以事件出现的概率是； 故答案为： . 10. 两盒糖果共176块，从第二个盒子中取出16块放入第一个盒子中，这时第一个盒子中糖果的块数比第二个盒子中糖果的块数的倍（为大于1的整数）多31块，那么第一个盒子中原来至少有糖果___________块． 【答案】131 【解析】 【分析】本题考查含参数的一元一次方程，通过题意设第二个盒子有个糖果，则第一个盒子里面有个糖果，列出方程，解得：，能乘除，可得或或 ，即可求值. 【详解】解：设第二个盒子有个糖果，则第一个盒子里面有个糖果， 则： ∴ ∵ ∴ ∵能整除 ∴或或 ∴或或 ∴ ∴第一个盒子中原来至少有131块糖果． 故答案为：131. 11. 一个正方体的表面积是，里边有个内切球，这个内切球中还内接一个小正方体，小正方体表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方体与球的位置关系、正方体的表面积等知识点，求出小正方体的棱长是解题的关键. 先求出内切球的直径，利用勾股定理可求小正方体的棱长，即可求解. 【详解】解：设小正方体棱长为 ， ∵大正方体的表面积是， ∴大正方体的棱长是， ∵大正方体里面有一个内切球， ∴内切球的直径为， ∵内切球中还内接一个小正方体， ∴， ∴， ∴小正方体表面积 ． 故答案为：. 12. 若函数，当自变量分别取1，2，，100时，对应的函数值的和是 __． 【答案】390 【解析】 【分析】将x2-100x+196分解为：（x-2）（x-98），然后可得当2≤x≤98时函数值为0，再分别求出x=1，99，100时的函数值即可． 【详解】二次函数与轴交点为，， 当，时， ， 当，时， ， 当，，时，函数的函数值为正数， 时， ， 当时， ， 当时， ， 自变量分别取1，2，，100时，对应的函数值的和是： ． 故答案为：390． 【点睛】本题考查函数值的知识及十字相乘法分解因式，有一定难度，关键是将x2-100x+196分解为：（x-2）（x-98）进行解答． 13. 排成一行的学生，从左到右1至3报数，最后一个人报2．从右到左1至报数，最后一个人报1，这里与3互质．凡是报过1的学生出列，其余原地不动，共留下62名，其中只有21对学生原来相邻．原来有___________名学生；的值是___________． 【答案】 ①. 125 ②. 4 【解析】 【分析】本题主要考查数论基础，题目难度较大，设原来队伍有人，队伍从左到右编号为，则第一次报1的有人，编号为，其中 ；按照题目要求进行排列，最后可得，即可求值. 【详解】解：设原来队伍有人，队伍从左到右编号为， 第一次报1的有人（报数规则为1，2，3循环）： 报1的人编号为，其中 ； 第二次报1的有人（报数规则为1，2，…，m循环）：报1的人编号为，其中； 两次都报1的人满足条件：，即， ∵ ， ∴，， 两次都报1的编号为，，共计有 人， 首先，第一次让报1的人出列，出列人数为，剩余的人相邻2人一组（共组）和最右边一个一人组；第二次让报1但第一次未报1的人出列，出列人数为：， 另一方面， 第二次出列的除最右边一人外，都是由一部分第一次留下来的二人组中出来的人， ∴最后留下来的一人组数就是第二次出列的人数减1，即 根据题意得 ， 第一次留下来的个二人组中有个组在第二次每组出列一人变成了一人组， ∴留下二人组的个数 ，即； 代入得： 又由近似：， ， ， ∴ 故答案为：125；4 . 14. 在平面直角坐标系中，点，动点在轴上运动，则的最大值为______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理， 作，过点作交轴于点，连接，则，可得，作点C关于y轴的对称点，连接，可知，可知当点P，D，三点共线时取最大值，设点，则，根据勾股定理求出a，进而得出答案. 【详解】解：如图，作，过点作交轴于点，连接，则， ∴. 作点C关于y轴的对称点，连接，可知， ∴， 当点P，D，三点共线时取最大值，如图所示， 设点，则， ∵点， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 则， ∴， ∴. 所以的最大值为1.5. 故答案为：1.5. 15. 函数的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用柯西不等式求函数的最大值，解题的关键是通过对函数进行变形，构造柯西不等式的形式，结合定义域求解最大值． 先确定函数的定义域，再将函数变形为符合柯西不等式的形式，利用柯西不等式求解最大值，并验证等号成立的条件． 【详解】解：要使根式有意义，需满足， 解得， 将函数变形为． 对任意实数， ， ． 令，则： ，即， 当且仅当时，等号成立，解得， 因为在范围内，所以等号能成立， 综上，函数的最大值为． 故答案为：． 16. 二次函数f（x）的图象开口向上，D为顶点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若三角形ABC外接圆与y轴相切，且∠DAC＝150°，则x≠0时，的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣x2），△ABC外接圆的圆心为P．求出点P、D的坐标，可得：AH2＝PH•HD，从而证明△AHP∽△DHA．再利用三角形相似角对应相等，进一步证明出△PAC为等边三角形，即得出x2＝3x1，a2x12＝，即，再利用完全平方式可知，即可求解． 【详解】设点A、B的坐标分别为：（x1，0），（x2，0）， 设抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 则点D的坐标为：，点C（0，ax1x2）， 设△ABC外接圆的圆心为P，圆P与y轴相切， 连接CP，则CP⊥y轴， 则点P的横坐标和点D的横坐标相同，其纵坐标和点C的纵坐标相同， 故点P的坐标为：， ∵PA＝PC， ∴， ∴a2x1x2＝1， 设函数对称轴交x轴于点H，连接AD， AH2＝（﹣x1）2＝（）2； PH•HD＝ax1x2•a（）2＝AH2， 即AH2＝PH•HD， 而∠PHA＝∠DHA＝90°， 故△AHP∽△DHA， ∴∠APH＝∠HAD， ∴∠PAD＝∠PAH+∠DAH＝∠APH+∠PAH＝90°， 故∠PAC＝∠CAD﹣∠PAD＝150°﹣90°＝60°， 而PC＝PA， 故△PAC为等边三角形， 则∠OCA＝∠OCP﹣∠ACP＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△OCA中，OA＝AC＝PC， 即（x1+x2）＝2x1， 即x2＝3x1，而a2x1x2＝1，则a2x12＝， 则抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣3x1）， 故， 设：m、n为非负实数，由完全平方公式得：（当且仅当m＝n时等号成立）， 即m+n≥2， 故， 故的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用、圆切线的性质、三角形相似的判定和性质、等边三角形的性质，综合性很强，题目难度很大． 三、解答题（第17题12分，18题16分，19—20题各18分，21-22题各20分，共104分） 17. 在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围. 【答案】或k＝-4或k≥-3 【解析】 【分析】分四种情况讨论：原方程去分母化为①．（1）当时，，得到，方程有两个相同的正实根，原方程只存在一个正实数解；（2）原方程的增根是方程的一个根，代入得到，得到代入方程有另一正实数解，原方程只存在一个正实数解；（3）当方程①有异号二实根时，根据根与系数的关系，求得，原方程只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，推出，原方程只有一正实数根． 【详解】解：原方程可化①， （1）当时，， ，符合题意； （2）当是方程①的根时，，， 此时方程①为，，解得另一个根为， 故原方程也只有一根； （3）当方程①有异号实根时，，且，即，得，此时原方程也只有一个正实数根； （4）当方程①有一个根为0时，，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根． 综上所述，满足条件的k的取值范围是：或或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解与字母系数的关系，解决问题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，增根的定义和特点，根据根的情况确定字母系数的取值，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，分类讨论． 18. 阅读材料，完成下列问题： 对于由n个实数构成的数组A＝(a1，a2，a3，…，an)，以及任意给定的正整数s，我们定义：∥A∥s，例如：A＝(1，﹣2)，∥A∥2． （1）求A＝(1，2，3，…，2022)时，∥A∥1＝_________； （2）若A＝(x，y，z，w)，∥A∥2022＝612，B，求∥B∥2022； （3）若A＝(x1，y1)，B＝(x2，y2)，C＝(x1+x2，y1+y2)，试比较∥A∥2+∥B∥2与∥C∥2的大小关系． 【答案】（1）2045253 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的定义求解即可； （2）由题意可得，则，由此求解即可； （3）先求出，，，然后求出，，然后利用作差法比较大小即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 故答案为：2045253； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∴ 令， ，， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，分数指数幂，二次根式的运算和完全平方公式，正确理解题意是解题的关键． 19. 已知是的直径，是的切线，C是上的点，，M是直径上的动点，A与直线上的点的连线距离的最小值为d，B与直线上的连线距离的最小值为f． （1）求证：是切线． （2）设，求的正切值． （3）设，，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）过O作于D，根据全等三角形的性质及三角形外角性质推出，结合，即可判定，根据相似三角形的性质得到，根据已知条件得到，由三角函数的定义即可得到结论； （3）连接，根据勾股定理得到，当M与A重合时，得到，当M与B重合时，得到，于是得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的切线，是的直径， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过O作于D， ∵，， ∴，，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当时，，， ∴， 当M与B重合时，，， ∴， ∴的取值范围是：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理及正确的作出辅助线是解题的关键． 20. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围； （3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？ 【答案】（1）不是有界函数，是有界函数，边界值是3；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）分析题意，结合已知中有界函数的定义可进行判断； （2）根据一次函数的性质可得的增加性，再结合自变量的取值范围和题意可得，解此不等式组可得的取值范围； （3）要分情况讨论，易判断不符合题意，故；结合已知函数解析式可得函数过点和，以此求得其平移后的点坐标，进而可得或，由此即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）结合已知根据有界函数的定义可知不是有界函数，是有界函数，边界值是3； （2）中，随的增大而减小， 当时，，故． 当时，， 根据题意可得：， ； （3）若，函数向下平移个单位后，时，函数值小于，此时函数的边界值大于1，与题意不符，故． 当时，，即过， 当时，，即过， 将，都向下平移个单位，得到，， 根据题意可得：或， 或， 或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题的关键是结合新定义，弄清函数边界值的定义，同时要熟悉平移变换的性质． 21. 如图，抛物线与轴交于两点（点A在点的左侧），与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点． （1）若点的纵坐标为3，求抛物线的函数表达式； （2）设是抛物线的对称轴上一点，是抛物线上一点，以点为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由； （3）在（1）的条件下，点为线段上一动点，轴交抛物线于，交直线于于．当点运动时，若在线段上总存在一点，使（用表示的面积，用表示的面积），请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）点N的坐标为或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，确定，再由过点的直线，得出，代入，然后求直线与抛物线得交点得出，再根据题意即可求解； （2）分两种情况：若是矩形的一条边，若是矩形的一条对角线，根据矩形的性质及二次函数的性质作出图形分析求解即可； （3）根据题意得当点G与点P重合时，，t取得最小值，当G与O重合且时，t取最大值，结合图象，利用三角函数及三角形面积求解即可． 小问1详解】 解：∵， 令，即， 解得：， ∵，点A在点的左侧， ∴， ∵过点的直线， ∴， ∴， ∴， 令， 解得：或， ∴， ∵点的纵坐标为3， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； 小问2详解】 由（1）得抛物线的对称轴为， 若是矩形的一条边， ∴点N只能在直线的上方由点B的横坐标为m，点M的横坐标为 ∴矩形对角线交点的横坐标为，∵点D横坐标为， ∴点N的横坐标为，∴ ∴， 作轴于G，轴于H， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∵， ∴解得， ∴； 若是矩形的一条对角线， ∴点N只能再直线的下方，，， ∵， ∴点N的横坐标为， ∴， ∴点M的纵坐标为， 设对称轴交x轴于点G，作轴于点H， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 综上可得：点N的坐标为或； 【小问3详解】 ∵在线段上总存在一点， ∴， ∵ ∴， 当点G与点P重合时，，t取得最小值， 由（1）得，， 设直线的解析式为， 代入得，解得， ∴， ∵点，轴， ∴， ∴，， ∵， 解得：或（舍去）， 作于K，连接，则， 当G与O重合且时，t取最大值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 综上可得：． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，特殊图形问题及面积问题，根据题意，进行分类讨论分析求解是解题关键． 22. 在矩形中，． （1）如图1，证明：． （2）如图2，作，、分别为、上一动点，若存在，试用含的代数式表示． （3）在（2）的基础上，连接交于，，连接，求、、的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3）；理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用两个角对应相等的两个三角形相似，得出答案即可； （2）连接，设与交于点O，根据，得出，证明，得出，证明，得出，根据三角函数定义得出； （3）过点C作，交的延长线于点G，根据，得出，根据，得出，根据勾股定理得出，即可得出． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，设与交于点O，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：结论：；理由： 如图：过点C作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $