1.3.1空间直角坐标系课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3.1空间直角坐标系 空间向量基本定理 基底 空间向量基本定理 单位正交基底 正交分解 不共面，则对， 唯一有序实数组， 使得 空间任意三个不共面的向量 反设共面，， 若有解，则共面，不能作为基底； 若无解，则不共面，能作为基底． 两两垂直，且长度都为1的基底 导 复习引入 1.了解空间直角坐标系； 2.会用空间直角坐标系刻画点的位置； 3.掌握空间向量的坐标表示． 学习目标 重点、难点 1.重点：掌握空间向量的坐标表示． 2.难点：会用空间直角坐标系刻画点的位置． 导 平面向量与平面直角坐标系 在平面内选取一点O和一个单位正交基底{, }，以O为原点，分别以, 的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系Oxy. 导 复习引入 新知形成 一、空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}，以点O为原点，分别以, , 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系Oxyz. x y z i j k O ①点O叫做原点，向量,, 都叫做坐标向量. ||＝||＝||＝1. ·＝·＝·＝0 学 学 Oxy平面 Oyz平面 Oxz平面 ②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.它们把空间分成8个部分. ③画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135(或45°)∠yOz=90°. ④空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向， 则称该坐标系为右手直角坐标系. 学 新知形成 二、空间点和向量的坐标 1、空间点的坐标：在单位正交基底{, , }下，=x+y+z，则有序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标. 学 新知形成 二、空间点和向量的坐标 学 新知形成 2、空间向量的坐标：由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=x+y+z.则有序实数组(x, y, z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，简记作＝(x, y, z). 点的坐标A(x,y,z) 向量的坐标OA=(x,y,z) 一一对应 设空间任意两点(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则 =(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； 总结：某点A的坐标的方法： 学 3 6 2 (3,2,6) O x y z A 三、空间中的特殊点和对称点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 xOy平面 xOz平面 yOz平面 点的坐标 (x, 0, 0) (0, y, 0) (0, 0, z) (x, y, 0) (x, 0, z) (0, y, z) 规律：不见的那个就为0 学 新知形成 已知点A(x , y , z) ，则： ①点A关于x轴对称的点为___________; ②点A关于y轴对称的点为___________; ③点A关于z轴对称的点为___________. ④点A关于Oxy平面对称的点为 __________; ⑤点A关于Oxz平面对称的点为 __________; ⑥点A关于Oyz平面对称的点为 __________. ⑦点A关于原点对称的点为___________. (x , y , -z) (-x , y , z) (x , -y , z) (x , -y , -z) (-x , -y , z) (-x , y , -z) (-x , -y , -z) 规律：关于谁对称,谁不变,其他相反。 学 新知形成 学 和 的中点坐标为: 新知形成 【例1】（1）已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴 的正方向上的单位向量，若 ＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋ k，c＝k＋i，则点A的坐标为（　　） A. （12，14，10） B. （10，12，14） C. （14，10，12） D. （4，2，3） √ 展+评 典型例题 （2）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标. 解：因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以底面正方形的对角线长为4 ，正四棱锥的高为2 . 所以正四棱锥各顶点的坐标分别为 A（2 ，0，0），B（0，2 ，0）， C（－2 ，0，0），D（0，－2 ，0）， P（0，0，2 ）. 展+评 典型例题 训练1 如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3. （1）以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标； A(3 ,0,0),B(0,3 ,0),C(－3 ,0,0), D(0,－3 ,0),O(0,0,0),O1(0,0,4), A1(3 ,0,4),B1(0,3 ,4),C1(－3 ,0,4), D1(0,－3 ,4),M(0,3 ,2),N(－3 ,0,3). 练 （2）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建 立空间直角坐标系，求图中各点的坐标. 解：A（6，0，0），B（6，6，0）， C（0，6，0），D（0，0，0）， A1（6，0，4），B1（6，6，4）， C1（0，6，4），D1（0，0，4）， O（3，3，0），O1（3，3，4）， M（6，6，2），N（0，6，3）. 练 【例2】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1， ∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量 ， ， 的坐标. 展+评 典型例题 训练2　如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面.M，N分别是AB，PC 的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，则向量 ， ， 的坐标分别为 ， ， ⁠ ⁠. （0，1，0） （－1，0，0） （0， ， ） 练 【例3】在空间直角坐标系中，已知点P（－2，1，4）. （1）求点P关于x轴对称的点的坐标； P1（－2，－1，－4）. （2）求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； P2（－2，1，－4）. 展+评 典型例题 （3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标. P3（6，－3，－12）. 训练3　已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 ⁠. （2，－3，1） 练 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在空间中，过x轴，y轴的平面叫做Oxy平面. （　√　） （2）空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（0，b，c）的形式. （　×　） （3）空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标一定是（a，0，c）的 形式. （　√　） （4）向量a的坐标可表示为a（x，y，z）的形式. （　×　） √ × √ × 练 2. 在空间直角坐标系中，点P（－1，－2，－3）到平面Oyz的距离是 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. √ 3. 点P（1，1，1）关于Oxy平面的对称点P1的坐标为 ⁠ ；点P关于z轴的对称点P2的坐标为 ⁠. （1，1，－1） （－1，－1，1） 练 4. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，P为 C1D1的中点，若正方体的棱长为1，则点P的坐标为 ⁠， 的坐标为 ⁠. （ ，1，1） （1，0，1） 练 课堂小结 1.理清单 （1）空间直角坐标系； （2）空间点及向量的坐标表示； （3）空间点的对称问题. 2.应体会 （1）空间直角坐标系的建立、空间点及向量的坐标表示及空间点的对称 问题，运用了类比联想的思想； （2）求空间点及向量的坐标时运用了数形结合的思想. 3.避易错 混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才 和终点的坐标相同. 1.知识点： (1)空间直角坐标系的概念. (2)空间点的坐标. (3)空间向量的坐标. 2.方法归纳：数形结合、类比联想. 3.易错点：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同. 简单的立体几何问题 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 数形结合 结 26 $