8第六周知识点梳理+测评同步测试卷(13.3 等腰三角形13.4 课题学习最短路径问题)-【培优好卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步测试卷(人教2024)

培优小状元 数学 八年级上册>>>>>》 第六周知识点梳理十测评 (13.3等腰三角形 13.4课题学习 最短路径问题) 知识点梳理 本周知识点 概念、基本性质、判定及定理 名师点睛 有两边相等的三角形是等 对于底和腰不相等的等腰三 腰三角形，相等的两条 角形，若条件中没有明确底 叔 有 叫做腰，另一条边叫做底 和腰时，需要进行分类讨论， 概念 边，两腰所夹的角叫 顶 角，腰与底边的夹角叫做 生鑫美的家务尼果葬 底角 合的情况舍去. 1.应用“三线合一”性质的前 提条件必须是等腰三角形， 1.等腰三角形的两个底角 且必须是底边上的中线 相等.（简 等边 对 边上的高和顶角的平分线 互 等腰三角 2. 腰三角形的顶 相重合，若是一腰上的高 长 形的性质 角平分线、底边上的中线 中线就不一定重合. 被上的镜相喜重合（简 腰三角形是轴对称图形， 写成“三线合 顶 角平分线（或底边上的 高、 边上的中线)所在的直线是 据 它的对称轴， 利用等腰三角形的性质与判 如果一个三角形有两个角 定的互逆关系来学习等腰三 蜜 等腰三角 相等，那么这两个角所对 角形的判定是很重要、很常 形的判定 的边也相等.（简写成“等 见的一种研究问题的方法， 角对等边”) 具体地可结合习题，学习此 类问题的解决方法。 1.定义：三边都相等的 等腰三角形与等边三角形的 角形是等边三角形 2 区别和联系：等边三角形是 等边三角形 性质 ,等边三角形 K 特殊的等腰三角形，等边三 杯 及其性质 奥都相等：并且套个 晨局联等边兰青 等 三斋秀睡发酒 角形. 1.定义法：三条边都相等 的三角形是等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三 等边三角 2,三个角都相等的三角 角形，因此，等腰三角形“ 形的判定 形是等边三角形 3. 合”的性质也适用于 一个角是60°的等腰三角 边三角形 形是等边三角形 含30°角的 在直角三角形中，如果 含有30°角的直角三角形的 直角三角 奇岛清造学子除所 性质是直角三角形中很重要 形的性质 的一个性质，以后经常要用 到，一定要记准条件和结论. 在解决最短路径问 最短路径 们通常利用轴对称、 平 为了能顺利地求解有关最短 问题 等变换把已知问题转化为 路径的问题，通常需要通过 容易解决的问题，从而 作对称点或作垂线的方法来 出最短路径的选择 求解 →第1页（共6页） 8.如图，直线4∥12，将等边三角形如图放置.若∠α=35°，则∠3等于 知识点练习 知识点一等腰三角形的有关概念 1.如图，点D在AB上，AB=AC,AD=DC=BC,则图中的等腰三 角形共有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.无法确定 A.35° B.30 C.25° D.15° 知识点五 等边三角形的判定 D 9.等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是 ( B 第1题 第2题 A.有一个内角是60° B.有一个外角是120 知识点二等腰三角形的性质 C.其中一个角是另一个角的3倍 D.腰与底边相等 2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,∠A= 10.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60 36°，则∠1的度数为 ( 的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角 A.36° B.60 C.72 D.108 形.其中是等边三角形的有 .(填序号) 3.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 知识点六含30°角的直角三角形的性质 ( 11.已知直角三角形中30°角所对的直角边长为2cm,则斜边的长为 A.50° B.80 C.50°或80° D.40°或65 () 知识点三等腰三角形的判定 A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 4.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角 12.如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,∠A 形的是 =30°，且AB=8cm,则BC= cm,∠DCB= BD A.∠A=50°，∠B=70° B.∠A=70°，∠B=40 cm,AD= cm. C.∠A=30°，∠B=90° D.∠A=80°，∠B=60 5.小华画了一个△ABC,且∠A:∠B:∠C=1:1:2,则小华画的 △ABC是 ( A.等腰三角形 B.直角三角形 a C.等边三角形 D.等腰直角三角形 D BC D 6.(安徽淮北期末)如图，已知△ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,在 第12题 第13题 △ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使 知识点七最短路径问题 其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 13.如图，点P是直线a外一点，PB⊥a,点A,B,C,D都在直线a ( 上，下列线段中最短的是 () A.5条 B.4条 C.3条 D.2条 A.PA B.PB C.PC D.PD 14.(河北邯郸月考)如图，在4×4的正方形网格中，有A,B两点， 在直线a上求一点P,使PA十PB最短，则点P的位置应选在 () B 第6题 第7题 知识点四等边三角形及其性质 7.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则 ∠ADB的度数为 ( B.60 C.85 D.95 A.C点 B.D点 C.E点 D.F点 A.25° →第2页（共6页） →第3页（共6页） 15 本周测评 一、选择题 1.等腰三角形的一个内角是70°，它的底角大小为 A.70°或55 B.70°或40° C.709 D.40° 2.等腰三角形的对称轴是 A.底边上的中线 B.顶角平分线 C.底边上的高 D.底边的垂直平分线 3.晓波用一条长为24cm的细线围成一边长为6cm的等腰三角形， 则该等腰三角形的腰长为 () A.6cm B.9cm C.6cm或9cmD.12cm 4.如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,E为AD上一点， ∠CED=50°，则∠ABE等于 () A.10° B.15° C.20° D.25 30° 第4题 第5题 5.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边 沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸 带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的 长为 () A.3cm B.6cm C.7cm D.8cm 6.如图，已知AB=AC=BD,那么∠1与∠2之间的关系满足 A.∠1=2∠2 B.2∠1+∠2=180 C.∠1+3∠2=180 D.3∠1-∠2=180 E 第6题 第8题 7.(河南济源期末)关于等腰三角形，有以下说法： (1)有一个角为46°的等腰三角形一定是锐角三角形； (2)等腰三角形两边的中线一定相等； 16 →第4页（共6页） (3)两个等腰三角形，若一腰以及该腰上的高对应相等，则这两个 等腰三角形全等； (4)等腰三角形两底角的平分线的交点到三边的距离相等. 其中，说法正确的个数为 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(河南洛阳月考)如图所示，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上 的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,∠BAC=120°，BC= 10,则DE+DF的值为 A.5 B.8 C.10 D.15 二、填空题 9.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,∠B= 70°，则∠BAD= 0 10.如图，下列三角形中，若AB=AC,则能被一条 直线分成两个小等腰三角形的是 ,(填 序号) 36 1089 B ① ③ ④ 11.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,AB⊥AC,EF垂直平分BC, 点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值 是 D E 第11题 第12题 12.如图，在△ABE中，BA=BE,F为AE中点.若∠ABC=34°， ∠C=50°，则∠ADB=」 13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4, 则AD= →第5页（共6页）J 三、解答题 14.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过点A作EF∥ BC,且AE=AF,求证：DE=DF. 15.如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B,两村要在河上合修一 座桥，桥修在什么位置可以使两村到桥的距离之和最短？保留 作图痕迹并说明理由. B。 16.如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，BE⊥AC于点D, 且DE=DB,试判断△CEB的形状，并说明理由. 17.如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边上的点，BD= CE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证：△ABC是 等腰三角形. →第6页（共6页）④错误，⑤正确；，CF+CE>EF,EF=DF+BE,∴.CF+CE>DF十BE.⑥正确；根据已知条件不 能推出DF-BE,△ADF≌△ABE.①②错误.综上所述，正确的是③⑤⑥. 三、16.解：AB与AC,AE与AD,BE与CD是对应边：∠B与∠C,∠2与∠I,∠BAE与∠CAD是对 应角. 17.证明：，AB∥CD,.∠B=∠DCE,∠A=∠ACD.:AB=EC,BC=CD,.△ABC≌△ECD (SAS).∴.∠A=∠E..∠ACD=∠E. 18.证明：(I),AB∥CD,.∠B=∠C.,BE=CF,.BE-EF=CF-EF,即BF=CE.在△ABF和 AB=CD, △DCE中，∠B=∠C,∴.△ABF≌△DCE(SAS).(2),△ABF≌△DCE,∴.∠AFB=∠DEC, BF-CE, ∠AFE=∠DEF,.AF∥DE. 19.证明：，AB⊥BF,DE⊥BF,.∠ABC=∠EIDC=90°.：BC=CD,∠ACB=∠ECD,∴.△ABC≌ △EDC(ASA).∴，AB-DE.∴，这时测得DE的长就是AB的长 (AE-FE, 20.证明：延长AE至F,使AE=EF,连接BF.在△ADE与△FBE中，∠AED=∠FEB,,△ADE DE-BE, ≌△FBE(SAS,.BF-DA,∠FBE=∠ADE.,'∠ABF=-∠ABD+∠FBE,∠BAD=∠BDA,, ∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC.在△ABF与△CDA中， (AB-CD, ∠ABF=∠CDA,△ABF≌△CDA(SAS),.AF=AC,:AF=2AE,∴，AC=2AE BF=DA, 21.解：连接OA,过点O作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E,F.,BO是∠ABC的平分线，且OD BC,OE⊥AB,∴.OE-OD-1.8cm.同理OF-OD=1.8cm.S△rc=S△m+S△m+S△am=2 BC.0D+÷AB.0E+合AC.0F-7(BC+AB+AC).0D-合×20X1.8-18(cm). 22.(1)证明：如图，连接BD,CD.,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE =DF,∠BED=∠CFD=90.DG⊥BC且平分BC,,在△DGB和△IDGC (BG-CG. 中，∠BGD=∠CGD,∴，△DGB≌△DGC(SAS),.BD=CD.在Rt△BED UDG-DG, 与Rt△CFD中，BD=CD,DE=DF,.Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴.BE ∠EAD-∠FAD, CF.(2)解：在△AED与△AFD中，3∠AED-∠AFD=90°，.△AED≌△AFD(AAS),∴.AE AD-AD. =AF.BE=x,CF=x.AB=5.AC=3,AE-AB-BE=5-xAF-AC+CF-3+,..5 -x=3十x,解得x=1,.BE=1,AE=AB-BE=5-1=4. 23.解：如图，延长AM到点F,使MF-AM,交CD于点N,连接BF, AM-FM, EF.在△ABM和△FEM中，∠AMB=∠FME,.△ABM≌ BM-EM, △FEM(SAS)..AB=FE=AC,∠ABM=∠FEM,∠BAM= ∠EFM,∴.AB,∥EF,∴.∠AEF+∠BAE-180°.'∠BAC=∠DAE =90°，.∠CAD+∠BAE=180,.∠AEF=-∠CAD.在△FEA和△CAD中， (FE=CA. ∠AEF=∠DAC,∴.△FEA≌△CAD(SAS),.∠EFA=∠ACD=∠BAF.,:∠BAC=90°，. AE-DA. ∠BAF+∠CAF-90°，∴.∠ACD+∠CAF=90°，即∠ANC-90,∴.AM⊥CD 第五周知识点梳理十测评 知识点练习 1.C2.B3.C4.B5.C6.B 7.(1)MN对称轴(2)EF(3)垂直平分(4)PFPA 8.A9.C10.②④⑥①③⑤11.C 本周测评 1.D2.D 3.D[解析]△ABC与△ABC关于直线MN对称，P为MN上任意一点，，△AA:P是等腰三 角形，MN垂直平分AA,、CC,△ABC与△AB,C面积相等，∴.选项A、B、C选项正确：，直线 AB,AB关于直线MN对称，因此交点一定在MN上.，选项D错误.故选D, 4.A[解析]由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC,故∠C=∠DAC,,∠C=30,. ∠DAC=30°，'∠B=55°，.∠BAC=95°，.∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°.故选A. 5.C[解折]AE⊥BD,EB-EDB,D两点关于AC对称，∴Sn-Sc-X10X8=20.故 选C. 6.A[解析]，点P关于OA的对称点Q哈好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN 的延长线上，.PM-MQ,PN-NR.PM-2.5cm,PN-3cm,MN-4cm,∴.NR-3cm,MQ-2. 5cm,.NQ-MN-MQ-4-2.5=1.5(cm),则QR=NR+NQ-3+1.5=4.5(cm).故选A 二、7.40°8.60° 9.在[解析]如图，连接PA,PB,PC,,点P是AC,BC的垂直平分线的交点， PA=PCPB=PC,PA=PB,.点P在AB的垂直平分线上. 10.4[解析]，点A(一2a,6)与点B(4,b+2)关于x轴对称，∴.-2a=4,b+2 一6，解得：a=一2，b=一8，故2a一b=2×(一2)十8-4.故答案为：4. B 11.12 三、12.解：(1)，四边形ABCD是长方形，分别以长方形ABCD的两条对称轴为x轴和y轴建立平面 直角坐标系，又点A的坐标为(4,3)，B(4,一3)，C(-4,-3),D(-4,3).(2):AB=6, AD=8,.长方形ABCD的面积为6X8=48. 13.解：∠1：∠2=2：5，.设∠1=2x,则∠2=5x.,DE是线段AB的垂直平分线，AD=BD,. ∠B=∠2=5.x..∠ADC=∠2+∠B=10x.,在△ADC中，2x+10.x=90°，解得x=7.5°， ∠ADC=10x=75. 14.解：M,N分别是点P关于AO,BO的对称点，.ME=PE,PF=NF.又△PEF的周长为 20cm,即PE+EF+PF-20cm,∴.ME+EF+FNV=20cm,即MN=20cm. 第六周知识点梳理十测评 知识点练习 1.C2.C 3.C[解析]设△ABC中，AB=AC有两种情况：①顶角∠A-=50°；②当底角是50时，AB=AC,· ∠B=∠C=50°，，∠A+∠B+∠C=180°，∴.∠A=180°-50°-50=80°.∴.这个等腰三角形的顶 角为50°或80°.故选C. 4.B 5.D[解析]在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:1:2,.设∠A=x,则∠B=x,∠C=2x.,∠A+ ∠B+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=45°，∴.∠A=∠B=45°，∠C=2x=90°，又，∠A= ∠B,∴AC=BC,∴.△ABC是等腰直角三角形. 6.B7.D8.C9.C10.①②③④11.B12.430°2613.B14.A 本周测评 1.A 2.D[解析]根据等腰三角形的性质可知，项角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是等 腰三角形的对称轴，选项A、B、C中底边上的中线，顶角平分线，底边上的高都是线段，故不符合题 意；选项D中，底边的垂直平分线是一条直线，符合题意，故选D 3.B 4.C[解析]，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,AD是BC的垂直平分线，∠ABC=60°.：E是AD 上一点，.∠EDC=90°，EB=EC,.∠EBD=∠ECD.,∠CED=50°，.∠ECD=40°，.∠EBD= 40°，∴.∠ABE-60°-40°-20°，故选C. 5.B 6.D[解析]，AB=BD,.∠1=∠BAD..∠B=180°-2∠1.，AB=AC..∠B=∠C.,∠C= ∠1-∠2，∴∠1-∠2=180°-2∠1，即3∠1-∠2-180°，故选D 7.B 8.A[解析]'AB=AC,∠BAC=120,.∠B=∠C=30°.，DELAB,DF⊥AC,∴·∠BED=∠CFD -90.DE-BD.DF-CD..DE+DF-(BD+CD)-BC.BC-10.DE+DF =5,故选A 二、9.20[解析]，AB=AC,BD-CD,∴.AD⊥BC,∴.∠ADB=90°.，∠B=70°，∴.∠BAD-20. 10.①③④[解析]图①中底角的平分线可以将原等腰三角形分成两个小等腰三角形：图②中顶角为 45°，没有符合要求的直线能将其分成两个小等腰三角形：图③是等腰直角三角形，顶角的平分线 可将其分成两个小等腰三角形：图④中的等腰三角形顶角为108°，底角为36°，作一条直线将顶角 分为36°和72°的两个角，即可将原三角形分为两个小等腰三角形，故答案为①③④ 11.7[解析]：EF垂直平分BC,.B,C关于直线EF对称，设AC交EF 于点D,.当P和D重合时，AP十BP的值最小，最小值等于AC的长， ∴.△ABP周长的最小值是4十3=7， 12.67°[解析]，在△ABE中，BA=BE,F为AE中点，∴.DB是∠ABC 的平分线，，∠ABC=-34,∴.∠DBC-17°，，∠C=50°，∴.∠ADB=50 +17=67 13.8[解析]，∠DBC=60°，∠C=90°，.∠BDC=180°-90°-60°=30°，.BD=2BC=2×4=8. ∠C=90°+∠A=15°，∴.∠ABC=90°-15°=75°，∴.∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°，. ∠ABD=∠A,∴.AD=BD=8. 三、14.证明：如图，连接AD.,AB=AC,BD=CD,.AD⊥BC.EF∥BC,.AD⊥EF又，AE= AF,∴.AD垂直平分EF,∴.DEDF 第14题 第15题 15.解：如图，作点A关于河岸的对称点C,连接C交河岸于点P,点P就是桥的位置.理由：两点之 间，线段最短. 16.解：△CEB是等边三角形.理由：，AB=BC,∠ABC-120°，BE⊥AC,,∠CBE-∠ABE=60°，又 DE-DB,BE⊥AC,∴.CB=CE,∴△CEB是等边三角形. ∠ABE=∠ACD, 17.证明：在△BDF与△CEF中， ∠BFD=∠CFE,.△BDF≌△CEF(AAS),∴.BF=CF,,∠FB BD-CE. =∠FCB,∴.∠ABE+∠FBC-∠ACD+∠FCB,即∠ABC=∠ACB,.AB=AC,.△ABC是等 腰三角形 第十三章测评卷 -、1.A2.C3.B4.B 5,A[解析]小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A(a,b),.点A的正确坐标为(，a)., 另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称的点的坐标，写成B(一b,一4)，，点B的正确坐标为 (b,一4)，∴，A,B两点原来的位置关系是关于x轴对称.故选A 6.C[解析]：AB=AC=a,∠A=36,∠ABC-∠C-2(180-∠A)=72,又BD平分∠ABC, ∴∠DBC-∠ABD-令∠ABC-36-∠A.∠BDC-180°-∠DBC-∠C-7z-∠C,BD AD,,BD=BC=b,,AD=b,.DC=AC-AD=a-b,故选C 7.D[解析]MN=2×40=80(海里).，∠M=70°，∠N=40°，.∠NPM=180°-∠M-∠N-180 -70°-40°-70°，∴.∠NPM=∠M,.NP=MN-80海里，故选D. 8.D[解析]，△ABC为等边三角形.∠A=∠B=∠C=60°.，DE∥BC,∴.∠ADE=∠AED= ∠B-∠C=60°，.△ADE为等边三角形.，AB=10,BD=6,.AD=-AB-BD=10-6=4, △ADE的周长为12.故选D. 9,B[解析]如图，过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M,过点M作M'N'⊥BC于N‘.,BD平 分∠ABC,ME⊥AB,MN'⊥BC,.MN'-ME.CE-CM+ME,∴当点M与M重合，点N与 N'重合时，CM叶MN的值最小.“三角形ABC的面积为8，AB=4,号X4CE=8,CE-4.即 CM+MN的最小值为4，故选B B 第9题 第10题 10.D[解析]如图，若△AOB是等腰三角形，分三种情况：①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分 线，与直线b交于点B:②当OA=AB时，以点A为圆心，OA长为半径作圆，与直线b交于点B:: ③当OA=OB时，以点O为圆心，OA长为半径作圆，与直线b交于点B:,B.综上，符合要求的点 B有4个，故选D 二、11.15[解析]当腰为3cm时，3十3=6，不能构成三角形，图此这种情况不成立，当腰为6cm时，6 一366十3，能构成三角形：此时等腰三角形的周长为6+6十3=15cm 12.78°[解析]如图，过点O作射线BP,记11与AB交于点D,l2与BC 交于点E.,线段AB,BC的垂直平分线11，l2相交于点O,OA=OB =OC,∠BDO=∠BEO-90°.∴.∠DOE+∠ABC=360°-（∠BDO+ ∠BE0)=180°.：∠DOE+∠1=180°，∴∠ABC=∠1=39°.OA OB=OC,∴.∠A=∠ABO,∠OBC=∠C.∠AOP=∠A+∠ABO, ∠COP-∠C+∠OBC,∠ABC-∠OBC+∠ABO,∴.∠AOC-∠COP +∠AOP=2(∠OBC+∠ABO)=2∠ABC=78°. 13.3614.1209 15.18[解析]作PM⊥OB,垂足为M,如图所示，，OD=DP=14, ∠DPO=∠AOB=30°，.∠PDM=∠OPD+∠AOB=60°，：PM ⊥OB.∴∠DPM-30DM-合PD-7.又：PE-PF.∴EM B EMF D 37