第12讲 直角三角形全等的判定（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年浙教版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第12讲 直角三角形全等的判定（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 斜边、直角边定理（HL）（重点） 2 角平分线性质定理的逆定理（重点） 题型巩固 一、用HL证全等 二、全等的性质和HL综合 三、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 四、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 五、角平分线的判定定理 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（5） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1. 斜边、直角边定理（HL）（重点） 判定定理 几何语言 图示 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∠C=∠C′=90°， ∴Rt△ABC≅Rt△A′B′C′(HL) . 注意：“HL”只能判定两个直角三角形全等，因此在依据此定理书写证明过程时，要突出直角三角形这个条件，且必须是斜边和一条直角边对应相等. 知识点2 角平分线性质定理的逆定理（重点） 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 几何语言：如图， ∵PD⊥OA， PE⊥OB， PD=PE ， ∴OP 平分 ∠AOB （或 ∠1=∠2 ）. 注意 利用角平分线性质定理的逆定理证明点在角平分线上时，必须有“两垂直，一相等”这三个条件，缺一不可. 题型巩固 题型一、用HL证全等 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握“”．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 要根据“”证明，还要添加一个条件是． 故选：A 2．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 .（写一种即可） 【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一) 【知识点】用HL证全等（HL） 【详解】∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠C=∠D=90°，∵AB=AB， ∴当AC=BD时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD， 当AD=BC时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD， 故答案为：AC=BD或AD=BC． 3．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定，由为的高得到，根据等腰三角形的判定得出，再根据即可证明 【详解】证明：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型二、全等的性质和HL综合 4．如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性质得出CD=DE，则可得出答案． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， cm， cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5．（2023八年级上·浙江·专题练习）和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，分、都在三角形内部，、有一个在三角形外部两种情况，再证明 进行求解是解题的关键． 【详解】解：若、都在三角形内部，如图1所示，      ∵、分别为、边的高， ∴，都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； 若、有一个在三角形外部，如图2所示，    ∵、分别为、边的高， ∴，都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形中，度，E是上一点，且， (1)与全等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】考查了直角三角形的判定．熟练掌握直角三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）由可得，进而可利用证明； （2）根据得，结合即得． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 题型三、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 7．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】D 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全等三角形的性质、三角形的三边关系判断④． 【详解】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB， ∴△ADC≌△AFB，①正确； ∵EA与DA不一定相等， ∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误； ∵∠FAD＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝∠DAE＝45°， 在△AED和△AEF中， ∴△AED≌△AEF，③正确； ∵△ADC≌△AFB， ∴BF＝CD， ∵BE＋BF＞DE ∴BE＋DC＞DE，④错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、旋转变换，掌握全等三角形的判定定理与性质定理、图形旋转的性质等知识是解题的关键． 8．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上的一动点，连结OP，将线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长． 【答案】6 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【详解】试题分析：已知线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.可得∠DOP=60°,OP=OD；所以∠COD+∠POA=120°又在△APO中，∠AOP+∠APO=120°可得∠APO =∠COD，又因为∠A =∠C 所以△APO≌△COD,可得AP=CO=9-3=6 考点：旋转，全等的性质及判定. 9．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β． （1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由． （2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）α＋β=180°，理由见解析；（2）当点D在线段BC上移动或点D在BC延长线上移动时，α＋β=180°；当点D在CB延长线上移动时，α=β，理由见解析． 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）利用SAS证出△DAB≌△EAC，可得∠B=∠ACE，然后根据三角形的内角和定理即可求出结论； （2）根据点D的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理和三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）α＋β=180°，理由如下 ∵∠DAE=∠BAC ∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC ∴∠EAC=∠DAB 在△DAB和△EAC中 ∴△DAB≌△EAC ∴∠B=∠ACE ∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180° ∴α＋∠ACE＋∠ACB=180° ∴α＋∠BCE=180° ∴α＋β=180° （2）①当点D在线段BC上移动时，由（1）知α＋β=180°； ②当点D在BC延长线上移动时，如下图所示 ∵∠DAE=∠BAC ∴∠DAE＋∠DAC=∠BAC＋∠DAC ∴∠EAC=∠DAB 在△DAB和△EAC中 ∴△DAB≌△EAC ∴∠B=∠ACE ∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180° ∴α＋∠ACE＋∠ACB=180° ∴α＋∠BCE=180° ∴α＋β=180° ③当点D在CB延长线上移动时，如下图所示，连接BE ∵∠DAE=∠BAC ∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE ∴∠DAB=∠EAC 在△DAB和△EAC中 ∴△DAB≌△EAC ∴∠ABD=∠ACE ∵∠ABD=∠BAC＋∠BCA，∠ACE=∠BCA＋∠BCE ∴∠BAC＋∠BCA=∠BCA＋∠BCE ∴∠BAC=∠BCE ∴α=β． 综上：当点D在线段BC上移动或点D在BC延长线上移动时，α＋β=180°；当点D在CB延长线上移动时，α=β． 【点睛】此题考查的是全等三角形判定及性质、三角形的内角和定理和三角形外角的性质，掌握利用SAS判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 题型四、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 10．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】由题意过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC=BE，AD=CE， ∵点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3）， ∴OC=2，AD=CE=3，OD=6， ∴CD=OD-OC=4，OE=CE-OC=3-2=1， ∴BE=4， ∴则B点的坐标是（1，4）． 故选：D. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据AAS证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题． 11．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 【详解】解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． 12．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：作    由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点 （3）解：作，如图：    ∵四边形和四边形均为正方形 ∴ 由“K字模型”可得： 即： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 题型五、角平分线的判定定理 13．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF=1：4：4，则AO的长度是（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】连接OA,OB,OC，由，设，根据得到AO为的角平分线，再根据得到，根据三线合一及勾股定理求出AD=8，再根据得到方程即可求解. 【详解】解：连接OA,OB,OC,由题意知：，设, ， ∴AO为的角平分线，又， ， ∴AD为△ABC的中线，∴BD=6 在,AD==8, , , . 故选D 【点睛】此题主要考查角平分线的判定及性质，解题的关键是熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式. 14．在三角形中，到三边距离相等的点是 ． 【答案】三条角平分线的交点 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】根据角平分线的性质进行判断． 【详解】解：∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG=OF， ∴O在∠A的平分线上， 同理O在∠B的平分线上， O在∠C的平分线上， 即O是三条角平分线的交点， 故答案为：三条角平分线的交点． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线，注意：三角形的三个角的平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等． 15．如图，已知分别是三边上的点，，且的面积与的面积相等．求证：平分．    【答案】见解析 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】过点作于点，于点，根据的面积与的面积相等得，根据得，根据，即可得． 【详解】证明：如图所示，过点作于点，于点，    ∵的面积与的面积相等 ． ， ， 又， 平分． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，解题的关键是掌握角平分线的判定定理． 分层强化 一、单选题 1．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的角平分线上是解题的关键，利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 2．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 3．如图，于点C，于点D，连接，且，则可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ， ∵在和中 ， ， 故选：D． 4．如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的定义是关键．根据全等得出是的平分线，可得，再利用余角性质得到结果即可． 【详解】解：∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 6．已知：如图，，的平分线相交于点F，于H，若，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出，再求出，即可得出答案． 【详解】解：作于Z，于Y，于W，如图所示： ∵平分，，， ∴， 同理， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 7．为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，可以说明，最后测量的长即得．那么判断的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，运用全等三角形的知识解决实际问题成为解题的关键． 根据全等三角形的判定方法进行判断即可解答． 【详解】解：由题意，可知：，， 又∵， ∴， ∴． 故选A． 8．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   )    A．50 B．44 C．38 D．32 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC和面积公式代入求出即可． 【详解】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，    ∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°， ∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°， ∴∠FEA=∠BAM， 在△FEA和△MAB中 ， ∴△FEA≌△MAB（AAS）， ∴AM=EF=6，AF=BM=3， 同理CM=DH=2，BM=CH=3， ∴FH=3+6+2+3=14， ∴梯形EFHD的面积===56， ∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC = =32． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积． 9．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的判定和性质、折叠问题 【分析】连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，， ， 是等边三角形， ， 平分， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 二、填空题 10．如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 【答案】/25度 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 【详解】解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    【答案】3 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 12．如图，在中，，点D在上，于点E，且．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理以及三角形内角和定理，能判断出是的平分线是解题的关键． 先根据角平分线的判定定理得出是的平分线，设则，在中，根据三角形内角和定理可得，解方程即可求得的度数． 【详解】解：，且． 是的平分线， ， 设则 在中，由三角形内角和定理可得， 即 解得，即 故答案为：. 13．如图，在与中，，，，若则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明，则有，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，是的角平分线，，分别是，的高线．则下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②/②① 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义与角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，证明，则，即可得出平分；不一定成立，不能证明． 【详解】解：∵，分别是，的高线 ∴ ∵是的角平分线， ∴，故①正确 在中， ∴， ∴， 即平分；故②正确 ∵不能证明．故③错误 故答案为：①②． 三、解答题 15．如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL）、三线合一 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三线合一定理，由三线合一定理得到，则可证明，据此可利用证明． 【详解】证明：∵，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 16．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，求证：． 【答案】见详解 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，先结合于点E，得，根据角平分线的性质，故，又因为，即可证明． 【详解】解：∵于点E， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度． 【答案】52米 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】先根据大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°以及AB=CD可以推出≌，从而得到，进而计算出即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 又CD=12米，BD=64米， 米， 米， 答：该居民楼ED的高度为52米． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，利用AAS证明≌是解题的关键． 18．如图，AD∥BC，∠BAD＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连结BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F． （1）线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明． 结论：BF＝　 　； （2）若AB＝6，AE＝8，求点A到点C的距离． 【答案】（1）AE，证明见解析；（2）AC＝2. 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）由已知得BF=AE；由AD与BC平行得到一对内错角相等，再由一对直角相等，且BE=CB，利用AAS得到△AEB≌△FBC，利用全等三角形对应角相等即可得证． （2）连接AC，如图所示，由（1）的全等三角形得到对应边相等，进而求出BE与BC的长，则AC的长可求出． 【详解】（1）BF＝AE， 故答案为：AE； 证明：∵CF⊥BE， ∴∠A＝∠BFC＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠FBC， 在△AEB和△FBC中， ， ∴△AEB≌△FBC（AAS）， ∴BF＝AE． （2）连接AC，如图所示， ∵△AEB≌△FBC， ∴∠CBF＝∠AEB，BE＝BC， ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， 即∠ABC＝90°， 又AB＝6，AE＝8， ∴， ∴BE＝BC＝10， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 19．如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ． （2）解：平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ， 由（1）已证：， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 20．（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1）如图1， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2）， 如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ． ∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． （1）操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　； （2）猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； （3）拓展延伸 若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．    【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案； （2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论； （3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED•AD•EB即可求解． 【详解】解：（1）如图1中，    ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CBE＝∠A， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠CBE＝∠A＝45°， ∴ABE＝90°， ∴AB⊥BE， ∵AB＝AD+BD，AD＝BE， ∴AB＝BD+BE， 故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE． （2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．    理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， ∵AD＝AB+BD，AD＝BE， ∴BE＝AB+BD． ②如图3中，结论：BD＝AB+BE．    理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴AD＝BE， ∵BD＝AB+AD，AD＝BE， ∴BD＝AB+BE． （3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7， ∴BE＝AD＝5+7＝12， ∵BE⊥AD， ∴S△AED•AD•EB12×12＝72． 如图3中，∵AB＝5，BD＝7， ∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2， ∵BE⊥AD， ∴S△AED•AD•EB2×2＝2． 【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 直角三角形全等的判定（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 斜边、直角边定理（HL）（重点） 2 角平分线性质定理的逆定理（重点） 题型巩固 一、用HL证全等 二、全等的性质和HL综合 三、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 四、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 五、角平分线的判定定理 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（5） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1. 斜边、直角边定理（HL）（重点） 判定定理 几何语言 图示 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∠C=∠C′=90°， ∴Rt△ABC≅Rt△A′B′C′(HL) . 注意：“HL”只能判定两个直角三角形全等，因此在依据此定理书写证明过程时，要突出直角三角形这个条件，且必须是斜边和一条直角边对应相等. 知识点2 角平分线性质定理的逆定理（重点） 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 几何语言：如图， ∵PD⊥OA， PE⊥OB， PD=PE ， ∴OP 平分 ∠AOB （或 ∠1=∠2 ）. 注意 利用角平分线性质定理的逆定理证明点在角平分线上时，必须有“两垂直，一相等”这三个条件，缺一不可. 题型巩固 题型一、用HL证全等 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 .（写一种即可） 3．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 题型二、全等的性质和HL综合 4．如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2023八年级上·浙江·专题练习）和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形中，度，E是上一点，且， (1)与全等吗？请说明理由； (2)求证：． 题型三、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 7．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 8．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上的一动点，连结OP，将线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长． 9．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β． （1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由． （2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 题型四、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 10．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 12．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 题型五、角平分线的判定定理 13．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF=1：4：4，则AO的长度是（    ） A．10 B．9 C． D． 14．在三角形中，到三边距离相等的点是 ． 15．如图，已知分别是三边上的点，，且的面积与的面积相等．求证：平分．    分层强化 一、单选题 1．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．如图，于点C，于点D，连接，且，则可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 6．已知：如图，，的平分线相交于点F，于H，若，的度数为（　　） A． B． C． D． 7．为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，可以说明，最后测量的长即得．那么判断的原理是（   ） A． B． C． D． 8．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   )    A．50 B．44 C．38 D．32 9．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    12．如图，在中，，点D在上，于点E，且．若，则的度数为 ． 13．如图，在与中，，，，若则的度数为 ． 14．如图，是的角平分线，，分别是，的高线．则下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题 15．如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 16．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，求证：． 17．某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度． 18．如图，AD∥BC，∠BAD＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连结BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F． （1）线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明． 结论：BF＝　 　； （2）若AB＝6，AE＝8，求点A到点C的距离． 19．如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 20．（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． （1）操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　； （2）猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； （3）拓展延伸 若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．    学科网（北京）股份有限公司 $