第3章 勾股定理 章节（7知识点回顾+28题型巩固）讲义-2025-2026学年苏科版八年级数学上册满分全攻略备课系列

第3章 勾股定理 章节（7知识点回顾+28题型巩固） 目录 知识梳理 1.勾股定理 2.勾股定理的证明 3.勾股定理的逆定理 4.勾股数 5.勾股定理与网格问题 6.勾股定理与折叠问题 7.勾股定理的简单应用 题型巩固 一、用勾股定理解三角形 二、以直角三角形三边为边长的图形面积 三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 四、利用勾股定理证明线段平方关系 五、勾股定理的证明方法 六、以弦图为背景的计算题 七、用勾股定理构造图形解决问题 八、勾股定理与无理数 九、勾股树（数）问题 十、判断三边能否构成直角三角形 十一、在网格中判断直角三角形 十二、利用勾股定理的逆定理求解 十三、勾股定理逆定理的拓展问题 十四、勾股定理与网格问题 十五、勾股定理与折叠问题 十六、求旗杆高度(勾股定理的应用) 十七、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 十八、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 十九、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 二十、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 二十一、解决航海问题(勾股定理的应用) 二十二、求河宽(勾股定理的应用) 二十三、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 二十四、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 二十五、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 二十六、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 二十七、求最短路径(勾股定理的应用) 二十八、勾股定理逆定理的实际应用 知识梳理 知识点1.勾股定理 1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 数学表达式：如图3.1-1 ，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， 则. 2. 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范. 知识点2.勾股定理的证明 1. 常用证法：验证勾股定理的方法很多，有测量法，有几何证明法. 但最常用的是通过拼图，利用求面积来验证，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据来进行验证的. 2. 著名证法举例 方法 图形 证明 “赵爽 弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为. 又因为大正方形的面积＝4×＋＝，所以＝ 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝，所以＝ 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝. 又因为S＝，所以＝ 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝，由图②得大正方形的面积＝，比较两式易得＝ 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 知识点3.勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形. 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)“找”：找出三角形三边中的最长边； (2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3)“ 判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 3. 勾股定理与其逆定理的关系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为，，，∠C=90° 在△ABC中，∠A, ∠B，∠C的对边长分别为，，，且 结论 △ABC为直角三角形，且∠C=90° 关系 知识点4.勾股数 1. 勾股数：如果三个正整数a，b，c满足关系，则称a，b，c为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方. 2. 判断一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”：看是不是三个正整数. (2)“找”：找最大数. (3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和. (4)“ 判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数. 知识点5.勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l= 。 知识点6.勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点7.勾股定理的简单应用 1. 勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 题型巩固 题型一、用勾股定理解三角形 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，点N在AC上，MN⊥AB，若AC＝8，BC＝4，则NC的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】连接BN，由中垂线的性质可得AN=BN，设NC=x，则AN=BN=AC-NC=8-x，由勾股定理可得即由此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接BN， ∵M为AB的中点，MN⊥AB， ∴AN=BN， 设NC=x，则AN=BN=AC-NC=8-x， ∵∠C=90°， ∴， ∴， 解得， ∴NC=3， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，中垂线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）若直角三角形有两边长的差为2，且这两条边中有一条边长为10，求这个三角形的三条边的长． 【答案】10，12，或10，12，或10，8，或10，8，6 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及分类讨论；分情况讨论，（1）当直角三角形的两边长为10，12，设第三条边长为x，①若x为斜边长，②若12为斜边长；（2）当直角三角形的两边长为10，8，设第三条边长为y，①若y为斜边长，②若10为斜边长；分别由勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵直角三角形有两边长的差为2，且这两条边中有一条边长为10， ∴另一条边长为或， （1）当直角三角形的两边长为10，12， 设第三条边长为x， ①若x为斜边长，由勾股定理得：； ②若12为斜边长，由勾股定理得：； （2）当直角三角形的两边长为10，8， 设第三条边长为y， ①若y为斜边长，由勾股定理得：； ②若10为斜边长，由勾股定理得：； 综上所述，这个直角三角形的三条边的长为10，12，或10，12，或10，8，或10，8，6． 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，分别以、为一边向外作正方形，记这两个正方形的面积分别为、，则的值为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的平方即为的值． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 故选：A． 4．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为 ． 【答案】64 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴字母A所代表的正方形的面积为64， 故答案为：64． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 题型三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 6．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为8的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，． 【答案】见解析 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】（1）面积为8的正方形的边长为2，画出正方形即可； （2）以直角边为1和2构造斜边为，再以1和4为直角边构造斜边为就得到三角形三边长分别为2、、； 【详解】（1）如图1所示：面积为8的正方形的边长为2， （2）如图2所示；以直角边为1和2构造斜边为，再以1和4为直角边构造斜边为就得到三角形三边长分别为2、、； 【点睛】此题考查勾股定理，作图-简单作图，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，在格点三角形中利用勾股定理． 题型四、利用勾股定理证明线段平方关系 7．在ABC中，∠BAC=90°，则下列结论成立的是（    ） A．BC=AC+BC B．AC2=AB2+BC2 C．AB2=AC2+BC2 D．BC2 =AB2+AC2 【答案】D 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在 △ ABC中，∠BAC=90°，根据勾股定理可得， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键． 8．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做双勾股三角形． (1) 根据“双勾股三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是双勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由； (2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，若Rt△ABC是双勾股三角形，求a：b：c； (3) 如图，△ABC、△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，DA=DB，若在△ABD内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是双勾股三角形． 【答案】（1）真命理，理由见解析；（2）a：b：c=1： ：：或a：b：c=： 1：；（3）见解析 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）根据“双勾股三角形”的定义即可得出结论； （2）由勾股定理可得a2＋b2＝c2，然后根据三边的大小关系分类讨论，分别根据“双勾股三角形”的定义列出方程即可分别求出结论； （3）根据勾股定理可得AC2＋BC2=AB2，AD2＋BD2=AB2,从而得出AC2＋BC2 =AD2＋BD2，再结合已知条件和等量代换即可证出AC2＋CE2=2AE2，从而证出结论． 【详解】解：（1）真命题，理由如下： 设等边三角形的三边为a、b、c，则a=b=c ∴a2＋b2＝2c2 ∴等边三角形一定是双勾股三角形． （2）在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2＋b2＝c2, 当c＞b＞a＞0时， ∴2c2＞a2＋b2，2a2＜b2＋c2, ∴若△ABC是双勾股三角形，一定有2b2=a2＋c2, ∴2b2=a2＋（a2＋b2 ）， ∴b2=2a2， ∴b=a, ∵c2=b2＋a2=3a2， ∴c=a ∴a: b: c＝1: : ； 当c＞a＞b＞0时， 同理若△ABC是双勾股三角形，一定有2a2=b2＋c2， ∴2a2=b2＋（a2＋b2 ）， ∴a2=2b2， ∴a=b, ∵c2=b2＋a2=3b2， ∴c=b ∴a: b: c＝ :1: 综上：a：b：c=1： ：：或a：b：c=： 1：；． （3）在Rt△ACB中，AC2＋BC2=AB2 在Rt△ADB中，AD2＋BD2=AB2, ∴AC2＋BC2 =AD2＋BD2 ∵DA=DB，AE=AD，CB=CE ∴AC2＋CE2 =2AD2 ∴AC2＋CE2=2AE2 ∴△ACE是双勾股三角形 【点睛】此题考查的是勾股定理和新定义类问题，掌握勾股定理和“双勾股三角形”的定义是解题关键． 题型五、勾股定理的证明方法 9．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定 【答案】B 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理即可得出． 【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选：B． 10．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】53 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】根据全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积等于的面积与的面积的和，列出算式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出，，以及由图形得到四边形的面积等于的面积与的面积的和． 题型六、以弦图为背景的计算题 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 【答案】5 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 设大正方形的边长为c，根据大正方形的面积为13，则再利用勾股定理得，然后根据，的，最后根据，进而求出答案． 【详解】解：∵图中四个直角三角形全等，直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，设大正方形的边长为c， ∴， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 由图可知小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积为：． ∴， 小正方形的面积为5． 故答案为：5． 题型七、用勾股定理构造图形解决问题 12．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度． 【答案】这堆油桶的最高点距地面的高度为． 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设每只油桶底面的直径为，，则，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可得每只油桶底面的直径为，， 则，， 这堆油桶的高度为 ． 因此，这堆油桶的最高点距地面的高度为． 题型八、勾股定理与无理数 13．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．根据勾股定理可得的长，由题意可得，即，因为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点E表示的实数是． 故答案为：． 题型九、勾股树（数）问题 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题考查了勾股数的知识，满足的三个正整数，称为勾股数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，即可求解． 【详解】解：A、因为 ，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； B、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； D、因为，，，，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意． 故选：C． 15．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25…他发现这些勾股数数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9、40、41，这是一组勾股数吗，请给出证明． (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为m、n、（m为大于1的奇数，且），他猜想是否可以用m表示出n．若可以，请帮小明完成他的猜想，若不可以，请说明理由． (3)当奇数时，请直接写出这组勾股数． 【答案】(1)9、40、41是一组勾股数，见解析 (2)，见解析 (3)17、144、145 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，列代数式规律型：数字的变化类，关键是掌握勾股数的定义． （1）满足的三个正整数，称为勾股数，由此即可判断； （2）由勾股数的定义得到，于得到； （3）由（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：9、40、41是一组勾股数，理由如下： ，， ， 、40、41是一组勾股数； （2）解：可以用表示出，理由如下： ， ， ； （3）解：当奇数时，， 这组勾股数是17，144，145． 题型十、判断三边能否构成直角三角形 16．（24-25八年级上·江苏·期末）下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（   ）． A．3、4、5 B．3、5、7 C．9、12、15 D．8、15、17 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求出较小两边平方的和，将其与最大边的平方比较后即可得出结论． 【详解】解：A、，长为3，4，5的三条边，能组成直角三角形，选项A不符合题意； B、，长为3，5，7的三条边，不能组成直角三角形，选项B符合题意； C、 ，长为9、12、15的三条边，能组成直角三角形，选项C不符合题意； D、，长为8，15，17的三条边，能组成直角三角形，选项D不符合题意． 故选：B． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若三角形三边长为，，，则它的面积是 ． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积公式．首先根据可知这个三角形是直角三角形且为斜边的长度，然后再根据三角形的面积公求解． 【详解】解：三角形三边长为，，， 又， 这个三角形是直角三角形，且为斜边的长度， 这个三角形的面积为 故答案为：． 题型十一、在网格中判断直角三角形 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】由勾股定理得：，，， ， 是直角三角形，，，，， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理和直角三角形斜边高的求法，掌握这些是本题关键． 19．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)是直角三角形，证明见解析 【知识点】在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了求格点三角形的面积，勾股定理及其逆定理： （1）的面积等于边长为4的正方形面积减去三个直角三角形面积； （2）利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：． （2）解：是直角三角形．证明如下： 由图可知，，， ， 是直角三角形． 题型十二、利用勾股定理的逆定理求解 20．若一个三角形的三边长分别为3，4，4.5，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据勾股定理的逆定理和三边关系解答即可． 【详解】， 不能构成直角三角形，是锐角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边、的平方和与最大边的平方之间的关系，若，三角形为锐角三角形；若，三角形为直角三角形；若，三角形为钝角三角形，进而作出判断． 21．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，在中，为上的高，，的面积为60，求的面积．    【答案】24 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】此题考查了三角形的面积公式和勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．由，求得，根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再求解即可． 【详解】，， ， ，，， 是直角三角形． ∴ 题型十三、勾股定理逆定理的拓展问题 22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 . 【答案】6 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵AB=5，AC=4， ∴， S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积 = = = = = =6. 【点睛】本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键． 题型十四、勾股定理与网格问题 23．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，利用面积法求得线段的长度是解题的关键． 利用勾股定理求的长度，然后由面积法求得的长度，即可求解． 【详解】解：如图，由勾股定理得 ， ，即， ∴； 故选：A． 题型十五、勾股定理与折叠问题 24．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 【答案】3 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解∶∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 25．如图，三角形纸片中，，，为的中点，折叠三角形纸片，使点与点重合，为折痕，求的长． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了三角形的边长问题，掌握中点的性质、折叠的性质、勾股定理是解题的关键．根据中点的性质得，再根据折叠的性质得，求出，，根据勾股定理列方程即可求出CF的值，即可求出AF的值． 【详解】解：∵，为的中点 ∴ 由题意， ∴， ∴，即 解得． ∴． 题型十六、求旗杆高度(勾股定理的应用) 26．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 【答案】木马上升的高度为1米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过点C作于点F，则米，在中，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F，则米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得： 米， 则米， 即木马上升的高度为1米． 题型十七、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 27．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图所示，靠墙放着一个梯子，梯子底端B离墙根的距离为3米，现梯子底端B向右滑动1米到了处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了处．则梯子的长度是 米． 【答案】5 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】利用勾股定理可得，， 梯子移动过程中长短不变，建立等式，继而可求出的长，再利用勾股定理即可求出梯子的长度． 本题考查了勾股定理的应用，题中梯子与墙构成了一个直角三角形，可根据勾股定理边长的关系来列方程． 【详解】解：， ， ∴， 得， ∴梯子的长AB（米）． 故答案为：5． 28．（23-24八年级上·江苏常州·期末）防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？ 【答案】26米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．作地面于点，于点，在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作地面于点，于点， 由题意得：米，米，米． 米， （米． 在中，由勾股定理得， （米． 答：云梯需要伸长26米才能到达着火处． 题型十八、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 29．如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 【答案】树高为9米． 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】由题意知，设米，则米，且在中，代入数据可求x的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：由题意知，且米，米， 设米，则米， 在中：， 即， 解得， 故树高为米． 答：树高为9米． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到的等量关系，并根据勾股定理求解是解题的关键． 题型十九、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 30．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为，则这棵大树折断处到树顶的长度是 ． 【答案】/米 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度．根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解． 【详解】解：如图，∵是直角三角形，，， 故答案为： 31．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在《九章算术》中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折者高几何？译文：一根竹子原高一丈，从处折断，其竹稍恰好抵地，为尺，试问：折断处离地面有多高？（注：丈尺） 【答案】折断处离地面尺． 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于的方程，此题得解． 【详解】解：由题意可得，， ∴，， ∴，即 解得 ∴折断处离地面尺． 题型二十、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 32．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 【答案】/ 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是， 故答案为：． 33．如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺 【答案】B 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．根据题意，可知EB'的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解：依题意画出图形， 设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴水深为：尺， 故选：B． 题型二十一、解决航海问题(勾股定理的应用) 34．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？    【答案】此时轮船离A地60海里 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用题-方向角问题，根据题意，结合图形，准确找到各个方向角、掌握勾股定理的含义是解决问题的关键．先求解，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示：    由题意可知：， （海里），（海里）， （海里）． 答：此时轮船离A地60海里． 题型二十二、求河宽(勾股定理的应用) 35．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）如图，某渡船从点处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点与欲到达地点相距70米，结果发现比河宽多10米，求该河的宽度．（两岸可近似看作平行） 【答案】240米 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离． 【详解】解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得：， 解得， 答：河宽240米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是关键． 题型二十三、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 36．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯 m． 【答案】17 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可． 【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为=12米， 则红地毯至少要12+5=17米长， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 题型二十四、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 37．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】没有超速 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理可得， ∴小汽车的速度为． ， ∴这辆小汽车没有超速． 题型二十五、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 38．如图，有一辆环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为200m和150m，，环卫车周围以内为受噪声影响区域. (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？ 【答案】(1)学校会受噪声影响，理由见解析 (2) 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，即可得出结论； （2）利用勾股定理得出以及的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：学校会受噪声影响，理由如下： 如图，过点作于， ，，， ． 是直角三角形，． ， ， 即， ， 环卫车周围以内为受噪声影响区域， 学校会受噪声影响． （2）解：如图，当，时，正好影响学校， ， ， 环卫车噪声影响该学校持续的时间有， 环卫车的行驶速度为：， 答：环卫车的行驶速度为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 题型二十六、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 39．（2024八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 【答案】，． 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键． 设，则，根据，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设，则， 根据题意得， ∴ ， 解得 ∴，． 题型二十七、求最短路径(勾股定理的应用) 40．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，一圆柱高9厘米，底面周长是24厘米，一只蚂蚁沿表面从点爬到点，则爬行的最短路程是 ． 【答案】15厘米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】该题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．根据题意将圆柱展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，将圆柱展开如下： ， 厘米， ∴最短路程为15厘米， 故答案为：15厘米． 41．（2024八年级上·江苏·专题练习）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 【答案】13公里 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了轴对称中最短路径问题在生活中的应用，将此题转化为轴对称问题，作出点关于河岸的对称点，根据两点之间线段最短得出的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可． 【详解】作点关于河岸的对称点，连接交河岸与，连接，则， 则最短，故将军应将马赶到河边的地点． 作，且， ，，， 四边形是矩形， ， 在中， ， 答：将军最短需要走13公里． 题型二十八、勾股定理逆定理的实际应用 42．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）综合实践 徐霞客(1586-1641)，名弘祖，字振之，号霞客，明朝南直隶江阴(今江苏江阴市)人．明地理学家、旅行家和文学家，地理名著《徐霞客游记》的作者，被称为“千古奇人”． XX中学数学兴趣小组在徐霞客公园开展综合实践活动． 主题：检测雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺测量边，底边的长度，并测量出点A，C之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边BC是否分别垂直于底边． 解决问题： 通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，AC的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ 【答案】垂直，理由见解析 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，可求，由勾股定理逆定理得是直角三角形，即可求解；掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】解：垂直． 理由如下： 在中， ，，； ， ， ， 是直角三角形， 即；                ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 章节（7知识点回顾+28题型巩固） 目录 知识梳理 1.勾股定理 2.勾股定理的证明 3.勾股定理的逆定理 4.勾股数 5.勾股定理与网格问题 6.勾股定理与折叠问题 7.勾股定理的简单应用 题型巩固 一、用勾股定理解三角形 二、以直角三角形三边为边长的图形面积 三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 四、利用勾股定理证明线段平方关系 五、勾股定理的证明方法 六、以弦图为背景的计算题 七、用勾股定理构造图形解决问题 八、勾股定理与无理数 九、勾股树（数）问题 十、判断三边能否构成直角三角形 十一、在网格中判断直角三角形 十二、利用勾股定理的逆定理求解 十三、勾股定理逆定理的拓展问题 十四、勾股定理与网格问题 十五、勾股定理与折叠问题 十六、求旗杆高度(勾股定理的应用) 十七、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 十八、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 十九、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 二十、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 二十一、解决航海问题(勾股定理的应用) 二十二、求河宽(勾股定理的应用) 二十三、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 二十四、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 二十五、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 二十六、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 二十七、求最短路径(勾股定理的应用) 二十八、勾股定理逆定理的实际应用 知识梳理 知识点1.勾股定理 1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 数学表达式：如图3.1-1 ，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， 则. 2. 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范. 知识点2.勾股定理的证明 1. 常用证法：验证勾股定理的方法很多，有测量法，有几何证明法. 但最常用的是通过拼图，利用求面积来验证，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据来进行验证的. 2. 著名证法举例 方法 图形 证明 “赵爽 弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为. 又因为大正方形的面积＝4×＋＝，所以＝ 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝，所以＝ 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝. 又因为S＝，所以＝ 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝，由图②得大正方形的面积＝，比较两式易得＝ 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 知识点3.勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形. 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)“找”：找出三角形三边中的最长边； (2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3)“ 判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 3. 勾股定理与其逆定理的关系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为，，，∠C=90° 在△ABC中，∠A, ∠B，∠C的对边长分别为，，，且 结论 △ABC为直角三角形，且∠C=90° 关系 知识点4.勾股数 1. 勾股数：如果三个正整数a，b，c满足关系，则称a，b，c为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方. 2. 判断一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”：看是不是三个正整数. (2)“找”：找最大数. (3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和. (4)“ 判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数. 知识点5.勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l= 。 知识点6.勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点7.勾股定理的简单应用 1. 勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 题型巩固 题型一、用勾股定理解三角形 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，点N在AC上，MN⊥AB，若AC＝8，BC＝4，则NC的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）若直角三角形有两边长的差为2，且这两条边中有一条边长为10，求这个三角形的三条边的长． 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，分别以、为一边向外作正方形，记这两个正方形的面积分别为、，则的值为(    )    A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为 ． 题型三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 6．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为8的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，． 题型四、利用勾股定理证明线段平方关系 7．在ABC中，∠BAC=90°，则下列结论成立的是（    ） A．BC=AC+BC B．AC2=AB2+BC2 C．AB2=AC2+BC2 D．BC2 =AB2+AC2 8．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做双勾股三角形． (1) 根据“双勾股三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是双勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由； (2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，若Rt△ABC是双勾股三角形，求a：b：c； (3) 如图，△ABC、△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，DA=DB，若在△ABD内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是双勾股三角形． 题型五、勾股定理的证明方法 9．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定 10．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 题型六、以弦图为背景的计算题 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 题型七、用勾股定理构造图形解决问题 12．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度． 题型八、勾股定理与无理数 13．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 ． 题型九、勾股树（数）问题 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 15．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25…他发现这些勾股数数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9、40、41，这是一组勾股数吗，请给出证明． (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为m、n、（m为大于1的奇数，且），他猜想是否可以用m表示出n．若可以，请帮小明完成他的猜想，若不可以，请说明理由． (3)当奇数时，请直接写出这组勾股数． 题型十、判断三边能否构成直角三角形 16．（24-25八年级上·江苏·期末）下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（   ）． A．3、4、5 B．3、5、7 C．9、12、15 D．8、15、17 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若三角形三边长为，，，则它的面积是 ． 题型十一、在网格中判断直角三角形 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 ． 19．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 题型十二、利用勾股定理的逆定理求解 20．若一个三角形的三边长分别为3，4，4.5，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 21．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，在中，为上的高，，的面积为60，求的面积．    题型十三、勾股定理逆定理的拓展问题 22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 . 题型十四、勾股定理与网格问题 23．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ）    A． B． C． D． 题型十五、勾股定理与折叠问题 24．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 25．如图，三角形纸片中，，，为的中点，折叠三角形纸片，使点与点重合，为折痕，求的长． 题型十六、求旗杆高度(勾股定理的应用) 26．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 题型十七、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 27．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图所示，靠墙放着一个梯子，梯子底端B离墙根的距离为3米，现梯子底端B向右滑动1米到了处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了处．则梯子的长度是 米． 28．（23-24八年级上·江苏常州·期末）防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？ 题型十八、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 29．如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 题型十九、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 30．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为，则这棵大树折断处到树顶的长度是 ． 31．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在《九章算术》中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折者高几何？译文：一根竹子原高一丈，从处折断，其竹稍恰好抵地，为尺，试问：折断处离地面有多高？（注：丈尺） 题型二十、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 32．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 33．如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺 题型二十一、解决航海问题(勾股定理的应用) 34．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？    题型二十二、求河宽(勾股定理的应用) 35．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）如图，某渡船从点处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点与欲到达地点相距70米，结果发现比河宽多10米，求该河的宽度．（两岸可近似看作平行） 题型二十三、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 36．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯 m． 题型二十四、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 37．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 题型二十五、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 38．如图，有一辆环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为200m和150m，，环卫车周围以内为受噪声影响区域. (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？ 题型二十六、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 39．（2024八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 题型二十七、求最短路径(勾股定理的应用) 40．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，一圆柱高9厘米，底面周长是24厘米，一只蚂蚁沿表面从点爬到点，则爬行的最短路程是 ． 41．（2024八年级上·江苏·专题练习）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 题型二十八、勾股定理逆定理的实际应用 42．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）综合实践 徐霞客(1586-1641)，名弘祖，字振之，号霞客，明朝南直隶江阴(今江苏江阴市)人．明地理学家、旅行家和文学家，地理名著《徐霞客游记》的作者，被称为“千古奇人”． XX中学数学兴趣小组在徐霞客公园开展综合实践活动． 主题：检测雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺测量边，底边的长度，并测量出点A，C之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边BC是否分别垂直于底边． 解决问题： 通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，AC的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $