2.1认识实数第一课时课件2025-2026学年 北师大版(2024)八年级数学上册

该初中数学课件围绕“无理数”的概念展开，以毕达哥拉斯学派发现√2的故事为导入，通过正方形对角线长度的探究，引导学生从有理数出发，逐步发现无法用整数或分数表示的数，构建起“无限不循环小数即为无理数”的认知框架。教学设计由具体到抽象，层层递进，借助估算、区间逼近等方法搭建学习支架，实现从直观感知到逻辑推理的过渡。 其亮点在于融合了数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，突出几何直观与推理能力的培养。例如，在探索√2的近似值过程中，学生通过不断缩小范围（如1.4 < a < 1.5 → 1.41 < a < 1.42），发展运算能力和推理意识，体会数学的严谨性与美感。同时，课堂练习中设置实际问题情境，强化应用意识，帮助学生理解无理数不仅是理论存在，更是现实世界中真实可感的数量关系。此设计既提升学生的数学建模与表达能力，也助力教师高效落实新课标理念，激发学生主动探究的兴趣。

公元前 6 世纪，毕达哥拉斯学派的学者们坚定秉持“万物皆数”理念，坚信世间万物皆可化为整数或整数之比。​​ 学派弟子希帕索斯，在研究一个简单几何问题时陷入困惑。依毕达哥拉斯定理（勾股定理），边长为1的正方形其对角线长度的平方等于2。可他反复推导，始终无法将对角线长度用两个互质整数的比表示出来，甚至得出相互矛盾的结论。​​ 这个发现犹如重磅炸弹，瞬间撼动学派根基。为维护“万物皆数”的权威，学派紧急下令，严密封锁消息。但希帕索斯怀揣对真理的热忱，冲破禁锢，悄悄将结论外传。​ 最终，愤怒的学派信徒将希帕索斯无情地推下地中海。后来，越来越多类似“无限不循环”的数被世人发现，人们赋予它们 “无理数” 之名。希帕索斯以生命为代价，撞开了数学新世界的大门，他的故事也在历史长河中回响，激励着后人不断探索真理。 本章，让我们一起走入无理数的世界 第二章 实数 1.认识实数(1) 知识回顾 问题1：你还记得有理数的分类吗？ 有理数按定义可分为整数和分数 问题2：你还记得小数的分类吗？ 小数可分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数 什么样的数是无限不循环小数？它属于什么范畴？ 情境导入 两个边长为1的小正方形，通过剪或拼，设法得到一个大的正方形 1 1 1 1 (1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ (2)a可能是整数吗？可能是分数吗？说说你的理由 1 1 a 由此可见，a不是整数 因为分数乘以分数结果仍是分数 因此，a也不是分数 综上，a既不是整数也不是分数 即：a不是有理数 尝试思考 (1)以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? 2 1 (2)设正方形的边长是b，b满足什么条件？ (3)b是有理数吗？为什么？ 正方形的面积是 由此可见，b不是整数 因为分数乘以分数结果仍是分数 因此，b也不是分数 b是既不是整数也不是分数，b不是有理数 新知探究 以上问题得到 ， 其中a、b究竟是多少？应该怎么计算？ 右侧三个正方形的边长之间有什么关系？ 1 1 2 2 a a 面积为2 三个正方形面积依次为： 因此三个正方形的边长： 由上述探索可发现： 那么小数部分的十分位是多少呢？参照刚才的方法进行探究。 a是一个整数部分为1的小数， a的十分位是4 请对a的百分位和千分位进行探索 a的百分位是1 a的千分位是4 小明的探索过程如下： 边长a 还可以继续计算下去吗？a是什么小数？ 由上面的探索经验可知，我们还可以计算出十万分位、百万分位...一直计算下去 由整个探索过程发现，a不是有限小数 请计算出边长为5的正方形的边长b的值是多少？ 边长b 由计算和探索过程发现，b不是有限小数 综上，a=1.414 213 56...，b=2.236 067 97...，它们既不是整数，也不是分数，所以像a、b这样的数不是有理数，同时，它们的小数部分不循环(没有循环节)，因此它们是无限不循环小数 思考：不是有理数的数都是无限不循环小数吗？ 把下列各数表示成小数，你有什么发现？ 解： 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示 如果一个数不是有理数，那么它就不会是有限小数或无限循环小数，它是无限不循环小数。 我们将无限不循环小数称为无理数，除了像前面所述的a、b是无理数外，我们十分熟悉的圆周率π也是一个无理数 1.判断正误： 课堂练习 (1)所有无限小数都是无理数； （ ） (2)所有无理数都是无限小数； （ ） (3)有理数都是有限小数； （ ） (4)不是有限小数的数不是有理数。 （ ） 2.同一个正方形的边长和对角线的长度可能都是整数吗？ 不可能 设正方形的边长为a，对角线的长度为l，则 若a是一个整数，要使l为整数，则 必须是一个整数的平方。但2不是一个整数的平方，所以 不可能是一个整数的平方。因此，同一个正方形的边长和对角线的长度不可能都是整数。 3.若一个直角三角形的两直角边a、b的长度分别是1、3，那么斜边c的长度是多少？(近似到百分位) 解：根据勾股定理得： c的个位是3 c的十分位是1 c的百分位是6 c的千分位是2 $