铺路帮手 第13章 勾股定理-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

第13章 勾股定理及 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.下列各组数中，为勾股数的是( A.3,4,5 B.2,3,4 C.√5,4,5 D.13,14,15 2.数学思想·分类思想若直角三角形的三边 a、b、c满足a2-4a+4+√b-3=0,则第三边c 的长度是() A.5 B.√13 C.√5或√/13 D.5或13 3.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记 为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直 角三角形的是() A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.a2=c2-b2 nabc写号月 4.学科内融合如图，A(6,0),B(-4,0),以A 为圆心，AB长为半径画弧，交y轴正半轴于 点C,则点C的坐标为( A.(0,8) B.(8,0) C.(0,10) D.(10,0) BOA 第4题图 第5题图 5.如图，由4个相同的直角三角形与中间的小 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八 勾股定理 其逆定理 测试分数：55分 正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积 是17，小正方形面积是5，直角三角形较长 直角边为a,较短直角边为b,则ab的值 为( A.6 B.23 C.29 D.35 6.如图，在△ABC中，∠ACB=A 六M D 90°，以点A、B为圆心，以大 于2AB长为半径作弧，交 于点M、N,作直线MN交AB于点D,交BC 于点E,若AC=3,AB=5,则DE等于() A.2 B.C. 二、填空题（每小题3分，共12分） 7.用反证法证明命题“已知△ABC中，CA= CB;求证：∠A<90°.”第一步应先假 设 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠BAC交BC于点D,若BC=16,CD=6,则 AC= R 第8题图 第9题图 9.新定义对角线互相垂直的四边形叫作“垂 美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AB=3, CD=2,则AD+BC2= 年级上·ZBH·数学第21页 10.文化情境·数学文化|勾股定理 $$a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 }$$ 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这 个方程的正整数解(a，b，c)通常叫作勾股 数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾 股数组的公式，根据该公式可以构造出如 下勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24， 25)，…，分析上面勾股数组可以发现，4=1x (3+1)， 12= 2x(5+1)，24=3×(7+1)，…，分 析上面规律，5个勾股数组为. 三、解答题(共25分) 11.(8分)如图， ，AB=4，AD=3，BC=12，CD= $$1 3 ， \angle A = 9 0 ^ { \circ } .$$ (1)求BD的长度； (2)求四边形 ABCD 的面积 B A D C 12.数学思想·分类思想(8分)在 Rt△ACB 中， $$\angle A B C = 9 0 ^ { \circ } ， B C = 6 c m ， A C = 1 0 c m .$$ (1)求AB的长； (2)若点P从点B出发，以2cm /s 的速度 在BC所在的直线l上运动，设运动时间 为ts，那么当t为何值时， △ACP 为等腰 三角形? A A B C B C 备用图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八 13.数学思想·数形结合(9分)一个直立的火 柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股 定理一种新的证明方法.如图，火柴盒的一 个侧面ABCD(是一个长方形)，倒下到 AB'CD'的位置，连结AC,AC',CC',设AB= a,BC=b,AC=c. (1)试用a、b、c有关的代数式分别表示 △ABC,△AD'C',△ACC'的面积； (2)试用a、b有关的代数式表示梯形 BCC'D'的面积； (3)由(1)和(2)的结论证明勾股定理：a2 +b2=c2. 0 C B 6 Aa B 年级上·ZBH·数学第22页 勾股定玛 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.生活情境·公园如图，某公园内的一块长方 形草坪ABCD,已知AB=8m,BC=6m,公园 管理处为了方便群众，沿AC修了一条近 道，一个人从A到C走A-B-C比直接走AC 多走了( ) A.2米 B.4米 C.6米 D.8米 8m D 第1题图 第2题图 2.将一根长24cm的筷子，置于底面直径为 15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示， 设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h 的取值范围是( A.h≤17 B.h≥8 C.15≤h≤16 D.7≤h≤16 3.生活情境·秋千如图，有一个绳索拉直的木 马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往 水平方向向前推进3米（即DE=3米），且 绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高 度为( A.1米 B.√2米 C.2米 D.4米 第3题图 第4题图 4.生活情境·拉船靠岸如图，在离水面点A高 度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠 岸，开始时绳子BC的长度为17m,此人以 1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八 的应用 测试分数：45分 位置，则船向岸边移动了( )(假设绳子 是直的) A.9米 B.8米 C.7米 D.6米 5.生活情境·笔记本电脑某数学兴趣小组开 展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活 动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B 处离桌面的高度BC为7cm,此时底部边缘 A处与C处间的距离AC为24cm,小组成 员调整张角的大小继续探究，最后发现当 张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部 边缘D处到桌面的距离DE为20cm,则底 部边缘A处与E之间的距离AE为( C E A.15 cm B.18 cm C.21 cm D.24 cm 二、填空题（每小题3分，共12分） 6.生活情境·旗杆小明想知道学校旗杆的高， 他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当 他把绳子的下端拉开4m后，发现下端刚好 接触地面，则旗杆的高为 m. 7.生活情境·停靠梯子如图，小巷左右两侧是 竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底 端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面 2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯 子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小 巷的宽度为 米 C B D 第7题图 第8题图 年级上·ZBH·数学第23页 8.如图所示，已知圆柱底面圆直径为16，高为 入 12,P为BC中点，则一只蚂蚁沿着图中几何 体表面从点A爬到点P的最短距离 是 9.生活情境·衣架由于木质衣架没有柔性，在 挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了 一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进 衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB= 20cm,若衣架收拢时∠A0B=60°，如图2， 若衣架打开时∠AOB=120°，点0到AB的 距离为12cm,则此时A,B两点之间的距离 扩大了 cm 图1 图2 三、解答题（共18分） 10.生活情境·游泳池(9分)如图，小明在某 泳池沿泳道1练习游泳，点A处有一个攀 梯.游了一段时间后，在B处的小明想上 岸休息，他决定游至点C后再向攀梯游 去.已知B、C、D三点都在直线I上，BC=9 米，AC=12米，AB=15米 (1)AC的长是否为攀梯A到泳道1的最近 距离，请通过计算加以说明； (2)小明游至C处后又沿泳道1滑行2米 到达点D,若从点D游至攀梯A,求DA的长 度.（保留根号） 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八 11.生活情境·放风筝(9分)八(1)班小明和 小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测 得下图风筝CE的高度，他们进行了如下 操作： ①测得BD的长度为24米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC的长为30米； ③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米. (1)求风筝的高度CE; (2)若小亮让风筝沿CD方向下降了8米 到点M(即CM=8米)，则他往回收线多 少米？ 年级上·ZBH·数学第24页(SAS),..GC=BE,GC+CF>FG,..BE+CF>EF. 6.解：(1)C (2)证明：延长AE到F,使EF=AE,连结DF,.AE是 △ABD的中线.BE=ED.在△ABE与△FDE中， (BE=DE ∠AEB=∠FED,∴.△ABE≌△FDE(SAS),∴.AB=DF AE-FE ∠BAE=∠EFD.∠ADB是△ADC的外角，.∠DAC+ ∠ACD=∠ADB=∠BAD,·∠BAE+∠EAD=∠BAD: ∠BAE=∠EFD,∴.∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD, ∠ADF=∠ADC.AB=DC,∴.DF=DC.在△ADF与 (AD=AD △ADC中，{∠ADF=∠ADC,.△ADF≌△ADC(SAS), FD=CD .∠C=∠AFD=∠BAE,即∠C=∠BAE 第13章勾股定理 勾股定理及其逆定理 1.A 2.C【解析】a2-4a+4+√-3=(a-2)2+√-3=0，.a-2 =0,b-3=0,.a=2,b=3,当c为直角边时，c= √62-a=5;当c为斜边时，c=√+a=√13，综上所 述，c的长度为√5或√13.故选C. 3.D 4.A【解析】A(6,0),B(-4,0),.A0=6,B0=4,.AB =10.,:以，点A为圆心，以AB长为半径画孤，∴.AB=AC= 10,由勾股定理得：0C=√AC-0A2=8.交y轴正半轴 于点C,点C的坐标为(0,8).故选A 5.A 【方法点拔】由图可得，4个直角三角形的面积= 2 abx4= 17-5=12,即可得到ab=6. 6.C【解析】在Rt△ACB中，由勾股定理得BC=√52-3 =4.连结AE,从作法可知，DE是AB的垂直平分线，根据 垂直平分线的性质得出AE=BE,DE⊥AB.在Rt△ACE 中，由勾股定理得AC2+CE=AE2,即32+(4-AE)2=AE2, 舞得AE名在△A0E中，A0=方0 2,由勾股定 路 理得0e4(停)r=(传 8故选C. E(8)2,解得DB15 7.∠A≥90° 手 8.12【解析】过点D作D0⊥AB于点O,.·AD平分 ∠CAB,∠C=90°，.CD=D0=6.在Rt△D0B中，OB= 案 √BD2-D0=8.在Rt△ADC和Rt△AD0中，DC=D0, AD=AD,∴.Rt△ADC≌Rt△AD0,∴.A0=AC.设AC=AO= x,在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2,即x2+162=(x+8)2,解 得x=12,即AC=12. 9.1310.(11,60,61) 11.解：(1)连结BD,∠A=90°，.BD=√AB2+AD=5; (4分) (2)52+122=132,∴.BD2+BC2=CD2,∴.△BCD是直角 三角形，.∠CBD=90°， (6分) 四边形ABCD的面积=之AB·AD+之BC·BD= 24 3+2×12x5=36 (8分) 12.解：(1)：∠ABC=90°，BC=6cm,AC=10cm,.AB= √AC2-BC2=√100-36=8(cm); (3分) (2)当P向左移动时，PB=2t,若AP=AC=10cm,则：BP =√Ap2-AB=6(cm),2t=6,t=3; (5分) 若PC=AC=10cm,则BP=4cm,2t=4,解得：t=2: (6分) 追梦之旅铺路卷·八年级 若AP=PC,则PC=6+2t,AP=6+2t,(2t)2+82=(6+ 2,解得=名 (7分) 当P向右移动时，BP=2t,则CP=2t-6,当AC=CP时， 2t-6=10,解得：t=8.答：当t为3,2,8或时，△ACP 6 为等腰三角形. (8分) 13.解：(1)SAMc=；S ab c2 2iSAA0G=2ACC=2 (3分) (2)S8ccm=（a+b):(a+b)a22 2 2+2+ab; (6分) (3)由图可知，S特影形8cn=SaAc+S△acD+S△Mcc,由(1) =2+2+2,0+62+2ab=2ab+c3, (2)可知：？+g+6 ab abc .a2+b2=c2. (9分) 勾股定理的应用 1.B【解析】由勾股定理，得捷径AC=√82+6=10(m), 多走了8+6-10=4(m).故选B. 2.D 3.A【解析】过点C作CF⊥AB于点F,根据题意得：AB= AC=5,CF=DE=3,由勾股定理可得AF2+CF2=AC2,. AF=√AC2-CF2=√52-32=4（米），.BF=AB-AF=5-4 =1(米)，此时木马上升的高度为1米.故选A. 4.A【解析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=17m,AC= 8m,AB=√17-82=15(m),此人以1m/s的速度收 绳，7s后船移动到点D的位置，∴.CD=17-1×7=10(m), 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=√CD-AC= /10-82=6(m).∴.BD=15-6=9(m),即船向岸边移动 了9m,故选A. 5.A【解析】依题意，AC=24cm,BC=7cm,在Rt△ABC中， AB=√AC+BC=25cm,:AB=AD=25cm,DE=20cm,在 Rt△ADE中，AE=√AD2-DE=√252-202=15cm,故 选A. 6.7.5 7.2.2【解析】在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=0.7 米，AC=2.4米，.AB2=0.7+2.42=6.25.在Rt△A'BD 中，∠A'DB=90°，A'D=2米，.BD2+22=AB2=6.25, .BD2=2.25.BD>0,.BD=1.5米，.CD=BC+BD= 0.7+1.5=2.2(米). 8.10 9.12【解析】在题图1中，过点0作OC⊥AB于点C.0A =0B=20cm,0C=12cm.∴AC=√0A2-0C=16cm..AB =2AC=32Cm.在题图2中，0A=0B,∠A0B=60°， △A0B是等边三角形，∴.AB=OA=OB=20cm.故扩大 了12cm. 10.解：(1)AC的长是攀梯A到泳道1的最近距离，（2分) 在△ABC中，.BC2+AC2=92+122=225=AB2,.·.∠BCA =90°，即AC⊥1.∴.AC的长为攀梯A到泳道1的最近距 离； (5分) (2)AC⊥L,∴.∠ACD=90°，.DA=VAC+CD= √12+22=√148（米）.答：DA的长度为√148米. (9分) 11.解：(1)根据勾股定理得CD=√BC2-BD2=18米， (3分) ∴.CE=CD+AB=18+1.68=19.68(米)； (5分) (2)连结BM,·MD=18-8=10(米)，.BM=√BD2+DM7 =26米，30-26=4（米），.他往回收线4米 (9分) 第14章数据的收集与表示 1.B 2.C【解析】C.每名学生的身高情况是总体的一个个体 上·ZBH·数学第21页