1.3全等三角形的判定（三）-AAS讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.3全等三角形的判定（三）-AAS》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.回顾全等三角形的概念，能准确识别全等三角形中的对应元素。 2.通过自主探究、小组合作，探索并理解 “ AAS ” （两角分别相等且其中一组等角的对边相等）的判定方法。 3.深入理解 “ AAS ” 中边与角的关系，尤其是等角的对边这一关键要素 ，能准确区分不同判定条件。 4.能够运用 “ AAS ” 判定方法进行简单的三角形全等证明，规范书写证明过程，提升逻辑推理能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点 (1)探究并掌握全等三角形的 “ AAS ” 判定方法。 (2)能运用 “ AAS ” 判定方法解决简单的几何证明问题。 2.难点 (1)深入理解 “ AAS ” 判定方法中边是其中一组等角的对边这一条件 ，避免与其他判定条件混淆。 (2)灵活运用 “ AAS ” 判定方法，结合已知条件，准确找到证明三角形全等所需的对应元素。 ) ( 三． 课前预习 1. 能够完全______的两个三角形叫做全等三角形。 2. 已知 △ ABC和 △ DEF，若 ∠ A = ∠ D， ∠ B = ∠ E，要使 △ ABC ≌△ DEF，根据AAS，还需要的条件是______。 3. 有______和其中一个角的______对应相等的两个三角形全等，简写成 “ 角角边 ” 或 “ ______ ” 。 ) 四．课堂探秘 （一）探究AAS判定方法 1.提出问题：如果已知两个三角形的两个角分别相等，以及其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等吗？ 2.探究过程： 若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 【解析】能画出，如下图，且能与同伴画的三角形完全重合。 通过实践，我们得到了如下结论: 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 几何语言： 在△ABC 和△A′B′C′中， ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS） （二）AAS判定方法的推导 问题引入：在△ABC和△DEF中，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF ，这两个三角形能全等吗？ 推导过程：因为三角形内角和为180°，在△ABC中，∠C = 180° - ∠A - ∠B；在△DEF中，∠F = 180° - ∠D - ∠E 。又因为∠A = ∠D，∠B = ∠E，所以∠C = ∠F。此时，△ABC和△DEF满足两角及其夹边对应相等（ASA），所以△ABC ≌ △DEF 。由此得到：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）。 （三）深入理解AAS边中的角和边 1.分析条件：在AAS中，强调的是两个角和其中一个角的对边对应相等 。例如在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF（BC是∠A的对边，EF是∠D的对边） 。 2.对比区别：与ASA（两角和它们的夹边对应相等）进行对比，明确夹边和对边的不同，帮助学生准确理解和运用这两种判定方法。 （四）经典例题 例1.已知:如图,AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°. 求证:△ABC≌△EAD. 例2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D.若BC=ED, 求证:CE=BD. 例3.如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. (1)求证:DE=DF; (2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数. 例4.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A处步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下: 如图11所示,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于点O,OD⊥CD.垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度. 【总结与思考】 1.AAS与ASA判定的联系与区别 (1)联系：AAS与ASA（角边角）都基于角的相等关系判定全等。当已知两角相等时，若能确定两角的夹边相等用ASA，若确定其中一角对边相等则用AAS ，二者共同丰富了角相关的全等判定体系。 (2)区别：AAS强调“边为一角对边”，ASA要求“边为两角夹边”。例如，在△ABC和△MNP中，若∠A = ∠M，∠B = ∠N，AB = MN用ASA判定；若∠A = ∠M，∠B = ∠N，BC = NP则用AAS判定 2.证明步骤与关键要点 证明时，一般需先明确已知条件中相等的角和边，按对应关系在三角形中罗列条件，如在△XYZ和△UVW中，写出“∠X = ∠U，∠Y = ∠V，YZ = VW”，最后得出“△XYZ≌△UVW（AAS）”。关键在于准确找出对应角和对应边，避免混淆，尤其注意边必须是一组等角的对边。 3.常见错误与误区分析 (1)边的位置错误：部分同学易将AAS中的边与ASA混淆，错把非对应角的对边当作判定条件。例如，在△ABC和△DEF中，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，若错用AB = DE判定，就会导致错误，因为AB、DE并非对应角的对边。 (2)条件不充分误用：未明确两个角和一组对边对应相等，就贸然使用AAS判定。如仅知道两个三角形有两个角相等，未确定边的对应关系就判定全等。 4.在几何问题中的应用策略 (1)复杂图形拆解：面对复杂图形，需从中分离出目标三角形，找出符合AAS的条件。如在多边形中，通过添加辅助线构造三角形，再寻找角和边的相等关系。 (2)结合其他知识：常与平行线性质（两直线平行，同位角、内错角相等）、对顶角相等、角平分线定义等知识结合。例如，由平行线得出等角，再结合已知边相等，用AAS证明三角形全等。 5. 数学思维与方法感悟 AAS判定定理的探究与应用，体现了从特殊到一般的数学归纳思想，通过画图、实验得出结论；同时运用转化思想，将证明线段或角相等的问题转化为证明三角形全等。学习过程中，有助于培养逻辑推理能力，提升对几何图形的分析和抽象思维能力，让我们更深入理解数学知识间的内在联系与规律 。 五．课堂检测 1.在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中， ∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠B' ，AB＝A'B'，则下面结论正确的是( ) A.AB＝A'C' B.BC＝B'C' C.AC＝B'C' D.∠A＝∠A'. 2.如图点B,F,C,E在同一条直线上,AB∥DE,AC∥DF,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是 (　　) A.AB=DE B.∠A=∠D C.AC=DF D.BF=EC 3.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F.若BF=AC,则∠ABC的度数是 (　　) A.40° B.45° C.50° D.60° 4.如图AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上的两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为(　　) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 5.如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则△ABD与△ACD_____（填“全等”、“不一定全等”）． 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE相交于点F. 若BF＝AC，AD＝12cm，则BD的长为______. 7.如图，AB∥CD，AB = CD，BF⊥AC于点F，DE⊥AC于点E，求证：AE = CF． 8.探究：如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE． 应用：如图②，在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DE=BD+CE． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.全等三角形是指能够完全______的两个三角形。 2.“AAS”判定方法的内容是：两个角和其中一个角的______对应相等的两个三角形全等。 3.在使用“AAS”证明三角形全等时，需要明确指出______对应相等、______对应相等以及______对应相等。 （二）强化训练 一．选择题 1.如图所示的四个三角形中,能构成全等三角形的是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 2.如图点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AB，PE⊥AC，则△APD与△APE全等的理由是（　　） A.SAS B.AAS C.SSS D.HL 3.如图点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列哪个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　) A.AB=DE B.AC=DF C.∠A=∠D D.BF=EC 4.如图，已知BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD=EC，则△ABD≌△ACE，其依据是( ) A.ASA B.SAS C.AAS D.HL 5.如图,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN;⑤△AFN≌△AEM.其中正确的结论有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中， ∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠B' ，AB＝A'B'，则下面结论正确的是( ) A.AB＝A'C' B.BC＝B'C' C.AC＝B'C' D.∠A＝∠A'. 7. 下列条件中，能判定△ABC≌△DEF是(　　) A. AB=DE，BC=EF，∠A=∠E B. ∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D C. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D. ∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF 8.如图，已知 AB⊥BC 于 B，CD⊥BC 于 C，BC=12，AB=5， 且 E 为 BC 上一点，∠AED=90°，AE=DE，则 BE=（ ） A.13 B.8 C.7 D.5 9.如图，AB∥CD，且AB = CD，则ABE≌△CDE的根据是（　　） A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 10.如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠EDC =∠EAC =∠BAD，AC =AE，则（　　） A．△ABD≌△AFD B．△ABC≌△ADE C．△AFE≌△ADC D．△AFE≌△DFC 二．填空题 11.如图在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=　　　　.  12. 如图，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，若以“SAS”为依据，则要添加的条件是____________；若以“AAS”为依据，则要添加的条件是____________；（用图中字母表示） 13. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①BCD≌CBE;②BAD≌BCD;③BDA≌CEA;④BOE≌COD;⑤ACE≌BCE;上述结论一定正确的是_____________. 14.如图要测量河岸相对两点A、B间的距离，先从B点出发与AB成 90°角方向，向前走 25 米到C点处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走 25 米到点D处，在点D处转 90°沿DE方向走 17 米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B之间的距离为　 　米． 15.如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB = AE，∠ACB =∠ADE，∠ACD =∠ADC = 70°，∠BAD = 60°，则∠BAE的度数是　 　． 16. 如图，，，于点，于点，，，则的长是_________. 17.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线L，过A，C，D作L的垂线.垂足分别为点E，F，G.若AE=2，CF=6，则CF+AE+DG的值为___. 18．如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分的面积S是________. 19.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝∠EDF＝50°，DE＝DF，BE＝5，CF＝2，则BC＝_____． 20.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是____________(填正确结论的编号) 三．解答题 21.如图，延长BA，CD交于点P，若PA＝PD，PB＝PC.求证：BE＝CE. 22. 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,E为直线AC上一点,D为直线BC上一点,且DA=DE. 当点D在线段BC上时,如图①所示,易证:BD+AB=AE;当点D在线段CB的延长线上时,如图②③,猜想线段BD,AB和AE之间又有怎样的数量关系.写出你的猜想,并选择一种情况给予证明. 23.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，过D点作AB垂线，交AC于E，交BC的延长线于F． （1）∠1与∠B有什么关系？说明理由． （2）若BC＝BD，请你探索AB与FB的数量关系，并且说明理由． 24.如图，在△ABC与△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，EF⊥AB，AB＝DE． （1）求证：BC＝DB； （2）若BD＝8cm，求AC的长． 25.课间，小刚拿着老师的等腰直角三角板玩，一不小心掉到垂直地面的两个木块之间，如图所示： （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）若测得AD=15cm，BE=10cm，求两个木块之间的距离DE的长． 26.理解证明:如图①,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF; 类比探究:如图②,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF; 拓展应用:如图③,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为　　　　.  27.如图1所示，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，AE是过点A的一条直线，且B、C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE于E点． （1）求证：BD = DE+CE； （2）若直线AE绕点A旋转到如图2所示的位置(BD＜CE)时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请予以证明； （3）若直线AE绕点A旋转到如图3所示的位置(BD＜CE)时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明. （4）归纳上述（1）（2）（3）问，请用简洁的语言表述BD与DE、CE的关系. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.3全等三角形的判定（三）-AAS》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.回顾全等三角形的概念，能准确识别全等三角形中的对应元素。 2.通过自主探究、小组合作，探索并理解 “ AAS ” （两角分别相等且其中一组等角的对边相等）的判定方法。 3.深入理解 “ AAS ” 中边与角的关系，尤其是等角的对边这一关键要素 ，能准确区分不同判定条件。 4.能够运用 “ AAS ” 判定方法进行简单的三角形全等证明，规范书写证明过程，提升逻辑推理能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点 (1)探究并掌握全等三角形的 “ AAS ” 判定方法。 (2)能运用 “ AAS ” 判定方法解决简单的几何证明问题。 2.难点 (1)深入理解 “ AAS ” 判定方法中边是其中一组等角的对边这一条件 ，避免与其他判定条件混淆。 (2)灵活运用 “ AAS ” 判定方法，结合已知条件，准确找到证明三角形全等所需的对应元素。 ) ( 三． 课前预习 1. 能够完全______的两个三角形叫做全等三角形。 【 答案 】 ：重合 2. 已知 △ ABC和 △ DEF，若 ∠ A = ∠ D， ∠ B = ∠ E，要使 △ ABC ≌△ DEF，根据AAS，还需要的条件是______。 【 答案 】 ：BC = EF 3. 有______和其中一个角的______对应相等的两个三角形全等，简写成 “ 角角边 ” 或 “ ______ ” 。 【 答案 】 ：两个角；对边；AAS ) 四．课堂探秘 （一）探究AAS判定方法 1.提出问题：如果已知两个三角形的两个角分别相等，以及其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等吗？ 2.探究过程： 若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 【解析】能画出，如下图，且能与同伴画的三角形完全重合。 通过实践，我们得到了如下结论: 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 几何语言： 在△ABC 和△A′B′C′中， ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS） （二）AAS判定方法的推导 问题引入：在△ABC和△DEF中，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF ，这两个三角形能全等吗？ 推导过程：因为三角形内角和为180°，在△ABC中，∠C = 180° - ∠A - ∠B；在△DEF中，∠F = 180° - ∠D - ∠E 。又因为∠A = ∠D，∠B = ∠E，所以∠C = ∠F。此时，△ABC和△DEF满足两角及其夹边对应相等（ASA），所以△ABC ≌ △DEF 。由此得到：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）。 （三）深入理解AAS边中的角和边 1.分析条件：在AAS中，强调的是两个角和其中一个角的对边对应相等 。例如在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF（BC是∠A的对边，EF是∠D的对边） 。 2.对比区别：与ASA（两角和它们的夹边对应相等）进行对比，明确夹边和对边的不同，帮助学生准确理解和运用这两种判定方法。 （四）经典例题 例1.已知:如图,AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°. 求证:△ABC≌△EAD. 证明:由∠ECB=70°,得∠ACB=110°.又∵∠D=110°,∴∠ACB=∠D.∵AB∥DE,∴∠CAB=∠E. 又∵AB=AE,∴△ABC≌△EAD. 例2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D.若BC=ED, 求证:CE=BD. 证明:∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ADE. 在△ABC和△AED中,∴△ABC≌△AED,∴AE=AB,AC=AD, ∴AE-AC=AB-AD,即CE=BD. 例3.如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. (1)求证:DE=DF; (2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数. 解:(1)证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.∵D是BC的中点,∴BD=CD. 在△BED和△CFD中,∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF. (2)由(1)得∠BED=90°,∴∠B+∠BDE=90°.又∠BDE=40°,∴∠B=50°.又∠B=∠C,∴∠C=50°.在△ABC中,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. 例4.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A处步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下: 如图11所示,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于点O,OD⊥CD.垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度. 解:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO.∵OD⊥CD,∴∠CDO=90°,∴∠ABO=90°,即OB⊥AB.∵相邻两平行线间的距离相等,∴OB=OD.在△ABO和△CDO中, ∴△ABO≌△CDO(AAS),∴CD=AB=20(米).(也可利用“ASA”证△ABO≌△CDO,其他过程相同) 【总结与思考】 1.AAS与ASA判定的联系与区别 (1)联系：AAS与ASA（角边角）都基于角的相等关系判定全等。当已知两角相等时，若能确定两角的夹边相等用ASA，若确定其中一角对边相等则用AAS ，二者共同丰富了角相关的全等判定体系。 (2)区别：AAS强调“边为一角对边”，ASA要求“边为两角夹边”。例如，在△ABC和△MNP中，若∠A = ∠M，∠B = ∠N，AB = MN用ASA判定；若∠A = ∠M，∠B = ∠N，BC = NP则用AAS判定 2.证明步骤与关键要点 证明时，一般需先明确已知条件中相等的角和边，按对应关系在三角形中罗列条件，如在△XYZ和△UVW中，写出“∠X = ∠U，∠Y = ∠V，YZ = VW”，最后得出“△XYZ≌△UVW（AAS）”。关键在于准确找出对应角和对应边，避免混淆，尤其注意边必须是一组等角的对边。 3.常见错误与误区分析 (1)边的位置错误：部分同学易将AAS中的边与ASA混淆，错把非对应角的对边当作判定条件。例如，在△ABC和△DEF中，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，若错用AB = DE判定，就会导致错误，因为AB、DE并非对应角的对边。 (2)条件不充分误用：未明确两个角和一组对边对应相等，就贸然使用AAS判定。如仅知道两个三角形有两个角相等，未确定边的对应关系就判定全等。 4.在几何问题中的应用策略 (1)复杂图形拆解：面对复杂图形，需从中分离出目标三角形，找出符合AAS的条件。如在多边形中，通过添加辅助线构造三角形，再寻找角和边的相等关系。 (2)结合其他知识：常与平行线性质（两直线平行，同位角、内错角相等）、对顶角相等、角平分线定义等知识结合。例如，由平行线得出等角，再结合已知边相等，用AAS证明三角形全等。 5. 数学思维与方法感悟 AAS判定定理的探究与应用，体现了从特殊到一般的数学归纳思想，通过画图、实验得出结论；同时运用转化思想，将证明线段或角相等的问题转化为证明三角形全等。学习过程中，有助于培养逻辑推理能力，提升对几何图形的分析和抽象思维能力，让我们更深入理解数学知识间的内在联系与规律 。 五．课堂检测 1.在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中， ∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠B' ，AB＝A'B'，则下面结论正确的是( ) A.AB＝A'C' B.BC＝B'C' C.AC＝B'C' D.∠A＝∠A'. 【答案】C 【解析】在△ABC与△B'A'C'中, ，∴△ABC≌△B'A'C' (AAS)，∴∠B=∠A′，AC= B'C'，BC= A'C'；故选C. 2.如图点B,F,C,E在同一条直线上,AB∥DE,AC∥DF,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是 (　　) A.AB=DE B.∠A=∠D C.AC=DF D.BF=EC 【答案】B　 【解析】 ∵AB∥DE,AC∥DF,∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE.选项A,添加AB=DE可利用AAS判定△ABC≌△DEF,故此选项不合题意;选项B,添加∠A=∠D无法判定△ABC≌△DEF,故此选项符合题意;选项C,添加AC=DF可利用AAS判定△ABC≌△DEF,故此选项不合题意;选项D,添加BF=EC可得BC=EF,可利用ASA判定△ABC≌△DEF,故此选项不合题意.故选B. 3.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F.若BF=AC,则∠ABC的度数是 (　　) A.40° B.45° C.50° D.60° 【答案】B　 【解析】∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠AEF=∠BDF=90°,∴∠FBD+∠BFD=90°,∠FAE+∠AFE=90°.又∵∠AFE=∠BFD,∴∠FBD=∠FAE.又∵∠FDB=∠CDA,BF=AC,∴△BFD≌△ACD,∴BD=AD,则△ADB是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°. 4.如图AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上的两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为(　　) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 【答案】D　 【解析】 ∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C.在△ABF和△CDE中,∴△ABF≌△CDE(AAS),∴AF=CE=a,BF=DE=b. ∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c. 5.如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则△ABD与△ACD_____（填“全等”、“不一定全等”）． 【答案】全等． 【解析】△ABD与△ACD全等，理由是：∵∠1＝∠C+∠CAD，∠2＝∠B+∠BAD，又∵∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴∠CAD＝∠BAD，在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（AAS）， 故答案为全等． 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE相交于点F. 若BF＝AC，AD＝12cm，则BD的长为______. 【答案】12cm 【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DBF＋∠C＝∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（AAS）， ∴BD＝AD，∵AD＝12cm，∴BD＝12cm．故答案为12cm． 7.如图，AB∥CD，AB = CD，BF⊥AC于点F，DE⊥AC于点E，求证：AE = CF． 证明：∵ AB∥CD， BF⊥AC于点F，DE⊥AC于点E，∴ ∠A =∠C，∠CED =∠AFB = 90°， 在△CDE和△ABF中， ∴ △CDE≌△ABF(AAS).∴ CE = AF，∴ AE = CF. 8.探究：如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE． 应用：如图②，在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DE=BD+CE． 证明：∵ O是AB的中点，∴ OA = OB，在△AOC和△BOD中， ∴ △AOC≌△BOD(ASA). 变式：证明：∵ O是AB的中点，∴ OA = OB，在△AOC和△BOD中， ∴ △AOC≌△BOD(AAS). 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.全等三角形是指能够完全______的两个三角形。 【答案】：重合 2.“AAS”判定方法的内容是：两个角和其中一个角的______对应相等的两个三角形全等。 【答案】：对边 3.在使用“AAS”证明三角形全等时，需要明确指出______对应相等、______对应相等以及______对应相等。 【答案】：两个角；其中一个角的对边 （二）强化训练 一．选择题 1.如图所示的四个三角形中,能构成全等三角形的是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 【答案】.C　 【解析]】①和③两个三角形满足“AAS”,可以直接判定两个三角形全等. 2.如图点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AB，PE⊥AC，则△APD与△APE全等的理由是（　　） A.SAS B.AAS C.SSS D.HL 【答案】B 【解析】∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠PDA=∠PEA=90°，∵AP平分∠BAC，∴∠DAP=∠EAP， 在△APD和△APE中， ，∴△APD≌△APE（AAS），故选B． 3.如图点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列哪个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　) A.AB=DE B.AC=DF C.∠A=∠D D.BF=EC 【答案】C　 【解析】∵AB∥ED,AC∥FD,∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE,∴当AB=DE时,可利用AAS判定△ABC≌△DEF,故A项能判定,故A项不符合题意;当AC=DF时,可利用AAS判定△ABC≌△DEF,故B项能判定,故B项不符合题意;当∠A=∠D时,两个三角形没有对应边相等,故C项不能判定,故C项符合题意;当BF=EC时,可得BC=EF,利用ASA可判定△ABC≌△DEF,故D项能判定,故D项不符合题意.故选C. 4.如图，已知BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD=EC，则△ABD≌△ACE，其依据是( ) A.ASA B.SAS C.AAS D.HL 【答案】C 【解析】∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，在△AEC和△ADB中， ，[∴△ABD≌△ACE(AAS)，故选C. 5.如图,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN;⑤△AFN≌△AEM.其中正确的结论有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C　 【解析]】在△ABE和△ACF中,∵∴△ABE≌△ACF,(AAS) ∴∠BAE=∠CAF,BE=CF,故②正确,∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC,∴∠1=∠2,故①正确,∵△ABE≌△ACF,∴AB=AC.在△ACN和△ABM中,∵∴△ACN≌△ABM(ASA),故③正确,CD=DN不能证明成立,故④错误. 在△AFN和△AEM中,∵∴△AFN≌△AEM(ASA),故⑤正确. 6.在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中， ∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠B' ，AB＝A'B'，则下面结论正确的是( ) A.AB＝A'C' B.BC＝B'C' C.AC＝B'C' D.∠A＝∠A'. 【答案】C 【解析】在△ABC与△B'A'C'中, ，∴△ABC≌△B'A'C' (AAS)，∴∠B=∠A′，AC= B'C'，BC= A'C'；故选C. 7. 下列条件中，能判定△ABC≌△DEF是(　　) A. AB=DE，BC=EF，∠A=∠E B. ∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D C. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D. ∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF 【答案】D 【解析】A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠E，SSA不能确定全等；B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D，AB和EF不是对应边，不能确定全等；C．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AAA不能确定全等；D．∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，根据AAS，能判断△ABC≌△DEF．故选D． 8.如图，已知 AB⊥BC 于 B，CD⊥BC 于 C，BC=12，AB=5， 且 E 为 BC 上一点，∠AED=90°，AE=DE，则 BE=（ ） A.13 B.8 C.7 D.5 【答案】C 【解析】∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠B=90°=∠C∴∠A+∠AEB=90°∵∠AED=90° ∴∠DEC+∠AEB=90°∴∠A=∠DEC在△ABE和△ECD中 ∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE=AB=5．∴BE=BC-CE=12-5=7．故选C． 9.如图，AB∥CD，且AB = CD，则ABE≌△CDE的根据是（　　） A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 【答案】D 【解析】因为AB‖CD，根据两直线平行，内错角相等，所以∠A=∠ C，∠B=∠D。已知AB = CD，在△ABE和△CDE中：依据 ASA 判断我们有∠A=∠C，AB = CD，∠B=∠D，两角及其夹边分别相等，满足 ASA 判定定理。依据 AAS 判定我们可以把∠A=∠C，∠AEB=∠CED（对顶角相等），AB = CD，这里是两角及其中一角（∠A）的对边（AB）对应相等，满足 AAS 判定定理。 10.如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠EDC =∠EAC =∠BAD，AC =AE，则（　　） A．△ABD≌△AFD B．△ABC≌△ADE C．△AFE≌△ADC D．△AFE≌△DFC 【答案】B 【解析】证明∠C = ∠E，在△AFE和 △DFC中，已知∠EDC = ∠EAC，且∠AFE与∠CFD是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠AFE = ∠CFD。在三角形中，三角形内角和为180o，对于△AFE，∠E = 1800o - ∠EAC - ∠AFE；对于△DFC，∠C = 180o - ∠EDC - ∠CFD。因为∠EDC = ∠EAC，∠AFE = ∠CFD，所以∠C = ∠E。证明∠DAE = ∠BAC，已知∠EAC = ∠BAD，∠DAE = ∠EAC + ∠CAD，∠BAC = ∠BAD + ∠CAD，等式两边同时加上相同的角∠CAD，等式仍然成立，所以∠DAE = ∠BAC。判断三角形全等在△ABC和△ADE中，已经得到∠C = ∠E，∠BAC = ∠DAE，又已知AC = AE。根据全等三角形的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”，所以可以得出△ABC≌△ADE。 二．填空题 11.如图在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=　　　　.  【答案】3　 【解析】 由已知条件易证△ABE≌△ACD,从而得出AC=AB=5.故CE=AC-AE=5-2=3. 12. 如图，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，若以“SAS”为依据，则要添加的条件是____________；若以“AAS”为依据，则要添加的条件是____________；（用图中字母表示） 【答案】 BC=EF ∠ACB=∠F 【解析】若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为BC=EF；理由：在△ABC和△DEF， 所以△ABC≌△DEF（SAS）.若以“AAS”为依据，则要添加的条件是: ∠ACB=∠F理由：在△ABC和△DEF，所以△ABC≌△DEF（AAS）.故答案是：BC=EF,∠ACB=∠F. 13. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①BCD≌CBE;②BAD≌BCD;③BDA≌CEA;④BOE≌COD;⑤ACE≌BCE;上述结论一定正确的是_____________. 【答案】①③④ 【解析】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE．∴①△BCD≌△CBE （ASA）；③△BDA≌△CEA （ASA）； ④△BOE≌△COD （AAS或ASA）．故选D． 14.如图要测量河岸相对两点A、B间的距离，先从B点出发与AB成 90°角方向，向前走 25 米到C点处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走 25 米到点D处，在点D处转 90°沿DE方向走 17 米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B之间的距离为　 　米． 【答案】17 【解析】由题意得:BC=CD=25米，DE=17米， ZB=∠D=90°,在△ABC和△EDC中 ∴△ABC=△EDC(ASA)，DE=AB=17米，故答案为:17. 15.如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB = AE，∠ACB =∠ADE，∠ACD =∠ADC = 70°，∠BAD = 60°，则∠BAE的度数是　 　． 【答案】80° 【解析】因为AB⊥BC,AE⊥DE,所以∠B=∠E=90°.在△ABC和△AED 中， 所以 △ABC≌△AED(AAS)，所以∠BAC=∠EAD.因为LACD=∠ADC=70°,所以∠CAD=180°-70°-70°=40°.因为∠BAD=60°,所以∠BAC=∠BAD-LCAD=60°-40°=20°,所以∠BAE=∠DAE+∠BAD=∠BAC+∠BAD=20°+60°=80°. 16. 如图，，，于点，于点，，，则的长是_________. 【答案】 【解析】：∵AE⊥CE，BD⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠AEC＝∠D＝∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠ACE＝90°，∠ACE＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵AC＝BC， ∴△ACE≌△CBD（AAS），∴AE＝CD，CE＝BD，∵AE＝5cm，BD＝2cm，∴DE＝CD−CE＝5−2＝3cm． 17.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线L，过A，C，D作L的垂线.垂足分别为点E，F，G.若AE=2，CF=6，则CF+AE+DG的值为___. 【答案】12 【解析】如图，过点D A作DHLCF，垂足为H,四边形ABCD是正方 形，∴CBF+∠FBA= 90°, ∠CBF+∠BCF= 90°∴∠ABE= B∠CF.在△ABE与△BCF中， ∴△ABE=△BCF(AAS),AE = BF,四边形ABCD是正方形，:.∠BCF+∠DCH=90°， ∠HDC+∠DCH=90°,:.∠BCF=∠HDC，在△BCF与△CDH中 △BCF=△CDH(AAS):.CH=BF=2.FH=CF-CH=6-2=4.∵CF⊥L，DG⊥L，DH⊥CF∠BFC=∠DHC =∠DGB= 90°，四边形FHDG是矩形，:.DG =FH =4,即CF +AE+DG =6+2+4=12.故填12. 18．如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分的面积S是________. 【答案】50 【解析】　∵EF⊥AC，BG⊥AC，∴∠EFA＝∠AGB＝90°，∠FEA＋∠EAF＝90°.∵EA⊥AB，∴∠EAB＝90°，∴∠EAF＋∠GAB＝90°，∴∠FEA＝∠GAB.又∵AE＝BA，∴△EFA≌△AGB(AAS)，∴AF＝BG，EF＝AG.同理，△BGC≌△CHD，∴GC＝HD，BG＝CH，∴FH＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16，∴S阴影＝×(6＋4)×16－×3×4×2－×6×3×2＝50. 19.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝∠EDF＝50°，DE＝DF，BE＝5，CF＝2，则BC＝_____． 【答案】7　． 【解析】∵∠B＝∠C＝∠EDF＝50°，∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∴∠FDC＝∠BED， ∵DE＝DF，∴△BED≌△CDF（AAS），∴BD＝CF＝2，BE＝CD＝5，∴BC＝BD+CD＝2+5＝7，故答案为7． 20.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是____________(填正确结论的编号) 【答案】①②③ 【解析】∵BD⊥CF，AF⊥CF，∴∠BDC=∠AFC=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACF=∠CBD，故①正确；在△ACF和△CBD中，，∴△ACF≌△CBD，∴BD＝FC，CD=AF，故结论②正确∴FC＝FD+CD=FD+AF，故结论③正确，∵在Rt△AEF中，AE>AF，∴AE>CD，故结论④错误.综上所述，正确的结论是：①②③. 三．解答题 21.如图，延长BA，CD交于点P，若PA＝PD，PB＝PC.求证：BE＝CE. 证明：在△PBD与△PCA中，∴△PBD≌△PCA(SAS).∴∠B＝∠C. 又由PA＝PD，PB＝PC，得AB＝DC，∴在△ABE与△DCE中， ∴△ABE≌△DCE(AAS).∴BE＝CE. 22. 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,E为直线AC上一点,D为直线BC上一点,且DA=DE. 当点D在线段BC上时,如图①所示,易证:BD+AB=AE;当点D在线段CB的延长线上时,如图②③,猜想线段BD,AB和AE之间又有怎样的数量关系.写出你的猜想,并选择一种情况给予证明. 解:在题图②中,结论:BD+AE=AB.证明:过点E作EM∥AB交BC于点M,如图(a).由题意可得△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC=AC,∴∠CEM=∠CAB=60°,∠CME=∠CBA=60°,从而△CME是等边三角形,∴CE=CM=EM,∴AE=BM.∵DA=DE,∴∠DAE=∠DEA,∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM,∴∠DAB=∠EDM.∵∠ABD=180°-∠ABC=120°,∠EMD=180°-∠EMC=120°,∴∠ABD=∠DME.在△ABD和△DME中,∴△ABD≌△DME,∴BD=ME.又∵ME=CM,∴BD=CM,∴BD+AE=CM+BM=BC=AB. 在题图③中,结论:BD-AE=AB.证明:过点E作EM∥AB交DC于点M,如图(b).由题意可得△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC=AC,∴∠CEM=∠CAB=60°,∠CME=∠CBA=60°,从而△CME是等边三角形,∴CE=CM=ME,∴AE=BM.∵DA=DE,∴∠DAE=∠DEA, ∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠DEM,∴∠ADB=∠DEM.∵∠ABD=180°-∠ABC=120°,∠DME=180°-∠EMC=120°,∴∠ABD=∠DME.在△ABD和△DME中,∴△ABD≌△DME, ∴BD=ME.又∵ME=CM.所以BD=CM,∴BD-AE=CM-BM=BC=AB. 23.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，过D点作AB垂线，交AC于E，交BC的延长线于F． （1）∠1与∠B有什么关系？说明理由． （2）若BC＝BD，请你探索AB与FB的数量关系，并且说明理由． 解：（1）∠1与∠B相等，理由：∵，△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠1+∠F＝90°，∵FD⊥AB，∴∠B+∠F＝90°，∴∠1＝∠B； （2）若BC＝BD，AB与FB相等，理由：∵△ABC中，∠ACB＝90°，DF⊥AB，∴∠ACB＝∠FDB＝90°，在△ACB和△FDB中，， ∴△ACB≌△FDB（AAS），∴AB＝FB． 24.如图，在△ABC与△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，EF⊥AB，AB＝DE． （1）求证：BC＝DB； （2）若BD＝8cm，求AC的长． 解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，∴∠ABC+∠DEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DEB，在△ABC和△EDB中， ，∴△ABC≌△EDB（AAS）， ∴BD＝BC； （2）∵△ABC≌△EDB，∴AC＝BE，∵E是BC的中点，BD＝8cm，∴BE＝cm． 25.课间，小刚拿着老师的等腰直角三角板玩，一不小心掉到垂直地面的两个木块之间，如图所示： （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）若测得AD=15cm，BE=10cm，求两个木块之间的距离DE的长． 解：（1）由题意，得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+ ∠BCE=90°．∴∠ACD+∠CAD=90°．∴∠CAD=∠BCE，又∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）∵△ADC≌△CEB，∴CD=BE，AD=CE，∵DE=CD+CE，∴DE=BE+AD=10+15=25（cm）．∴两墙之间的距离DE的长为25cm． 26.理解证明:如图①,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF; 类比探究:如图②,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF; 拓展应用:如图③,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为　　　　.  解:理解证明:证明:∵CF⊥AE,BD⊥AE,∴∠ADB=∠CFA=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°. 又∠MAN=∠CAF+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠CAF.在△ABD和△CAF中,∵ ∴△ABD≌△CAF. 类比探究:证明:∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠CFA.∵∠1=∠ABE+∠EAB,∠1=∠BAC=∠EAB+ ∠CAF,∴∠ABE=∠CAF.在△ABE和△CAF中,∵∴△ABE≌△CAF. 拓展应用:∵△ABC的面积为15,CD=2BD,∴△ABD的面积为15×=5. 由类比探究,得△ABE≌△CAF,∴△ACF与△BDE的面积之和=△ABD的面积=5. 27.如图1所示，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，AE是过点A的一条直线，且B、C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE于E点． （1）求证：BD = DE+CE； （2）若直线AE绕点A旋转到如图2所示的位置(BD＜CE)时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请予以证明； （3）若直线AE绕点A旋转到如图3所示的位置(BD＜CE)时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明. （4）归纳上述（1）（2）（3）问，请用简洁的语言表述BD与DE、CE的关系. 证明：（1）∵ BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC = 90°，∴ ∠ADB =∠AEC = 90°，∠ABD+∠BAD = 90°， ∠BAD+∠CAE = 90°，∴ ∠ABD =∠CAE， 在△ABD和△CAE中，∴ △ABD≌△CAE(AAS). ∴ BD = AE，AD = CE；∵ AE = AD+DE，∴ BD = CE+DE； （2）BD = DE-CE.理由如下：∵ BD⊥AE，CE⊥AE，∠BAC = 90°， ∴ ∠ADB =∠AEC = 90°，∠ABD+∠BAD = 90°，∠BAD+∠CAE = 90°，∴ ∠ABD =∠CAE，在△ABD和△CAE中，∴ △ABD≌△CAE(AAS).∴ BD = AE，AD = CE， ∴ BD = AE = DE-AD = DE-CE；（3）BD = DE-CE；（4）归纳（1）（2）（3）可知，结论表述为当B、C在AE的同侧时，BD = DE-CE；当B、C在AE的异侧时，BD = DE+CE. 学科网（北京）股份有限公司 $