第13章 勾股定理 追梦综合演练卷-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

铺路卷 ZBH·八年级数学E +为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 第13章追梦综合演练卷 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 8 10 答案 1.根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法称为“无字证 明”，如图，“无字证明”不能证明勾股定理的是( A B 素 2.在△ABC中，BC2=AB+AC2,则△ABC中的直角是( n A.∠C B.∠A C.∠B D.不能确定 的 3.下列各组数中，是勾股数的是( ) H A.1,2,3 B.0.3,0.4,0.5 痴 C.6,8,10 D.10,20,24 $ 4.四根小棒的长分别是5,9,12,13，从中选择三根小棒首尾相接，搭 成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形为() A.5,9,12 B.5,9,13 C.5,12,13 D.9,12,13 T 5.学习情境·过程性学习已知△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°， 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： 长更？ ①∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾 腳 ②因此假设不成立..∠B<90 ③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是( A.④③①② B.③④②① C.①②3④ D.③④①② 6.文化情境·数学文化《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹 高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹 子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵 夺 地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 设折断处离地面的高度为x尺，可列方程() A.x2-6=(10-x)2 B.x2-62=(10-x)2 C.x2+6=(10-x)2 D.x2+62=(10-x)2 7.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,P是网格交点，则∠PAB +∠PBA=( A.30° B.45° C.60° D.75° 蚂蚁 第7题图 第9题图 第10题图 8.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列结论中 不正确的是() A.如果∠A-∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形 B.如果a2=b2-c2,那么△ABC是直角三角形，且∠C=90° C.如果∠A:∠B:∠C=1:3:2,那么△ABC是直角三角形 D.如果a2:b2:c2=9:16:25,那么△ABC是直角三角形 9.生活情境·蚂蚁爬行如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不 计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁离容器上沿 3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是() A.13 cm B.26 cm C.61 cm D.34 cm 10.学习情境·规律探究如图，△OAA2为等腰直角三角形，0A1= 1,以斜边0A2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,再以OA3为 直角边作等腰直角三角形OA,A4,…,按此规律作下去，则OA, 的长度为( A.(2)n B.(√2)-1 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若△ABC的三边a、b、c满足条件√a-3+√b-4+√c-5=0,则 △ABC是 三角形 12.如图，已知OA=OB,那么数轴上点A所表示的数是 D -3-2-1012 E 第12题图 第14题图 第15题图 13.在△ABC中，∠B=90°，AC=13cm,BC=5cm,则AB的长 为 cm. 14.如图，点E、F分别在正方形纸片ABCD的边BC、CD上，将正方 形纸片ABCD分别沿AE、AF折叠，使点B、D恰好落在点G处， 且EG=2,DC=6,则FG= 15.生活情境·购物车如图为超市儿童购物车的侧面简化示意图， 测得支架AC=24cm,CB=18cm,两轮中心的距离AB=30cm, 求点C到AB的距离为 .(结果保留整数) 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.生产劳动情境·测量零件(8分)一种机器零件的形状如图所 示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量 得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明 理由 9 B THE ROAD TO 17.生活情境·钓鱼(9分)星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面 BD距离1.3米处，在距离鱼线1.2米处的D点的水下0.8米 处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2/s的速度向鱼饵游来， 那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 。17。 18.(8分)如图是每个小正方形边长都为1的10×8的网格纸，请 你在下列两幅图中用没有刻度的直尺各作一个斜边为5的格 点直角三角形.（要求两个直角三角形不全等） 19.生活情境·U型池(10分)如图，这是一个供滑板爱好者使用 的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半 圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40m的半圆， 其边缘AB=CD=20m,点E在CD上，CE=5m,一滑板爱好者 从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为多少米？（边缘部 分的厚度忽略不计) 40 20 THE ROAD TO 20.生活情境·梯子移动(10分)一架梯子长25米，斜靠在一面墙 上，梯子底端离墙7米 (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米到A',那么梯子的底端在水平 方向滑动了几米？ A 。18 21.（10分)如图，四边形ABCD为某街心公园的平面图，经测量 AB=BC=AD=80米，CD=√19200米，且∠ABC=90° (1)求∠DAB的度数； (2)若直线AB为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不 计)，工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路 BA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的 80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多少？ 22.学习情境·动点探究(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°， AB=5cm,BC=3cm.若点P从点A出发，以每秒2cm的速度 沿折线A一C一B一A运动，设运动时间为ts(t>0), (1)当点P在AC上，且满足PA=PB时，求t的值 (2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值； (3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角 形.(PC≠BC) 23.文化情境·数学文化(10分)(1)【阅读验证】公元前6世纪， 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形的三边之间的数 量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于 这个结论在中国称之为“勾股定理” 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成 如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中四边形ABDE和四 边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证 明过程： 图1 图2 图3 已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=b,BC=a,AB=c. 易错 分析 求证：a2+b2=c2. 证明：由图可知S正方形ABDB=4 SAABC+S正方形rcHG: 1 :SE方彩BE=c2,S△Mc=2b,正方形FCHG边长为(a-b), 1 ∴.c2=4×5ab+(a-b)2=2ab+a2-2ab+b2, 2 即c2=a2+b2 厨 (2)【操作发现】如图2，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直 线I上，过点B作BC⊥L,过点D作DE⊥L,垂足分别为C、E. ①求证：CE=BC+DE. ②聪聪认真观察图2后发现：如果设AC=b,BC=a,AB=c,此图 也可以利用面积法证明勾股定理.请你帮聪聪完成证明过程. (3)【拓展应用】如图3，将图1中的这四个直角三角形紧密地 拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24,0C=3,空 直接写出该飞镖状图案的面积. 做题 心得∠MCD=∠ACD,∠ADC=90°，'.∠CDM=180°-90°= 90°，∴.∠ADC=∠MDC,.CD=CD,∠MCD=∠ACD, △ACD≌△MCD(ASA),∴.AD=MD,CM=AC=2a+2,. 1 BM=CM-BC=5,:S&AND=2 SA AUN,当△ABM的面 积最大时，△ABD的面积最大，：△ABM的面积=2AB ·MH,AB=9,MH≤MB=5,.△ABD面积的最大值= 2×9x5x145 2-4 16.解：(1)原式=m2-2m-m2-m=-3m: (4分) （2)原式=(4a26-4a6+6)÷26=2a6-2a6+2 (8分) 17.解：(1)②y与-3y合并同类项计算错误 (4分) (2)(3x+y)2-(x+3y)2=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)= (4x+4y)(2x-2y)=8(x+y)(x-y): (9分) 18.解：(1)9m+10100-9m (4分) 【解析】：m+n=10,.n=10-m,.原来的两位数为： 10m+n=10m+10-m=9m+10:新的两位数为10n+m=10 (10-m)+m=100-10m+m=100-9m; (2)根据题意得：(9m+10)2-(100-9m)2=(9m+10+100 -9m)(9m+10-100+9m)=110(18m-90)=1980(m-5) =9×220(m-5)..m是整数，..(9m+10)2-(100-9m)2 能被9整除，∴豪豪发现的结论正确. (9分) 19.（1)证明：·∠A=∠ABE,∴.EA=EB,AD=DB,.DF 是线段AB的垂直平分线； (5分) (2)解：∠A=46°，.∠ABE=∠A=46°，AB=AC, ∠ABC=∠ACB= -×(180°-46)=67°，∴.∠EBC= ∠ABC-∠ABE=21°，∠F=90°-∠ABC=23°.(9分)） 20.解：选择方案①， (2分) CE∥AB,∴.∠ABC=∠C.在△ABD和△ECD中， I∠ABD=∠C DB=DC ,.△ABD≌△ECD(ASA).CE= (∠ADB=∠EDC 52.5m.∴.AB=CE=52.5m.∴.怀仁塔底座的直径AB为 52.5m. (10分) 21.解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2 (2分) (2)a+b=10,(a+b)2=100,.a2+2ab+b2=100, ab=12,∴.a2+b2=(a+b)2-2ab=76; (6分) (3)设9-x=a,x-2=b,则a+b=9-x+x-2=7,.(a+b)2 =49,.a2+2ab+b2=49,(9-x)2+(x-2)2=15,a2+ b2=15,.2ab=49-15=34,.ab=(9-x）(x-2)=17, .这个长方形的面积为17. (10分) 22.（1)证明：由角平分线定义可知∠CAF=∠EAD .·∠ACB=90°，∴.∠CAF+∠CFA=90°，.·CD⊥AB于 D,∴.∠AED+∠EAD=90°，∴.∠AED=∠CFA=∠CEF ∴.CE=CF: (4分) (2)猜想：BE=CF (5分) 证明：由垂直可知：∠ACD+∠DCB=90°.，：CD⊥AB于 D,∴.∠B+∠DCB=90°，∴.∠ACD=∠B,即∠ACE= ∠B.AE=A'E',∠EAD=∠E'A'D',∠CAF=∠EAD, ∠CAF=∠E'A'D',即∠CAE=∠BA'E'.在△ACE与 I∠ACE=∠B △A'BE'中， ∠CAE=∠BA'E',∴.△ACE≌△A'BE (AE=A'E (AAS),.CE=BE,由(1)可知CE=CF,∴.BE=CF. (10分) 23.(1)①证明：：∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD=90°， ∠ABD=∠ACD=90°，在△ADC和△ADB中 I∠ACD=∠ABD ∠DAC=∠DAB,∴.△ADC≌△ADB(AAS),.BD=CD; AD=AD (2分) 追梦之旅铺路卷·八年级 ②解：如果一个点在一个角平分线上，那么这个点到这 个角两边的距离相等； (4分) (2)解：(1)中的结论成立； (5分) 理由如下：如图1中，作DE⊥AB,DF⊥AC于F,DA 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF,∠ABD+ ∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴.∠B=∠FCD,在 I∠F=∠DEB △DFC和△DEB中，{∠FCD=∠B,∴.△DFC≌△DEB DF=DE (AAS)...BD=CD; (8分) (3)AB=AC+2BE. (10分) 【解析】如图2中，连结AD,作DF⊥AC于F.:∠B+ ∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴.∠B=∠FCD,在 I∠F=∠DEB △DFC和△DEB中，{∠FCD=∠B,∴.△DFC≌△DEB 大 ADC=DB (AAS),∴.DF=DE,CF=BE,在Rt△ADF和Rt△ADE 中，0P二记R△ADP≌R△ADE()A=AC, 案 .AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE D A E 图1 图2 第13章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查ABCCDD BBAB 1.A2.B 3.C 【注意】①勾股数的三个数必须是正整数，例如：0.3,0. 4,0.5满足a2+b2=c2,但是它们不是正整数，所以它们不 是勾股数.②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数 仍是一组勾股数. 4.C5.D6.D 7.B【解析】如图，延长AP交格，点 于D,连结BD,则PD=BD=12+ 22=5,PB2=12+32=10,.PD2+ BD2=PB2,∠PDB=90,则A B △DPB为等腰直角三角形，.∠DPB=45°，.∠PAB+ ∠PBA=∠DPB=45°.故选B. 8.B【解析】B.a2=b2-c2,即a2+c2=b2,根据勾股定理的 逆定理可知△ABC是直角三角形，且∠B=90°，故错误. 故选B. 9.A【解析】如图，将容器侧面展开作A关于A乐D EF的对称，点A',连结A'B,则A'B为最短距 E 离，由题意知A'D=5cm,A'E=AE=3cm,BD =12-3+A'E=12-3+3=12(cm),∴.A'B= √A'D2+BD=√52+122=13(cm),故选A. 10.B【解析】△0A,A2为等腰直角三角形，0A,=1, A2A1=0A1=1,.0A2=√1+12=V2,△0A2A3为等 腰直角三角形，.0A3=√20A2=(2)2,△0AA4为 等腰直角三角形，.0A4=√20A2=(2)3,△0A4A 为等腰直角三角形，0A,=√20A4=(2)4,…,… OAn的长度为(2)-.故选B. 11.直角【解析】由题意知a-3=0,b-4=0,c-5=0,∴.a= 3,b=4,c=5.a2+b2=c2,.△ABC是直角三角形. 12.1-√5【解析】由图可知0B=/2+12=√5，.·0A= 0B,∴点A表示的数是1-√5. 13.12【解析】由题意得AB=√AC2-BC2=√/132-52=12 (cm). 上·ZBH·数学第8页 14.3【解析】设FG=x,由折叠可知△ABE一△AGE, △ADF≌AGF,∴.BE=EG=2,GF=DF=x,∴.EF=EG+GF =2+x.BC=CD=6,..CE=BC-BE=4,CF=6-%.. ∠C=90°，.EC2+CF2=EF2,.42+(6-x)2=(2+x)2, x=3,∴.FG=3. 15.14cm【解析】在△ABC中，AC=24cm,CB=18cm,AB= 30cm,∴.AC2+CB2=242+182=900,AB2=302=900, AC2+BC2=AB2,△ABC为直角三角形，即∠ACB= 90°.过，点C作CE⊥AB于点E,则CE的长即点C到AB 的距离.Se=2AC·BC=CE·AB,AC·BC= CE·AB,.CE≈14cm,即点C到AB的距离约为14cm. 16.解：这个零件不符合要求. (2分) 理由如下：在△ABD中，92+122=225=152，.AB2+ AD2=BD2,.∠A=90°. (5分) 在△BCD中，82+152=289≠182，.DB2+BC2≠CD2 案 .∠DBC≠90°.故这个零件不符合要求. (8分) 17.解：过点C作CE⊥AB于点E,连结AC,由题意可得：EC =BD=1.2m,AE=1.3-0.8=0.5(m), (4分) 故AC=√EC+AE=√1.2+0.52=1.3(m),则1.3： 0.2=6.5(s).答：这条鱼至少6.5秒后才能到达鱼饵 处 (9分) 18.解：Rt△ABC,Rt△DEF如图所示 (8分) -iB- 19.解：将半圆柱侧面展开A0=子·0-20(m),B- CD=20m,CE=5m,.∴.DE=CD-CE=20-5=15(m). (4分) 在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE=√20'+15=25(m). 故他滑行的最短距离约为25m. (10分) 20.解：(1)由题意得AC=25米，BC=7米，AB=√252-7= 24(米)，即这个梯子的顶端距地面有24米；(5分) (2)由题意得BA'=24-4=20(米)，BC'=√252-202= 15(米)， (8分) 则CC'=15-7=8(米)，即梯子的底端在水平方向滑动 了8米. (10分) 21.解：(1)连结AC.AB=BC=AD=80m,∠ABC=90°， △ABC是等腰直角三角形，∴AC2=AB2+BC2=12800 (m),∠CAB=45°.CD=√19200m,在△ACD中，AD2 +AC2=6400+12800=19200=CD2,∴.△ACD是直角三角 形，.∠CAD=90°，.∠DAB=90°+45°=135°：(5分) (2)过点D作DE⊥AB于E,作点A关于DE的对称点 F,连结DF,由轴对称的性质，得DF=DA=80m. ∠DAB=135°，.∠DAE=180°-135°=45°，.∴.△DAF为 等腰直角三角形.AF=√AD+DF=√12800，.被 监控到的道路长度为√12800m. （10分) 22.解：(1)AB=5cm,BC=3cm,∠C=90°，.AC= √/52-32=4(cm). (1分) 当点P在AC上，且PA=PB时，则PA=PB=2t,.PC= 4-2t.在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2,即(4-2t)2+32= (2)2,解得=2 6当点P在AC上，且PA=PB时， 25 16 (4分) (2)当点P在∠BAC的平分线上时，如图(1)，过点P 作PE⊥AB于点E,此时BP=7-2t,.·点P在∠BAC的 平分线上，PE⊥AB,∠C=90°，.PE=PC=2t-4.又.： AP=AP,.Rt△APC≌Rt△APE,∴.AE=AC,∴.BE=AB- 追梦之旅铺路卷·八年级 AE=AB-AC=1(cm). (6分) 在Rt△BEP中，PE2+BE2=BP2,即(2t-4)2+12=(7- 20,解得1=号当点P在LC的平分线上时，1 8 3 (8分) 19 (3)=4或5时，△BCP为等腰三角形， (10分) 【解析】当点P在AB上时，△BCP为等腰三角形，分别 有以下两种情况：①当CP=PB时，如图(2)，过点P作 PF⊥CB于点F,PD⊥AC于点D,PC=PB,∴.∠PCB =∠PBC.在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°，∠ACP+ ∠PCB=90°，∴.∠A=∠ACP.在△ADP和△CDP中 ∠A=∠ACP,∠ADP=∠CDP=90°，PD=PD,∴.△ADP ≌△CDP,AP=CP.又：CP=PB,AP=PB=2AB= (m),即23-4=三解得1=号②当PB=BC时， 19 2-3-4=3,解得=5.即当1=9或t=5时，△BCP为 等腰三角形 图(1) 图(2) 23.解：(1)斜边的平方 (2分) (2)证明：①.·∠BAD=90°，BC⊥1，DE⊥I,∴.∠BAD= ∠ACB=∠AED=90°，.∠CAB+∠ABC=∠DAE+∠CAB =90°，∴.∠ABC=∠DAE. (3分) .AB=AD,.△ACB≌△DEA(AAS),∴.AC=DE,BC= AE,.'.CE=AE+AC=BC+DE: (5分) ②设AC=b,BC=a,AB=c,则S稀形BCED=(BC+DE)·CE÷ 2=（a+b)2 1 1 ⑧，atb1D 2 F)ab+。ab+1c2,即a2+2ab+ b2=ab+ab+c2,..a2+b2=c2; (8分) (3)24 (10分) 【解析】由题知4(AB+AC)=24,AB+AC=6.设AB=x,则 AC=6-x.OC=3,.OA=9-x.在Rt△A0B中，AB2= 0A2+0B2,即x2=(9-x)2+32.解得x=5,∴.0A=6-x+3= 4,.飞绿状图案的面积=4S60s=4x20B·0A=24 第14章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查DAABD C DDD C 1.D 2.A 【归纳总结】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计 图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直 接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的 变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体 数目. 3.A4.B 5.D【解析】20÷50=0.4，故选D 14 6.C【解析】360°× 6+80+14+10=42°.故选C. 7.D【解析】D.有3个班级都种树数量都大于等于40棵 而小于45棵，错误.故选D. 8.D9.D 上·ZBH·数学第9页