12第八周知识点梳理+测评同步测试卷(14.2 乘法公式14.3 因式分解)-【培优好卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步测试卷(人教2024)

FM-7EF-3.:.DF-DM-FM-7-3-4..OF-DF+OD-4+14-18. 三、16.证明：AD平分∠BAC,·∠BAD=∠CAD.:DE∥AC,∴.∠EDA=∠CAD,.∠BAD= ∠EDA.,AD⊥BD,∴.∠B+∠BAD=90,∠BDE+∠EDA=90°.∴.∠B=∠BDE,∴.EB= ED,∴，△BDE是等腰三角形. 17.解：(1)线段AC的垂直平分线如图所示：(2)，AB=AC, ∠BAC=120°，∴.∠C=∠B=30°，，DE是AC的垂直平分 线，∴.AD=CD,∴.∠DAC=∠C=30°，∴.AD=CD=2DE=2 ×2=4(cm),∠BAD=120°-30°=90°，∴.BD=2AD=8cm, .BC=BDCD=8+4=12(cm). 18.解：(1)如图所示，△ABC即为所求作的三角形，点B的坐标为（一4，一5）. B -10 :B1 (2)如图所示，△A2BC4即为所求作的三角形，点B的坐标为(4,5).(3)(2一a,) 19.解：，△BDE是等边三角形，.∠DBE=60°.，在△ABC中，∠C=∠ABC,BE⊥AC,.∠C ∠ABC-∠ABE+∠EBC,则∠EBC=∠ABC-60°-∠C-60°，：∠BEC-90°，∴.∠EBC+∠C 90,即∠C-60°+∠C=90°，则∠C=75°，∴.∠ABC=75°，∴.∠A=30°.，∠AED=90°-∠DEB= 30,.∠A=∠AED,.DE=AD=4,.BE=DE=4. 20.解：如图，在AB上截取AE=AC,连接DE.,AD平分∠BAC,∴.∠EAD=∠CAD.,AE=AC, AD=AD,∴△ADC≌△ADE(SAS),∴，CD=DE.,AC+CD-AB,∴，CD=BE,∴，DE=BE, ∠B=∠EDB.:AC=BC,∴.∠BAC=∠B.设∠BAC=∠B=∠EDB=x,则∠AED=∠B+ ∠EDB=2.x=∠C.,在△ABC中，.x十x+2.x=180°，解得x=45..∠C=90, B 第20题 第21题 21.解：分别作点P关于直线OB,OA的对称点C,D,连接CD,分别交OA,OB于点M,N,连接OC, OD,PM,PN,如图所示：，点P关于直线OA的对称点为D,∴.PM=DM,OP=OD,∠DOA ∠POA:,点P关于直线OB的对称点为C,∴.PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,.OC=OP OD,∠AOB=号∠COD,:△PMN的周长的最小值是5cm,.PM+PN+MN=5cm,DM+ CN+MN-5cm,即CD-5cm=OP,∴.OC-OD-CD,即△OCD是等边三角形，∴.∠COD-60°，. ∠AOB=30°. 22.解：(1)在Rt△ADB中，：∠A=60°，∠ADB=90°，∴∠ABD=30°.AB∥CD,∴∠CDB= ∠ABD=30°，又：∠DBC-∠BDC..∠CBD-∠CDB-30°.(2) 如图，过点C作CM⊥BD于点M,交AB于点E,连接DE,,∠DBC =∠BDC,.BC=CD,又，CM⊥BD,.DM=MB..CE为线段BD 的垂直平分线，.DE=EB,∴.∠EDB=∠EBD=30°，，∠CDM= 30,∠CMD=90,∴.CM=7CD=7×4=2.又：∠EBM= ∠CBM=30°，∠EMB-∠CMB=90°，BM=BM,∴.△EBM≌△CBM(ASA).∴.EM=CM-2. ∠EDM=30°，∠EMD=90°，∴.DE=2EM=4.,∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°，∠A=60,. ∠DEA=∠A.∴.AD=DE=4.又，∠ADB=90°，∠ABD=30°，，AB=2AD=8. 23.解：(1)①60②60(2)，O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴.AO=CO,∴.∠OAC=∠ACB =a.∴.∠EAC=∠DCB=180°-.'AC=BC,AE=CD,∴，△AEC≌△CDB(SAS).∴.∠E=∠D :∠DCF-∠ACE,∴.∠BFE-∠DCF+∠D-∠ACE+∠E-∠OAC-a. 期中测评卷 -、1.A2.C3D 4.A[解析]点P(一3,1)关于y轴对称的点的坐标为(3,1)，在第一象限，故选A. 5.D6.B 7.B[解析]：BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,∠PBC-是∠ABC-是×60-30，∠PCB 38 号∠ACB-令×80-40：.由三角形的内角和定理可知：∠BPC-180°-∠PBC-∠PCB-180 -30-40-110°.故选B 8.D 9.B[解析]如图，在△ABC中，AB=AC,D为边AC的中点，设腰长为 2xcm,一腰上的中线为3cm,则(2.x+x+y)-(5+x+y)=3或(5十x十y) -(2x+x+y)=3,解得x=4或1，.2x=8或2.①△ABC三边长为8cm, 8cm,5cm时，符合三角形三边关系：②△ABC三边长为2cm,2cm,5cm时，2 十2<5，不符合三角形三边关系，故选B. 10.C[解析]，EF⊥AC,∴.∠FEC=∠ACB=90°.，CF=BA,EC=BC= 5cm 5cm.∴.Rt△ABC≌Rt△FCE.'.∠F-∠A,∠FCE=∠B,AC=EF=12cm∴.AE-AC-EC= 7cm.B正确：，∠FCE+∠FCB=90°，∴.∠B十∠FCB=90°..AB⊥CF,D正确：∠FEC+∠ACB -180°，∴.EF∥BC.∴，∠F-∠BCF.A正确.根据题中条件，无法证明EF平分AB.C错误.故 选C. 二、11.AB∥FE(或AC∥DE)12.15或16或17 13.3:4解析]AD是∠BAC的平分线，∴点D到AB,AC的距离相等，.Sm:S=6:8 =3:4过点A作AE⊥BC于点ES即=之BD·AE,Sm=之CD·AE,BD:CD S△sD:S△D=3:4. 14合7a[解析]由折叠的性质可知，∠ADE-∠ADE=之180°-B)=90°-7A∠AED ∠A'ED.设∠DBC-x,则180-=a十x,解得x=90-Za,·∠A=∠DEC-∠ADE-zB 15.①②③④[解析]，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,.∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF, ∠OBC+∠0CB-7(∠ABC+∠ACB)-Z(180-∠A)-90°-7∠A.·∠B0C-180° (∠0BC+∠0CB)-18G-(90-号∠A)-90°+号∠A①正确：EF∥BC,∴∠B0E- ∠OBC,∠COF=∠OCB,∴.∠OBE=∠BOE,∠OCF-∠COF.∴.BE=OE,CF=OF.∴.EF=OE +OF-BE+CF.②正确：连接OA,作OP⊥AB于点P,OQ⊥BC于点Q.:BO平分∠ABC,CO平 分∠ACB,.OP-OQ-OD,即点O到△ABC各边的距离相等.③正确；.S△gr-S△e十S△oF -子AE·OP+7AF·OD子(AE+AF·OD-合m.④正确.综上所述，正确的结论有① ②③④. 三、16.解：，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴.∠BAC=180°-30°-70°=80°.'AE平分∠BAC, ∠BAE=文∠BAC-40:AD是△ABC的商，∠ADB=90,∠BAD=90°-∠B=90 -30°=60°，.∠DAE=60-40=20°. 17.解：如图，将DE向两边延长分别交AB,AC于点M,N,在△AMN中， AM+AN>MD+DE+NE:①在△BDM中，MB+MD>BD:②在 △CEN中，CN+NE>CE:③.①+②+③，得AM+AN+MB+MD +CV+NE>MD+DE+NE+BD+CE,所以AB+AC>BD+DE +CE. 18.解：(1)3一31一141(2)所作△ABC2如图所示. yt C (85m=3X4-合X1X4-之×2x8-÷×2x2=5 19.(1)证明：AC=AD+DC,DF=DC+CF,且AD=CF,∴.AC=DF.AB=DE,BC=EF, △AB≌△DEF(SSS).(2)解：△AB≌△DEF,∴.∠F=∠ACB.,∠A=60°，∠B=80°，. ∠ACB=180°-（∠A+∠B)-40.∴.∠F=∠ACB=40°， 20.解：(1)AB=AC,AD⊥BC,.∠BAD=∠CAD,.∠BAE=2∠CAD=52°.，BE⊥AC, ∠AEB=90°，∴.∠ABE=90-52°=38°.(2)，AB=AC,AD⊥BC,.BC=2CD=6cm 21.解：(1)，OM是边AB的垂直平分线，ON是边AC的垂直平分线，∴.AD=BD,AE=CE.∴. △ADE的周长为AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC.∴.BC=5cm(2),BC+OB+OC 13cm,BC=5cm,.OB+OC-8cm.,OM是边AB的垂直平分线，ON是边AC的垂直平分线，. OA=OB.OA=OC...OA=OB-OC-4cm. 22.(1)解：，CD∥AB,.∠B=∠DCE.,AE是△ABC的中线，.BE=CE.∠AEB=∠DEC,. △ABE≌△DCE..DE=AE=3.(2)证明：，△ABE≌△DCE,∴.AB=CD.,'AF平分∠DAC, ∴.∠CAF=∠DAF.AC=DE,AE=DE,.AC=AE.'AF=AF,.△CAF≌△EAF.∴.CF= EF..AF-DF,..AB-CD=DF+CF-AF+EF. 23.解：(1)△ABD△ACE BD=CE60°(2)①∠BDC=90.°理由：，'△ABC和△ADE均为等腰 直角三角形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+ ∠CAD,即∠BAD=∠CAE.∴.△BAD≌△CAE.∴.∠ABD-∠ACE.,'∠ABD+∠DBC+∠ACB =90°，∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°，即∠DBC+∠DCB=90°.∴∠BDC=90°，②DE-E +2. 第七周知识点梳理十测评 知识点练习 1.C2.D3.D4.B5.C6.±4a87.A 8.解：(1)原式=9.xy2·(-2xy)=-18xy2,(2)原式=4a·(-8a)=-32a°. 9.C 10.10xy2-2x2[解析]-(-x)2·(-2x2y)3+2x2(xy2-1)=-x2·(-8.xy2)+2xy-2.x2= 8.xy2+2xy-2.x2=10.xy2-2.x2 11.x2+xy+y-112.C13.B14.C15.B16.A17.C18.A 19.解：[(-15.x+3.r2+x+2-(x+2)]÷3x2--52+1.所以商式为-5.x2+1. 本周测评 1.C2.A3.D4.D 5.B[解析](x+m)(x一6)=x2十(n一6)x一6m.,结果不含x的一次项..n一6=0，解得n=6, 故选B 6.A 7.B[解析]依题意得M=(4a2b-3a)÷(-4a+3b)=ab(4a-3b)÷[一(4a-3b)]=-ah.故选B. 8.D 二、9.6a2b 10.9[解析](3")2(32)”=32w·32=32w-如=32w-0=9. 11.4 12.3.6×10cm[解析]长方体的体积为2×10×1.5×10×1.2×102=3.6×10(cm). 13.4a[解析]由题意可得A=16aB÷(一2a2b)=-8a3b,则A÷(-2db)=4ab.故答案 为4a, -3x-2w 14解：a原式-15r10)“品-15ry高-10· (2)原式=a2-b+ab+a2b-a++27=a2+3b. (4)原式=-a+16a-a·9a2=15d-9a=6a. 15.解：原式=一27(n十n)3·(m-t)·4(n十n)2·(n-n)2=-108(m十t)°·(m-)3,当n=-3, =2时，原式=-108×(-3+2)3×(-3-2)3=-108×(-1)×(-5)3=一108×53 -13500. 16.解：=(x2)=2-512,3y-(y)7=3=2187,2187>512,.a<y,xy. 17.解：B时A=+号，A=2,B=6+号)2x-20+rB+A-22++2x 18.解：因为(2a+)(a十b)-2a2+3ab十？，所以所用A,B,C三类卡片分别为3张，1张，2张. 第八周知识点梳理十测评 知识点练习 1.A2.(1)25b-49(2)2.x+31-5a3.B4.D5.C6.C7.D8.A 9.(1)3(2)2.x(x-2)(3)b+c-a10.x(x+3)11.2.x-5y12.C13.a(b+1)(b-1)14.2 (a+3)(a-3)15.C16.4(b-1)217.A18.D 本周测评 一、1.A[解析]A进项，（一x十y)(一x一y)=(x一y)(x+y)=r2一y,正确：B选项，（一x十y)(x十 y)=y一x,错误：C选项，(x+y)(-x-y)=-(x+y)(x十y)=一x-2xy-y,错误；D进 项，(x-y)(一x一y)=-(r-y)(r+y)=一十3y,错误.故选A 2.B[解析]3(x-y)-2(y-x)2=3(x-y)-2(x-y)2-(x-y)(3-2.x+2y).故选B. 3.A[解析]原式-m(m-1)-(m-1)=(m-1)≥0，即不是负数.故选A 4.C[解析]a-3=4,.(a-3b)2=4,即a2-6ab+9b=16.又，(a+3b)2-a2+6ab+9-11, .12ab-11-16=-5,.ab= 2.故选C 5 5.C6.B 7.A[解析]n=x2-2y,=1+y-(-2.x2）=1+y+2x2,.2m-4n=2(x2-2y)-4(1+y +2.x2)=2x2-4y2-4-4y2-8.x=-6.x2-8y2-4.故选A. 8.B[解析](m十3)2-(3n-u)2=(m十31+3m-)(n十31-3n十n)=(4m+2)(一2m十4n)= -4(2n+i)(n-2n)=-4×25×2=-200,故选B 二、9.y(x+3)(x-3) 10.-1[解析]当a十b=1时，原式=(a十b)(a-b)十2h-2=a-b+2b-2=a十b-2=-1. 11.49[解析]由a=7-3b,得a十3b=7,故原代数式=(a+3b)-7=49. 12.12 13.(答案不唯一)(a+b)2+2(a+b)c+2[解析](a+b+c)”=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c 十2.本题答案不唯一 14.解：(1)原式=(3.x+y+x-3y)(3.x+y-x十3y)=(4x-2y)(2.x+4y)=4(2.x-y)(x+2y).(2) 原式=P-3p-4+3p=P-4=(p+2)(p-2). 15,解：原式=-1+2-r-2x-1将x=之代入，原式=2×之-1-0 16.解：能理由如下：，(21十1)2-(21-1)2=(2n+1十2-1)(21十1-21十1)=4×2=8，. [(21十1)2一(21-1)2]÷8=礼.，n为整数，∴.(2十1)2一(21一1)2能被8整除 17.解：(x-y)2-2.x+2y+1=0,.(x-y2-2(x-y)+1=0,即(x-y-1)2=0,∴.x-y-1=0. 7 长方形的周长为16cm…2(x十y)-16,即x+y-8.x=之，y-之长方形的面积为？ ×号(m 18.(1)C(2)不彻底(x-2)1(3)解：设x2-2.x=y,原式=y(y+2)+1=y+2y+1=(y十1) (.x2-2.x+1)2=(x-1)1. 第十四章测评卷 -、1.C2.C 3.B[解析](-6.x2+9.x2-3x)÷(-3x)=(-6.x3)÷(-3x)+9x2÷(-3r）-(3.x)÷(-3.x)=2x -3.x十1.故选B 4.B[解析]0-2-了=-(d+寸，不能分解因式：②-子d8+1=1-十d形=1-之ab) (1十号ab),可利用平方差公式分解因式：③d十2ab十B=(a十b)2,可利用完全平方公式分解因 式：④-子+2r一y,不能分解因式：回青-m十m=(-mm),可利用完全平方公式分解因 式.故选B 5.A 6.A[解析]由题意得：2x(x-3)一(x-1)十3=x2一4x十2，，x一4x-1=0,.x2一4x=1,,原式 =x2-4.x十2=1十2=3.故选A 7.A[解析]2a1-41-2a-1(1-2a2),故选A 8.C9.A10.A 二、11.n(x-1)2[解析]n.x2-2mx十n=m(.x2-2.x+1)=n(x-1)2 12.013.3 14.等边三角形[解析]：a2+26+2-2ab-2k=0,∴.(a2-2ab+6)+(-2k+c2)=0,即(a b)2十(b-c)2=0.,(a一b)2≥0，(-c)2≥0，a=b,b=,a==c..该三角形是等边三角形. 15.190[解析]由题图可得，(a+b)1的第三项系数为3=1+2；(a+b)1的第三项系数为6-1十2 3;(a十b)°的第三项系数为10=1十2十3十4…：则(a十b)”的第三项系数为1十2十3十…+(n 一2)十(1一1)..(a十b)”的第三项系数为1十2十3十…十19=190. 三、16.解：(1)原式=2+2.xy+y-x2-2ay=3y.(2)原式=2a-2ab+ab-∥-2a+ab=-. 17.解：(1)原式=3.x(x2-4)=3(x+2)(x-2).(2)原式=y(x2-2xy+y2)=y(x-y)2 18.解：原式=9.x2-4+x2-2x=10x2-2x-4.5.x2-x-1=0,.5x2-x=1,.10x2-2x=2,.原 式=2-4=-2. 19.解：原式=x2+2.xy+y+x2-y-2x2=2xy当x=√2，y-3时，原式=2×√2×3=26 20.解：M·N+P=(.+5x-a)(-r+2)+(2+3.2+5)=-2+2.x2-5.x2+10.x+ax-2a+x2 3.x2+5=(10+a)x-2a+5.由题意得10+4=0，解得a=-10. 21.解：5s-d+分-之aa+-号8-子c-号ah+之，当a+b-16,h-60时，原式 [(a+b2-3ah]=7(16-180)-38. 22.解：(1)C(2)m>>0,.3n>,.3m->0.3n十n=9,n=6,∴.(3n-n)2=9n2+- 6n1=9m2+2+6n1-12m1=(3m十n)2-12m=92-12×6=9..∴.3n-=3. 23.解：(1)设另一个因式为x+t,得2x2-5r+=(2.x-3)(x十t)=2x2+(2t-3)x-3t,则 解得{3故另个因式为1，k的值为3。(2)(x一2)(x+)=天士 1-3=k. 2)x2a=5+6,心{26解得a=3.（3(2x-1)x+5)=2r+9-5 2x2+hx-5,.b=9. 第九周知识点梳理十测评 知识点练习 1.C2.D3.B4.D5.B6.B7.D 8解，原式=-办原式a西器 (a-2b)2 426 9.C 10,30m十0m-》[解折]”元m十nm-刀'3mn3n·所以最简公分号为3m 十n)·(n-). 11.解：(1)x-y (x-(士2=-立，2父=2 xty xFy'x+y x+y 12.D13.A 14赋2.2g号片 (2+a) 4-2 a-1 15.B a a a 本周测评 -、1.B 2.D[解折号--+1)-一L做选D 一(x-1） 3.A 4R「解析百十百_写+百)X12 合故选B 5.D 6.A[解折]原式-士士二士-士卫-2：2-1. 4ry 4ry 7D[解标]A选项二号数A特误B选项号-导，做B错送，C选项，品 片故C错误D选项，子故D正感数选D 8.B 二、9.x≠7 10+1[解折]片产六×一1c+1)-1. 11.b-a形 [解折]命兽产÷a-=安·产·ad 1 a2b-a形1 12.4=±y 13.冬[解折]爱号-÷-≠0，则a=2,6k∴2品(a一20)一a一22而口 5a-b -2w4》兴0子 三4解，原式·六·当原式号昌2.a (x+2)2 0一2 (a-1)2 1)(a-1)=a2+3a+2. 15.解：a-2F-16-0,a-2)°+18-161=0且b+4≠0，解得a=2,b=4.3a-b b+4 =2. 16解：原式=a”-22》-路 a(d2-4) (a-2b)2 一-2品当4=2，b=-分时，原式 1 2+2×(-立) 1 2-2x(-7) 1n.解”-00-2-2动-0-告-器 2x+y r-y 3y-y 2y 7 18解空÷异(》=·-以.所以，当2政2时原 (x-1)2 式的值都等于16. 第十周知识点梳理十测评 知识点练习 1.A2.A3.A 4解，原式-由古-由×a+0品。-而 ab 1 ab (2)原式-a-Da+1)+1.4+1 a+1 a+1 ‘+2a十·aa+2-a千2 5.D 6.D[解析]，(x一3)°-2(2x一4)1有意义，x一3≠0且2x一4≠0，x≠3且x≠2.故选D. 7.B8.D 9D[解折]0元-1的分学不含未知数，故不关分式方程：@子-2，③岸合，①÷+ 7有一5是分母中含未知数的方程，故②③④是分式方程.故选D 10.B 1.=[解析]去分母，得(+2)=(-1)；去指号，得2+2=-2x十1：移项，合并同类 项，得4r1:系数化为1，得=检验：当=十时-1+2)0，故是原分式方 程的解 12.解：方程两边乘(x+1)(x-1),得x2+2x+1-4=x2一1.解得x-1.检验：当x-1时，(x+1)(x 一1)一0，因此x=1不是原分式方程的解，，原分式方程无解. 13.D14.160=200 xx+5 本周测评 一、1.C[解析]，1≤t10,∴.300000≤3000001≤3000000，即3×104≤300000t≤3× 10,.n可能为5或6. 2.A3.B 4D[解折]m一3m女十女--3技选D 3心解片片片六古片-n六×片 2 2 片片片·日-x故选C 6.C[解析]：m(m+2)=2片士4m士4m+2-m2少×2E Xmmm+2)=2.故选C 7D[解折]-2是分式方积声-的解岩-二解释a-3,经检验-3足 岩-曰的解，故选D 8.A 二、9.0 1 10.m一0 2(m-n) m-3n [解析]原式=(mD(m-一(m十(m一D 2n-2-m十3n n十社 =m+7(m-0) (n+n)(n-n） 1 一m一0 1.号[解折]写六与产的位互为相反数心写十2乙一0方程两边秦6-2-3 2 2 得2-3r十10-2x-0,解得一号.经检验-号为分式方程的解，故答案为号 12音[标]止+子-2将十一2则产品一器-是，故答米 13.3[解折]去分母得3一m十3+（一2，整理，得2一十1.关于的分式方程票2一岂号 1有增根，x-2=0,.x=2,把x=2代入2x=n十1，得2×2=n十1，.m=3. 14.解：(1)原式= ×片2-o+说a2y 原式 [片]山-片中-片×品 厂x(x十1) x-1 x-1 15.解：1D由原方程，得(r-22-3x=(-2).-4r十4-3x=r-2x-5x=-4=号.经检 验，一号是原方程的根。(2)方程两边乘3r一1)，得一6r一2十1解得x-号.检验，当x 吉时，3x一1=一号≠0，∴原分式方程的解为=号 16,解：原式==：=4·a+1a-D-4-1.当a=5+1时.原式=5. 解：由哪意得六十产少-0，即片一学=心解得一子经检验=子是原方程的 根，则分式方程的解为x一子.所以x的值为子 18解：设骑自行车学生的速度为km小，则汽车的速度为2kmk根据题意，得9一是-器解得 x=15,经检验，x=15是原分式方程的解，且符合题意.所以，骑自行车学生的速度为15km/h. 第十五章测评卷 -、1.D2.B3.A4.D 5.B[解析]：9-1)01-D=8×10×12,÷为=⑨-)D- 8×10×12 9-1)(9+1011-1D11+D_8×10×10×12-10. 8×10×12 8×10×12 6C[解桥]：士方=子金寸则总3故选C 39培优小状元 数学 八年级上册>>>>> 第八周知识点梳理十测评 (14.2乘法公式 14.3 因式分解) 知识点梳理 本周知识点 概念、基本性质、判定及定理 名师点睛 平方差公式的左边是两 p 两个数的和与这两个数的差的 个二项式相乘，这两个 积，等于这两个数的平方差， 二项式中有两项相同， 平方差公式 个公式叫做（乘法的）平方差公 两项互为相反数，公式 式，用字母表示为(a十b)(a-b) 的右边是用相同项的平 =a2-b2. 落磷表斋率朝发的项的 从完全平方公式的表达 式中可以看出，左边是 两个数的和（或差）的平方，等于 两数和（或差）的平方，右 它们的平方和，加上（或减去）它 边是它们的平方的和加 完全 平方 们的积的2倍，这两个公式叫做 上（或减去）它们乘积的 公 (乘法的)完全平方公式.用字母 二倍.应用此公式易犯(a 可表示为(a+b)2=a2十2ab+ 士b)2=a2士的错误， b2,(a-b)2=a2-2ab+b2. 可采用口诀帮助记忆： “首平方，尾平方，两倍乘 积中间放”. 添括号时，如果括号前面是 添括号法则与去括号 号，括到括号里的各项都不变符 法则是一致的，添括号 蜜 添括号 号；如果括号前面是负号，括到 正确与否，可用去括号 括号里的各项都改变符号 法则来验证」 把一个多项式化成几个整式的 因式分解的结果应是 因式分解 积的形式，叫做这个多项式的因 几个整式的乘积.就是 式分解，也叫做把这个多项式分 说，因式分解的结果的 解因式. 每个因式都应是整式. 确定公因式的原则是： ①各项系数都是整数 公因式的 一个多项式各项都有一个公共 时，应提取各项系数的 定义 的因式，我们把这个因式叫做这 最大公因数；②提取的 个多项式各项的公因式. 字母是各项都有的字 母；③各字母的指数取 次数最低的. 一般地，如果多项式的各项有公 因式，可以把这个公因式提取 如果公因式含有多项 提公因式法 来，将多项式写成公因式与另 式因式时，应注意符号 个因式的乘积的形式，这种分解 的变换。 因式的方法叫做提公因式法 当多项式的每一项都 有公因式时，要先提 骨斐家希 a2-b2=(a+b)(a-b),即两个 数的平方差，等于这两个数的和 与这两个数的差的积 分解必须进行到每 个多项式的因式都不 能再分解为止 ◆第1页（共6页） a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab 运用完全平方公式分 用完全平 +b2=(a-b)2,即两个数的平方 解因式，关键是掌握多 方公式分 和加上（或减去）这两个数的积 项式的特点，如果有公 解因式 的2倍，等于这两个数的和（或 差)的平方. 骨琴龚金》辨 因式 知识点练习 知识点一 平方差公式 1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是 A.(2a+b)(-2a+b) B.(a+2)(2+a) C.(-a+b)(a-b) D.(a+b2)(a2-b) 2.根据平方差公式填空： (1)(-5b+7)(-5b-7)=(-5b)2-72= (2)(2x-3)( ）=4x2-9: (3)( )(5a+1)=1-25a2. 知识点二完全平方公式 3.计算(a一1)正确的是 A.a2-a+1 B.a2-2a+1 C.a2-2a-1 D.a2-1 4.给多项式4x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则 加上的单项式不可以是 ( ) A.Ax B.-4x C.4x D.-4x 知识点三添括号 5.下列去括号或添括号的变形中，错误的是 A.a-(b-c)=a-b+c B.a-b-c=a-(b+c) C.(a+1)-(-b+c)=-1+b-a+c D.a-b+c-d=a-(b+d-c) 6.3ab-4bc+1=3ab-( ),括号中所填入的整式应是 ( A.-4bc+1 B.4bc+1 C.4bc-1 D.-4bc-1 知识点四因式分解 7.下列各式从左到右的变形是因式分解的是 A.x2+2x+3=(x+1)2+2 →第2页（共6页）月 B.(x+y)(x-y)=x2-y2 C.x2-xy+y2=(x-y)2+xy D.2.x-2y=2(x-y) 知识点五公因式的定义 8.多项式8x2"一4x”的公因式是 () A.4x" B.2x"-1 C.x"-1 D.2.x"-1 9.(1)多项式3a2一6ab十3的公因式是 (2)多项式4x(x-2)2一2x(2-x)的公因式是 (3)多项式(b+c-a)-y(b十c-a)一(-a+b+c)的公因式 是 知识点六提公因式法 10.分解因式：x2+3.x= 11.把多项式-16.x3+40x2y提出一个公因式一8.x2后，另一个因式 是 12.把多项式m(a一2)十m(2一a)因式分解，结果正确的是() A.(a-2)(m2-m) B.m(a-2)(m+1) C.m(a-2)(m-1) D.m(2-a)(m-1) 知识点七用平方差公式分解因式 13.(安徽中考)分解因式：ab2一a= 14.分解因式：2a2-18= 15.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是 A.a2+62 B.2a-b2 C.a2-b2 D.-a2-b2 知识点八用完全平方公式分解因式 16.因式分解：ab-2ab十a= 17.把多项式x2一8x十16因式分解，结果正确的是 A.(x-4)2 B.(x-8)2 C.(x+4)(x-4) D.(x+8)(x-8) 18.(河北滦州期末)关于x的二次三项式x2一a.x十36能用完全平 方公式分解因式，则a的值是 () A.-6 B.±6 C.12 D.±12 →第3页（共6页） 23 本周测评 一、选择题 1.计算结果为x2一y2的是 A.(-x+y)(-x-y) B.(-x+y)(x+y) C.(x+y)(-x-y) D.(x-y)(-x-y) 2.把多项式3(x一y)一2(y一x)2分解因式正确的是 ( A.(x-y)(3-2x-2y) B.(x-y)(3-2x+2y) C.(x-y)(3+2x-2y) D.(y-x)(3+2x-2y) 3.已知m为有理数，则整式m2(m2-1)一m2+1的值 A.不是负数 B.恒为负数 C.恒为正数 D.不等于0 4.若(a+3b)2=11,a-3b=4,则ab的值是 () A-是 点品 c是 5.在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b),把 余下的部分剪拼成一个长方形（如图），通过计算图形的面积，验 证了一个等式，则这个等式是 A.(a+b)2=a2+2ab+62 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.a2-ab=a(a-b) 6.(河南安阳期末)若x2十2(m一3)x十16是完全平方式，则m的值是 () A.m=7 B.m=7或m=-1 C.m=-1 D.m=1 7.如果x2与一2y2的和为m,1十y2与一2x2的差为n,那么2m一4n 化简后为 () A.-6x2-8y2-4 B.10x2-8y2-4 C.-6x2-8y2+4 D.10x2-8y2+4 8.若2m十n=25,m一2n=2,则(m十3n)2一(3m一n)2的值为 ( A.200 B.-200 C.100 D.-100 24 儿→第4页（共6页） 二、填空题 9.因式分解：x2y-9y= 10.若a+b=1,则a2一b2+2b-2= 11.已知a=7-3b,则代数式a2+6ab+9b的值为 12.若(m+2x)(m一2x)=nx2+9,则mm的值为 13.如果用公式(a+b)2=a2+2ab+b2计算(a+b+c)2,那么第一步 应该写成(a十b十c)2= 三、解答题 14.(河南洛阳月考)分解因式： (1)(3x+y)2-(x-3y)2; (2)(p-4)(p+1)+3p. 15.先化简，再求值：(+1(x一1)+x(2-x,其中x=之 16.设两个连续奇数为2m一1和2n十1(n为整数)，则这两个数的平 方差（较大的数的平方减去较小的数的平方）能否被8整除？请 说明理由、 →第5页（共6页） 17.已知长方形的周长为16cm,它的长、宽分别为xcm、ycm,且满足 (x-y)2-2x+2y十1=0，求其面积. 18.(9分)下面是某同学对多项式(x2一4x十2)(x2一4x十6)+4进 行因式分解的过程： 设x2一4x=y,原式=(y+2)(y十6)+4（第一步） =y2+8y+16(第二步) =(y十4)2（第三步） =(x2-4x十4)2.（第四步） 请问： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 () A.提公因式法 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或 “不彻底”).若不彻底，请直接写出因式分解的最后结 果： (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2一2x)(x2一2x+2)十1 进行因式分解. 几→第6页（共6页）