集合新定义问题、容斥原理、集合含参问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

集合新定义问题、容斥原理、集合含参问题专项训练 集合新定义问题、容斥原理、集合含参问题专项训练 考点目录 集合新定义问题 容斥原理 集合含参问题 考点一 集合新定义问题 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】集合的总和为： 每个子集的和应为： 列举所有和为且满足三分划条件的子集组合： 组合一：     组合二： 组合三： 共种不同的分法. 故选：D. 2．（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为集合，则， 所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6个． 故选：C 3．（24-25高一上·北京·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 4．（24-25高一下·北京·阶段练习）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②若为“凸集”，则集合也是“凸集”； ③若，都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”． 其中，所有正确的命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】由题意得，若对于任意，线段上任意一点，都有， 则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析 对于①，，若对于任意满足，则， 由函数的图象知，对线段上任意一点，都有， 即，故为“凸集”，①正确 对于②，若为“凸集”，则对于任意， 此时，其中， 对于任意，，故为“凸集”，②正确 对于③，可举反例，若，， 任取，， 则对于任意任意，， 所以集合是“凸集”， 任取，， 则对于任意任意，， 所以集合是“凸集”， 取，， 但， 所以不是“凸集”，故③错误， 对于④，若都是“凸集”， 则对于任意， 任意，则，且， 故，故也是“凸集”，④正确； 故选：B. 5．（24-25高一上·湖南衡阳·开学考试·多选）集合 ， 是实数集 的子集，定义且，若集合，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】， ， ，. 故选：BCD 6．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习·多选）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（   ） A． B．若，且，则 C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则 【答案】ABD 【详解】对于A，令是非空数集S的元素，则，A正确； 对于B，由，得，可推得，即， 又，则，从而，则，因此，B正确； 对于C，符合要求，此集合为有限集，C错误； 对于D，由S中最小的正数为5，，可推得， 假设里有形如，那么， 与5是集合中的最小正整数矛盾，因此，D正确. 故选：ABD 7．（24-25高一上·浙江温州·期末·多选）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 【答案】BCD 【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误； 对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确； 对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G , 当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同， 比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义， 如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是5的倍数，故C正确； 对 D 选项， 将整数分成这10类， 依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类， 分两类情况，如果七个属于的集合各不相同， 比如， 那么肯定是10的倍数，且，满足的定义， 如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义， 故D正确． 故选：BCD. 8．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习·多选）非空集合A，B满足，且中元素个数不大于1.定义集合，，则（    ） A．集合A，B中元素个数之和为10或11 B．集合中元素个数最多为17 C．集合中元素个数最多为18 D．集合中元素个数最多为9 【答案】ACD 【详解】用表示有限集的元素个数,由题意，知非空集合满足,, 对于A，由，得或，因为， 当时，； 当时，，故A正确； 对于B，当，，此时，则，故B不正确； 对于C，∵中元素最大为，最小为，∴，，当取等号时，必有，而2只能为，只能为，故，这与矛盾.所以，即的最大值为18，故C正确； 对于D，∵非空，且，∴且中至少有1个元素不在中，∴，当，时取等号，所以D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 【答案】 【详解】由题设定义知， 故答案为：. 10．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）集合是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则 ， ． 【答案】 【详解】， ， 则，， . 故答案为：；. 11．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【详解】，，． 故答案为：或 12．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以的第2024个子集是. 故答案为： 13．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知数集具有性质：对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)求证：. 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）对于数集，若具有性质，则，， 因为，即， ，即， ，即， 所以具有性质； 对于数集，若具有性质，则，， 因为，即，，即， ，即，，即， ，即，，即， ，即，，即， ，即，，即， 所以不具有性质. （2）因为集合具有性质： 即对任意的，使得成立， 又因为，，所以，， 所以， 即， 将上述不等式相加得：， 所以， 因为，所以， 故． 14．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得：， ． （2）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，，均有，， 由任意性可知，，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件． 15．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合． (1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明； (2)若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)若集合为闭集合，且，，证明：． 【答案】(1)A不是闭集合，B是闭集合，证明见解析 (2)不一定，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）A不是闭集合，B是闭集合． ∵，，，∴A不是闭集合； 任取，设，，，则且，∴，同理，，故B为闭集合； （2）结论：不一定； 不妨令，， 则由（1）可知，为闭集合，同理可证为闭集合， ∵，， 因此，不是闭集合， ∴若集合为闭集合，则不一定为闭集合； （3）假设， 由，可得存在且，故； 同理，存在且，故， ∵，∴或． 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 综上，不成立，故． 16．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交． (1)若，写出 中与x正交的所有元素； (2)令，若，证明：为偶数； (3)若，且A 中任意两个元素均正交，当时，A中最多可以有多少个元素. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见解析 (3)2个 【详解】（1）设，且， 若与正交，则， 可得或或或或或； 中所有与x正交的元素为． （2）对于，存在，，使得． 令，， 当时，，当时，． 那么． 所以为偶数． （3）若时，不妨设 则与正交． 假设且它们互相正交． 设a，b，c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外． a，b相应位置数字都相同的共有m个， b，c相应位置数字都相同的共有n个， 则． 所以，同理． 可得． 由于， 可得矛盾． 所以除外任意三个元素都不互相正交． 综上，时，A中最多可以有2个元素． 考点二 容斥原理 1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，这两项运动都不喜欢的有6人，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【详解】人这两项运动都不喜欢，喜欢一项或两项运动的人数为人； 喜欢两项运动的人数为：人， 喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为人. 故选：B 2．（24-25高一上·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（   ） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 【答案】D 【详解】因为高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加， 所以这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有名． 故选：D. 3．（24-25高一上·新疆·期中）自年起，江西新高考采用“”模式，其中，“”为全国统考科目，即语文、数学、外语；“”为首选科目，考生要在物理、历史科目中选择门；“”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物学个科目中选择门.已知某校首选科目为物理的考生有人，其中再选科目选了化学的有人，再选科目没有选生物学的有人，再选科目同时选了化学和生物学的有人，则该校首选科目为物理的考生中，再选科目同时选了思想政治和地理的人数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】再选科目同时选了化学和生物学的有人， 再选科目选了化学，没有选生物学的有人； 再选科目没有选生物学，也没有选化学的有人， 即再选科目同时选了思想政治和地理的人数为人. 故选：C. 4．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， ， ， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为人. 故选：C. 5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某单位为丰富职工的业余生活，举办了一届职工运动会．已知该单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140，120，108，同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数为30．三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为（    ） A．21 B．26 C．31 D．37 【答案】A 【详解】设该单位共有职工人数为，， 参加比赛的人数为， 设参加乒乓球的人数为，参加篮球的人数为，参加羽毛球的人数为， 则，，， 设同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数， 同时参加乒乓球、羽毛球比赛的人数， 则，， 设同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数，三项比赛都不参加的人数为， 则，， 则由容斥原理得， 代入相应数值得， 解得， 设只参加羽毛球比赛的人数为， 则由容斥原理得. 故选：A 6．（25-26高三上·陕西·阶段练习）有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、. 由题意得总人数，且， 则. 参加各项目的人数总和为， 该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次， 故， 将代入可得，即， 联立方程组， 解得，即种球类训练都参加的人数为人， 故选：A. 7．（2024·河北石家庄·三模·多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 8．（24-25高一上·浙江杭州·期中·多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】AB 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 只参加100米比赛的有人， 只参加400米比赛的有人， 只参加1500米比赛的有人. 故选：AB 9．（24-25高一上·云南昆明·期中·多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 10．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人． 【答案】2 【详解】若同时去过的有人，则，可得. 故答案为：2 11．（25-26高一上·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 【答案】21和8 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合， 设对事件、都赞成的学生人数为，则对、都不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，作出Venn图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对、都赞成的学生有21人，都不赞成的有人． 故答案为：21和8 12．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 13．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）某校举行运动会，集合是该校参加运动会的学生，是参加跳远项目的学生}，是参加短跑项目的学生，是既参加跳远项目又参加短跑项目的学生． (1)试用Venn图表示这些集合之间的关系． (2)若参加跳远项目的学生数为20人，参加短跑项目的学生数为15人，两个项目都参加学生数为5人．求至少参加了其中一个项目的学生人数． (3)有限集中元素的个数可以一一数出来，若M是有限集，常用来表示M中元素的个数．如，则．用表示出． 【答案】(1)答案见解析 (2)30人 (3) 【详解】（1）由题意可得：    （2）如图可知，    “至少参加了其中一个项目的学生人数”即为“参加跳远或参加短跑项目的人数”， 所以该人数为人. （3）由题意可得：. 14．（24-25高一上·浙江·阶段练习）为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查. (1)小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围； (2)某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数. 【答案】(1) (2)28人 【详解】（1）由题意得，且，解得， 故的取值范围为； （2）设只玩的人数为， 由图得，解得， 则人. 故班上这三种游戏都不玩的同学有28人.    考点三 集合含参问题 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）设集合.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合又，所以，即， 故选：D. 2．（25-26高三上·广西·开学考试）已知集合，，且的元素个数为2，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，得，则的取值范围为. 故选：D. 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知，若，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，又， 所以. 故选：A 4．（25-26高三上·广东·开学考试）设集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 5．（24-25高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，.若，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由已知结合图象可得，. 故选：C. 6．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为，则， 当时，不成立，所以，所以满足， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 综上可知：. 故选：A. 7．（24-25高一下·四川广元·阶段练习·多选）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因集合，， 满足，则得或， 解得或． 结合选项，实数a的取值范围可以是或． 故选：CD． 8．（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习·多选）已知，集合，集合，则下列正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 【答案】AD 【详解】，集合，集合，则A， 若，则实数的取值范围是； 若，则实数的取值范围是， 故选：AD. 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数a的取值范围是 【答案】 【详解】由题意可得， ，， 当时，，可得； 当时，，显然成立； 当时，，可得； 综上所述，. 故答案为： 11．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是 ． 【答案】. 【详解】由题: ,, 因为,所以, 借助数轴，所以 故答案为: . 12．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）已知集合，集合.若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为， 所以根据对数函数的性质可得，即. 所以集合. 因为集合， 对于，都成立，当时等号成立； 当时，，则集合， 当时，集合，即. 因为，所以. 当时，符合题意，此时； 当时，为满足题意，则，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 13．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为集合 ， 所以 ， 解得 ， 所以集合 ， 可得当时，集合 ， 又因为全集 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以. （2）因为 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以 ， 即实数的取值范围为 ． 14．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）设全集U=R,已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）或. 或. （2）由， 则①当时，由，解得； ②当时，或 解得或． 综上，实数的取值范围为． 15．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)R (2) 【详解】（1）当时，，或， 所以R. （2）集合，或， 由，得，而，所以. 16．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1),; (2). 【详解】（1）, 当时,, 所以， （2）若，则， 又， 所以. 17．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知集合，． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为且，故，故. （2）， 因为是的必要不充分条件，故为的真子集， 而，故且即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $集合新定义问题、容斥原理、集合含参问题专项训练 集合新定义问题、容斥原理、集合含参问题专项训练 考点目录 集合新定义问题 容斥原理 集合含参问题 考点一 集合新定义问题 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高一上·北京·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 4．（24-25高一下·北京·阶段练习）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②若为“凸集”，则集合也是“凸集”； ③若，都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”． 其中，所有正确的命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（24-25高一上·湖南衡阳·开学考试·多选）集合 ， 是实数集 的子集，定义且，若集合，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习·多选）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（   ） A． B．若，且，则 C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则 7．（24-25高一上·浙江温州·期末·多选）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 8．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习·多选）非空集合A，B满足，且中元素个数不大于1.定义集合，，则（    ） A．集合A，B中元素个数之和为10或11 B．集合中元素个数最多为17 C．集合中元素个数最多为18 D．集合中元素个数最多为9 9．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 10．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）集合是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则 ， ． 11．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 12．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 13．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知数集具有性质：对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)求证：. 14．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件． 15．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合． (1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明； (2)若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)若集合为闭集合，且，，证明：． 16．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交． (1)若，写出 中与x正交的所有元素； (2)令，若，证明：为偶数； (3)若，且A 中任意两个元素均正交，当时，A中最多可以有多少个元素. 考点二 容斥原理 1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，这两项运动都不喜欢的有6人，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 2．（24-25高一上·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（   ） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 3．（24-25高一上·新疆·期中）自年起，江西新高考采用“”模式，其中，“”为全国统考科目，即语文、数学、外语；“”为首选科目，考生要在物理、历史科目中选择门；“”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物学个科目中选择门.已知某校首选科目为物理的考生有人，其中再选科目选了化学的有人，再选科目没有选生物学的有人，再选科目同时选了化学和生物学的有人，则该校首选科目为物理的考生中，再选科目同时选了思想政治和地理的人数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某单位为丰富职工的业余生活，举办了一届职工运动会．已知该单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140，120，108，同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数为30．三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为（    ） A．21 B．26 C．31 D．37 6．（25-26高三上·陕西·阶段练习）有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北石家庄·三模·多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 8．（24-25高一上·浙江杭州·期中·多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 9．（24-25高一上·云南昆明·期中·多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 10．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人． 11．（25-26高一上·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 12．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 13．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）某校举行运动会，集合是该校参加运动会的学生，是参加跳远项目的学生}，是参加短跑项目的学生，是既参加跳远项目又参加短跑项目的学生． (1)试用Venn图表示这些集合之间的关系． (2)若参加跳远项目的学生数为20人，参加短跑项目的学生数为15人，两个项目都参加学生数为5人．求至少参加了其中一个项目的学生人数． (3)有限集中元素的个数可以一一数出来，若M是有限集，常用来表示M中元素的个数．如，则．用表示出． 14．（24-25高一上·浙江·阶段练习）为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查. (1)小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围； (2)某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数. 考点三 集合含参问题 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）设集合.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广西·开学考试）已知集合，，且的元素个数为2，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知，若，则的范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东·开学考试）设集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，.若，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 7．（24-25高一下·四川广元·阶段练习·多选）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习·多选）已知，集合，集合，则下列正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 10．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数a的取值范围是 11．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是 ． 12．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）已知集合，集合.若，则实数的取值范围为 . 13．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 14．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）设全集U=R,已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，且，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知集合，． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $