追梦专项总结突破卷(三) 二元一次方程组-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

铺路卷 ZBB· 湾之旅 八年级数学 +为期中、期末铺路，为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（三） 二元一次方程组 题型一解二元一次方程组 类型1选择适当的方法解方程组 1.解下列方程组。 (1)/P2-3 2x+y=3 (x+y=6 (2)-y=61 密 3(x-1)=y+4 n (3) x+y=3 5x-3(x-y)=1 4 x+y-y=1。 3 6 痢 鐲 类型2换元法解方程组 2.数学思想·整体思想【阅读材料】小明同学遇到下列问题：解方 2x+3y2x-3y=7 程组 4 3 他发现如果直接用代入消元法或加减 策 2x+3y2x-3y=8 3 2 消元法求解，计算量比较大，也容易出错。如果把方程组中的 (2x+3y)看作一个数，把(2x-3y)看作一个数，通过换元，可以比 较容易地解决问题。以下是他的解题过程： m=7 令m=2x+3y,n=2x-3y,这时原方程组化为 ,解得 n 挤 32 =8 22, m=60 12x+3y=60 2r-3y=-24解得 x=9 =14° 所以，原方程组的解 为/t9 y=14° 【解决问题】请你参考小明同学的做法，解决下面的问题： (xtyx-Y-2 35 解方程组 |xty x-Y=-1 35 题型二解含参的二元一次方程组 类型1由方程组解的关系求参数值 解题技巧：由方程组的解的特，点可得到第3个方程，解此类题通常有如 下3种方法：①将方程组中的参数看成已知数并求解，再将求得的解代 入第3个方程即可求得参数的值；②将其中两个不含参数的方程重新 组成一个新方程组后解之，再将求得的解代入第3个含参数的方程即 可求得参数的值；③观察方程组中的两个方程与第3个方程的关系，对 方程组中的参数做整体化处理。 3.已知关于x,y的二元一次方程组} x-y=4a-3」 的解x,y互为相反 x+2y=-5a 数，求a的值。 4.阅读以下内容：已知数a,b满足a+b=3,且5a+46=16 l4a+56=56+1求k 的值。三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 小明：先解关于a,b的方程组，再把解代入a+b=3,从而求k 的值； 小王：可先将原方程组中的两个方程直接相加，再求k的值； 小丽：先解方程组 a+b=3 5a+46=16再把所得解代入4a+56=5k+1, 即求k的值。 (1)试选择其中一名同学的思路，完整地解答此题； 2试说明关于的方程组仁2，不论m取何值，y 的值始终不变。 类型2同解问题 解题技巧：两个方程组同解，其实就是这两个方程组中的四个方程 有公共解，解此类题时通常可先将其中两个不含参数的方程重新组 成一个方程组后解之，再将求得的解代入由另外两个含参数的方程 组成的方程组中，解之即可求得参数的值。 5.已知关于x,y的方程组+y=5 与2x-y=1 有相同的 4ax+5by=-22(ax-by-8=0 解，求(a+b)225的值。 类型3由方程组的错解求参数值 解题技巧：把求得的错解（分别）代入没有看错的方程中，构建出关 于参数的方程（组），解之即可求得参数的值。 6.学习情境·错解问题解方程组 |ax+by=6① (cx-4y=-2② 时，小强正确解得 面小看错了6年得化2求a的值 7甲乙两人共同解方程到经”9南于甲看信了方中 的0，得到方程组的解为了乙看错了方程②中的，得到方 程组的解为试计算。2+(-名2“的值。 。29· 题型三二元一次方程组的应用 类型1配套问题 8.生产劳动情境·制作铁皮盒子用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制 盒身16个，或制盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头 盒。现有15张白铁皮，用来制盒身和盒底，可以刚好配() A.144套 B.9套 C.6套 D.15套 9.易错题以图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，可做 成图②中的竖式和横式的两种无盖纸盒。现有m张正方形纸 板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用 完，则m+n的值可能是( 图① 图② A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 类型2古算术问题 10.《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大 器一小器五容二斛。”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大 桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条 件，1大桶加1小桶共盛( )斛米。（注：斛是古代一种容量 单位) 49 C.1 D.6 11.《九章算术》是我国古代数学经典著作，书中记载着这个问题： “今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻 十三两，问金、银一枚各重几何？”大意是：甲袋中装有9枚重量 相等的黄金，乙袋中装有11枚重量相等的白银，两袋重量相 等。两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽 略不计)。问黄金、白银每枚各重多少两？ 。30 类型3行程问题 12.某人骑自行车从A地出发去B地，先以每小时12km的速度下坡； 再以每小时9km的速度在平路上行驶至B地，共用55min;回来 时他以每小时8km的速度通过平路后，再以每小时4km的速 度上坡至A地，共用1.5h,则A,B两地相距 kmo 13.生活情境·车辆行驶甲、乙两地相距160km,一辆汽车和一辆 拖拉机同时由两地以各自的速度匀速相向而行，子小时后相 遇。相遇后，拖拉机以其原速继续前进，汽车在相遇处停留1 小时后掉转头以其原速返回，汽车再次出发半小时追上拖拉 机，这时，汽车、拖拉机各自走了多少路程？ 类型4营销问题 14.生产劳动情境·药材加工某公司以每吨600元的价格收购了 100吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是1000 元。该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示： 工艺 每天可加工药材的吨数 成品率 成品售价 粗加工 14 80% 6000/吨 精加工 6 60% 11000/吨 (注：①成品率80%指加工100吨原料能得到80吨可销售药 材，②加工后的废品不产生效益) 受市场影响，该公司必须在10天内将这批药材加工完毕。 (1)若全部粗加工，可获利 元； (2)若尽可能多的精加工，剩余的直接在市场上销售，可获利 元 (3)若部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成，求可获利多 少元？ 易错 分析 题型四用二元一次方程组和一次函数的图象解决实际问题 15.生活情境·苹果销售某人购进一批苹果卖出数量/千克 (5,4k) 到农贸市场零售，已知卖出的苹果数量 (10,k) 与售价之间的关系如图所示，成本5 0 售价x(元/千克)脚 元/千克，现以8元/千克卖出，挣得 元。 16.甲、乙两地相距40km,一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发 沿同一直道匀速前往乙地。慢车先出发，行驶一段时间后停车 休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地。 快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前 到达乙地。两车之间的距离y(单位：km)与慢车的行驶时间x (单位：min)之间的部分函数图象如图所示。请结合图象解决些 下面问题： (1)慢车的速度为 km/min; 做题 心得 (2)求线段AB表示的y与x之间的函数表达式； (3)快车的速度为 km/min,快车和慢车在行驶过程 中，最远相距 千米。请根据题意补全图象。 y/km 15 宪 10---- 0102030405060708090x/min8 8。÷y=-3x+8。令y=0,得x=8。故C7,0 10.解：(1)在y=-x+6中，令x=0得y=6,令y=0得x=6, (y=-x+6 B(6,0),C(0,6)。由1得x=4 y=2* 导y=2A(4,2): 1 (2)C(0,6),0C=6,Saac=20C,x4=2×6x4 =12; (3)由题意，得}0C·1xw1= 25ac=6,即)x61xwl 1 =6,xw=2。六xw=2或xw=-2。当xM=2时，在y= -x+6中令x=2,得y=4,∴.M(2,4);当xM=-2时，在y= -x+6中令x=-2,得y=8,.M(-2,8)。综上所述，点M 的坐标为：(2,4)或(-2,8)。 11.解：(1)设甲品牌粽子每箱x元，乙品牌粽子每箱y元， 由题意得80y0解得放购注甲品牌 粽子每箱35元，购进乙品牌粽子每箱40元； (2)w=(40-35)a+(50-40)(200-a)=2000-5a(1≤a< 200,且a为整数)。 12.解：(1)设大货车有x辆，小货车有y辆，根据题意得： 之8152解得9容大货车有8药，小货车 x+y=15 有7辆。 (2)y=800x+900(8-x)+400(10-x)+600[7-(10-x)]= 100x+9400(3≤x≤8，且x为整数)。 (3):y=100x+9400,k=100>0,∴.y随x的增大而增 大，.当x=3时，y最小，最小值为y=100×3+9400= 9700(元)。故使总运费最少的调配方案是：3辆大货 车、7辆小货车前往A村；5辆大货车前往B村。最少 运费为9700元。 追梦专项总结突破卷（三） 二元一次方程组 1新，()化7把0代人②得+2-3=6解得x 3,把x=3代入①得y=2×3-3=3,故原方程组的解 是/x3 (y=3 (2){26,①+②得3x=9,解得x=3,把x=3代人 ②得3-y=6,解得y=-3,故原方程组的解是x=3 (y=-3 (3)传=1整理5+，02①x2-2得-y =5,解得y=-5,把y=-5代入①得x-5=3,解得x=8, 方程组的解为x=8」 （y=-5i ④方程能理得x79①g得6=13，解程： 把-2代入D得3 13 13 1 6 y=7,解得y=2六方程 13 6 组的解为 1 y=2 2.解：令m= 背a=号，原方程组可化为切己 mn=-1,解得 1 x+y 1 n-2 y3,整理为 二2，所以32 2-2y=15,解得 2x+2y=3 [52 追梦之旅铺路卷·八年级」 9 x=2。所以，原方程组的解为 x= y=-3 y=-3 3解和20得9如3，即y-3如1 把y=-3a+1代入①，得x=a-2。由题意得x+y=0,即a 2+(-3a+1)=0,解得a=-0.5。 4解.()间港择小王的思路经92①+②，得 9a+9b=5k+17,a+b=3,∴9(a+b)=27,∴.5k+17=27, 解得k=2; 23g①+2a83+水=3=1 不论m取何值，x+y的值始终不变。 5解：联立解得子起y的值代人其余的 两个方程得0g2,解得侣12则(a+6)=1 答案 -2)2025=-1。 6解：把2代人①得a+2沙=6，即a=6-26③。把 {代人a价=6，得2ah=6,把代人2a6=6,得 2(6-2b)+b=6,解得b=2,把b=2代入③得a=2。把 二代入方程cx-4y=-2得2c-4=-2,解得c=1。故a =2,b=2,c=1。 7锯：将化代入方程组中的4标-=-2，得-12+6=-2， 解得b=10。将x=5代入方程组中的ax+5y=15,得5a+ (y=4 20=15,解得a=-1。原式=(-1)+(-8=0 8.A 9.D【解析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x 个了个。由题意得：2两式相加得m+n=5+ y),:xy都是正整数，.m+n是5的倍数。m+n的值 可能是2025。故选D。 10.B 11.解：设黄金每枚重α两，白银每枚重b两，根据题意列方 8a+6=106+a-13,解得{7答：黄金每枚重 程组/9a=116 4 b24 两，白银每校重 4 两。 12.9【解析】设从A地到B地的下坡路程为xkm,平路路 [x+y-55 12960 程为ykm,由题意，得 x+y=1. ,解得x=3。 y=6°x+y 48 =9,.A,B两地相距9km。 13.解：设汽车的速度是x千米/时，拖拉机的速度是y千 米/时，根据题意得： g)=160 1 解0则（子宁×90=165(T 2x=(1+2)y 米)，（学1+宁×30=85（千米）。答：执车行碳165千 4 上·ZBB·数学第14页 米，拖拉机行驶85千米。 14.解：(1)420000 (2)376000 (3)设精加工x天，粗加工y天。根据题意，得 4y=100,解得二5。则销售可得6×5×60% x+y=10 11000+14×5×80%×6000=534000(元)，534000-600× 100=474000(元)。答：可获利474000元。 15.k【解析】设y与x的函数表达式为y=mx+n。国 数图象过点（5,4k),（10,k), ∫5m+n=4k 、解得 (10m+n=k 3 大 m=-5k 11 5x+7h。当x=8时，y= 。挣 n=7k 藁 得(8-5)×11=33k(元) 16解：(1号 (2)设线段AB表示的y与x之间的函数表达式为y=x +b,将(20,10)(30,5)代入y=x+b得20k+b=10, (30k+b=5,解得 k=-2,线段AB表示的y与x之间的函数表达式为 (b=20 1 y=-2+20(20≤x≤30)： (3)112.5补全图象如图： kmt 15 12.5 0 0102030405060708090mim 追梦专项总结突破卷（四） 数据的分析 1.C2.D3.C4.C5.C6.C7.D 8.B【解析】小2,5,1，x,3的平均数是3，. 5×(2+5+1+x +3)=3,解得=4…这组数据的方差是写×[(2-3)2+ (5-3)2+(1-3)2+(4-3)2+(3-3)2]=2,则这组数据的 标准差是√2。故选B。 9.A10.B11.B 12.解：(1)201378.5 (2)九年级的男生“开合跳”成绩更优异，理由如下： 男生和女生“开合跳”成绩的平均数相同，但男生的众 数和A等级所占百分比都比女生的高（答案不唯一）； (3)1600x40%+306=560(人)。故九年级“开合跳”个 数达到A等级的人数为560人。 平行线的证明 1.C2.D3.C 4.C【解析】过点C向右作CF∥DE,:∠EDC=126°，∴. ∠DCF=180°-∠EDC=54°，BC⊥AB,.∠B=90°， ED∥AB,.CF∥AB,∴.∠BCF=180°-∠B=90°，∴.∠DCB =∠DCF+∠BCF=144°。故选C 5.A 6.解：(1)过点P作PE∥AB,点E在点P左侧。AB∥CD, ∴.AB∥PE∥CD。∠A=40°，.∠APE=∠A=40°， 追梦之旅铺路卷·八年级 ∠DPE+∠D=180°。∠D=150°，∴.∠DPE=180°- 150°=30°。∴.∠APD=∠APE+∠DPE=40°+30°=70°； (2)∠a+∠B-∠P=180°。 证明：延长BA到点H,交PD于点G,AB∥CD, ∠DGH=180°-∠B。:∠DGH=∠PGB,∠PAG=180°- ∠a,.∠P+180°-∠B+180°-∠a=180°，即∠a+∠B- ∠P=180°。 7.A【解析】由题意可知：∠C=90°，AB∥CD,.∠ABD= ∠1=35°，由折叠的性质可知：∠BDC'=∠1=35°， ∠DC'B=∠C=90°。∴.∠2=180°-∠DCB-∠ABD ∠BDC'=20°。故选A。 8.D 9.D【解析】小：AD∥BC,.∠DEG=a,∠AFH=B,∴.∠DEG +∠AFH=+B=118°，由折叠得：∠DEM=2∠DEG, ∠AFM=2∠AFH,.∠DEM+∠AFM=2×118°=236°，. ∠FEM+∠EFM=360°-236°=124°，在△EFM中，∠EMF =180°-（∠FEM+∠EFM)=180°-124°=56°，故选D。 10.解：(1)110° (2)∠APC=+B,理由：过P作PE∥AB交AC于E,: AB∥CD,.AB∥PE∥CD,.a=∠APE,B=∠CPE,.∴. ∠APC=∠APE+∠CPE=a+B; (3)如图1所示，当P在BD延长线上时，∠CPA=a-B; 如图2所示，当P在线段OB上时，∠CPA=B-。 EM M CX 4 B 0 0 -N PB\D八 图1 图2 追梦专项总结突破卷（五） 跨学科试题 1.解：(1)根据题意得AC=8dm,BC=6dm,∠ACB=90°，∴. AB=√AC+BC=10(dm),.10+8=18(dm),答：绳子 的总长度为18dm; (2)根据题意得∠ADB=90°，AD=8dm,CD=7dm,AB=10 +7=17dm,∴.BD=W√AB2-AD2=√17-82=15(dm),. BE=15-6=9(dm),答：滑块B向左滑动的距离为9dm。 2.解：(1)由题意，作图如下； 20 15 10 5 0510152025x (2)①4.9（答案不唯一） ②> 3.解：(1)24106 (2):a=240x2=30(g),设小球P第一次返回时，y=+ 10+6 6,将(24,96)，(30,0)代人得，{30+6=0，解得 ∫24k+b=96 6=480y关于t的函数关系式为y=-16+480: k=-16 =6或或36。【解析】设小球P运动24s 数关系式为y=mt,由题意可得：24m=96,∴.m=4,.此 时函数为y=4t,令y=4t=24,.t=6;当小球运动到24s 后，结合(2)函数关系式为y=-16t+480,.令y=-16t+ 480=24,解得4=57， )，=6或=；第一次相遇时，木 块离1距离为240-30×6=60cm,10(t-30)-6(t-30)= 24,解得t=36;综合所述t=6或7或36。 上·ZBB·数学第15页