专题二 二次函数的最值即函数值的取值范围 2025-2026学年人教版九年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 专题二 二次函数的最值即函数值的取值范围 解决二次函数最值问题前，先要抓住二次函数的几个关键特征： 1. 开口方向：由二次项系数 a 决定。 当 a>0 时，抛物线开口向上，函数有最小值。 当 a<0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。 对称轴是直线，这是函数增减性发生变化的分界线。 顶点是 是抛物线上的最高点或最低点，因此顶点纵坐标就是函数在整个定义域（全体实数）上的最大值或最小值。 理解并快速求出这些要素，是解决所有二次函数最值问题的基础。 代数最值问题的常见题型与解法 这类问题通常是给定一个二次函数和一二次函数自变量的取值范围，要求求函数在该范围内的最大值或最小值。 类型一：定轴定取值范围最值问题 特点：二次函数的解析式是确定的（对称轴固定），自变量的取值范围也是一个确定的区间。 解题方法： 这类问题的核心是判断对称轴与给定自变量的取值范围，然后结合开口方向进行分析。 1.开口向上时 (a>0 若对称轴在取值范围内，则顶点处取得最小值，最大值在离对称轴较远的端点处。 若对称轴在取值范围左侧，则函数在区间内单调递增，左端点取最小值，右端点取最大值。 若对称轴在取值范围右侧，则函数在区间内单调递减，右端点取最小值，左端点取最大值。 2.开口向下时 (a<0) 若对称轴在自变量取值范围内，则顶点处取得最大值，最小值在离对称轴较远的端点处。 若对称轴在取值范围左侧，则函数在区间内单调递减，右端点取最小值，左端点取最大值。 若对称轴在取值范围右侧，则函数在区间内单调递增，左端点取最小值，右端点取最大值。 记忆技巧：图结合策永远是解决函数问题最直观的方法。遇到问题时，先画出开口方向和对称轴，再标出取值范围，图像会直观地告诉你最高点和最低点在哪里。 例1：已知抛物线 y=x2−2x−1，当 0≤x≤3 时，函数的最大值为 ____。 【变式1-1】．函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为 ． 【变式1-2】．二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【变式1-3】．已知二次函数的图象经过点，． (1)求a与m的值，并画出的图象； (2)写出该二次函数图象的顶点坐标及对称轴； (3)当时，求函数的最大值和最小值； (4)当时，求x的取值范围． 【变式1-4】．已知关于x的二次函数 (1)若函数图象过点，， 求二次函数的解析式； 当时，求函数的最小值与最大值； (2)当时函数值y有最小值，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值． 类型二：定轴动取值范围最值问题 特点：二次函数解析式确定（对称轴固定），但自变量的取值范围是一个变化的区间（例如区间一端固定，另一端变化；或者区间长度固定但位置变化）。 解题方法： 由于区间在“动”，最值点也可能发生变化。这就需要进行分类讨论。 关键是分析对称轴相对于这个运动区间不同位置时的情况。 例2：已知二次函数 y=2x2−4x−1，当 0≤x≤a 时，y的最大值为15，则 a 的值______。 【变式2-1】．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ． 【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）经过点．点P是抛物线上一点，点P的横坐标为m，点Q的坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当平行于x轴时，求m的值； (3)将抛物线在点P和点A之间的部分记为图象G（包括端点），当图象G的最大值和最小值之差为1时，求m的取值范围． 【变式2-3】．二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； (2)若，求的最小值． 【变式2-4】．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式： (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． ． 【变式2-5】．已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 类型三：动轴定区间最值问题 特点：二次函数解析式中含有参数，导致对称轴的位置不确定（在动），但自变量的取值范围是固定的。 解题方法： 同样需要进行分类讨论。 根据参数的不同取值，判断对称轴相对于固定区间的位置，然后分别求出各种情况下的最值。 例3：已知关于x的二次函数 y=x2−2ax+3，当 1≤x≤3 时，函数有最小值 2a，则 a 的值为_________。 【变式3-1】．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示） (2)点，在抛物线上，其中，， 若的最小值是，求的最大值； 若对于，都有，求出的取值范围． 【变式3-2】．定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，与轴交于点． (1)若点E的坐标为，求抛物线的解析式； (2)设的顶点为，若，求点的坐标； (3)当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【变式3-3】．二次函数的图象经过点，点． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若存在实数，使得，且，求的取值范围； (3)当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值． 【变式3-4】．已知二次函数（m为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点，求该二次函数的解析式． (2)若当时，在该范围内的函数值y先增大后减小，最大值为p，最小值为q，且，求m的值以及此时函数在处的函数值． 【变式3-5】．在平面直角坐标系中，直线l：经过抛物线的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P． (1)求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标； (2)时，y的最小值为2，求t的值； (3)当时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作轴交直线l于点F，令，求S的最大值． 类型四：二次函数中的线段最值问题 这类问题常出现在抛物线与几何图形结合的题目中，例如求平行于坐标轴的线段长度的最值。 解题方法： 1. 用点的坐标表示线段长度（例如，平行于y轴的线段长度 = |上点纵坐标 - 下点纵坐标|）。 2. 将线段长度表示为一个二次函数。 3. 利用求二次函数最值的方法求解。 核心思想：将几何问题转化为代数问题（函数问题）来解决。 例4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为该抛物线上两点，点在抛物线对称轴的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交抛物线于点，以为邻边作． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)将此抛物线上两点之间的部分记为图象，当图象的最大值与最小值的差为时，求的值； (3)当的顶点落在抛物线的对称轴上时，求线段的长度； (4)抛物线在内部的图象的函数值随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【变式4-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． (1)求抛物线（）的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【变式4-2】．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作交轴于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，当取最大值时，求点的坐标以及此时的最小值； (3)如图2，平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点坐标为．点是抛物线上一点且位于第一象限，若点到轴的距离是它到直线距离的倍，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【变式4-3】．如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象经过点,点. (1)求此二次函数的解析式； (2)当时,求二次函数的最大值和最小值； (3)点P为此函数图象上任意一点,其横坐标为m,过点P作轴,点Q的横坐标为.已知点P与点Q不重合,且线段的长度随m的增大而减小. ①求m的取值范围； ②当时,直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的m的取值范围. 【变式4-4】．如图,二次函数的图像与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点 (1)求二次函数的解析式； (2)点P是这个二次函数图像在第二象限内的一线,过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C,求线段PC长度的最大值. 解决二次函数最值问题的通用思路与技巧 无论题型如何变化，解决此类问题都可以遵循以下步骤： 1.化标准形：将二次函数通过配方化为顶点式 y=a(x−h)2+k，从而直接读出对称轴 x=h 和顶点坐标(h,k)。 2.看开口方向：确认二次项系数 a 的正负，决定是找最大值还是最小值。 3.画示意图：根据对称轴和区间范围，画出简单的抛物线示意图。这能帮你直观判断函数在区间内的单调性和最值点。 4.断相对位置：确定对称轴与给定区间的相对位置关系（在左、在内、在右）。这是选择解题路径的关键。 5.分类讨论：对于动轴或动区间问题，​依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，做到不重不漏。 6.验算结果：计算端点值和顶点值，并进行比较。注意检查结果是否符合各类前提条件（例如，参数取值是否使对称轴落在了讨论的范围内）。 最重要的建议：一定要养成画图的习惯！ 图形能极大地帮助你的直观理解，避免因为抽象思考而遗漏情况。 二、 典例精析 三、 解题技巧总结 一、 二次函数最值解题策略 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 专题二 二次函数的最值即函数值的取值范围（解析版） 解决二次函数最值问题前，先要抓住二次函数的几个关键特征： 1. 开口方向：由二次项系数 a 决定。 当 a>0 时，抛物线开口向上，函数有最小值。 当 a<0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。 对称轴是直线，这是函数增减性发生变化的分界线。 顶点是 是抛物线上的最高点或最低点，因此顶点纵坐标就是函数在整个定义域（全体实数）上的最大值或最小值。 理解并快速求出这些要素，是解决所有二次函数最值问题的基础。 代数最值问题的常见题型与解法 这类问题通常是给定一个二次函数和一二次函数自变量的取值范围，要求求函数在该范围内的最大值或最小值。 类型一：定轴定取值范围最值问题 特点：二次函数的解析式是确定的（对称轴固定），自变量的取值范围也是一个确定的区间。 解题方法： 这类问题的核心是判断对称轴与给定自变量的取值范围，然后结合开口方向进行分析。 1.开口向上时 (a>0 若对称轴在取值范围内，则顶点处取得最小值，最大值在离对称轴较远的端点处。 若对称轴在取值范围左侧，则函数在区间内单调递增，左端点取最小值，右端点取最大值。 若对称轴在取值范围右侧，则函数在区间内单调递减，右端点取最小值，左端点取最大值。 2.开口向下时 (a<0) 若对称轴在自变量取值范围内，则顶点处取得最大值，最小值在离对称轴较远的端点处。 若对称轴在取值范围左侧，则函数在区间内单调递减，右端点取最小值，左端点取最大值。 若对称轴在取值范围右侧，则函数在区间内单调递增，左端点取最小值，右端点取最大值。 记忆技巧：图结合策永远是解决函数问题最直观的方法。遇到问题时，先画出开口方向和对称轴，再标出取值范围，图像会直观地告诉你最高点和最低点在哪里。 例1：已知抛物线 y=x2−2x−1，当 0≤x≤3 时，函数的最大值为 ____。 解析：y=x2−2x−1化为y=(x−1)2−2，对称轴 x=1 在0≤x≤3时，且开口向上。顶点值 ymin=−2。比较端点：x=0 时，y=−1；x=3 时，y=2。因此最大值为 2。 【变式1-1】．函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为 ． 【答案】/0.25 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先转化二次函数解析式为，利用二次函数的增减性即可求得a的值． 【详解】解：∵二次函数，且， ∴该函数的对称轴是直线， 该函数图象大致如下： ∴该二次函数在时，y随x的增大而减小， 又∵二次函数在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为， ∴可知当时，函数值的最大值为， ∴，解得， 则的值为． 故答案为： ． 【变式1-2】．二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【答案】36 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 【变式1-3】．已知二次函数的图象经过点，． (1)求a与m的值，并画出的图象； (2)写出该二次函数图象的顶点坐标及对称轴； (3)当时，求函数的最大值和最小值； (4)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)，，见解析 (2)顶点坐标为，对称轴为y轴 (3)最大值，最小值为 (4)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的对称性，熟记性质是解题的关键． （1）把点A的坐标代入函数解析式计算即可求出a，再把点B的坐标代入进行计算即可求出m，利用描点法即可画出图象． （2）根据图象回答即可． （3）根据二次函数的增减性解答． （4）先求解与时的值，再根据二次函数的图象即可求出答案． 【详解】（1）解：把点坐标代入函数解析式， 解得， ∴， 把点代入函数解析式得，， 图象如下： （2）解：该二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为y轴． （3）解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值； （4）解：∵当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴当时，x的取值范围为或． 【变式1-4】．已知关于x的二次函数 (1)若函数图象过点，， 求二次函数的解析式； 当时，求函数的最小值与最大值； (2)当时函数值y有最小值，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值． 【答案】(1)二次函数的解析式为；ⅱ， (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的解析式、最值即函数平移相关知识．熟练掌握二次函数的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 利用函数过的两个点，代入坐标列方程组，可求出二次函数的系数，进而得到解析式； ⅱ先将函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，再结合给定区间，判断最值的位置； 根据函数平移规律确定原函数过的点，代入得到系数关系，再结合对称轴和给定区间的最小值，分情况讨论a的取值． 【详解】（1）已知函数图象过点，， 将代入函数得：，即，解得， 将，代入函数得：， 即，，解得， 二次函数的解析式为； 根据知，二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，函数图象开口向上， 当时，y取得最小值，， 比较和到对称轴直线的距离，，， 离对称轴更远． 当时，， （2）函数图象向右平移3个单位过坐标原点，根据函数平移规律“左加右减”，则原函数过点 将代入得： ，即，，化简得， 二次函数的解析式为，其对称轴为， 时函数值y有最小值，分情况讨论： 当时，函数图象开口向上，对称轴直线在范围内， 当时，y取得最小值 将，代入函数得：，即，，解得， 当时，函数图象开口向下，在范围内，函数在端点处取得最小值． 比较和时的函数值： 当时， ； 当时，， ， ， 则当时，y取得最小值，解得， 当时，时，，符合时在端点处取得最小值的情况． 类型二：定轴动取值范围最值问题 特点：二次函数解析式确定（对称轴固定），但自变量的取值范围是一个变化的区间（例如区间一端固定，另一端变化；或者区间长度固定但位置变化）。 解题方法： 由于区间在“动”，最值点也可能发生变化。这就需要进行分类讨论。 关键是分析对称轴相对于这个运动区间不同位置时的情况。 例2：已知二次函数 y=2x2−4x−1，当 0≤x≤a 时，y的最大值为15，则 a 的值______。 解析：y=2x2−4x−1化为顶点式y=2(x−1)2−3，对称轴 x=1，开口向上。 · 如果 a<1，区间在对称轴左侧，函数递减，最大值在 x=0，y=−1=15。 · 如果 a≥1，最大值在右端点 x=a 处，故 2(a−1)2−3=15，解得 a=4 或 a=−2（舍去）。 【变式2-1】．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的增减性、区间最值，结合对称轴对区间进行分类讨论是解题的关键． 把代入中可得函数解析式，进而可得二次函数开口向上以及对称轴，结合知区间的中点在对称轴的右侧，由于区间中点在对称轴右侧，故函数在区间右端点的值大于左端点的值，再对区间左端点分类讨论即可． 【详解】解：∵把代入中，得：, ∴， ∴函数解析式为：， ∵， ∴二次函数开口向上，对称轴为轴， ∵， ∴，， ①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴， 解得：， 且， 则有， 解得：； ②当，即时，函数在处取得最大值， ∴， 解得：，这与矛盾，故不成立； 综上可得：． 故答案为： ． 【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）经过点．点P是抛物线上一点，点P的横坐标为m，点Q的坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当平行于x轴时，求m的值； (3)将抛物线在点P和点A之间的部分记为图象G（包括端点），当图象G的最大值和最小值之差为1时，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)当或时，图象G的最大值和最小值之差为1． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当平行于x轴时，，得到，求解即可； （3）根据题意，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：抛物线（a为常数）经过点， ∴， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：当平行于x轴时，， 点P是抛物线上一点，点P的横坐标为m，点Q的坐标为， ， 解得，或； （3）解：如图： 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为． 当时，最高点为顶点，最低点为P， 则最大值和最小值之差， 解得，或（舍去）， 当时，最高点为顶点，最低点为A， 则最大值和最小值之差， 当时，最高点为P，最低点为A， 则最大值和最小值之差， 解得，， 当时，最高点为A点，最低点为P， 则最大值和最小值之差， 解得，或（舍去）， 综上所述，当或时，图象G的最大值和最小值之差为1． 【变式2-3】．二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值． （1）①将，代入，求出b，c的值即可； ②由①得，二次函数为，可知二次函数图象的顶点坐标为，当时，，进而可得当时，，即，求出t的值即可． （2）若，则二次函数解析式为，可得，，则，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：①当，时，，， 将，代入， 得， 解得， ②由①得，二次函数解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为10， ∴当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值为． 【变式2-4】．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式： (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）运用对称轴直线可得，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据点的平移得到平移后的点为，再代入二次函数计算即可； （3）分，，讨论，然后建立方程解题即可． 【详解】（1）解：二次函数为， ∴抛物线的对称轴直线为， ∴， ∴抛物线为，又图象经过点， ∴， ∴， ∴抛物线为． （2）解：∵点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度， ∴平移后的点为， 又在， ， 解得或（舍去）， ∴． （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∵二次函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍去）， 当时， ∵二次函数的最大值与最小值的差为， ∴，符合题意， 当时， ∵二次函数的最大值与最小值的差为， ∴ 解得（舍去）或（舍去）， 综上所述，的取值范围为． 【变式2-5】．已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，函数值，自变量，最值的计算方法是关键． （1）运用对称轴直线可得，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据点的平移得到平移后的点为，再代入二次函数计算即可； （3）当时，最大值与最小值的差为，结合二次函数图象的对称性，最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：二次函数为， ∴抛物线的对称轴直线为， ∴， ∴抛物线为，又图象经过点， ∴， ∴， ∴抛物线为． （2）解：∵点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度， ∴平移后的点为， 又在， ， 或（舍去）， ∴． （3）解：当时，最大值与最小值的差为， ∴，不符合题意，舍去． 当时，最大值与最小值的差为，符合题意， 当时，最大值与最小值的差为， 解得或，不符合题意， 综上所述，的取值范围为 类型三：动轴定区间最值问题 特点：二次函数解析式中含有参数，导致对称轴的位置不确定（在动），但自变量的取值范围是固定的。 解题方法： 同样需要进行分类讨论。 根据参数的不同取值，判断对称轴相对于固定区间的位置，然后分别求出各种情况下的最值。 例3：已知关于x的二次函数 y=x2−2ax+3，当 1≤x≤3 时，函数有最小值 2a，则 a 的值为_________。 解析：对称轴 x=a。需分三种情况讨论： 1. a≤1：区间在对称轴右侧，函数递增，最小值在 x=1，4−2a=2a，得 a=1。 2. 1<a<3：对称轴在区间内，最小值在顶点，3−a2=2a，解得 a=−3 (舍) 或 a=1。 3. a≥3：区间在对称轴左侧，函数递减，最小值在 x=3，12−6a=2a，得 a=1.5 (不满足 a≥3，舍)。 综上，a=1。 【变式3-1】．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示） (2)点，在抛物线上，其中，， 若的最小值是，求的最大值； 若对于，都有，求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)，或． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（）通过配方配成顶点式即可求解； （）由抛物线对称轴为，，当时，的最小值为，求出，然后代入即可求解； 当时，取最大值，最大值为，当时，，根据有，则，再解出的范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上 ∵， ∴当时，的最小值为， ∵的最小值是， ∴， ∴，， 当时，； ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为， 当时，， 对于，均有， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用配方法求顶点坐标，对称轴，最值，根据函数值的关系求参数的范围，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式3-2】．定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，与轴交于点． (1)若点E的坐标为，求抛物线的解析式； (2)设的顶点为，若，求点的坐标； (3)当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的值为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键． （1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标； （2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论； （3）当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值． 【详解】（1）解： 与y轴交点的坐标为，，解得． 的解析式为； （2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为， ，当时， 的顶点的坐标为，点， 过点作轴于点，连接． ，，， ， ，即． 解得． 点的坐标为； （3）的解析式为， 当时，， 当时，； 当时，． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： I．当时，，且当时，函数最大值为；函数的最小值为．，解得或（舍）或（舍）； 当时，函数的最大值为，函数的最小值为． ，解得或（舍）或（舍）； Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为， ，解得（舍）或（舍）； Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去． 综上，的值为或． 【变式3-3】．二次函数的图象经过点，点． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若存在实数，使得，且，求的取值范围； (3)当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值． 【答案】(1)顶点坐标 (2) (3)的值是或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）当时，把二次函数化为顶点式即可； （2）先计算，用表示，进而可得，分别代入得出关于的不等式组，解不等式即可； （3）根据当时，的值增大，的值先减小再增大，可得点抛物线对称轴的左侧，点抛物线对称轴的右侧．当时，的最小值是．然后分两种情况讨论的最大值，由该二次函数的最大值与最小值的和为，列出方程求解． 【详解】（1）解：若， 则，顶点坐标； （2）解：把代入得：， 把代入得：． ， ， ， ， ； （3）解：∵二次函数的对称轴为， 当时，随着的值增大，的值先减小再增大， ∴点在抛物线对称轴的左侧， 点在抛物线对称轴的右侧． ∴当时，的最小值是． 若，即的最大值是， ， 解得：（舍去）． 若，即的最大值是， ， 解得：（舍去）． 综上，的值是或． 【变式3-4】．已知二次函数（m为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点，求该二次函数的解析式． (2)若当时，在该范围内的函数值y先增大后减小，最大值为p，最小值为q，且，求m的值以及此时函数在处的函数值． 【答案】(1) (2)，当时，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质； （1）把代入即可得到答案； （2）求解顶点坐标为：，如图，函数的对称轴为直线时，可得，如图，当与函数值相等时，可得：， 当直线为对称轴时，如图，可得：，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：∵， ∴顶点坐标为：， 如图，函数的对称轴为直线时， ∴， 解得：， 如图，当与函数值相等时， ∴， 解得：， ∴时， 如图， 此时满足在该范围内的函数值y先增大后减小， 此时最大值为，最小值为时的函数值， ∵， ∴， 解得：， ∴二次函数为：， 当时，， 当直线为对称轴时，如图， ∴， 解得：， 当时， 此时满足在该范围内的函数值y先增大后减小， 此时最大值为，最小值为时的函数值， ∵， ∴， 解得：（舍去），（舍去）， 综上：，当时，． 【变式3-5】．在平面直角坐标系中，直线l：经过抛物线的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P． (1)求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标； (2)时，y的最小值为2，求t的值； (3)当时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作轴交直线l于点F，令，求S的最大值． 【答案】(1)，P的坐标为 (2)t的值为或1 (3)S取得最大值 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）分，，三种情况，根据增减性，确定函数在时，取得最小值的情形，从而建立方程求解即可； （3）利用待定系数法求出一次函数解析式，设点， 则，则，据此求解即可． 【详解】（1）解；∵抛物线经过原点， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点P的坐标为； （2）解；由（1）可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当，即时，y随x增大而减小， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴t的值为， 当时，则若时，y的最小值为，不符合题意， 当时，y随x增大而增大， 由题意得：， 解得：（舍去），， ∴t的值为1， 综上所述，t的值为或1； （3）解：由题意得：当时，经过点， ∴， ∴， ∴， 设点，且， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，S取得最大值． 类型四：二次函数中的线段最值问题 这类问题常出现在抛物线与几何图形结合的题目中，例如求平行于坐标轴的线段长度的最值。 解题方法： 1. 用点的坐标表示线段长度（例如，平行于y轴的线段长度 = |上点纵坐标 - 下点纵坐标|）。 2. 将线段长度表示为一个二次函数。 3. 利用求二次函数最值的方法求解。 核心思想：将几何问题转化为代数问题（函数问题）来解决。 例4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为该抛物线上两点，点在抛物线对称轴的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交抛物线于点，以为邻边作． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)将此抛物线上两点之间的部分记为图象，当图象的最大值与最小值的差为时，求的值； (3)当的顶点落在抛物线的对称轴上时，求线段的长度； (4)抛物线在内部的图象的函数值随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2)m的值为或 (3)的长为或10 (4) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，函数增减性，对称性等知识，数形结合分析，分类讨论思想是关键． （1）把点代入计算得到解析式，再根据点顶坐标公式计算即可； （2）根据题意，得到二次函数的对称轴直线，分类讨论，当点同侧和异侧时，根据函数最值的计算方法求解即可； （3）根据题意，分类讨论：当点在对称轴上时；当点在对称轴上时；数形结合分析即可求解； （4）结合（3）的图形分析得到点在上方，数形结合分析即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 顶点坐标的横坐标为，纵坐标为， ∴顶点坐标为； （2）解：点为该抛物线上两点，点在抛物线对称轴的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，，把代入得，， ∴，， ①当时，在点处取得最大值，在点处取得最小值， ∴，整理得，， 解得，，不符合题意，舍去； ②当时，函数的最大值是为，最小值为， ∴，不符合题意，舍去； ③点在对称轴异侧时，点的中点的横坐标为， 当时，即，函数的最大值是为，函数的最小值为， ∴，整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，即，函数的最大值是为，在点处取得最小值，即最小值为， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，的值为或； （3）解：抛物线的对称轴直线为， 过点作轴的垂线交抛物线于点， ∴轴， ∴点关于直线对称，且纵坐标相等，即点的纵坐标为， ∴点的横坐标为：， 解得，，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， 如图所示，点在抛物线的对称轴直线上，则点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相等，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 如图所示，点在抛物线的对称轴直线上，则点的横坐标为，即， ∴，即点的横坐标为， ∴点关于对称轴直线的对称点的横坐标， ∴， 解得，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：由（3）的图示可得，但点在下方时，抛物线不在内部， ∴抛物线在内部时，点在上方， ∴点的中点的横坐标为， 解得，． 【变式4-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． (1)求抛物线（）的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点T的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设（），则，当时，最大，此时，将线段向左平移个单位得到，则，当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度，则的最小值为； （3）根据（2）可得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∵， 则 设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∵点是线段上一动点，轴于点， ∴当线段长度取得最大值时， ∵，，点为线段的中点， ∴ 将线段向左平移个单位得到，则 当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度； ∴的最小值为； （3）解：由（2）得， ∴新抛物线由向左平移个单位，向上平移个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 联立直线和抛物线解析式可得 解得：， 当时，， ∴ ∴轴， 又∵ ∴ ∴ 作关于直线的对称点，连接交于点 ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴将点向左平移个单位再向下平移个单位，得 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点T的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平移的性质，数形结合是解题的关键． 【变式4-2】．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作交轴于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，当取最大值时，求点的坐标以及此时的最小值； (3)如图2，平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点坐标为．点是抛物线上一点且位于第一象限，若点到轴的距离是它到直线距离的倍，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、垂线段最短、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入抛物线，得到，运用待定系数法求得直线的函数解析式为．设点，设直线的解析式为，把点P坐标代入，得到直线的解析式为． 令，则，从而，即可得到当时，由最大值，为，此时，．作点关于x轴的对称点，连接，，则，过点作于点H，根据垂线段最短可得．根据的面积求出，即可解答； （3）平移后的函数解析式为，过点E作轴，交于点F，作于点G，设，则，连接，，根据的面积求得，再根据点到轴的距离是它到直线距离的倍，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：把代入抛物线，得， ∴， 设直线的函数解析式为， ∵直线过点和点， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为． 设点， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 令，则， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，为， 此时，． 作点关于x轴的对称点，连接，， ∴， ∴， 过点作于点H， ∴根据垂线段最短可得． ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解∶∵平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的函数解析式为， 过点E作轴，交于点F，作于点G， 设，则， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∵点到轴的距离是它到直线距离的倍， ∴， 解得(不合题意，舍去)或， ∴点E的横坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法，函数图象的平移，轴对称的性质，两点之间线段最短与垂线段最短等，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式4-3】．如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象经过点,点. (1)求此二次函数的解析式； (2)当时,求二次函数的最大值和最小值； (3)点P为此函数图象上任意一点,其横坐标为m,过点P作轴,点Q的横坐标为.已知点P与点Q不重合,且线段的长度随m的增大而减小. ①求m的取值范围； ②当时,直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的m的取值范围. 答案：(1) (2)当时,y取最大值 (3)或时,与图象交点个数为1,时,与图象有2个交点 解析：(1)将,点代入得： , 解得, ∴. (2)∵, ∵抛物线开口向上,对称轴为直线. ∴当时,y取最小值为-2, ∵, ∴当时,y取最大值. (3)①, 当时,,的长度随m的增大而减小, 当时,,的长度随m增大而增大, ∴满足题意, 解得. ②∵, ∴, 解得, 如图,当时,点P在最低点,与图象有1交点, m增大过程中,,点P与点Q在对称轴右侧,与图象只有1个交点, 直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为, ∴时,与图象有2个交点, 当时,与图象有1个交点, 综上所述,或时,与图象交点个数为1,时,与图象有2个交点. 【变式4-4】．如图,二次函数的图像与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点 (1)求二次函数的解析式； (2)点P是这个二次函数图像在第二象限内的一线,过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C,求线段PC长度的最大值. 答案：(1) (2) 解析：(1)将点代入中,得, 解得, ∴； (2)当时得, ∴, 设直线AB的解析式为, ,解得, ∴直线AB的解析式为, 设点P的坐标为,由题意可知点C的纵坐标是,代入,则可得点C的坐标为, 因为C在P的右侧, ∴, 因为点P是这个二次函数图像在第二象限内的一点,所以, ∴当时,PC长度的最大值是. 解决二次函数最值问题的通用思路与技巧 无论题型如何变化，解决此类问题都可以遵循以下步骤： 1.化标准形：将二次函数通过配方化为顶点式 y=a(x−h)2+k，从而直接读出对称轴 x=h 和顶点坐标(h,k)。 2.看开口方向：确认二次项系数 a 的正负，决定是找最大值还是最小值。 3.画示意图：根据对称轴和区间范围，画出简单的抛物线示意图。这能帮你直观判断函数在区间内的单调性和最值点。 4.断相对位置：确定对称轴与给定区间的相对位置关系（在左、在内、在右）。这是选择解题路径的关键。 5.分类讨论：对于动轴或动区间问题，​依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，做到不重不漏。 6.验算结果：计算端点值和顶点值，并进行比较。注意检查结果是否符合各类前提条件（例如，参数取值是否使对称轴落在了讨论的范围内）。 最重要的建议：一定要养成画图的习惯！ 图形能极大地帮助你的直观理解，避免因为抽象思考而遗漏情况。 二、 典例精析 三、 解题技巧总结 一、 二次函数最值解题策略 学科网（北京）股份有限公司 $