第11章 整式的乘除 追梦基础训练卷(二)-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

铺路卷 ZBH·八年级数学E +为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 第11章追梦基础训练卷（二） 整式的除法、因式分解 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 6 7 & 9 10 答案 1.计算6x3÷3x2的结果是( ) A.x B.2x C.2x5 D.2x6 斑 2.多项式12ab2-8a2bc的公因式是() A.4ab B.4a2b2 C.2ab D.2abc 3.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( 煦 A.(x+1)(x-1)=x2-1 B.x2+2x+1=(x+1)2 蒸 C.x2+2x-1=x(x+2)-1 D.x(x-1)=x2-x 4.下列各式能用两数和（差）的平方公式进行因式分解的是( n 的 A.x2+1 B.x2+2x-1 C.x2+4x+4 D.x2+x+1 H 5.若a62÷ 206=2a,则m,n的取值分别为( 辐 A.m=4,n=2B.m=4,n=0C.m=5,n=2D.m=5,n=0 6.科技情境·智能芯片某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片 的电路布线设计进行优化.已知芯片电路的一种原始布线规律 可以表示为(-4x3+2x).现在需要将其按照一定的规则进行重 救 业 新布局，相当于将其除以2x,则新的电路布线规律可以表示 为() A.-8x4+4x2 B.-4x3 C.-2x D.-2x2+1 腳 7.学习情境·错解问题已知A=2x,B是多项式，在计算B÷A时，小 强同学把B÷A误看成了B+A,结果得到2x2-x,则B÷A正确的结 9 果是( ) 管 A.2x2+x 3 B.2x2-3x C.x+2 D.x-2 8.学科内融合已知三角形的三边长a,b,c满足a2-ab=ac-bc,则 此三角形的形状为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 夺 9.如图，长方形ABCD的周长是10，以AB,AD为边向外作正方形 ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和ADGH的面积之和为 H G 17,那么长方形ABCD的面积是() A.3 B.4 C.5 D.6 10.数学思想·整体思想在对多项式进行因式分解时我们经常用 到“整体思想”，请同学们将(x2+y2)(x2+y2-8)+16进行因式 分解结果是( A.(x2+y2-4)2 B.(x-y)4 C.(x2-y2-4)2 D.(x2+y2+4)2 二、填空题（每小题3分，共15分）》 11.计算：(6a4-2a3)÷a3= 12.已知多项式2x3-4x2-10除以一个多项式A,得商式为2x,余式 为x-10,求这个多项式A是 13.学习情境·墨迹覆盖小梦在计算一道整式乘法的题“-2x2(3x ■+1)=-6x3+4x2y-2x2”时，墨迹将其中的一项及其符号染黑 了，则墨迹覆盖的这一项是 14.分解因式a3-a= 15.生活情境·密码在日常生活中，如取款、上网都需要密码.有一 种用因式分解产生的密码，方便记忆.其原理是：对于多项式x -y,其因式分解的结果是(x2+y2)(x+y)(x-y),若取x=9,y= 9,则各个因式的值是x2+y2=162,x+y=18,x-y=0,于是就把 “162180”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-y2,若取x= 21,y=5,用上述方法产生的密码是 ·(写出一个即可)》 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16.(9分)因式分解： (1)3a2b+9ab3-3ab; (2)2x(a-2)-y(2-a); (3)(x2+4)2-16x2. 17.学习情境·过程性学习(9分)下面是两位同学进行整式运算的 过程，请认真阅读并完成相应的任务 化简：[(a+2b)(a-2b)-(a-2b)2]÷2b 小颖的方法： 小明的方法： 解：原式=[ 4-a+4)]26 解：原式=(a-2b)[(a+ ① ② 2b)-(a-2b)]÷2b =(a2-4b2-a2-4b2)÷2b =-8b2÷2b =4b. 任务一： 仔细检查小颖同学解题的过程，回答下列问题. (1)第①处用到的乘法公式是 ；(用字母表 示公式) (2)第②处错误的原因是 任务二： (3)小明逆用乘法对加法的分配律，简便了运算，但其过程不 完整，请你补全小明的过程 18.[教材习题11.4T6变式](8分)在一次联欢会上，节目主持人 让大家做一个猜数的游戏，游戏的规则是：主持人让观众每人 在心里想好一个除0以外的数，然后按以下顺序计算： (1)把这个数加上2后平方： (2)然后再减去4. (3)再除以原来所想的那个数，得到一个商 最后把你所得到的商是多少告诉主持人，主持人便立即知道你 原来所想的数是多少，请你解释其中的奥妙. 19.学习情境·错解问题(9分)两位同学将一个关于x的二次三 项式ax+bx+c分解因式时，一位同学因看错了一次项系数而 分解成2(x-1)(x-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2 (x-2)(x-4). (1)求原来的二次三项式； (2)将原来的二次三项式分解因式. 5 20.学习情境·过程性学习(10分)下面是小明同学的数学日记，请 仔细阅读，并完成相应的任务 ×年×月×日星期日 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知(3x+2) (2x+1)=6x2+7x+2,那么再根据除法是乘法的逆运算，可得 (6x2+7x+2)÷(2x+1)=3x+2,这就是多项式除以多项式.两 个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂 排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行 计算.例如(6x2+7x+2)÷(2x+1),可仿照936÷18用竖式计 算（如图） 52 3x+2 18936 2x+1J6x2+7x+2 90 6x2+3x 36 4x+2 36 4x+2 0 0 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算. (1)任务一：材料中，由整数的竖式除法到多项式除以多项式 的竖式除法，主要运用的数学思想是 .(单选) A.数形结合思想 B.类比思想 C.分类讨论思想 (2)任务二：仿照例子的做法用竖式除法计算(2x2+3x+1)÷(x +1)= (3)任务三：若(2x2-3x-m)÷(x-2)的商为整式，则m= 21.（10分)仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一 个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+3)(x+n), 则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, (n+3=-4 .m=3n 解得n-7 m=-21…另个因式为(x-7),m的值为-21 问题： (1)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2-5x+k 有一个因式是(2x-3),求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),则a (3)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)(x+5),则b 22.（10分)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但 有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小 组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式：3x2+3xy-5x-5y 解法一：3x2+3xy-5x-5y 解法二：3x2+3xy-5x-5y =(3x2+3xy）-(5x+5y) =(3x2-5x)+(3xy-5y） =3x(x+y)-5(x+y) =x(3x-5)+y(3x-5) =(x+y)(3x-5) =(3x-5)(x+y) 【小结】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们 可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因 式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法 请你用分组分解法分解因式： (1)ab-ac+bc-b2; (2)a2+1-b2-2a. 23.（10分)阅读下列材料： “我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”.如 果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一 个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个 式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解 决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分 易错 解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大 分析 值、最小值等 应用一：分解因式a2+2a-3. 应用二：求代数式y2+6y+14 我们可以进行以下操作： 的最小值. 先配方a2+2a-3=(a2+2a+ 解：y2+6y+14=（y2+6y+9)+5 1)-4=(a+1)2-4, =(y+3)2+5 再利用平方差公式可得(a+ (y+3)2≥0，.(y+3)2+5≥5， 1)2-4=(a+1+2)(a+1-2) ∴.当y+3=0,即y=-3时，y2+ =(a+3)(a-1); 6y+14的最小值是5. 【问题解决】 (1)分解因式：x2-2x-15; (2)求代数式m2-6m+11的最小值； (3)某养殖场要将一块长为8米，宽为4米的长方形养殖区域 进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，请问：当x取何值时， 长方形区域的面积S最大？最大值是多少？ 做题 心得11.-6a3b3 12.5或1【解析】若代数式x2-4(m-3)x+16是一个完全 平方式，则4(m-3)x=±2x×4,解得m=5或1. 1.2【解析1a-2=0,6+7-0,解得a=2,6=-子 2原 式=-(b)6=[2x(71mx-7)- 14.5【解析】.(a+4b)(a+b)=a2+ab+4ab+4b2=a2+5ab+ 462,.需要C类卡片5张. 15.m2-4【解析】根据题意得：(m+1)×(3-2)=n,即n=m +1,则将数对(n,m)代入得：(n+1)(m-2)=(m+1+1) (m-2)=m2-4. 16.解：(1)原式=2a3·a2-a4·(-7a)=2a+7a3；(3分) (2)原式=2x2+3xy-8xy-12y2-(x2-xy+2xy-2y2)=2x2+ 3xy-8xy-12y2-x2+xy-2xy+2y2=x2-6xy-10y2;(6分) (3)原式=20242-(2024-1)×(2024+1)=20242-(20242 -1)=20242-20242+1=0+1=1. (9分) 17.解：任务一：1括号前是负号，去括号时，括号里的各 项都要改变符号 (4分) 任务二：原式=a-1-3a2+3a-2a+6=-3a+2a+5, (6分) 当a=2时，原式=-3×22+2×2+5=-3. (8分) 18.解：(1)(a+5b)(a+b)-2(a-b)2=a2+6ab+5b2-2(a2- 2ab+b2)=a2+6ab+5b2-2a2+4ab-2b2=-a2+3b2+10ab; (5分) (2)当a=15米，b=5米，原式=-152+3×52+10×15×5= -255+75+750=600(平方米). (9分) 19.解：原式=2x2+8x+8-8x+10=2x2+18. (2分) 当=时，原式=分+18=187：当=弓时，原式 2 1 2+18=182 (6分) 当x=a时，原式=2a2+18,当x=-a时，原式=2(-a)2+ 18=2a2+18.故小亮说得对. (9分) 20.解：(1)：(3x-2m)(5x-6)=15x2-10mmx-18x+12m= 15x2-(10m+18)x+12m=15x2-78x+72,.12m=72,解 得：m=6; (5分) (2):m=6,.原式=(3x+12)(5x-6)=15x2+60x-18x -72=15x2+42x-72. (10分) 21.解：(1)7×8×100+1×9=5609 (2分) (2)证明：(10a+5)(10a+5)=(10a)2+2×10a×5+52= 100a2+100a+25,a·(a+1)×100+5×5=100a(a+1)+5× 5=100a2+100a+25,.(10a+5)(10a+5)=a·(a+1)× 100+5×5: (6分) (3)一般规律为：(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b (10-b), (7分) 理由如下：(10a+b)(10a+10-b)=100a2+100a-10ab+ 10ab+10b-b2=100a2+100a+10b-b2,100a(a+1)+b(10- b)=100a2+100a+106-b2,.(10a+b)(10a+10-b)= 100a(a+1)+b(10-b). (10分) 22.解：【类比探究】a2+b2=(a+b)2-2ab (2分) 【应用】(1)90 (4分) 【解析.'a+b=10,ab=5,∴.a2+b2=(a+b)2-2ab=100- 10=90: (2)设a=11-x,b=x-8,则a+b=3,ab=(11-x)(x-8)= 2,∴.(11-x)2+(x-8)2=a2+b2-(a+b)2-2ab=9-4=5; (7分) 【拓展】种草区域的面积和为12， (10分) 【解析】设AE=a,EC=b,则a+b=AE+CE=AC=7,种花 区域的面积为 + 1 2 ,即a2+b2=25,所以种草 区城的面积为？b+ 2b=a6=（a+6)'-a2+62) 1 2 追梦之旅铺路卷·八年级 49-25-12 2 23.(1)-3-24 (每空1分，共2分) (2)大19 （4分) (3)-x2+5x+y+20=0,∴.y=x2-5x-20,.y+x=x2-5x 20+x=x2-4x-20=(x-2)2-24.(x-2)2≥0，当x=2 时，(x-2)2的值最小，最小值为0，.(x-2)2-24≥ -24,∴.y+x的最小值是-24. (7分) (4)a2+b2-2a-8b+17=0,.(a-1)2+(b-4)2=0,.a =1,b=4,.边长c的范围为4-1<c<4+1. (8分) a,b,c都是正整数，∴.边长c的值为4，.△ABC的周 长为1+4+4=9. (10分) 第11章追梦基础训练卷（二） 答案12345678910 大 速查BA BCAD D ABA 1.B 案 2.A 【技巧点拨】 确定公因式的方法 当各项系数都是整数时 步 定系数 {取各项系数的最大公约数 定字母 取各项中的相同字母 国 定指数 取相同字母的最低指数 3.B 【技巧点拨】 识别因式分解的步骤 等号左边是否不 不是多项式 是 等号右边是不是否 几个整式的乘积 式分解 是 是因式分解) 4.C 5.A【解析】由题意得ab2÷2a= 206,m=4,n=2.故 1 选A. 6.D【解析】(-4x3+2x)÷2x=-2x2+1.故选D. 7.D【解析】小B+A=2x2-x,A=2x,.B=2x2-x-2x=2x2- 3 3,B÷A=(2x2-3x)÷2x=x2故选D. 8.A【解析】：a2-ab=ac-bc,a(a-b)=c(a-b),即a(a -b)-c(a-b)=0,得(a-c)(a-b)=0,∴.a-c=0或a-b= 0,a=c或a=b.即三角形的形状为等腰三角形.故选A. 9.B【解析】设AB=a,AD=b,由题意得a+b=5,a2+b2= 17.b-（a+b)2(@2+b)_2517=4:长方形ABCD 2 2 的面积是4，故选B. 10.A【解析】(x2+y2)(x2+y2-8)+16=(x2+y2)2-8(x2+ y)+16=(x2+y2-4)2.故选A. 11.6a-2 12.x2-2x-2 【解析】由题意可知：A=[2x3-4x2-10-(x- 1 10)]÷2x=2-2x2 13.2y14.a(a+1)(a-1)15.212616(答案不唯一) 16.解：(1)原式=3ab(a+3b2-1); (3分) (2)原式=2x(a-2)+y(a-2)=(a-2)(2x+y);(6分) (3)原式=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2. (9分) 17.解：任务一：(1)(a+b)(a-b)=a2-b2 (3分) 上·ZBH·数学第2页 (2)完全平方公式运用错误 (6分) 任务二：原式=(a-2b)[(a+2b)-(a-2b)]÷2b=4b(a 2b)÷2b=2(a-2b)=2a-4b. (9分) 18.解：设这个数为x,据题意得，[(x+2)2-4]÷x=(x2+4x+ 4-4)÷x=x+4.如果把这个商告诉主持人，主持人只需 减去4就知道这个数是多少. (8分) 19.解：(1).2(x-1)(x-9)=2x2-20x+18,2(x-2)(x-4) =2x2-12x+16, (4分) 原来的二次三项式为2x2-12x+18; (6分) (2)原式=2(x2-6x+9)=2(x-3)2. (9分) 20.解：(1)B (3分) （2)2x+1 （6分) (3)2 (10分) 大 21.解：(1)设另一个因式为(x+n),得2x2-5x+k=(2x-3) (x+n)=2x2+(2n-3)x-3n,则2n-3=-5,k=-3n,解得： n=-1,k=3,故另一个因式为(x-1),k的值为3；(6分) 案 (2)-3 (8分) (3)9 (10分) 22.解：(1)原式=(ab-ac)-(b2-bc)=a(b-c)-b(b-c)=(a -b)(b-c); (5分) (2)原式=(a2-2a+1)-b2=(a-1)2-b2=(a-1+b)(a-1 -b). （10分) 23.解：(1)x2-2x-15=(x2-2x+1)-16=(x-1)2-42=(x-1 +4)(x-1-4)=(x+3)(x-5); (3分) (2)m2-6m+11=(m2-6m+9)+2=(m-3)2+2..:(m 3)2≥0，..（m-3)2+2≥2...代数式m2-6m+11的最小 值是2； (6分) (3)S=(8-x)(4+x)=32+8x-4x-x2=32-(x2-4x)=32- (x2-4x+4)+4=36-(x-2)2.(x-2)2≥0，.x-2=0, 即x=2时，36-(x-2)2最大，最大值为36. (10分) 第11章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查AABDBBCDCB 1.A2.A 3.B【解析】A.（-m+2)(m+2)=22-m2,符合平方差公 式，不合题意；B.(-3-t)(t+3)=-(3+t)(t+3)=-(t+ 3)2,符合完全平方公式，符合题意；C.(2x-y)(2x+y)= (2x)2-y2,符合平方差公式，不合题意；D.(-2a-b)(-2a +b)=(-2a)2-b2,符合平方差公式，不合题意.故选B. 4.D【解析】(-a)3·a=-a3·a=-a4,正确；a0÷a2=a3 错误；(-a2b3)2=a4b,正确；2x2.（-3x2+1)=-6x4+2x2 错误；(x+2)(x+1)=x2+3x+2,正确；∴.计算正确的有3 个.故选D, 5.B6.B 7.C【解析】a-b=5,b-c=-6,∴a-c=-1,∴.a2-ac-b(a -c)=a(a-c)-b(a-c)=(a-c)(a-b)=(-1)×5=-5.故 选C. 8.D【解析】A.甲：M+N=x2+5x+12+5x+13=x2+10x+25= (x+5)2,不合题意；B.乙：M-V=x2+5x+12-5x-13=x2-1 =(x+1)(x-1),不合题意；C.丙：N+P=5x+13+x2-13= x2+5x=x(x+5),不合题意；D.丁：N-P=5x+13-x2+13= -x2+5x+26,符合题意.故选D. 9.C【解析】.M=9x2+4y+13,N=8x2-y2+6x,∴.M-N= 9x2+4y+13-8x2+y2-6x=x2-6x+9+y2+4y+4=(x-3)2+(y +2)2≥0，则M-N的值为非负数.故选C. 10.B【解析】设甲正方形边长为x,乙正方形边长为y,则 AD=x,EF=y,AE=x+y=8,.（x+y)2=64,.x2+y2+2xy =64,点H为AE的中点，.AH=EH=4,:图2的阴 影部分面积=(x-y)2=x2+y2-2y=6,.(x+y)2+(x y)2=2(x2+y2)=64+6,x2+y2=35,图1的阴影部分 面积=2+y-】x4·x 2 )×4·y=0+y-2(x+y)=35 2×8=19.故选B. 追梦之旅铺路卷·八年级 11.1 12.20 【解题方法】逆用幂的运算法则求值的思路 所求幂的指数是和的形式→逆用同底数暴的乘法法厕 暴的 求值 所求幂的指数是倍数的形式逆用幂的乘方法则 问题 所求幂的指数是差的形式逆用同底数幂的除法法则 13.9【解析】小：二次三项式x2-6x+m是一个完全平方式， ∴.m=32=9. 14.5【解析】.·多项式(2+x2+mx)(1-5x)=-5mx+(m- 5)x+x2-10x+2不含x3项，∴.m-5=0,解得m=5. 15.4a+12 16.解：(1)原式=9x2·(x-y)=9x3-9x2y (3分) (2)原式-d+3ab-号b-28=-a+了b-2；《6分） (3)原式=3ab-a2+6b2-2ab+a2-ab=6b2 (9分) 17.解：(1)3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2)； (4分) (2)ax2-4axy+4ay2=a(x2-4xy+4y2）=a(x-2y)2. (8分) 18.解：原式=m2-2m-n-m2+n2=-2m-n+n2, (4分) .∵m= 2n=-1,原式=-2x)+1+1=-1+2=1 (8分) 19.解：(1)a"=8,a2m=(a")2=64.a2-"=a2m÷a= 16,.64÷a=16,.a=64÷16=4: (5分) (2)①a"b"=(ab)" (7分) ②原式=(-4)20×0.25202×0.25=[(-4)×0.25]223× 0.25=(-1)25×0.25=-1×0.25=-0.25. (10分) 20.解：(1)(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15=5× 3,.结果是5的3倍； (3分) (2)设五个连续整数的中间一个为n,则另四个整数为： n-2,n-1,n+1,n+2,∴.(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+ (n+2)2=5n2+10=5(n2+2),.它们的平方和是5的倍 数； (7分) 延伸：不能被3整除，余数为2， (8分) 设中间的整数为n,:(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2+2,… 不能被3整除，余数为2. (10分)》 21.解：(1).A=k-1,B=2k+3,∴.C=A·B=(-1)(2k+3) =2k2+3k-2k-3=2k2+k-3,∴.程序自动呈现的整式C 为2k2+k-3: (4分) (2)B2-2C=(2k+3)2-2(2k2+k-3)=4k2+12k+9-4k2 2k+6=10k+15, (7分) 整式B2-2C的值大于5，.10k+15>5,解得k>-1,k 为正整数，∴.k的最小值为1. (10分) 22.解：(1)40是“和谐数” (1分) 理由：设40=(2n+1)2-(2n-1)2,解得n=5,.40是“和 谐数”； (3分) (2)“和谐数”能被8整除， (4分) 理由：(2k+1)2-(2k-1)2=[(2k+1)+(2k-1)][(2k+1) -(2k-1)]=(2k+1+2k-1)(2k+1-2k+1)=4×2=8k, (5分) k是正整数，∴.8k能被8整除，.(2k+1)2-(2k-1)2 能被8整除，.“和谐数”能被8整除； (7分) (3)92-(m-n)2是“和谐数”，.m-n=7,∴.m=7+n,∴.m +n-1=7+n+n-1=2n+6,m+n-1是“和谐数”，.可设 m+n-1=8k,其中k为正整数，.2n+6=8k,.n=4k-3, ∴.7m-5n-3=7(n+7)-5n-3=2n+46=2(4k-3)+46= 8k+40=8(k+5),.k为正整数，∴.k+5也是正整数，.8 (k+5)能被8整除，即7m-5n-3能被8整除，由(2)知： “和谐数”都能被8整除，∴.7m-5n-3是“和谐数”. (10分) 23.解：(1)4ab（a+b)2-(a-b)2 (4分) (2)4ab=(a+b)2-(a-b)2 (6分) 上·ZBH·数学第3页