24.2 点和圆、直线和圆的位置关系同步培优-2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 一．选择题（共8小题） 1．如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，BC≠AB，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM＝ON．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：∠MON＝120°；乙：四边形OMBN的面积为△ABC面积的；丙：当MN＝BN时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（　　） A．只有丙正确 B．只有乙错误 C．乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都正确 2．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，AI⊥OI，AB＝2，BC＝3，则AC的长为（　　） A．4 B． C． D． 3．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，PA是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB＝6cm，BC＝4cm，则⊙O的直径为（　　） A．cm B．cm C．13cm D．cm 5．如图，两个直径分别为36cm和16cm的球，靠在一起放在同一水平面上，组成如图所示的几何体，则该几何体的俯视图的圆心距是（　　） A．10cm． B．24cm C．26cm D．52cm 6．如图，AB为⊙O的直径，⊙O的半径为R，点C在⊙O上，⊙O'分别与AC、直线AB、BC相切，点O'在△ABC左侧，CO'交⊙O于P，则O'P的长（　　） A．随点C的变化而变化 B．R C．R D．2R 7．如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是⊙O的切线，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则（　　）#ZZ01 A． B． C． D． 8．如图，AB与⊙O相切，点A为切点，连接OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA．若∠ABO＝28°，则∠ADC的度数为（　　） A．28° B．30° C．31° D．45° 二．填空题（共10小题） 9．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝AC，连接CO并延长，交⊙O于点D，连接AD，BD，若，则∠BAC为　 　 ． 10．如图，AB是半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD与半圆相切于点D，若∠C＝40°，则∠DAC的度数为 　 　 ． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过A、C分别作⊙O的切线，交于点E，若∠ABC＝125°，则∠E的度数为 　 　 ． 12．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，且过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠DBE的度数为 　 　 ． 13．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，BC经过圆心．若∠C＝34°，则∠B＝　 　 ． 14．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A为切点，∠P＝30°，PA＝3．连接PO并延长，且与⊙O交于点B，C，则PB的长为 　 　 ． 15．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠AOB＝130°，则∠APO＝ 　 　 °． 16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A与点E．当AB＝15，BC＝17时，AD的长为　 　 ． 17．如图，△ABC内接于⊙O，若AB＝AC＝10，BC＝12，则⊙O的半径是　 　 ． 18．如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E是AC的中点，过点D作DG⊥BC于G，延长DG交⊙O于F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AD＝8，DE＝5，求⊙O的半径和DF的长． 20．如图，AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD于点D，连接CB． （1）求证：BC平分∠ABD； （2）若，AB＝5，求BD的长． 21．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接BO，CO，延长BO交AC于点D，交⊙O的切线AE于点E． （1）求证：AE∥BC； （2）若BC＝8，OC＝5，求AD的长． 22．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD∥BC，BO的延长线交AC于E，交⊙O于F，交AD于D，且AO∥CF． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）求证：AO平分∠BAC． 23．如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B．连接PO，交圆O于点D，延长PO，交圆O于点C．连接AC，BC．连接AO并延长，交BC于点E． （1）证明：点D是的中点． （2）若点E是BC的中点，求∠APC的度数． 24．如图，BC为⊙O的直径，A为⊙O上一点，连接AC，∠ACB＝45°，D为OC的中点，连接AD并延长至点E，使DE＝AD，连接CE，BE，BE交⊙O于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AE＝2，求BF的长． 25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F． （1）写出OF与AC的关系：　 　 ； （2）求证：AF是⊙O的切线． 26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，AB＝AD，∠CBE＝∠CDB． （1）求证：∠BAD+∠ADC＝180°． （2）求证：BE是⊙O的切线． 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，BC≠AB，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM＝ON．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：∠MON＝120°；乙：四边形OMBN的面积为△ABC面积的；丙：当MN＝BN时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（　　） A．只有丙正确 B．只有乙错误 C．乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都正确 【答案】A 【分析】过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，根据三角形内心可得OD＝OE，然后证明△DON≌△EOM，可得ON＝OM；连接OB，根据△DON≌△EOM，可得四边形OMBN的面积＝2S△BOD，根据点D的位置固定，可得四边形OMBN的面积是定值，根据∠B＝60°，BC≠AB，可得△ABC的形状不固定，三角形的面积也不固定，进而可以进行判断；过点O作OF⊥MN于点F，根据ON＝OM，∠MON＝120°，可得∠ONM＝30°，MN＝2NF＝2ONcos30°，所以△MON的周长＝（2）ON，可得当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长最小值，进而可得结论． 【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E， ∵点O为△ABC的内心， ∴OB是∠ABC的平分线， ∴OD＝OE， 在Rt△ODN和Rt△OEM中， ， ∴Rt△ODN≌Rt△OEM（HL）， ∴∠DON＝∠EOM， ∴∠MON＝∠DOE， ∵∠ABC＝60°， ∴∠DOE＝120°， ∵∠MON＝120°， 当作点N关于OD的对称点N′，连接ON′，此时OM＝ON′，但是，∠MON′≠120°， 所以，故甲的判断不一定正确； ∵△DON≌△EOM， ∴四边形OMBN的面积＝2S△BOD， ∵点D的位置固定， ∴四边形OMBN的面积是定值， ∵∠B＝60°，BC≠AB， ∴△ABC的形状不固定，三角形的面积也不固定，故乙的判断错误； 如图，过点O作OF⊥MN于点F， ∵ON＝OM，∠MON＝120°， ∴∠ONM＝30°， ∴MN＝2NF＝2ONcos∠ONMON， ∴△MON的周长＝MN+2ONON+2ON＝（2）ON， ∴当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长取得最小值， 此时，Rt△OBN≌Rt△OBM（HL） ∴BN＝BM， ∵∠B＝60°， ∴△BMN是等边三角形， ∴BN＝MN， ∴当MN＝BN时，△MON的周长有最小值，故丙的判断正确． 综上所述：说法正确的是丙． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定，圆周角定理，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握三角形内心定义． 2．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，AI⊥OI，AB＝2，BC＝3，则AC的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI，可得BD＝ID＝AI．易证，则OD⊥BC，作IG⊥AB于G，又∠DBE＝∠IAG，则BD＝AI，所以Rt△BDE≌Rt△AIG，从而得出AB+AC＝2BC，代入数据即可得到结论． 【解答】证明：如图1，延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI， ∵OA＝OD，OI⊥AD， ∴AI＝ID， ∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠CBI（∠BAC+∠ABC）＝∠DIB， ∴BD＝ID＝AI， ∵I是其内心， ∴AD是∠BAC的平分线， ∴， ∴OD⊥BC，记垂足为E， ∴BEBC， 作IG⊥AB于G， ∵∠DBE＝∠IAG，BD＝AI， ∴△BDE≌△AIG（AAS）， ∴AG＝BEBC， 如图，过I作IM⊥AC，IN⊥BC， ∵I是其内心， ∴AG＝AM，CM＝CN，BG＝BN， ∴AG＝AC﹣CM＝AC﹣（BC﹣BN）＝AC﹣BC+BN＝AC﹣BC+（AB﹣AG）， ∴AG（AB+AC﹣BC）， ∴AB+AC＝2BC， ∵AB＝2，BC＝3， ∴AC＝4， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小； 【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM． ∵DH⊥AC， ∴∠AHD＝90°， ∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上， ∴当M、H、B共线时，BH的值最小， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD12， BM13， ∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8． 故选：D． 【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．如图，PA是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB＝6cm，BC＝4cm，则⊙O的直径为（　　） A．cm B．cm C．13cm D．cm 【答案】C 【分析】连接PH，OH，根据切线的判定可得到HB是圆的切线，再根据切割线定理及勾股定理求得BP，PH的长，利用相似三角形的判定方法得到Rt△BPH∽Rt△HPA，根据相似比即可求得直径的长． 【解答】解：连接PH，OH， ∵H是的中点， ∴∠HPC＝∠APH，∠AOH＝∠APC， ∴OH∥BC， 即OH⊥BH， ∴HB是⊙O的切线； ∵PB是⊙O的割线，HB＝6cm，BC＝4cm， ∴HB2＝BC•BP， ∴36＝4BP， ∴BP＝9， ∴PH； ∵在Rt△BPH与Rt△HPA中，∠HPC＝∠APH， ∴Rt△BPH∽Rt△HPA， ∴， ∴AP13cm； 故选：C． 【点评】本题考查的是切线的判定定理，圆周角定理及切割线定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答． 5．如图，两个直径分别为36cm和16cm的球，靠在一起放在同一水平面上，组成如图所示的几何体，则该几何体的俯视图的圆心距是（　　） A．10cm． B．24cm C．26cm D．52cm 【答案】B 【分析】根据两球相切，可得球心距，根据两圆相切，可得圆心距是半径的和，根据勾股定理，可得答案． 【解答】解：球心距是（36+16）÷2＝26， 两球半径之差是（36﹣16）÷2＝10， 俯视图的圆心距是24（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查了圆和圆的位置关系，利用勾股定理是解题关键． 6．如图，AB为⊙O的直径，⊙O的半径为R，点C在⊙O上，⊙O'分别与AC、直线AB、BC相切，点O'在△ABC左侧，CO'交⊙O于P，则O'P的长（　　） A．随点C的变化而变化 B．R C．R D．2R 【答案】C 【分析】连接AP，AO′，OP，设∠B＝2α，可得出∠PO′A＝∠PAO′＝90°﹣α，从而得出PO′＝PA． 【解答】解：如图， 连接AP，AO′，OP， 设∠B＝2α， ∵A、B、P、C内接于⊙O， ∴∠APO′＝∠B＝2α， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠DAC＝∠ACB+∠B＝90°+2α，∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣2α， ∵⊙O'分别与AC、直线AB、BC相切， ∴∠CAO′，∠ACO′45°， ∴∠AOP＝2∠ACO′＝90°， ∴△AOP是等腰直角三角形， ∴∠PAO＝45°，PA， ∴∠PAC＝∠PAO﹣∠BAC＝45°﹣（90°﹣2α）＝2α﹣45°， ∴∠PAO′＝∠CAO′﹣∠PAC＝45°+α﹣（2α﹣45°）＝90°﹣α， 在△PAO′中， ∠APO′＝2α，∠PAO′＝90°﹣α， ∴∠PO′A＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α， ∴∠PO′A＝∠PAO′， ∴O′P＝PA， 故选：C． 【点评】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，通过角之间数量关系得出等腰三角形． 7．如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是⊙O的切线，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则（　　）#ZZ01 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用切线长的关系求出EF，构造矩形OMNH，则MN＝OH，把OH放在Rt△POH中求，再求比值． 【解答】解：设AB与⊙O、⊙P的切点分别是Q、G，AC与⊙O、⊙P的切点分别是T、S，连接OQ、PG、OM、OA、PS、OT，过O作OH垂直于PN，垂足为H，则AG＝AS，EG＝EN，FS＝FN，EQ＝EM，FM＝FT，FM＝FT，AQ＝AT， ∵OQ＝OT，OQ⊥AB，OT⊥AC， ∴AO是∠BAC的角平分线， ∵PG＝PS，PG⊥AB，PS⊥AC， ∴P在OA上， Rt△APG中，AG， ∴AE+AF﹣EF＝AG+EG+AS+FS﹣EN﹣FN＝AG+AS＝2AG①， Rt△AOQ中，AQr， ∴AE+AF+EF＝AE+AF+EM+FM＝AE+AF+EQ+FT＝AQ+AT＝2AQ＝2r②， ②﹣①得2EF， ∴EF， ∵∠OMN＝∠MNH＝∠NHO＝90°， ∴四边形OMNH是矩形， ∴MN＝OH，NH＝MO， Rt△POH中，OP＝AO﹣AP＝2OQ﹣2PG＝2r﹣2，PH＝PN+NH＝PN+MOr， ∴OH， ∴MN， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了切线长定理，构造矩形OMNH，把MN转移到OH是关键． 8．如图，AB与⊙O相切，点A为切点，连接OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA．若∠ABO＝28°，则∠ADC的度数为（　　） A．28° B．30° C．31° D．45° 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠O＝62°，然后根据圆周角定理得到∠ADC的度数． 【解答】解：由条件可知OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°， 由条件可知∠O＝90°﹣28°＝62°， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理．熟练掌握以上知识点是关键． 二．填空题（共10小题） 9．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝AC，连接CO并延长，交⊙O于点D，连接AD，BD，若，则∠BAC为　45°　 ． 【答案】45°． 【分析】得到∠DBC＝∠DAC＝90°，进而得到∠ABC+∠ABD＝90°，∠CAB+∠DAB＝90°，推出2∠ABC+∠DAB＝180°的关系，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，得到∠ABC+∠ACB+∠BAC＝2∠ABC+∠BAC＝180°，进而得到∠BAC＝∠DAB，进行求解即可． 【解答】解：由题意可知：CD为⊙O的直径， ∴∠DBC＝∠DAC＝90°， ∴∠ABC+∠ABD＝90°，∠CAB+∠DAB＝90°， ∵， ∴， ∴2∠ABC+∠DAB＝180°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝2∠ABC+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝∠DAB， ∵∠CAB+∠DAB＝90°， ∴∠BAC＝∠DAB＝45°； 故答案为：45°． 【点评】本题考查圆周角定理，等边对等角，三角形的内角和定理，根据圆周角定理，掌握以上性质是解题的关键． 10．如图，AB是半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD与半圆相切于点D，若∠C＝40°，则∠DAC的度数为 　25°　 ． 【答案】25°． 【分析】先根据切线的性质得到∠ODC＝90°，则利用互余计算出∠COD＝50°，然后根据圆周角定理求解． 【解答】解：∵CD与半圆相切于点D， ∴OD⊥CD， ∴∠ODC＝90°， ∵∠C＝40°， ∴∠COD＝90°﹣40°＝50°， ∴∠DAC∠COD＝25°． 故答案为：25°． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过A、C分别作⊙O的切线，交于点E，若∠ABC＝125°，则∠E的度数为 　70°　 ． 【答案】70°． 【分析】连结OA、OC，如图，先根据圆内接四边形的性质计算出∠ADC＝55°，再根据圆周角定理得到∠AOC＝110°，接着根据切线的性质得到∠OAE＝∠OCE＝90°，然后利用四边形内角和定理计算出∠E的度数． 【解答】解：连结OA、OC，如图， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣125°＝55°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝110°， ∵EA、EC为⊙O的切线， ∴OA⊥AE，OC⊥CE， ∴∠OAE＝∠OCE＝90°， ∴∠E+∠AOC＝180°， ∴∠E＝180°﹣110°＝70°． 故答案为：70°． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质． 12．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，且过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠DBE的度数为 　18°　 ． 【答案】18°． 【分析】连接CE、DE，过A，C，D三点的圆的圆心为E，且过B，F，E三点的圆的圆心为D，AE＝CE＝DE＝DB，可知∠A＝∠ACE，∠ECD＝∠CDE，∠DEB＝∠DBE，根据圆周角定理可得∠AEC＝54°，由∠AEC＝3∠DBE即可求解． 【解答】解：如图，连接CE、DE， ∵过A，C，D三点的圆的圆心为E，且过B，F，E三点的圆的圆心为D， ∴AE＝CE＝DE＝DB， ∴∠A＝∠ACE，∠ECD＝∠CDE，∠DEB＝∠DBE， ∵∠A＝63°， ∴∠AEC＝180°﹣2×63°＝54°， ∵∠ECD＝∠CDE＝2∠DBE， ∴∠AEC＝∠ECD+∠DBE＝3∠DBE，即3∠DBE＝54°， ∴∠DBE＝18°． 故答案为：18°． 【点评】本题主要考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理知识点，熟练掌握圆周角定理并巧妙使用是解决问题的关键． 13．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，BC经过圆心．若∠C＝34°，则∠B＝　28°　 ． 【答案】28°． 【分析】连接OA，由切线的性质得∠OAC＝90°，因为∠C＝34°，所以∠AOC＝90°﹣∠C＝56°，则∠B∠AOC＝28°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OA， ∵AC与⊙O相切于点A， ∴AC⊥OA， ∴∠OAC＝90°， ∵∠C＝34°， ∴∠AOC＝90°﹣∠C＝56°， ∴∠B∠AOC＝28°， 故答案为：28°． 【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 14．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A为切点，∠P＝30°，PA＝3．连接PO并延长，且与⊙O交于点B，C，则PB的长为 　3　 ． 【答案】3． 【分析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥PA，解直角三角形分别求出OP、OA，计算即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵PA是⊙O的切线， ∴OA⊥PA， ∵∠P＝30°，PA＝3， ∴OP2，OA＝PA•tanP＝3， ∴PB＝OP+OB＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 15．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠AOB＝130°，则∠APO＝ 　25　 °． 【答案】25°． 【分析】由切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，而∠AOB＝130°，所以∠APB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB＝50°，由切线长定理得∠APO＝∠BPO∠APB＝25°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点， ∴PA⊥OA，PB⊥OB，∠APO＝∠BPO， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠AOB＝130°， ∴∠APB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB＝50°， ∴∠APO∠APB＝25°， 故答案为：25°． 【点评】此题重点考查切线的性质、切线长定理、四边形的内角和等于360°等知识，推导出∠OAP＝∠OBP＝90°是解题的关键． 16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A与点E．当AB＝15，BC＝17时，AD的长为　9　 ． 【答案】9． 【分析】连接BE，作DH⊥BC于点H，根据切线的性质得到AD＝ED，AD⊥AB，CD⊥EB，根据勾股定理求出CE，根据矩形的性质求出DH，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，连接BE，作DH⊥BC于点H， 则∠BHD＝∠CHD＝90°， ∵AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，AB＝15，BC＝17， ∴AB＝FB＝15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD＝ED， ∴∠BAD＝∠BEC＝90°， ∴CE8， ∴CD＝CE+ED＝8+AD， ∵AD∥BC， ∴∠ADH＝∠CHD＝90°， ∵∠BAD＝∠ADH＝∠BHD＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴BH＝AD，DH＝AB＝15， ∴CH＝BC﹣BH＝17﹣AD， 在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD2， ∴152+（17﹣AD）2＝（8+AD）2， 解得：AD＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 17．如图，△ABC内接于⊙O，若AB＝AC＝10，BC＝12，则⊙O的半径是　　 ． 【答案】． 【分析】连接AO并延长，交BC于H，连接OB，根据垂径定理及其推论得到AH⊥BC，BH＝HC，根据勾股定理求出AH，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：如图，连接AO并延长，交BC于H，连接OB， ∵AB＝AC， ∴， ∴AH⊥BC， ∴BH＝HCBC＝6， 由勾股定理得：AH8， 设⊙O的半径为r，则OH＝8﹣r， 在Rt△BOH中，OB2＝BH2+OH2，即r2＝62+（8﹣r）2， 解得：r， ∴⊙O的半径为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． 18．如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝　70°　 ． 【答案】70°． 【分析】由PA、PB是圆O的切线，得PA＝PB，PA⊥AC，则∠PAC＝90°，而∠BAC＝35°，则∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝55°，所以∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝70°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵PA、PB是圆O的切线， ∴PA＝PB， ∵AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°， ∴PA⊥AC， ∴∠PAC＝90°， ∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°， ∴∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝180°﹣55°﹣55°＝70°， 故答案为：70°． 【点评】此题重点考查切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，推导出PA＝PB及PA⊥AC是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E是AC的中点，过点D作DG⊥BC于G，延长DG交⊙O于F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AD＝8，DE＝5，求⊙O的半径和DF的长． 【答案】（1）连接CD，OD，EO， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠CDB＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∵点E是AC的中点， ∴， 又∵OD＝OC，OE＝OE， ∴△ODE≌△OCE（SSS）， ∴∠ODE＝∠OCE＝90°， ∵OD是半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）⊙O的半径为， 【分析】（1）连接CD，OD，EO，根据直径所对的圆周角是直角可得∠CDB＝90°，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出DE＝EC，证明△ODE≌△OCE（SSS），得出∠ODE＝∠OCE＝90°，即可得证； （2）先求得AC＝10，勾股定理求得DC＝6，根据tan∠DAC＝tan∠BAC得出，进而勾股定理求得DB，根据cos∠BDG＝cos∠BAC得出，根据垂径定理，即可求得出DF的长． 【解答】（1）证明：连接CD，OD，EO， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠CDB＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∵点E是AC的中点， ∴， 又∵OD＝OC，OE＝OE， ∴△ODE≌△OCE（SSS）， ∴∠ODE＝∠OCE＝90°， ∵OD是半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵DE＝5， ∴AC＝2DE＝10， ∵AD＝8， ∴， ∴tan∠DAC＝tan∠BAC， ∴， ∴， 解得：， ∴⊙O的半径为， ∵， ∴， ∵DG⊥BC，AC⊥BC， ∴DF∥AC，BF＝2BG， ∴∠BDG＝∠BAC， ∴cos∠BDG＝cos∠BAC， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【点评】本题主要考查切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，垂径定理的应用，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题． 20．如图，AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD于点D，连接CB． （1）求证：BC平分∠ABD； （2）若，AB＝5，求BD的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OC，如图，先根据切线的性质得到OC⊥CD，再证明OC∥BD，所以∠OCB＝∠DBC，然后证明∠OBC＝∠DBC得到结论； （2）过C点作CH⊥AB于H点，如图，先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC，再利用面积法求出CH＝2，则可计算出BH＝1，接着根据角平分线的性质得到CH＝CD，然后证明Rt△BCH≌Rt△BCD得到BH＝BD． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵DC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD， ∵BD⊥CD， ∴OC∥BD， ∴∠OCB＝∠DBC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝OBC， ∴∠OBC＝∠DBC， ∴BC平分∠ABD； （2）解：过C点作CH⊥AB于H点，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC， ∵CH•ABBC•AC， ∴CH2， 在Rt△BCH中，BH1， ∵BC平分∠ABD，CH⊥BA，CD⊥BD， ∴CH＝CD， 在Rt△BCH和Rt△BCD中， ， ∴Rt△BCH≌Rt△BCD（HL）， ∴BH＝BD＝1． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 21．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接BO，CO，延长BO交AC于点D，交⊙O的切线AE于点E． （1）求证：AE∥BC； （2）若BC＝8，OC＝5，求AD的长． 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）延长AO交BC于H点，如图，先判断AH垂直平分BC，再根据切线的性质得到AH⊥AE，然后根据平行线的判定方法得到结论； （2）先利用勾股定理计算出OH＝3，再计算出AC＝4，接着证明△AOE∽△HOB，则利用相似比可求出AE的长；然后证明△ADE∽△CDB，利用相似三角形的性质得到， 然后利用比例的性质可求出AD的长． 【解答】（1）证明：延长AO交BC于H点，如图， ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AH垂直平分BC， ∵AE为切线， ∴AH⊥AE， ∴AE∥BC； （2）解：∵AH垂直平分BC， ∴BH＝CHBC＝4， 在Rt△OBH中，∵OB＝5，BH＝4， ∴OH3， 在Rt△ACH中，∵CH＝4，AH＝OA+OH＝5+3＝8， ∴AC4， ∵AE∥BH， ∴△AOE∽△HOB， ∴，即， 解得AE， ∵AE∥BC， ∴△ADE∽△CDB， ∴， ∴， ∴AD4． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了相似三角形的判定与性质． 22．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD∥BC，BO的延长线交AC于E，交⊙O于F，交AD于D，且AO∥CF． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）求证：AO平分∠BAC． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BCF＝90°，根据平行线的性质得到∠D＝∠CBD，∠AOD＝∠BFC，求得∠OAD＝90°，根据切线的判定定理得到AD是⊙O的切线； （2）根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，根据平行线的性质得到∠OAC＝∠ACF，求得∠BAO＝∠CAO，根据角平分线的定义得到AO平分∠BAC． 【解答】证明：（1）∵BF是⊙O的直径， ∴∠BCF＝90°， ∴∠CBD+∠CFB＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠CBD， ∵AO∥CF， ∴∠AOD＝∠BFC， ∴∠AOD+∠D＝90°， ∴∠OAD＝90°， ∵OA是⊙O的直径， ∴AD是⊙O的切线； （2）∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵OA∥CF， ∴∠OAC＝∠ACF， ∵∠ACF＝∠ABO， ∴∠BAO＝∠CAO， ∴AO平分∠BAC． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23．如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B．连接PO，交圆O于点D，延长PO，交圆O于点C．连接AC，BC．连接AO并延长，交BC于点E． （1）证明：点D是的中点． （2）若点E是BC的中点，求∠APC的度数． 【答案】（1）见解析； （2）30度． 【分析】（1）利用切线长定理证明△APC≌△BPC，从而得出∠ACP＝∠BCP，得到即可得结果； （2）通过点E是BC中点推出AE⊥BC，AB＝AC，由（1）得△APC≌△BPC，AC＝BC，△ABC是等边三角形，得到∠ACB＝60°，再结合圆的性质和平行线性质，求出∠APC的度数． 【解答】（1）证明：∵PA、PB分别切圆O于A、B， ∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC， 在△APC和△BPC中， ， ∴△APC≌△BPC（SAS）， ∴∠ACP＝∠BCP， ∴，即点D是的中点； （2）解：∵点E是BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴AE垂直平分BC，连接AB，则AB＝AC， 由（1）得△APC≌△BPC， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴， ∵PA是圆O的切线， ∴PA⊥AE， ∴PA∥BC， ∴∠APC＝∠BCP＝30°． 【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 24．如图，BC为⊙O的直径，A为⊙O上一点，连接AC，∠ACB＝45°，D为OC的中点，连接AD并延长至点E，使DE＝AD，连接CE，BE，BE交⊙O于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AE＝2，求BF的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）连接OA，OE，由OD＝DC，AD＝DE得到▱AOEC，从而CE∥AO，继而得到∠OCE＝∠AOC＝90°，即可得证； （2）设⊙O的半径为r，在Rt△AOD中根据勾股定理构造方程，求解得到r＝2，从而求出BC＝2r＝4，，从而．连接CF，在Rt△BCF中，BF＝BC•cos∠CBF即可解答． 【解答】（1）证明：连接OA，OE， 由题意可得：OD＝DC， 又∵AD＝DE， ∴CE∥AO， ∴∠OCE＝∠AOC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACB＝45° ∴∠AOC＝90°， ∴∠OCE＝90°， ∴OC⊥CE， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r， ∴， ∵∠AOD＝90°，， ∵AO2+OD2＝AD2， ∴， ∴r＝2． ∴在▱AOEC中，CE＝AO＝2， ∵BC＝2r＝4，∠BCE＝90°， ∴， ∴ 连接CF， ∵BC是直径， ∴∠BFC＝90°， ∴． 【点评】本题考查切线的判定及性质，勾股定理，解直角三角形，直径所对的圆周角为90°，综合运用相关知识是解题的关键． 25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F． （1）写出OF与AC的关系：　OF⊥AC　 ； （2）求证：AF是⊙O的切线． 【答案】（1）OF⊥AC； （2）连接OC， ∵PC为⊙O切线， ∴CP⊥OC． ∴∠OCP＝90°， ∵OF∥BC， ∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠B， ∴∠AOF＝∠COF， ∵OA＝OC，OF＝OF， ∴△AOF≌△COF（SAS）， ∴∠OAF＝∠OCF＝90°， ∴AF⊥OA， ∵OA为⊙O的半径， ∴AF为⊙O的切线． 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，得到BC⊥AC，再结合平行线的性质求解即可； （2）连接OC，由圆的切线的性质，得到∠OCP＝90°，根据平行线的性质和等边对等角的性质，得出∠AOF＝∠COF，证明△AOF≌△CCF（SAS），得到∠OAF＝∠OCF＝90°，即可证明结论． 【解答】（1）解：∵△ABC内接于⊙O，AB是直径， ∴∠BCA＝90°，即BC⊥AC， ∵OF∥BC， ∴OF⊥AC； 故答案为：OF⊥AC； （2）证明：连接OC， ∵PC为⊙O切线， ∴CP⊥OC． ∴∠OCP＝90°， ∵OF∥BC， ∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠B， ∴∠AOF＝∠COF， ∵OA＝OC，OF＝OF， ∴△AOF≌△COF（SAS）， ∴∠OAF＝∠OCF＝90°， ∴AF⊥OA， ∵OA为⊙O的半径， ∴AF为⊙O的切线． 【点评】本题考查了圆周角，圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握圆的相关性质是解题关键． 26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，AB＝AD，∠CBE＝∠CDB． （1）求证：∠BAD+∠ADC＝180°． （2）求证：BE是⊙O的切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据已知条件得到，求得∠ABD＝∠BDC，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，得到∠FCB＝90°，求得∠FBE＝90°，根据切线的判定定理得到结论． 【解答】证明：（1）∵， ∴， ∴， ∴∠ABD＝∠BDC， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°； （2）连接BO并延长交⊙O于F，连接CF， 则∠FCB＝90°， ∴∠F+∠FBC＝90°， ∵∠BDC＝∠F＝∠CBE， ∴∠CBE+∠FBC＝90°， ∴∠FBE＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴BE是⊙O的切线． 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $