13.3.1.1三角形内角和定理（课件）2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第十三章 三角形 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形内角和定理 学习目标 1、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点） 2、会运用三角形内角和定理进行计算.（难点） 新课导入 我们在小学通过度量或剪拼，已经知道任意一个三角形的内角和等于180°，这样的方法获得的结论可靠吗？ 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 新课导入 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 一、三角形的内角和定理的证明 验证结论 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证明：过点A作直线l，使l∥BC， ∵l∥BC ∴∠2=∠B. (两直线平行,内错角相等) 同理∠3=∠C. ∵∠1，∠2，∠3组成平角, ∴∠1+∠2+∠3=180°（平角定义）. ∴∠1+∠B+∠C=180°（等量代换）. 三角形三个内角的和等于180°. 三角形的内角和定理 新知探究 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20°=85°. 三角形的内角和定理的运用 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 例2 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？ 三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得 ∠BAD+ ∠ABE=180 °. ∴ ∠ABE=180 °-∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 课堂练习 2.如图，△ABC中,∠A=40°,则∠1+∠2+∠B+∠C=______. 280 ° 课堂练习 3.求出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 4.如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°， ∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠3=∠4＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠1＝∠3＝30°， 在△BDC中，∠2＝180°－∠B－∠3. ∴∠2＝180°－70°－30°＝80° 2 1 4 3 5.如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数. 解：如图，由题意得BE∥AD，∠BAD=40°， ∠1=15°，∠EBC=80°， ∴∠3=∠2=40°， ∠BAC=∠1+∠2=15°+40°=55°, ∴∠4=∠EBC-∠3=80°-40°=40°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠4 =180°-55°-40°=85°． A B C D E 北 南 3 4 2 1 6.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C） =180°-（78°+60°） =42°． 7.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°-60°=120°． A B P C $