数列递推问题、数列新定义问题、数列插项问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

数列：数列递推问题、数列新定义问题、数列插项问题专项训练 数列：数列递推问题、数列新定义问题、数列插项问题专项训练 考点目录 数列递推问题 数列新定义问题 数列插项问题 考点一 数列递推问题 1．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 2．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知数列的首项，且满足，则（    ） A．2037 B．2047 C．1014 D．1021 3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知数列满足，则中的项小于0的有（    ） A．0项 B．5项 C．6项 D．无数项 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·云南大理·开学考试）在数列中，，且，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·河南焦作·期末·多选）已知数列中，，，则（   ） A．是递增数列 B．， C．， D．数列的前项和为 8．（24-25高二下·辽宁·期末·多选）已知数列各项均为正数，其前项和满足．则下列结论正确的有（    ） A．的第2项小于 B． C．为递减数列 D．中存在小于的项． 9．（25-26高三上·贵州·开学考试·多选）已知数列满足，其中，则（    ） A． B．为等差数列 C．数列的前项和为 D．数列的前99项和大于 10．（25-26高三上·云南临沧·开学考试）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 11．（2025·浙江宁波·模拟预测）数列是正项数列，若，且，，则 ． 12．（25-26高三上·四川成都·开学考试）数列满足，则的前项和为 ． 13．（24-25高二下·浙江杭州·期末）数列满足． (1)证明数列是单调递增数列； (2)若是中连续的三项，证明：不可能成等比数列； (3)证明：不存在正的常数M，使对所有的成立． 14．（25-26高三上·广东·开学考试）在正项数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 15．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段练习）在正项数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 16．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 17．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列中，，，令 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知各项均为正数的数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 考点二 数列新定义问题 1．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 2．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 5．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数，数列满足，. 给出下列四个结论，其中正确的是（   ） A．若，则有4个不同的可能取值 B．若，则 C．对于任意，存在正整数，使得 D．对于任意大于2的正整数，存在，使得 6．（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 7．（2025·内蒙古包头·模拟预测·多选）将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… 将上述M数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其余数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q第行正整数的个数为，则以下说法正确的有（   ） A． B． C．是等差数列 D．将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，则位于数阵M中的第2行第7个位置（从左向右数） 8．（2025·湖南岳阳·三模·多选）已知有穷数列的通项公式为，其项数不少于4项，从中选取项组成数列，数列满足，，则（    ） A．数列是单调数列 B．当时， C．当时， D．数列的个数为 9．（25-26高三上·辽宁·开学考试·多选）设数列和的项数均为m，称为数列和的距离．记满足的所有数列构成的集合为C．已知数列和为集合C中的两个元素，项数均为m，则下列说法正确的是（    ） A．数列1，3，5，7和数列2，4，6，8的距离为4 B．若，则 C．若则 D．若数列和的距离不超过2025，则m的最大值为3470 10．（25-26高三上·四川成都·开学考试）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数；为取整函数，它表示不超过x的最大整数，例如，；设的递归函数为，，且，的前n项和记为，若，则为 ． 11．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）数列为无穷非负整数数列，若对任意，均存在，且，使，则称数列为“完备数列”.给出下列四个结论： ①若正项等差数列为“完备数列”，则首项一定为1； ②若正项等比数列为“完备数列”，则公比一定为2； ③若满足，则对任意，数列均为“完备数列”； ④若满足，则数列为“完备数列”； 其中正确结论的序号是 . 12．（24-25高二下·北京丰台·期末）已知数列满足，给出下列四个结论： ①当时，对任意的，都有； ②当时，对任意的，都有； ③当时，存在，使数列是常数列； ④当时，存在，使数列是递减数列． 其中所有正确结论的序号是 ． 13．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 14．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是项正整数数列，令，其中.若对任意的中均无相同的项，则称数列为“和差单值”数列. (1)判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列. (2)已知，其中为两两不同的正整数，问：是否为“和差单值”数列？请说明理由． (3)证明：若的最大值不超过，则一定不是“和差单值数列”. 15．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. (1)证明：数列是“方特数列”； (2)若数列是“方特数列”，求的取值范围； (3)证明：当时，数列是“方特数列”. 16．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． (1)若数列的通项公式，求证：数列具有性质； (2)设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值： ②求的最小值． 17．（25-26高三上·江苏·阶段练习）将项数，公比的等比数列中的项重新随机排列，得到新数列.若在数列中任意抽取连续三项，总有某一项为另外两项的等比中项，则称为“差续数列”. (1)当时，写出所有“差续数列”（用中的项表示）； (2)若，证明：当时，必定存在“差续数列”； (3)若是“差续数列”，证明：存在正整数，使得或. 18．（25-26高三上·北京·开学考试）已知为给定的正整数，．数列，，若对于任意的，，都有，则称互为逆序数列． (1)已知，分别判断下面数列是否为的逆序数列，并说明理由． ①；②． (2)若，数列为等差数列，其前项和为，，．数列与数列互为逆序数列，求数列的公差的取值范围； (3)对于固定的正整数，，总有，，且数列互为逆序数列，求的最大值． 考点三 数列插项问题 1．（24-25高二下·山西太原·阶段练习）在与15之间插入5个数，使这7个数成等差数列，则插入的5个数之和为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 2．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 3．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知，在数列的每相邻两项与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则（    ） A．150 B．151 C．170 D．171 4．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 5．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习·多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，是数列的前项和.以下说法正确的是（    ） A． B．是数列的第8项 C．当时，最大 D．是公差为的等差数列 6．（24-25高二上·湖南·期末·多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，是数列中的项 D．若是数列的项，则的值不可能为7 7．（23-24高三上·山东青岛·期末）某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列；...第次得到数列；记，则 ； . 8．（24-25高二下·安徽淮北·开学考试）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.按新数列的各项依次派遣支教学生.记为派遣70批学生后支教学生的总数，则的值为 . 9．（2025·湖南常德·模拟预测）记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和. 10．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求. 11．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 12．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值． 13．（24-25高二下·天津·期末）已知等差数列满足．已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求的前2n项和 (3)设，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；以此类推，在和之间插入n个数使（成等差数列，若，求． 14．（24-25高二下·山西吕梁·期中）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为，n次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为．扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，．已知数列． (1)求； (2)求； (3)求数列的前n项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：数列递推问题、数列新定义问题、数列插项问题专项训练 数列：数列递推问题、数列新定义问题、数列插项问题专项训练 考点目录 数列递推问题 数列新定义问题 数列插项问题 考点一 数列递推问题 1．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 【答案】C 【详解】由可得，故， 由可得 故是周期为3的周期数列，且， 故， 故选：C 2．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知数列的首项，且满足，则（    ） A．2037 B．2047 C．1014 D．1021 【答案】A 【详解】由可得，即， 又，可得， 所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列， 即，所以， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 4．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知数列满足，则中的项小于0的有（    ） A．0项 B．5项 C．6项 D．无数项 【答案】B 【详解】由， 可得：，又， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以， 所以， 由，可得：，且， 所以中的项小于0的有项， 故选：B 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，即 ，且， 所以， 由满足上式，故. 故选：B 6．（24-25高三上·云南大理·开学考试）在数列中，，且，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 所以， ， … . 以上各式相加得：， 所以， 而也符合该式，故. 则. 设的前项和为，则， 从而. 故选：B 7．（24-25高二下·河南焦作·期末·多选）已知数列中，，，则（   ） A．是递增数列 B．， C．， D．数列的前项和为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，，所以， 则，所以是递增数列，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，，所以， 所以，变形得， 用累乘法可得，所以，故C正确； 对于D，因为， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高二下·辽宁·期末·多选）已知数列各项均为正数，其前项和满足．则下列结论正确的有（    ） A．的第2项小于 B． C．为递减数列 D．中存在小于的项． 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，，所以，因为数列各项均为正数，解得， 当时，，所以，所以， 解得， 因为数列各项均为正数，故，故A正确； 对于B，由，得，当时，可得， 两式相减得，所以，所以， 解得， 因为数列各项均为正数，所以， 又，由选项可得：显然无意义，故B错误； 对于C，因为，则得， 所以为递减数列，故C正确； 对于D，假设对，都有，则， 所以，与已知矛盾，即假设不成立， 所以数列中存在小于的项，故D正确． 故选：ACD． 9．（25-26高三上·贵州·开学考试·多选）已知数列满足，其中，则（    ） A． B．为等差数列 C．数列的前项和为 D．数列的前99项和大于 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意，数列满足，可得，故A错误； 对于B，因为，所以为常数，且， 所以数列为首项为，公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由选项B可知，所以，所以， 所以数列的前项和为，故C正确； 对于D，由可知，所以， 因为对都有，所以， 所以数列的前99项和，故D正确. 故选：BCD 10．（25-26高三上·云南临沧·开学考试）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为，所以 ， 而也满足上式，因此数列的通项公式为. 故答案为： 11．（2025·浙江宁波·模拟预测）数列是正项数列，若，且，，则 ． 【答案】3 【详解】因为，，所以，， 即，， 又因为，所以，， 因为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 12．（25-26高三上·四川成都·开学考试）数列满足，则的前项和为 ． 【答案】 【详解】因为，即， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以， 故答案为：. 13．（24-25高二下·浙江杭州·期末）数列满足． (1)证明数列是单调递增数列； (2)若是中连续的三项，证明：不可能成等比数列； (3)证明：不存在正的常数M，使对所有的成立． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴， 即， ∴， ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴， ∴，即（）， ∴， ， ∴数列是单调递增数列. （2）由题意及（1）证明如下，， 在数列中，， ∴，，， ∴ ∴ ∴不可能成等比数列. （3）由题意（1）及（2）证明如下，， 在数列中，，单调递增， 且当时，， ∴不存在正的常数M，使对所有的成立. 14．（25-26高三上·广东·开学考试）在正项数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得， 因数列为正项数列，故， 则有，又， 所以是首项为3，公差为3的等差数列， 则， 故. （2）由（1）已得，则， 所以 . 15．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段练习）在正项数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 所以， 因为是正项数列，，所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以. 16．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2)证明见解析，； (3) 【详解】（1），，； （2），∴，， 即，又， ∴数列是等差数列，且该数列首项为，公差为， ∴，，∴． （3）① ①－②得：， ∴． 17．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列中，，，令 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 令，得， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，即. （2）由（1）可得， ， ， 两式相减可得， 化简可得， 所以. 18．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知各项均为正数的数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，∴，∴ ∵，∴，∴，∴， 又，∴数列是以为首项，1为公差的等差数列， ∴， ∴数列的通项公式是:； （2）由(1)知， ∴①， ①式左右两端同乘以，得 ②， ①-②，得， 所以数列的前项和． 考点二 数列新定义问题 1．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 【答案】B 【详解】由， ， ， ，可知： ，即 ，即 ，即， 即第8项是， 故选：B 2．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 【答案】C 【详解】对A选项，根据题意可得：，A选项正确； 对B选项，设每次插入项的个数构成数列，则， 数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 数列的前项和即为，，B选项正确； 对C选项， ，C选项错误； 对D选项，由B选项分析可得，又， ，又， 是以首项为，公比为3的等比数列， ，D选项正确． 故选：C． 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线变形得： ，当时， 所以直线过定点，即， 由数列为“等和”数列且（为常数）， 所以， 所以等和”数列的奇数项为1，偶数项为2， 所以 ， 故选：D. 4．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】A 【详解】对于①，数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，不满足上式，所以， 当，时，， 所以数列与原数列相同，所以， 所以当时，数列为完全平方数列， 当时，不是“完全平方数， 所以当时，数列不是完全平方数列， 综上所述：数列为“完全平方数列”，故①是真命题； 对于②，因为为完全平方数，故， 若，则，若对任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，故， 当时，， 又适合上式，即. 故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题. 故选：A. 5．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数，数列满足，. 给出下列四个结论，其中正确的是（   ） A．若，则有4个不同的可能取值 B．若，则 C．对于任意，存在正整数，使得 D．对于任意大于2的正整数，存在，使得 【答案】D 【详解】对于A，，所以， 若，当时，，解得． 当时，则，解得， 当时，则，解得； 当时，，解得， 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 综上可得：可以取3个不同的值：7，，，故A错误； 对于B，，则数列是周期为5的数列， 若，因， 则，，， ，，故B错误； 对于C，当时，，，， 所以不存在正整数，，故C错误． 对于D，先考虑数列的周期性， 对于，则，， ，，，要使是周期数列， 则有，解得， 从而存在，使得数列是周期数列，周期为， 从而要使周期为，只需，即即可，故D正确． 故选：D 6．（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 【答案】B 【详解】因为，所以互为相反数，不妨设， 要使得取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小， 由题意知，满足，取的最小值为， 则满足，因为，故取的最小值， 满足，因为，，故取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 满足，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 所以， 因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22． 故选：B． 7．（2025·内蒙古包头·模拟预测·多选）将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… 将上述M数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其余数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q第行正整数的个数为，则以下说法正确的有（   ） A． B． C．是等差数列 D．将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，则位于数阵M中的第2行第7个位置（从左向右数） 【答案】ABD 【详解】对于A，因第2行的正整数有 个，依题意去掉 ，即得，故A正确； 对于B，当时，显然．当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉，故 当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉：百位和十位分别为12， 此时有10个符合，十位和个位分别为12个符合，此时有9个，故． 当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类： ①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个； ②个位数字等于2时，前面位数有种取法，但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉． 故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有个． 综上，由分类加法计数原理知．B正确； 对于C，由前面分析，可得，，，， 记， 则， ， ， 则， 故不是等差数列，即C错误； 对于D，因数列展开为：，而数列展开为：， 依题意可知则，位于数阵M中的第2行第7个位置（从左向右数），故D正确. 故选：ABD. 8．（2025·湖南岳阳·三模·多选）已知有穷数列的通项公式为，其项数不少于4项，从中选取项组成数列，数列满足，，则（    ） A．数列是单调数列 B．当时， C．当时， D．数列的个数为 【答案】BCD 【详解】因为数列满足，即必须在和之间， 无法满足单调性，所以A错误； 对于B，当时，各项大小关系为： ； 或者 从而或， 故，B正确； 当时，同B的分析可得： 或： ， 而各项均为正整数，故，C正确； 从项中选项有种方式，由BC的分析可得： 当时，各项的排列次序唯一确定，且为所有项中的最大项， 为所有项中的最小项，为余下项的最大项，为余下项中的最小值， 类似确定； 当时，同理可得各项的排列次序唯一确定； 故数列的个数为，D正确. 故选：BCD. 9．（25-26高三上·辽宁·开学考试·多选）设数列和的项数均为m，称为数列和的距离．记满足的所有数列构成的集合为C．已知数列和为集合C中的两个元素，项数均为m，则下列说法正确的是（    ） A．数列1，3，5，7和数列2，4，6，8的距离为4 B．若，则 C．若则 D．若数列和的距离不超过2025，则m的最大值为3470 【答案】ABD 【详解】对于A，数列1，3，5，7和数列2，4，6，8的距离为，正确； 对于B，由得， 所以数列为以4为周期的周期数列，且， 记，则， 则， 同理，记，可得，正确； 对于C，，错误； 对于D，因为所以，， 因为，所以项数越大，数列和的距离越大， 因为，， 所以， 所以数列和的距离不超过2025，则m的最大值为3470，正确. 故选：ABD 10．（25-26高三上·四川成都·开学考试）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数；为取整函数，它表示不超过x的最大整数，例如，；设的递归函数为，，且，的前n项和记为，若，则为 ． 【答案】10120 【详解】已知，，， 则， 因为，所以，，即为以为首项，6为公比的等比数列. 则. 所以，即. 当时，. 因为当时，由,可得， 所以当时，. 故当时， 又，则， 故对于任意，， 所以. 所以. 故答案为：. 11．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）数列为无穷非负整数数列，若对任意，均存在，且，使，则称数列为“完备数列”.给出下列四个结论： ①若正项等差数列为“完备数列”，则首项一定为1； ②若正项等比数列为“完备数列”，则公比一定为2； ③若满足，则对任意，数列均为“完备数列”； ④若满足，则数列为“完备数列”； 其中正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【详解】若正项等差数列为“完备数列”，则，公差，又为非负整数数列， 对任意，均存在，且，使， 若，则必有，故不成立，矛盾， 所以，①对； 若正项等比数列为“完备数列”，如，此时公比为1， 显然满足对任意，均存在，且，使，②错； 当，则，，，，，， 所以是以3为周期，即项周期性出现， 显然为奇数时，不可能成立，③错； 由，则数列为， 该数列中，相邻两项间缺失的自然数都可以由前项选出其中的项相加(同一项不重复相加)得到， 所以对任意，均存在，且，使，④对. 故答案为：①④ 12．（24-25高二下·北京丰台·期末）已知数列满足，给出下列四个结论： ①当时，对任意的，都有； ②当时，对任意的，都有； ③当时，存在，使数列是常数列； ④当时，存在，使数列是递减数列． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】对于①：当时，则，有，与的取值无关，故①正确； 对于②：当时，当时， ， 故②错误； 对于③：当时，，由数列是常数列，则， ，，满足题意，故③正确； 对于④：当时，，因为数列是递减数列， 则，，即， 则有，令，则，解得， 所以，即，故，下证成立： 当时，成立； 假设当 时，不等式成立，即， 由，得到； 则当时，，即证明， 构造函数，， 因为，，，，故单调递增，由， ，故有， 即，证毕.故④正确. 故答案为：①③④ 13．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）因为，，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，得． （2）设， 则， 则， 因为，所以． （3）由（1）知，， 当时，，当时，， 所以，注意到， ，，，，， 所以的等项数对唯一，且唯一等项数对为． 14．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是项正整数数列，令，其中.若对任意的中均无相同的项，则称数列为“和差单值”数列. (1)判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列. (2)已知，其中为两两不同的正整数，问：是否为“和差单值”数列？请说明理由． (3)证明：若的最大值不超过，则一定不是“和差单值数列”. 【答案】(1)是“和差单值”数列 (2)是“和差单值”数列，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）对于：8，4，2，1，2，4，8， 若不是“和差单值”数列， 则存在以及，使得， 则． 1为该数列中唯一奇数． 若，则，为奇数，矛盾 若，则只能是或或， 这里的，枚举可得均不成立， 故是“和差单值”数列. （2）由（1）可得，若不是“和差单值”数列，则存在以及， 使得，即， 设中最小值为，则， 只能是， 由于为偶数，而, 故为奇数，不可能为0，故矛盾，假设不成立， 是“和差单值”数列. （3）数列共有项，且恒成立， 取， 由，可知， 又，则至多有个不同的值， 故中必有两个值相等，故一定不是“和差单值”数列. 15．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. (1)证明：数列是“方特数列”； (2)若数列是“方特数列”，求的取值范围； (3)证明：当时，数列是“方特数列”. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， ， ∴数列满足，即数列是“方特数列”. （2）当时，， ，满足条件； 当时，， ∵数列是“方特数列”， ∴，. ∴，∴且， 综上所述，当数列是“方特数列”时，的取值范围为. （3）当时，由（1）知满足条件， 当且时，， ， ∴， ∴， ， 设，∴， 当时，单调递增；当时，单调递减，∴， ∴， 综上所述，当时，数列是“方特数列”. 16．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． (1)若数列的通项公式，求证：数列具有性质； (2)设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值： ②求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②4 【详解】（1）因为，所以， 所以数列是以为公差，为首项的等差数列， 所以， 所以， 即，所以数列具有性质； （2）①由数列具有性质得， 又等比数列的公比为， 若，则， 解得，与为任意正整数相矛盾， 当时，， 而，整理得， 若，则， 解得，与矛盾， 若，则， 当时，恒成立，满足题意， 当且时，， 解得，与矛盾， 所以； ②由，得， 即，因此，当且仅当时取等号， 即，则有， 由数列各项均为正数， 得，从而，即， 若，则，与矛盾， 因此当时，恒成立，符合题意， 所以的最小值为4． 17．（25-26高三上·江苏·阶段练习）将项数，公比的等比数列中的项重新随机排列，得到新数列.若在数列中任意抽取连续三项，总有某一项为另外两项的等比中项，则称为“差续数列”. (1)当时，写出所有“差续数列”（用中的项表示）； (2)若，证明：当时，必定存在“差续数列”； (3)若是“差续数列”，证明：存在正整数，使得或. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）. （2）不妨设无穷数列满足：， 易知， 所以的任意连续三项的某一项均为另外两项的等比中项， 此时，取的前项，即可得到“差续数列”，即证. （3）若是“差续数列”，不妨设在中对应项， 由题意知，中某项为另外两项的等比中项 所以中某项为另外两项的等比中项. 记，可得或或 不妨设为中的最小项， 则对于， 设， 则当时，，当时，， 即当时，，当时，， 由于，所以.其中， 为中的最大项. 所以.左式显然为整数，而为正整数，故 所以必然存在，所以存在正整数或. 18．（25-26高三上·北京·开学考试）已知为给定的正整数，．数列，，若对于任意的，，都有，则称互为逆序数列． (1)已知，分别判断下面数列是否为的逆序数列，并说明理由． ①；②． (2)若，数列为等差数列，其前项和为，，．数列与数列互为逆序数列，求数列的公差的取值范围； (3)对于固定的正整数，，总有，，且数列互为逆序数列，求的最大值． 【答案】(1)数列不是的逆序数列，数列是的逆序数列. (2). (3) 【详解】（1）因为数列，由， 但，不满足条件； 数列，由， ，， 符合条件. 所以数列不是的逆序数列，数列是的逆序数列. （2）由题意，数列的通项公式为， 前项和为， 因为数列与数列互为逆序数列， 所以对于任意的，，故， 若，则，故， 故，矛盾； 若，则，故， 故，故即. 综上公差的取值范围为. （3）因为数列互为逆序数列，故时，，必定成立， 故为的一个排列，， 其中， 设，，则在中有项比小，有项比大， 故在中项比大，有项比小， 故当时，，当时，， 故，其中. 若为偶数，设，则. 当时， ; 当时， . 故此时. 若为奇数，设，则. 当时， ; 当时， . 当时，； 当时，； 故此时. 综上，. 考点三 数列插项问题 1．（24-25高二下·山西太原·阶段练习）在与15之间插入5个数，使这7个数成等差数列，则插入的5个数之和为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】D 【详解】设插入的5个数依次为，则数列成等差数列， 因此，解得， 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 【答案】C 【详解】对A选项，根据题意可得：，A选项正确； 对B选项，设每次插入项的个数构成数列，则， 数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 数列的前项和即为，，B选项正确； 对C选项， ，C选项错误； 对D选项，由B选项分析可得，又， ，又， 是以首项为，公比为3的等比数列， ，D选项正确． 故选：C． 3．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知，在数列的每相邻两项与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则（    ） A．150 B．151 C．170 D．171 【答案】C 【详解】解：由题意知之间插入1个之间插入2个之间插入4个之间插入8个1， 之间插入16个之间插入32个之间插入64个1， 由于， 故数列的前100项含有的前7项和93个1， 故． 故选：C 4．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 【答案】B 【详解】设第次构造后得的数列为1，，3，则， 则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，3， 于是，， 显然，而， 因此数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 5．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习·多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，是数列的前项和.以下说法正确的是（    ） A． B．是数列的第8项 C．当时，最大 D．是公差为的等差数列 【答案】ABC 【详解】由等差数列的首项，公差，可得， 对于A中，根据题意，可得，，所以公差为， 所以数列的通项公式为，所以A正确； 对于B中，由，令，解得，所以B正确； 对于C中，令，解得， 所以或时，取得最大值，所以C正确； 对于D中，由，可得， 则， 所以是公差为的等差数列，所以D错误. 故选：ABC. 6．（24-25高二上·湖南·期末·多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，是数列中的项 D．若是数列的项，则的值不可能为7 【答案】ABC 【详解】对于A，由题意得，A正确； 对于B，当时，数列的首项为2，公差为，故，B正确； 对于C，由B选项可知，令，解得，所以是数列的第8项，C正确； 对于D，插入个数，则，，，，…，所以等差数列中的项在等差数列中对应的项的序号是以1为首项，为公差的等差数列，即，若是数列的项，令，当时，，D错误. 故选：ABC. 7．（23-24高三上·山东青岛·期末）某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列；...第次得到数列；记，则 ； . 【答案】 【详解】，， ，依次类推，得到 ， 故. 故答案为：42，-3 8．（24-25高二下·安徽淮北·开学考试）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.按新数列的各项依次派遣支教学生.记为派遣70批学生后支教学生的总数，则的值为 . 【答案】390 【详解】数列满足， ， 在任意相邻两项与之间插入个3， 其中之间插入2个之间插入4个之间插入8个之间插入16个， 之间插入32个之间插入64个. 又， 数列的前71项含有前6项和65个3， 故. 故答案为：390. 9．（2025·湖南常德·模拟预测）记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）为数列的前项和，， 时，，则， 时，由，得， 两式相减可得，即， 数列是首项为，公比为的等比数列，则； （2）由题设，可得， 记的前项和为，因为，为正整数， 则. 10．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 则，即， 又，满足，所以， 所以是首项是，公比为的等比数列，故； （2）由题知，数列的其余项为1， 则 . 11．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）由得，，时，，两式相减得， 即，又，所以数列为公比为2的等比数列， 所以； （2）①由（1）得，， 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，所以， 则，， 两式相减可得 ，所以； ②因为都有不等式成立， 所以恒成立， ， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以. 12．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）当时，且，解得， 当时，， ∴， 即，则， ∵，则，所以， ∴是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 设数列的公比为，则， 即，解得：，所以； （2）根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1；在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1；在4和5之间插入个1； 在5和6之间插入个1， 到6时，恰好有项，故． 13．（24-25高二下·天津·期末）已知等差数列满足．已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求的前2n项和 (3)设，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；以此类推，在和之间插入n个数使（成等差数列，若，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为d（）， 由题意，可得， 故数列的通项公式， 当时，，解得．当时，， 所以，即， 而，故，故， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以． （2） 所以 ； （3）因为，设 则 设，所以 两式相减得 ， 所以， 设， 所以. 14．（24-25高二下·山西吕梁·期中）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为，n次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为．扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，．已知数列． (1)求； (2)求； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）由可得，因此； 则，因此； 则，因此； （2）因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项， 所以经第次扩充后增加的项数为， 因此，所以， 因为，所以可得数列是以4为首项，公比为2的等比数列， 所以，即； 设经过第次扩充后数列的各项为， 则，因为扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和， 所以 ； 可得， 又，因此是以首项为3，公比为3的等比数列，故可得. （3）由（2）可知， 所以可得 ； 令，则； 两式相减可得； 所以可得； 即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $