统计与概率：事件的独立性、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练-2026届高三数学一轮复习

统计与概率：事件的独立性、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练 统计与概率：事件的独立性、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练 考点目录 事件的独立性 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式 考点一 事件的独立性 1．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知事件，满足，，则（    ） A．若，则 B．若与相互独立则 C．若与相互独立，则 D．若与互斥，则 2．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）在一次校园安全知识竞赛中，甲､乙､丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲､乙两人都答对的概率是，乙､丙两人都答错的概率是，则甲､乙､丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知事件和事件相互独立，为事件的对立事件．若，则（    ） A．0.24 B．0.56 C．0.76 D．0.84 4．（25-26高二上·云南·开学考试）甲、乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲、乙投篮命中的概率分别为，，且甲、乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（    ） A．A与B对立 B．A与B互斥 C．A与B相互独立 D． 7．（25-26高二上·山东日照·开学考试·多选）设为两个事件，且，下列说法正确的有（   ） A．若互斥，则 B．若互斥，则 C．若独立，则 D．若独立，则 8．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习·多选）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 9．（25-26高二上·安徽·阶段练习·多选）已知是随机事件，且，则下列说法正确的有（    ） A．与可能为互斥事件 B．若，则与相互独立 C．若，则 D．若与相互独立，则 10．（25-26高二上·福建南平·开学考试）甲､乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲､乙投篮命中的概率分别为且甲､乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是 . 11．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）张华和李明二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得1000元奖金．已知张华、李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当张华连赢两局，李明一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将1000元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则张华应该分得 元． 12．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知甲､乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为，乙每关闯关成功的概率均为，且甲､乙两人闯关成功与否互不影响，则甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率是 . 13．（2025·福建三明·模拟预测）甲、乙两人进行抛硬币比赛．两人分别抛掷一枚均匀硬币，如果抛出“正面朝上”，则得1分，如果抛出“反面朝上”，则得0分．甲和乙分别抛掷3次后，如果两人得分相差大于1分，比赛终止；如果两人分数相差不大于1分，则由乙再进行一次抛掷后比赛终止，该次抛掷若为“正面朝上”，则乙得分不变，若为“反面朝上”，则乙得分减1分．按照规定，比赛终止时甲得分高于乙的概率为 ． 14．（25-26高三上·山东·开学考试）电视台组织有奖答题活动，指定了三道题目，选手有两种答题方案可选. 方案一：回答这三道题目，至少有两道答对则获得奖金； 方案二：在三道题中，随机选两道，这两道题都答对则获得奖金. 假设小明对三道指定题目答对的概率分别为（均不为1），且三道题目是否答对相互之间没有影响. (1)分别求小明选择方案一和方案二时获得奖金的概率； (2)要想使获得奖金的可能性更大，小明应选择哪种答题方案?请根据数据计算说明. 15．（25-26高三上·江西·阶段练习）某知识竞赛中有三类问题.参赛者从这三类问题中抽取两个问题进行回答，要求这两个问题属于不同类别.回答正确一个A，B，C类问题分别得30分，20分，10分，回答错误得0分.已知甲参与了该竞赛，且甲能正确回答类问题的概率分别为，每道问题回答正确与否相互独立，设甲的累计得分为. (1)若甲从两类问题中各抽取一个问题回答，求的分布列及期望； (2)为使得累计得分更高，试分析，甲应该从哪两类问题中抽取问题回答. 16．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品． (1)求某球迷恰好获得1个纪念品的概率； (2)记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望． 17．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 20 60 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率； (2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率； (3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系. 18．（25-26高二上·浙江·开学考试）2025年6月23日雷霆队以大比分战胜步行者队捧起奥布莱恩杯.众所周知，总决赛采取7场4胜制，当两队大比分战成，第5场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲乙两支队伍闯入总决赛，首战甲获胜的概率为，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为，每场比赛结果相互独立. (1)求两场后双方战成的概率； (2)若首战乙胜，求再战三场双方战至后甲在“天王山之战”中获胜的概率； (3)求甲乙不需要进行第七场比赛的概率. 考点二 条件概率 1．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）一个体育队有4名女运动员和3名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 5．（25-26高三上·广东·开学考试）某校积极开展社团活动，学期结束时，社团老师对参加社团的同学进行选择性考核．某社团有小明、小刚等5位同学参加，现选3位同学参加考核，则在小明被选中的条件下，小刚被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·广东·开学考试·多选）掷一枚质地均匀的骰子，可等可能的得到1~6点，现投掷一次这枚骰子，记得到1点或2点或3点为事件，事件，与为两两互不相同的随机事件，且，，则（    ） A．存在事件B，使得 B．存在事件C，使得 C．存在事件B，C，使得 D．存在事件B，C，使得 8．（23-24高二下·云南丽江·期末·多选）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏南通·模拟预测·多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若，则 . 11．（25-26高三上·江苏·开学考试）已知，则 . 12．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）袋中大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是 ． 13．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则 . 14．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）溺水是指人淹没于水或其他液体中，水与污泥、杂草等物堵塞呼吸道和肺泡，或因咽喉、气管发生反射性痉挛，引起窒息和缺氧，肺泡失去通气、换气功能，使机体处于危急状态，由此导致呼吸、心搏停止而致死亡.某校为了普及防溺水安全教育知识，在全校组织了一次防溺水安全教育知识竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)记随机变量为甲队的总得分，求的分布列和数学期望； (2)在甲、乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分不低于乙队得分的概率. 15．（25-26高三上·天津·阶段练习）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗.一局比赛后输者需给赢者一面小红旗，若是平局不需要给小红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜，根据以往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4． (1)若第一局比赛后甲的小红旗个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）． 16．（25-26高三上·浙江·开学考试）某商场推出购物抽奖活动，盒子里放有10个相同小球，其中4个红球，6个蓝球，顾客从盒中不放回地抽取3个球，若恰好抽到3个红球为一等奖，奖金为100元，恰好抽到2个红球为二等奖，奖金为50元，其余不设奖. (1)在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，则该次抽奖获得二等奖概率是多少？ (2)求抽奖一次获得奖金的期望. 17．（25-26高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验. (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率. 18．（25-26高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验． (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率． 考点三 全概率公式与贝叶斯公式 1．（24-25高二下·湖南株洲·期中）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 3．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其他点数，则记下该点数（假设为），然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子，直至任意一方掷出点数或者6，该游戏结束.若掷出的是，则弟弟获得礼物；若掷出的是6，则哥哥获得礼物.该游戏中弟弟能获得礼物的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 5．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（   ） A．0.035 B．0.14 C．0.10 D．0 6．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末·多选）已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（   ） A．此件产品是次品的概率为0.02 B．此件产品是次品的概率为0.025 C．此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D．此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04. 7．（24-25高二下·云南·期末·多选）五人进行丢骰子游戏，最后统计每人所丢骰子的点数之和，点数之和最大的获胜．已知每人每次丢完后都等可能地随机传向另外4人中的1人．第1次由将骰子传出，记第次传骰子之后骰子在或手上的概率为，记第次传骰子之后骰子在手上的概率为，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·甘肃兰州·期末·多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，局比赛结束后赢得局以上的一方获胜．甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 9．（24-25高二下·福建三明·阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 10．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）现有个箱子，每个箱子均有个小球，第个箱子中有个白球，其余为黑球，在这个箱子中任取一个箱子，再从该箱子中依次选出3个小球，若第3次选出的小球恰为黑球的概率是，则 ． 11．（24-25高二下·湖北武汉·期末）A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则 ，的数学期望 .（用表示） 12．（25-26高三上·北京·开学考试）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年-50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； (2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小． 13．（2025·广东·模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. (1)若，，求接收的信号为0的概率； (2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. （i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1的概率； （ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 14．（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 15．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. (1)求小明答4道题后积分小于5的概率. (2)设小明答5道题后积分为，求. (3)若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则. （i）证明：为等比数列； （ii）求的值. 16．（25-26高三上·河北·开学考试）甲､乙两人参加射击比赛，规则如下：每轮由1人射击两次，若全中则此轮的射击者赢得比赛，比赛结束，否则进行下一轮射击，由另外的人射击两次，如此类推.经过抽签，第1轮甲射击，已知甲､乙每次射击命中的概率分别为，，各次射击互不影响. (1)若，记为比赛结束时的轮数，证明：； (2)若，记事件“比赛在第轮时未结束”，“甲赢得比赛”， （i）写出与的关系式并求； （ii）求. （参考：对于任意，当趋于无穷大时，） 17．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）一个盒子中有大小和质地均相同的6个球，其中有3个白球和3个黑球．从中任取1个球，若取出白球，则将该白球放回盒中，若取出黑球，则将该黑球换成1个大小和质地均相同的白球放回盒中，这样的过程称为一次操作．记第次操作后，盒中白球的个数为，期望为． (1)求． (2)当时，证明：． (3)求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：事件的独立性、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练 统计与概率：事件的独立性、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练 考点目录 事件的独立性 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式 考点一 事件的独立性 1．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知事件，满足，，则（    ） A．若，则 B．若与相互独立则 C．若与相互独立，则 D．若与互斥，则 【答案】D 【详解】对于A，若，则，所以A错误； 对于B，若与相互独立，不互斥，所以B错误； 对于C，若与相互独立，可得与相互独立， 所以，所以C错误； 对于D，若与互斥，则，所以D正确. 故选：D. 2．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）在一次校园安全知识竞赛中，甲､乙､丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲､乙两人都答对的概率是，乙､丙两人都答错的概率是，则甲､乙､丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记事件：甲答对这道题；事件:乙答对这道题；事件：丙答对这道题. 由题可知：事件相互独立，且, 所以 因为，所以,所以 因为事件相互独立，所以事件相互独立. 所以所以. 所以 即没有人答对该题的概率为： 所以至少有一人答对该题的概率为： 故选：C. 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知事件和事件相互独立，为事件的对立事件．若，则（    ） A．0.24 B．0.56 C．0.76 D．0.84 【答案】C 【详解】由得， 由以及事件和事件相互独立得， 所以. 故选：C. 4．（25-26高二上·云南·开学考试）甲、乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲、乙投篮命中的概率分别为，，且甲、乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，表示甲乙只有一人投中， 所以. 故选：B 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2个都开且甲乙2个中有一个开另一个闭， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为. 故选：C. 6．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（    ） A．A与B对立 B．A与B互斥 C．A与B相互独立 D． 【答案】C 【详解】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：； 事件A包含的结果是：； 事件B包含的结果是：. 因为没包含所有可能结果（如1，3没包含在内），A与B不对立，故A错误； 因为，A与B不互斥，故B错误； 因为，， 因此A与B相互独立，故C正确； ，，而，故D错误. 故选：C. 7．（25-26高二上·山东日照·开学考试·多选）设为两个事件，且，下列说法正确的有（   ） A．若互斥，则 B．若互斥，则 C．若独立，则 D．若独立，则 【答案】BCD 【详解】对于A，若互斥，则，A错误； 对于B，若互斥，则，B正确； 对于C，若独立，则，C正确； 对于D，若独立，则，D正确， 故选：BCD 8．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习·多选）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 【答案】ABD 【详解】先后抛掷两枚硬币出现的结果有：正正，正反，反正，反反四种情况， 则事件A包含正正，正反两种情况；事件B包含正反，反反两种情况； 事件C包含正反，反正两种情况；事件D包含正正一种情况； 所以， 显然，， ，，即ABD正确. 故选：ABD 9．（25-26高二上·安徽·阶段练习·多选）已知是随机事件，且，则下列说法正确的有（    ） A．与可能为互斥事件 B．若，则与相互独立 C．若，则 D．若与相互独立，则 【答案】BC 【详解】选项A：因为，所以，与不可能为互斥事件，A说法错误； 选项B：因为，所以若，则与相互独立，B说法正确； 选项C：若，则，C说法正确； 选项D：若与相互独立，则与也相互独立，证明如下： 因为与互斥，且， 所以， 所以，即与也相互独立， 所以， 因为，所以， 代入得，D说法错误； 故选：BC 10．（25-26高二上·福建南平·开学考试）甲､乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲､乙投篮命中的概率分别为且甲､乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是 . 【答案】/ 【详解】由题意可得. 故答案为： 11．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）张华和李明二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得1000元奖金．已知张华、李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当张华连赢两局，李明一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将1000元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则张华应该分得 元． 【答案】875 【详解】由题意，如果比赛继续，李明需要连赢三局才能获胜， 因张华和李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同， 则李明连赢三局获胜的概率为，张华获胜的概率为， 所以张华应分得奖金的，李明应分得奖金的，即张华应该分得元． 故答案为：875 12．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知甲､乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为，乙每关闯关成功的概率均为，且甲､乙两人闯关成功与否互不影响，则甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率是 . 【答案】/ 【详解】设事件“甲有关闯关成功”，“乙有关闯关成功”，， 则，， ，， 设甲、乙两人总共至少有三关闯关成功的事件为，则， . 故答案为：. 13．（2025·福建三明·模拟预测）甲、乙两人进行抛硬币比赛．两人分别抛掷一枚均匀硬币，如果抛出“正面朝上”，则得1分，如果抛出“反面朝上”，则得0分．甲和乙分别抛掷3次后，如果两人得分相差大于1分，比赛终止；如果两人分数相差不大于1分，则由乙再进行一次抛掷后比赛终止，该次抛掷若为“正面朝上”，则乙得分不变，若为“反面朝上”，则乙得分减1分．按照规定，比赛终止时甲得分高于乙的概率为 ． 【答案】/0.5 【详解】抛掷3次，得0分的概率，得1分的概率， 得2分的概率，得3分的概率， 甲和乙分别抛掷3次后，分为两人分数差大于1分和不大于1分两种情况， 当两人分数差大于1分时，甲得分高于乙包括“甲得3分乙得0分”、“甲得3分乙得1分”、“甲得2分乙得0分”三种情况， 总的概率为， 当两人分数差不大于1分时，乙再进行一次抛掷后甲得分高于乙包括“得分差为0，乙投反面”、 “甲的得分比乙的得分高1分，此时无论乙再次抛掷的结果如何，甲的得分都将高于乙”两种情况， 总的概率 ， 所以比赛终止时甲得分高于乙的概率. 故答案为：. 14．（25-26高三上·山东·开学考试）电视台组织有奖答题活动，指定了三道题目，选手有两种答题方案可选. 方案一：回答这三道题目，至少有两道答对则获得奖金； 方案二：在三道题中，随机选两道，这两道题都答对则获得奖金. 假设小明对三道指定题目答对的概率分别为（均不为1），且三道题目是否答对相互之间没有影响. (1)分别求小明选择方案一和方案二时获得奖金的概率； (2)要想使获得奖金的可能性更大，小明应选择哪种答题方案?请根据数据计算说明. 【答案】(1)答案见解析； (2)选择第一种答题方案. 【详解】（1）设小明选择方案一获得奖金的概率为， 则， 设小明选择方案二获得奖金的概率为， 则， （2）由 ， 因为，所以， 即， 则， 故小明应选择第一种答题方案. 15．（25-26高三上·江西·阶段练习）某知识竞赛中有三类问题.参赛者从这三类问题中抽取两个问题进行回答，要求这两个问题属于不同类别.回答正确一个A，B，C类问题分别得30分，20分，10分，回答错误得0分.已知甲参与了该竞赛，且甲能正确回答类问题的概率分别为，每道问题回答正确与否相互独立，设甲的累计得分为. (1)若甲从两类问题中各抽取一个问题回答，求的分布列及期望； (2)为使得累计得分更高，试分析，甲应该从哪两类问题中抽取问题回答. 【答案】(1)分布列见详解，. (2)从两类问题中抽取问题回答得分更高. 【详解】（1）设甲回答类问题正确为事件，回答类问题正确为事件， 则. 累计得分可以取以下几种情况：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. （2）从两类问题中抽取一个问题回答， 设甲回答类问题正确为事件， 则. 累计得分可以取以下几种情况：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. 从两类问题中抽取一个问题回答， 累计得分可以取以下几种情况：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. 结合(1)，因为，所以甲应该从两类问题中各抽取问题回答. 16．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品． (1)求某球迷恰好获得1个纪念品的概率； (2)记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设每次抽中纪念品为事件，未抽中为事件 ，且， . 记 为“恰好获得1个纪念品”，则有以下可能情况： 第1次中，第2次未中，第3次未中：； 第1次未中，第2次中，第3次未中：； 第1、2两次均未中，则第3次必得：； 所以. （2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则 的可能取值为1,2,3. ； ； . 分布列 . 17．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 20 60 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率； (2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率； (3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设甲款机器人单次送餐成功的概率为，则； （2）设乙款机器人单次送餐成功的概率为，设丙款机器人单次送餐成功的概率为， 所以， 所以恰好成功两次的概率为 ； （3）由题意有， 所以， 所以. 18．（25-26高二上·浙江·开学考试）2025年6月23日雷霆队以大比分战胜步行者队捧起奥布莱恩杯.众所周知，总决赛采取7场4胜制，当两队大比分战成，第5场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲乙两支队伍闯入总决赛，首战甲获胜的概率为，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为，每场比赛结果相互独立. (1)求两场后双方战成的概率； (2)若首战乙胜，求再战三场双方战至后甲在“天王山之战”中获胜的概率； (3)求甲乙不需要进行第七场比赛的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件“第场比赛甲获胜”，事件“第场比赛乙获胜”， 事件“两场后双方战成1：1”， 所以 故有. （2）记所求事件为，包含的所有结果： 所以 （3）记为只进行场比赛的概率 ①只进行四场比赛的结果：则对应的概率为 ②只进行五场比赛甲获胜的结果：， 乙获胜的结果： ③只进行六场比赛甲获胜的结果： ， ， ，， 乙获胜的结果： ， ， ，， 6场比赛甲获胜的概率 对应乙获胜的概率所以 综上，甲乙不需要进行第七场比赛的概率为 考点二 条件概率 1．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）一个体育队有4名女运动员和3名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】用事件表示“第1次抽到女运动员”，事件表示“第2次抽到男运动员”， 第1次抽到女运动员包括第1次女第2次男：种，两次均为女种， 共种， 从所有运动员中依次取2名共有种， 则，，则， 则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为. 故选：C 2．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记事件两人取出的球颜色相同，事件两人取出的球同为蓝色，则， 则，， 由条件概率公式可得， 故选：C. 3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， . 又， 所以. 故选：A 4．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 【答案】D 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 5．（25-26高三上·广东·开学考试）某校积极开展社团活动，学期结束时，社团老师对参加社团的同学进行选择性考核．某社团有小明、小刚等5位同学参加，现选3位同学参加考核，则在小明被选中的条件下，小刚被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为“小明被选中参加考核”，事件为“小刚被选中参加考核”， 则，, 所以, 故选：. 6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点分布分别求得的概率，再，由求出，由条件概率公式计算. 【详解】随机变量均服从两点分布， ，， 又， ，由条件概率公式， 故选：D. 7．（25-26高三上·广东·开学考试·多选）掷一枚质地均匀的骰子，可等可能的得到1~6点，现投掷一次这枚骰子，记得到1点或2点或3点为事件，事件，与为两两互不相同的随机事件，且，，则（    ） A．存在事件B，使得 B．存在事件C，使得 C．存在事件B，C，使得 D．存在事件B，C，使得 【答案】ACD 【详解】若事件：4点；事件：5点，则事件为不可能事件，则，故A正确； 因事件，则，故B错误； 若事件：4点或5点；事件：5点，则事件：5点， 则，故C正确； 若事件：1点或2点或4点；事件：2点或3点或5点或6点，则事件：2点， 则，，，， 则，故D正确. 故选：ACD 8．（23-24高二下·云南丽江·期末·多选）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，故A错误； 对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球， 从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B正确； 对于C，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以， 若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球， 从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为， 所以，故C正确； 对于D，结合以上分析， ，故D正确. 故选：BCD. 9．（2025·江苏南通·模拟预测·多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意求解概率，即可结合条件概率以及并事件的概率公式求解. 【详解】由题意可得，故C正确， ，则，故B正确，A错误， ，故D错误， 故选：BC 10．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若，则 . 【答案】 【详解】由，得, 即， 故, 故答案为： 11．（25-26高三上·江苏·开学考试）已知，则 . 【答案】/0.8 【详解】因为， 所以， 故， 故答案为： 12．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）袋中大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是 ． 【答案】 【详解】设事件为第一次取出白球，事件为第二次取出白球， 因袋中一共有8个球，第一次取出白球的概率，此时袋中还剩下个球，其中白球个， 那么第一次和第二次都取出白球的概率为， 由条件概率公式，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是. 故答案为： 13．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则 . 【答案】/ 【详解】由题意，先将高二和高三年级的5个人全排列，有种排法，将高一年级2人进行插空，有种排法， 所以事件 “高一年级2人不相邻”的排法有种排法. 将高二年级3人进行全排列，有种排法，再将高二年级3人看作一个整体，和高三年级的2人进行全排列，有种排法， 排好后，将高一年级的2人进行插空，有种排法，所以事件共有种排法. 所以，. 故答案为：. 14．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）溺水是指人淹没于水或其他液体中，水与污泥、杂草等物堵塞呼吸道和肺泡，或因咽喉、气管发生反射性痉挛，引起窒息和缺氧，肺泡失去通气、换气功能，使机体处于危急状态，由此导致呼吸、心搏停止而致死亡.某校为了普及防溺水安全教育知识，在全校组织了一次防溺水安全教育知识竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)记随机变量为甲队的总得分，求的分布列和数学期望； (2)在甲、乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分不低于乙队得分的概率. 【答案】(1)分布列见解析，期望为20 (2) 【详解】（1）的所有可能取值为0，10，20，30， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 10 20 30 的数学期望为； （2）设甲、乙两队总得分之和等于30分为事件，甲队得分不低于乙队得分为事件， 设随机变量为甲队的总得分，随机变量为乙队的总得分，随机变量为甲、乙两队总得分之和， 则， 而的所有可能取值为0，10，20，30，的所有可能取值为0，10，20，30， 由题意，， 所以，由（1）知，，， 则 ， ， 故所求为. 15．（25-26高三上·天津·阶段练习）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗.一局比赛后输者需给赢者一面小红旗，若是平局不需要给小红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜，根据以往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4． (1)若第一局比赛后甲的小红旗个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）． 【答案】(1)分布列见解析，期望为3.1； (2)0.48 【详解】（1）X的可能取值为2,3,4， ，，， 故分布列如下： 2 3 4 0.4 0.1 0.5 数学期望为； （2）设比赛一共进行五局，第一局是乙胜为事件， 比赛一共进行五局，甲最终获胜为事件， 则事件表示第一局乙胜，剩下四局均为甲胜， 其中事件包含三种情况，①第二，三，四局中，乙胜一局，平两局，第五局乙胜， ②第二，三局中，乙胜一局，甲胜一局，第四，五局乙胜，③第二，三，四，五局甲胜， 则， 其中， 故 16．（25-26高三上·浙江·开学考试）某商场推出购物抽奖活动，盒子里放有10个相同小球，其中4个红球，6个蓝球，顾客从盒中不放回地抽取3个球，若恰好抽到3个红球为一等奖，奖金为100元，恰好抽到2个红球为二等奖，奖金为50元，其余不设奖. (1)在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，则该次抽奖获得二等奖概率是多少？ (2)求抽奖一次获得奖金的期望. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下， 要使该次抽奖获得二等奖，则抽取的第3个球一定为红球， 而此时总共有8个球，其中有3个红球，5个蓝球， 因此，在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，该次抽奖获得二等奖概率是. （2）设抽奖一次获得奖金为，则的取值为， 所以，， 则， 则. 17．（25-26高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验. (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）的可能取值为， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 （2）记事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件“恰好有2件次品”， ， 故已知抽到的4件中至少有1件次品，恰好有2件次品的概率为. 18．（25-26高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验． (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）由题意，次品数的可能取值为， 则，， ，. 故的分布列为： 0 1 2 3 （2）记事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件 “恰好有2件次品”， 则. 考点三 全概率公式与贝叶斯公式 1．（24-25高二下·湖南株洲·期中）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件， 则，，，， 根据全概率公式，． 故选：B． 2．（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 【答案】A 【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 3．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其他点数，则记下该点数（假设为），然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子，直至任意一方掷出点数或者6，该游戏结束.若掷出的是，则弟弟获得礼物；若掷出的是6，则哥哥获得礼物.该游戏中弟弟能获得礼物的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】第一次掷骰子的概率：掷出的点数为6，概率为，弟弟获得礼物；掷出的点数不为6，概率为，记下点数，进入后续阶段. 后续阶段的概率：设哥哥掷骰子时弟弟获得礼物的概率为，弟弟掷骰子时弟弟获得礼物的概率为. 若哥哥掷骰子：掷出，概率为，弟弟获得礼物；掷出6，概率为，哥哥获得礼物；其他点数，概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为，有，① 若弟弟掷骰子：掷出，概率为，弟弟获得礼物；掷出6：概率为，哥哥获得礼物；其他点数，概率为，轮到哥哥掷骰子，此时概率为，有，② 联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟获得礼物的概率为，则该游戏中弟弟能获得礼物的概率为. 故选：D. 4．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 5．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（   ） A．0.035 B．0.14 C．0.10 D．0 【答案】B 【详解】抛掷两枚骰子，基本事件有个，其中和为偶数的基本事件有个，和为奇数的基本事件有个. 所以学生回答第一、第二个问题的概率均为. 第一个问题中，第一颗骰子的点数比第二颗大的概率为. 设该地区中学生吸烟人数的比例约为， 由题意：，解得. 结合选项，最接近的是（选项B） 故选：B 6．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末·多选）已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（   ） A．此件产品是次品的概率为0.02 B．此件产品是次品的概率为0.025 C．此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D．此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04. 【答案】BD 【详解】对于AB，该产品是次品的概率为， A错误，B正确； 对于C，此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率， 来自于乙车间的概率，则，C错误； 对于D，此件产品是次品的情况下，来自于丙车间的概率，D正确. 故选：BD 7．（24-25高二下·云南·期末·多选）五人进行丢骰子游戏，最后统计每人所丢骰子的点数之和，点数之和最大的获胜．已知每人每次丢完后都等可能地随机传向另外4人中的1人．第1次由将骰子传出，记第次传骰子之后骰子在或手上的概率为，记第次传骰子之后骰子在手上的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可得，第1次由将骰子传出，传到或手上的概率为，故A正确； 设第次传到或手上的概率为，则次传到或手上的概率为， 则，即， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，故C正确； 当时，，故B错误； 同理第次传到手上的概率为，则次传到手上的概率为， 则，即， 因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，故D错误. 故选：AC 8．（24-25高二下·甘肃兰州·期末·多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，局比赛结束后赢得局以上的一方获胜．甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 【答案】ABC 【详解】对于A，，，，A正确； 当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， ， 当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的局比赛中 至少要赢局，则； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的局比赛中赢的局数 大于或恰好赢了局，因此； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的局比赛中赢的局数大于， 可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”与事件“在后续的局比赛中 恰好赢了局”的差事件，所以， 则 ， 即， 对于B，若，则，当时，，即， 则当时，最大，B正确； 对于C，若，则，当时，，即， 则当时，最小，C正确； 对于D，若，则，当时，，当时，， 即当时，，当时，，则当时，最大，D错误. 故选：ABC 9．（24-25高二下·福建三明·阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 【答案】 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一个零件为次品”， 则，，，， 所以 ， 所以取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为： . 故答案为：. 10．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）现有个箱子，每个箱子均有个小球，第个箱子中有个白球，其余为黑球，在这个箱子中任取一个箱子，再从该箱子中依次选出3个小球，若第3次选出的小球恰为黑球的概率是，则 ． 【答案】9 【详解】记“选到第个箱子”为事件， “从箱子中依次选出3个小球且第3个小球是黑球”为事件，则， 每个箱子均有个小球，第个箱子中有个白球和个黑球， 又因为从箱子中依次选出3个小球，每次选到黑球的概率相等， 所以第3次选出的小球恰为黑球和第1次选出的小球为黑球的概率都是， 由全概率公式， , 解得． 故答案为：9. 11．（24-25高二下·湖北武汉·期末）A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则 ，的数学期望 .（用表示） 【答案】 【详解】经过第一次操作得：，， 经过第二次操作得：；. 根据全概率公式可知：， ， 两式相加可得， 则：，时，， 所以，， 因为，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以. 故答案为：①；②. 12．（25-26高三上·北京·开学考试）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年-50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； (2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）由表可知300名调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为； （2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率， 由题意的可能取值为0，1，2，3，4 ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 ． （3）低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为． 利用全概率公式可得：． 13．（2025·广东·模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. (1)若，，求接收的信号为0的概率； (2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. （i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1的概率； （ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）答案见解析 【详解】（1）设“发送的信号为0”，“接收的信号为0”， 则“发送的信号为1”，“接收的信号为1”. 由题意可得. （2）（i）三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1， 此时依次收到1，0，1的概率为 （ii）记三次传输，发送1，依次收到0，1，1为，依次收到1，0，1为， 依次收到1，1，0为，依次收到1，1，1为，且事件相互互斥. 对于三次传输，记发送1，译码为1为事件， 记单次传输发送1，译码为1为事件，则. 因为，所以. 当时，有，即，此时选用三次传输方案. 当时，有，即，选用哪种传输方案都可以. 当时，有，即，此时选用单次传输方案. 14．（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 【答案】(1) (2)第1，2台车床操作员应分别承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 【详解】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥，根据题意得， ，，， ，，， 由全概率公式得 ； （2）“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率， ； ， ， 故第1，2台车床操作员应承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 15．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. (1)求小明答4道题后积分小于5的概率. (2)设小明答5道题后积分为，求. (3)若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则. （i）证明：为等比数列； （ii）求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）小明答4道题后积分小于5，则小明4题都答错，或答对1题，答错3题， 故所求概率为． （2）设小明答对的题数为，则他答错的题数为， 所以． 由题意知，所以，所以． （3）（i）当小明的积分为时，若小明接下来一题答对， 则积分变为，若小明接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有． 整理可得． 又，所以为等比数列． （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以． 所以 16．（25-26高三上·河北·开学考试）甲､乙两人参加射击比赛，规则如下：每轮由1人射击两次，若全中则此轮的射击者赢得比赛，比赛结束，否则进行下一轮射击，由另外的人射击两次，如此类推.经过抽签，第1轮甲射击，已知甲､乙每次射击命中的概率分别为，，各次射击互不影响. (1)若，记为比赛结束时的轮数，证明：； (2)若，记事件“比赛在第轮时未结束”，“甲赢得比赛”， （i）写出与的关系式并求； （ii）求. （参考：对于任意，当趋于无穷大时，） 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）答案见解析；（ii） 【详解】（1）表示第1轮甲射击没有全中，则， ，故每一轮，甲乙射击没有全中的概率均为， 故表示前轮射击没有出现全中，则， 同理知， 所以； （2）（i）解法一：甲在奇数轮时射击，乙在偶数轮数时射击， 记事件“甲两次射击没全中”，事件“乙两次射击没全中”， 则， 当为偶数，第轮由甲射击，发生等价于发生且甲两次射击没全中， 即，又各次射击互不影响，与独立， 所以①， 当为奇数，第轮由乙射击，同理②， 由①②知，当为奇数时，. 所以当为奇数时是首项为，公比为的等比数列，. 当为偶数，， 综上知， 解法二：甲在奇数轮时射击，乙在偶数轮数时射击， 记事件“甲两次射击没全中”，事件“乙两次射击没全中”， 则， 当为偶数，第轮由甲射击，由全概率公式知 . 在甲两次射击没全中的前提下比赛在第轮未结束等价于比赛在第轮未结束， 所以，即①， 当为奇数，第轮由乙射击，同理②， 由①②知，当为奇数时，. 所以当为奇数时是首项为，公比为的等比数列，所以. 当为偶数，， 综上知； （ii）解法一：甲只可能在奇数轮时获胜， 则， 表示比赛在第轮未结束，在轮结束， 所以， 所以， 又因为事件两两互斥， 所以 ， 因为，所以； 解法二：注意到若前2轮比赛仍未分出胜负，后续与刚开始比赛时完全一样，即“遗忘”了前2轮的结果， 从第3轮开始甲获胜的概率仍然为，即，体现无记忆性， 所以 ， 即，解得. 17．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）一个盒子中有大小和质地均相同的6个球，其中有3个白球和3个黑球．从中任取1个球，若取出白球，则将该白球放回盒中，若取出黑球，则将该黑球换成1个大小和质地均相同的白球放回盒中，这样的过程称为一次操作．记第次操作后，盒中白球的个数为，期望为． (1)求． (2)当时，证明：． (3)求. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）每次操作后盒中球的总个数始终是6． 第次操作后盒中有个白球的情况有两种： ①第次操作后盒中有个白球，即盒中有个白球、个黑球， 第次取出的是白球，其发生的概率为； ②第次操作后盒中有个白球，即盒中有个白球、个黑球， 第次取出的是黑球，其发生的概率为， 所以当时，. （3）由（1）知， ， ， 当时，的可能取值为3，4，5，6， ，由（2）得， ， 当或2时，上述4个等式也成立， 因此 ， 由，得， 因此数列是首项为，公比为的等比数列． 则， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $