专题03 因式分解（期末复习知识清单，6知识9题型3易错5方法）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学因式分解专题知识清单全面涵盖6大知识要点、9类典型题型、3项易错提示及5种解题方法，构建了从定义本质到提公因式法、公式法等核心方法，再到实际应用的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型分类+方法指导”三维架构呈现，如提公因式法通过“三看系数、字母、次数”步骤拆解，十字相乘法配套“首尾分解，交叉相乘”口诀，培养学生运算能力与推理意识。含知识框架图梳理一般步骤，分层题型适配不同学情，助力教师精准教学，学生高效自主复习。

专题05 因式分解（6知识&9题型&3易错&5方法清单） 【清单01】因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的_________的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1）因式分解分解对象是_________，分解结果必须是几个整式_________的形式. 2）每个因式都要分解到不能再分解为止. 因式分解与整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是互逆的运算，如.因式分解是把和差化为_________的形式，而整式乘法是把积化为_________的形式，两者都是_________变形，但它们是_________的两个过程. 【清单02】提公因式法分解因式 公因式的概念：多项式的各项都含有的_________叫做这个多项式各项的公因式. 确定公因式的方法： 方法 说明 举例： 一看系数 公因式的系数是各项系数绝对值的_________ 6，4，2的最大公约数是_________， 故公因式的系数是_________ 二看字母 公因式中的字母应是各项中都含有的_________ 式子中各项都含有_________， 所以公因式中必含字母_________ 三看字母次数 公因式中字母的次数是相同字母的_________ a的最低次数是_________，b的最低次数是_________， 所以这个多项式的公因式是_________ 提公因式法的概念：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 提公因式法的步骤： 说明 举例： 确定公因式 可按照确定公因式的方法先确定系数， 再确定字母，最后确定字母次数 公因式是_________ 提取公因式并确定另一个因式 多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式，把多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式 【清单03】公式法分解因式 定义：如果把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法. 平方差公式逆用： 【解读】应用平方差公式分解因式的特征：①等号的左边是两个数的平方差的形式； ②等号的右边是这两个数的和与这两个数的差的积. 完全平方公式逆用： 【解读】应用完全平方公式分解因式的特征： ①等号的左边是两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍. ②等号的右边是这两个数的和(或差)的平方. 【清单04】因式分解的一般步骤 【清单05】十字相乘法 定义：利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.十字相乘法简单来讲就是十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.即 【清单06】分组分解法 定义：当一个多项式既不能提公因式，又不能运用公式分解，且这个多项式的项数在4项或4项以上时，可以考虑将这个多项式分组，进行合理的分组之后，则有可能找到每一组各自的公因式，然后再分解.分组分解法的分解原则是:分组之后的每组之间能够提公因式或能够套用公式.如. 【题型一】判断是否因式分解 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 4．（24-25七年级下·全国·周测）下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 5．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 6．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则 ． 7．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是 8．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【题型三】提公因式法分解因式 9．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·上海·期末）把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 12．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【题型四】公式法分解因式 13．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 16．（25-26七年级上·上海·课后作业）填空： 2． 17．（25-26七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【题型五】综合提公因式法和公式法分解因式 18．（21-22七年级下·山东菏泽·期末）把多项式因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： ． 20．（24-25七年级上·上海静安·期末）因式分解： ． 21．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 22．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【题型六】多次运用提公因式法 23．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 24．（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【题型七】因式分解的应用--整除中的应用 25．（24-25七年级上·上海·月考）试说明能被整除． 26．（21-22七年级下·全国·单元测试）（1）能被整除吗？能被整除吗？说明你的理由． （2）说明：当为正整数时，的值必为的倍数． 27．（22-23七年级上·上海·期中）阅读下列材料，并解决问题． 材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式除以多项式时，一定存在一对多项式、，使得，其中余式的次数小于除式的次数． 例如：多项式除以多项式，商为，余式数为7，即有． 又如：多项式除以多项式，商为，余式数为0，即有，此时，多项式能被多项式整除． 问题： (1)多项式除以多项式，所得的商为　　． (2)多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为　　． (3)多项式分别能被和整除，则多项式除以的商为　　． 【题型八】因式分解的应用--在三角形判断中的应用 28．（24-25七年级上·上海·期中）已知三角形ABC的三边，，满足，则三角形的形状（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 29．（2024七年级上·上海·专题练习）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 30．（21-22七年级上·上海宝山·期末）如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据． 【题型九】利用因式分解证明 31．（22-23七年级上·上海青浦·期中）证明： 32．（2024七年级上·上海·专题练习）若、、为非零实数，且，求证：． 33．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知，且，求证：． 【题型一】判断公因式 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·北京海淀·阶段练习）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·陕西汉中·期中）下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型二】判断能否运用公式法分解因式 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）整式各项的公因式是 ． 2．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（20-21七年级下·浙江绍兴·期末）下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 4．（23-24八年级下·全国·阶段练习）下列多项式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中能用公式法分解因式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型三】利用公式法分解因式求参数的值 1．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 2．（23-24七年级上·上海松江·期中）若可以用完全平方公式因式分解，则m的值是 ． 【题型一】因式分解在有理数简算中的应用 简便运算步骤： ①观察数的特征，有公因式先提公因式； ②没有公因式则考虑是否符合平方差公式或完全平方公式. 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）利用因式分解的方法简算 (1) (2) (3) 2．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）简算 (1) (2) 【题型二】利用十字相乘法分解因式 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中. 1．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式：； 2．（25-26七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 3．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 4．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【题型三】利用分组分解法分解因式 常见的分组形式： 多项式的项 分组情况 特点 4 2+2 1）按字母分组2）按系数分组3）符合公司的两项分组 3+1 先完全平方公式后平方差公式 5 3+2 各组之间有公因式 6 3+3或2+2+2 各组之间有公因式 3+2+1 可化为两次三项式 1．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 2．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 【题型四】利用拆添项法分解因式 解题方法：拆项和添项: 1）因式分解时，题目项数较少，可添加一项再利用提公因式法或公式法进行因式分解； 2）因式分解时，某项系数较大或较小不适合利用提公因式法或公式法进行因式分解，可将该项拆成两部分，使其可以利用提公因式法或公式法进行因式分解. 1．（25-26七年级上·上海·阶段练习）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 2．（22-23八年级下·陕西西安·期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式； (3)分解因式：． 3．（22-23七年级上·上海·期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 【题型五】利用换元法分解因式 解题方法： 1）整体换元：多次出现同一个式子，用一个字母代替这个式子. 2）和积换元：不是直接代换相近的式子，而是取一个中间值进行换元，换元后，使得式子的和或者积是非常容易计算的. 【注意】 1）分解后，再将字母换回成代换的式子； 2）换回以后，注意看能不能继续分解，如果能分解，需要继续分解. 1．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 2．（23-24七年级上·上海·阶段练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察（2）整体设元（3）整体代入（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解 (2)计算： (3)①已知，求的值 ②若，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 因式分解（6知识&9题型&3易错&5方法清单） 【清单01】因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是几个整式乘积的形式. 2）每个因式都要分解到不能再分解为止. 因式分解与整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是互逆的运算，如.因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式，两者都是恒等变形，但它们是互逆的两个过程. 【清单02】提公因式法分解因式 公因式的概念：多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 确定公因式的方法： 方法 说明 举例： 一看系数 公因式的系数是各项系数绝对值的最大公约数 6，4，2的最大公约数是2， 故公因式的系数是2 二看字母 公因式中的字母应是各项中都含有的相同字母 式子中各项都含有a，b， 所以公因式中必含字母a，b 三看字母次数 公因式中字母的次数是相同字母的最低次数 a的最低次数是1，b的最低次数是2， 所以这个多项式的公因式是 提公因式法的概念：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 提公因式法的步骤： 说明 举例： 确定公因式 可按照确定公因式的方法先确定系数， 再确定字母，最后确定字母次数 公因式是 提取公因式并确定另一个因式 多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式， 把多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式 【清单03】公式法分解因式 定义：如果把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法. 平方差公式逆用： 【解读】应用平方差公式分解因式的特征：①等号的左边是两个数的平方差的形式； ②等号的右边是这两个数的和与这两个数的差的积. 完全平方公式逆用： 【解读】应用完全平方公式分解因式的特征： ①等号的左边是两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍. ②等号的右边是这两个数的和(或差)的平方. 【清单04】因式分解的一般步骤 【清单05】十字相乘法 定义：利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.十字相乘法简单来讲就是十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.即 【清单06】分组分解法 定义：当一个多项式既不能提公因式，又不能运用公式分解，且这个多项式的项数在4项或4项以上时，可以考虑将这个多项式分组，进行合理的分组之后，则有可能找到每一组各自的公因式，然后再分解.分组分解法的分解原则是:分组之后的每组之间能够提公因式或能够套用公式.如. 【题型一】判断是否因式分解 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式是因式分解，符合题意； B、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键． 【详解】解：①没有降次，不属于因式分解； ②，属于因式分解； 所以①不是因式分解，②是因式分解 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·周测）下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 【答案】 ①②/②① ③④/④③ 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解，将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式相乘，根据各自的定义判断即可． 【详解】解：①是整式乘法， ②是整式乘法， ③是因式分解， ④是因式分解． 故答案为：①②；③④． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 5．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式的整数解问题，灵活运用因式分解和整数的性质是解题的关键．由等式右边展开得 ，与左边比较系数，得 和 ．由于 、 为整数，枚举所有整数对 满足 ，计算 ，即可确定 的可能值． 【详解】， 比较系数，得 ，， 、 为整数，且 ， 所有整数对 为： ，； ，； ，； ，； ，； ，。 （其余对为重复值，略） 的可能值为 ． 选项不在可能值中，故不可能． 6．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则 ． 【答案】6 【分析】根据因式分解的定义，多项式乘以多项式等知识﹒设另一个因式为一次式，即可得到，变形为，从而得到，即可求出﹒ 【详解】解：设另一个因式为，则， ∵， ∴， ∴， ∴﹒ 故答案为：6 7．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是 【答案】11 【分析】本题考查因式分解，由多项式相等，比较系数得和，其中、为整数．列举所有整数满足，计算的所有可能值，并求最大值． 【详解】由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 8．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【答案】(1)，长除法见解析 (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可； （2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可； （3）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得★的值； （4）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得答案． 【详解】（1）解：若因式为，那么用长除法操作如下： 若因式为，用长除法操作如下： 故该因式为； （2）解：用长除法操作如下： 故； （3）解：用长除法操作如下： 那么， ∴为； （4）解： 用长除法操作如下： 那么， ∴． 【题型三】提公因式法分解因式 9．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查提取公因式法在指数运算中的应用，关键是准确找出公因式，将高次幂的项用公因式和另一个因式的乘积形式表示，从而简化计算．先使用提取公因式法，将 表示为 ，然后提取公因式 ，再进行计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 结果为 ． 故选：． 10．（24-25七年级上·上海·期末）把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式．直接提取公因式即可分解． 【详解】解：， 故选：D． 11．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【题型四】公式法分解因式 13．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，灵活运用平方差公式是解题的关键．将表达式 改写为 ，应用平方差公式 进行因式分解． 【详解】解：， 又  ， 因式分解的结果为 ． 故选：． 14．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，完全平方公式的形式为，通过检查各选项是否符合此形式即可判断． 【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为； 选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解． 故选：D． 15．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，该表达式为二项式，通过观察可发现其符合平方差公式的形式，因此应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·上海·课后作业）填空： 2． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．通过观察表达式，利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：． 故答案为：． 17．（25-26七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解；通过完成平方将方程转化为平方和为零的形式，从而求出和的值． 【详解】解：， ∴， 化简得 ， 所以 且 ， 解得 ， ， 因此 ． 【题型五】综合提公因式法和公式法分解因式 18．（21-22七年级下·山东菏泽·期末）把多项式因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先提公因式-3a，再运用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式=-3a(-x+) =， 故选：D． 【点睛】本题考查提公因式与公式法综合运用，熟练掌握提公因式与公式法分解因式是解题的关键． 19．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，观察表达式，先提取公因式，再利用十字相乘法进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·上海静安·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的知识点，解题的关键是熟练掌握提取公因式法与十字相乘法． 先提取多项式各项的公因式，再对提取公因式后剩余的多项式进行十字相乘法分解因式． 【详解】提取公因式：观察多项式，每一项都含有公因式，将其提取出来，得到， 十字相乘法分解因式：所以可以分解为， ． 故答案为： 21．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是关键． 根据题意，先提取公因式，再运用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 22．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题重点考查完全平方公式分解因式和提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式需要运用完全平方公式，完全平方公式为，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法，熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键． 先对前三项运用完全平方公式，后两项提取公因式，最后再提取公因式，即可完成计算． 【详解】解： ． 【题型六】多次运用提公因式法 23．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 24．（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【答案】(1)提取公因式法，2 (2)2025， (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； （2）解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； （3）解： ； （4）解： ． 【题型七】因式分解的应用--整除中的应用 25．（24-25七年级上·上海·月考）试说明能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，把转化为底数是的幂，再根据幂的乘方进行运算，最后利用提公因式法进行因式分解即可求证，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】证明： ， ∴能被整除． 26．（21-22七年级下·全国·单元测试）（1）能被整除吗？能被整除吗？说明你的理由． （2）说明：当为正整数时，的值必为的倍数． 【答案】（1）能被整除，能被整除，理由见解析；（2）见解析． 【分析】（1）综合提公因式法和公式法对进行因式分解，得出，据此即可得到答案； （2）综合提公因式法和公式法对进行因式分解，得出，再根据、、为三个连续的整数，必有2的倍数和3的倍数，即可说明结论． 【详解】解：（1）能被整除，能被整除，理由如下： ， 能被整除，能被整除； （2）， 为正整数， 、、为三个连续的整数，必有2的倍数和3的倍数， 当为正整数时，的值必为的倍数． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是利用因式分解把复杂运算简单化或解决整除问题． 27．（22-23七年级上·上海·期中）阅读下列材料，并解决问题． 材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式除以多项式时，一定存在一对多项式、，使得，其中余式的次数小于除式的次数． 例如：多项式除以多项式，商为，余式数为7，即有． 又如：多项式除以多项式，商为，余式数为0，即有，此时，多项式能被多项式整除． 问题： (1)多项式除以多项式，所得的商为　　． (2)多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为　　． (3)多项式分别能被和整除，则多项式除以的商为　　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把已知多项式分解因式即可求解； （2）首先把已知多项式减去余式再分解因式即可求解； （3）设，其中A为一次多项式，然后把和时，代入等式可以得到关于a、b的方程组，解方程组求出a，b，最后分解因式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式除以多项式，所得的商为． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为． 故答案为：； （3）解：∵多项式分别能被和整除， ∴设，其中A为一次多项式， 当时，， 当时，， 联立解得：， 解得， ∴ ， ∴多项式除以的商为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，正确读懂题意是解题的关键． 【题型八】因式分解的应用--在三角形判断中的应用 28．（24-25七年级上·上海·期中）已知三角形ABC的三边，，满足，则三角形的形状（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得，再利用非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：C． 29．（2024七年级上·上海·专题练习）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组法因式分解是解题的关键． 根据分组法分解因式，得出或，找出三角形三边之间的关系，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形． 30．（21-22七年级上·上海宝山·期末）如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】利用因式分解得出三边长的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：是等边三角形 证明：∵， ∴． ∴， 即， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练进行因式分解，得出三角形的三边关系． 【题型九】利用因式分解证明 31．（22-23七年级上·上海青浦·期中）证明： 【答案】见解析 【分析】根据完全平方公式进行计算得出 即可得证． 【详解】解：∵ ， ， ∴， 即， 整理得， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键． 32．（2024七年级上·上海·专题练习）若、、为非零实数，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案，理解分组分解因式的思想方法是解决问题的关键． 【详解】证明：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 33．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】展开，因式分解，后运用不等式的性质计算即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，不等式组的解集，熟练掌握因式分解，灵活运用不等式的性质是解题的关键． 【题型一】判断公因式 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， 多项式的公因式是， 故选：D． 2．（22-23八年级上·北京海淀·阶段练习）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解：； 多项式的公因式为 故选B 【点睛】本题主要考查公因式的确定，解决本题的关键是掌握找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 3．（21-22八年级上·陕西汉中·期中）下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】将每一组因式分解，找公因式即可 【详解】A.，，有公因式，故不符合题意； B.，，没有公因式，符合题意； C.，，有公因式，故不符合题意； D. 与有公因式，故不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键 【题型二】判断能否运用公式法分解因式 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）整式各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的公因式，解题的关键是掌握确定一个多项式的公因式，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数是分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“”，则公因式的符号一般为负．据此解答即可． 【详解】解：各项的公因式是． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 3．（20-21七年级下·浙江绍兴·期末）下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 4．（23-24八年级下·全国·阶段练习）下列多项式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中能用公式法分解因式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【详解】解∶ （1）不可以公式法分解因式； （2）不可以公式法分解因式； （3）可以平方差公式分解因式； （4）可以平方差公式分解因式； （5）可以完全平方公式分解因式， 故选∶B． 【题型三】利用公式法分解因式求参数的值 1．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·上海松江·期中）若可以用完全平方公式因式分解，则m的值是 ． 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式进行解题即可． 【详解】解：可以用完全平方公式因式分解， 的值等于：． 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式应用，能够熟练掌握完全平方公式是解题关键． 【题型一】因式分解在有理数简算中的应用 简便运算步骤： ①观察数的特征，有公因式先提公因式； ②没有公因式则考虑是否符合平方差公式或完全平方公式. 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）利用因式分解的方法简算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)8 (3)40000 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式进行求解，再提取公因数计算即可； （2）提公因数再进行计算； （3）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1） （2） （3） 2．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）简算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的应用； （1）原式根据平方差公式化为，再进行计算即可求解； （2）原式根据完全平方公式化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【题型二】利用十字相乘法分解因式 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中. 1．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式：； 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先利用十字相乘法分解因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 2．（25-26七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据题意，把作为一个整体，则原式可分解为，再继续分解，可得到结果． 【详解】解： ． 3．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，多项式乘法． 利用十字相乘法分解因式，重新组合，按照多项式乘法计算，再用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 4．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）将看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 【题型三】利用分组分解法分解因式 常见的分组形式： 多项式的项 分组情况 特点 4 2+2 1）按字母分组2）按系数分组3）符合公司的两项分组 3+1 先完全平方公式后平方差公式 5 3+2 各组之间有公因式 6 3+3或2+2+2 各组之间有公因式 3+2+1 可化为两次三项式 1．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先分组分解，再用提取公因式法分解． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型四】利用拆添项法分解因式 解题方法：拆项和添项: 1）因式分解时，题目项数较少，可添加一项再利用提公因式法或公式法进行因式分解； 2）因式分解时，某项系数较大或较小不适合利用提公因式法或公式法进行因式分解，可将该项拆成两部分，使其可以利用提公因式法或公式法进行因式分解. 1．（25-26七年级上·上海·阶段练习）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先把原式提取公因数2，再仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（22-23八年级下·陕西西安·期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式； (3)分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据例题用拆项补项法分解因； （2）根据例题用拆项补项法分解因； （3）根据例题用拆项补项法分解因； 【详解】（1）解： ； （2） （3） 【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，正确的增项是解题的关键． 3．（22-23七年级上·上海·期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解． 【题型五】利用换元法分解因式 解题方法： 1）整体换元：多次出现同一个式子，用一个字母代替这个式子. 2）和积换元：不是直接代换相近的式子，而是取一个中间值进行换元，换元后，使得式子的和或者积是非常容易计算的. 【注意】 1）分解后，再将字母换回成代换的式子； 2）换回以后，注意看能不能继续分解，如果能分解，需要继续分解. 1．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键正确理解题意，注意换元法和分组分解法的正确运用． （1）解法一：，原式化为，因式分解即可；解法二：设，原式化为，因式分解即可； （2）设，原式化为，因式分解即可，注意的分组分解应用． 【详解】（1）解：解法一：， 则原式， ； 解法二：设， 则原式， ； （2）设， 原式 ． 2．（23-24七年级上·上海·阶段练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察（2）整体设元（3）整体代入（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解 (2)计算： (3)①已知，求的值 ②若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2023 (3)①1；②5 【分析】（1）读懂例1，整体设元，分解因式； （2）读懂例1，整体设元，分解因式，代入化简再求值； （3）①认真读懂例2，整体代入化简求值； ②认真读懂例2，整体代入化简求值． 本题考查了分式、整式混合运算的新定义，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算和整式的混合运算． 【详解】（1）解： ， 设， 原式 ， ； （2）解：， 令，， ， 原式 ； （3）解：①， ； ②， ， ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $