精品解析：山西省山西大学附属中学校2025-2026学年高二上学期开学考试（总第一次）（9月）数学试题

山西大学附中 2025～2026学年第一学期高二（9月）开学考试（总第一次） 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：必修一、必修二 命题人：张婷 审核人：高二数学组 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集与补集运算计算. 【详解】因为，，所以. 又因为，所以 故选：D 2. 已知复数（i为虚数单位），是的共轭复数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义和模长公式计算可得答案. 【详解】因为复数， 所以，. 故选：B. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再结合函数的零点存在定理进行求解． 【详解】函数在区间上单调递增， ， ，得， 所以函数的零点在区间内． 故选：B 4. 在中，其内角的对边分别为，已知，，，则边长（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和可确定，由此得到，利用正弦定理可求得. 【详解】，， 由正弦定理得：. 故选：C. 5. 已知是定义在R上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数为减函数需满足三个条件，一是上支为减函数，二是下支为减函数，三是下支的最大值小于或等于上支的下界，列不等式组即可解得. 【详解】要使函数 在R上为减函数， 需满足 ，解得. 故选：D． 6. 若，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出． 【详解】因为，则，且， 可得，且； 又因为，则， 且，可得； 所以 ． 故选：D. 7. 在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂心知，可证平面，则，所以可证平面，则有，同理有，故 两两垂直，所以直径，则外接球表面积可求解． 【详解】设的垂心为，连接则平面，如图所示： 由垂心知，，又，则平面 所以，又 ，，所以平面，得 同理 所以 两两垂直，则三棱锥的外接球是以为长宽高的长方体的外接球， 故 所以，三棱锥的外接球表面积为 故选：C 【点睛】方法点睛：求外接球半径的常用方法： （1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； （2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径； （3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可． 8. 已知函数在区间上的最小值为-3，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，当时，有；当时，有，求解即可. 【详解】函数在区间上的最小值为， 当时，，则有，解得； 当时，，则有，解得， 的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为锐角 【答案】AD 【解析】 【分析】根据垂直和平行满足的坐标关系即可求解AB，根据模长公式即可求解C，根据夹角公式即可求解D. 【详解】A选项，，，，A选项正确. B选项，，，B选项错误. C选项，时 ，，，，C选项错误. D选项，当时，由上可知向量不共线，且， 所以，所以为锐角，D选项正确. 故选：AD 10. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛（比赛采用三局两胜制，即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束）.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.某同学利用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示甲获胜，当出现4或5时，表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产生如下20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354， 根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有（ ） A. 甲获得冠军的概率近似值为0.65 B. 甲以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.5 C. 比赛总共打满三局的概率近似值为0.55 D. 乙以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.15 【答案】ACD 【解析】 【分析】由20组随机数中分别先求出甲获得冠军的数，甲以2：0的比分获得冠军的数，比赛总共打满三局的数和乙以2：0的比分获得冠军的数，从而可求出各选项频率，进而可得答案. 【详解】对于A，表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为 ，故A正确； 对于B，表示甲以2：0的比分获得冠军的数有：123，114，332，125，334，314， 共6组数，故估计甲以2：0的比分获得冠军概率为 ，故B错误； 对于C，表示比赛总共打满三局的数有：423，423，344，525，152，342，534，512，432， 151，354共11组数，故估计比赛总共打满三局的概率为 ，故C正确； 对于D，表示乙以2：0的比分获得冠军的数有：453，443，541共3组数， 故估计乙以2：0的比分获得冠军的概率为 ，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，在正四棱柱中，底面正方形ABCD边长为1，，M为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 已知直线l为平面和平面ABCD的交线，则平面内存在直线与l平行 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 直线与平面所成角最大时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，由线面平行的判定定理和性质判断；选项B，确定三棱锥的底面积和高来计算体积；选项C，通过平面与平面的展开图求距离之和的最小值；选项D，由线面角的定义，得线面角最大时M点的位置，验证结论即可. 【详解】A选项，因为平面，且平面， 所以平面和平面的交线l与平行， 而与平面相交，则平面内不存在直线与平行， 即不存在直线与直线l平行，故A错误； B选项，正四棱柱中，， 平面，平面， 则有平面，所以点M到平面的距离为定值， 而三角形的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 选项C，作平面与平面的展开图如图所示， 则的最小值即为展开图中线段的长， 中，，所以，从而， 中，由余弦定理可知，， 从而的最小值为，故C正确； D选项，记M到平面到距离为d，由选项B可知，d为定值， 记直线与平面所成角为， 则，又正弦函数在上单调递增， 则最大时，最大，从而即为最小时，此时， ，则，由，, 有，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是7”的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出总的基本事件，再列举出点数之和是7的基本事件，从而利用古典概型求解即可. 【详解】抛掷两个质地均匀的骰子，总的基本事件有件， 其中点数之和是7的基本事件有，共6件， 则“抛掷的两个骰子的点数之和是7”的概率为. 故答案为：. 13. 奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“”，可转化为具体不等式，注意函数定义域． 【详解】解：由得， 又为奇函数，得， ， 又是定义在，上的减函数， 解得：． 即 故答案为： 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查转化思想，解决本题的关键是利用性质去掉符号“”． 14. 正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为________ 【答案】 【解析】 【分析】由直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N，得到五边形为平面截正方体所得的截面，然后根据E，F为中点，利用三角形相似，确定点M，N的位置求解. 【详解】解：如图所示： 直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N， 则五边形为平面截正方体所得的截面， 因为E，F分别是，的中点， 所以易得， 所以， 因为，所以， 可得，同理可得， 所以五边形的周长为， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格. （1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. （3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 【答案】（1），20.32小时 （2）21.73小时 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出，利用平均数的定义进行计算； （2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为，从而得到方程，求出答案； （3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率. 【小问1详解】 由，解得， 因为小时， 所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时. 【小问2详解】 时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格， 由题意知，即求60百分位数，又，， 所以60百分位数位于18~22之间， 设60百分位数为，则，解得小时. 故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀. 【小问3详解】 易知，5名学生中， 优秀有人，设为， 良好有人，设为， 合格有人，设为. 任选3人，总共有，10种情况， 其中符合的有，共4种， 故概率为. 16. 如图，在四棱锥中，平面为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，设与交于点，连接， 由题意可得，所以四边形为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点，所以为的中位线，则． 因为平面平面，所以平面． （2）证明：因为，所以． 因为平面平面，所以． ，平面PAD，所以平面． 平面，所以． 因为为的中点，所以． ，平面PCD,所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设与交于点，连接，可证为的中位线，则，从而得证平面； （2）根据题意，可知平面，所以，又，从而得证平面； （3）由（2）得即为直线与平面所成的角，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得平面，所以即为直线与平面所成的角． 易得， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知函数，且函数的最小正周期为． （1）求的解析式，并求出的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合． 【答案】（1），， （2）最大值为2， 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换可得，结合周期可得，以为整体，结合正弦函数的单调性运算求解； （2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数的最值运算求解. 【小问1详解】 由题意可得 ， 且，由函数的最小正周期，可得， 所以， 令，，解得，， 故的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由题意可知：， 根据正弦函数的性质可知，的最大值为2， 此时，即，，解得，， 所以当取得最大值时x的取值集合为． 18. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）求的最大值； （3）若AB边上的中线CD长为，求的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)先根据正弦定理对进行边角互化，再根据余弦定理，即可得到值，进而得到角C的值； (2)利用正弦定理，将"求的最大值问题"转化为"求的最大值问题"，再 转化为"求的最大值问题", 最后利用辅助角公式可得结果； (3)因为为边上的中线，所以，两边平方可得到边的关系，结合(1)式结论，可求得的值，从而得到的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理,可得， 整理可得，由余弦定理得，所以,所以. 因为在中，，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理可得，可得，. 因为,所以. , 所以，其中. 所以，当时，取得最大值，最大值为. 【小问3详解】 由题可知，， 由(1)知，即，① 因为为边上的中线，所以， 两边平方得：， 所以，② ②①可得，可得， 所以的面积． 19. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. （1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”； （2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； （3）若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 【答案】（1） （2） 当集合时， 集合相对于常数的“余弦方差” ， 此时“余弦方差”是一个常数，且常数为； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据集合相对的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解； （2）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解； （3）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解. 【小问1详解】 解：当集合，时，集合相对的“余弦方差”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当集合，，时， 集合相对于任何常数的“余弦方差”， 要使上式对任何常数是一个常数，则且， 所以，故， 整理得到，而，故或， 所以或， 当时，有，而，故即， 当时，有，而，故即， 故或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025～2026学年第一学期高二（9月）开学考试（总第一次） 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：必修一、必修二 命题人：张婷 审核人：高二数学组 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（i为虚数单位），是的共轭复数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，其内角的对边分别为，已知，，，则边长（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在R上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上的最小值为-3，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为锐角 10. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛（比赛采用三局两胜制，即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束）.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.某同学利用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示甲获胜，当出现4或5时，表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产生如下20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354， 根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有（ ） A. 甲获得冠军的概率近似值为0.65 B. 甲以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.5 C. 比赛总共打满三局的概率近似值为0.55 D. 乙以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.15 11. 如图，在正四棱柱中，底面正方形ABCD边长为1，，M为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 已知直线l为平面和平面ABCD的交线，则平面内存在直线与l平行 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 直线与平面所成角最大时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是7”的概率为__________. 13. 奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围是_______ 14. 正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为________ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格. （1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. （3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 16. 如图，在四棱锥中，平面为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数，且函数的最小正周期为． （1）求的解析式，并求出的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合． 18. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）求的最大值； （3）若AB边上的中线CD长为，求的面积． 19. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. （1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”； （2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； （3）若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $