24.1 圆的有关性质同步练习-2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.1 圆的有关性质 一．选择题（共8小题） 1．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（　　） A．80° B．60° C．40° D．30° 2．如图，A，B，C为圆O上三点，OB交AC于点D，CD＝CB，若∠ACB＝40°，则∠OAC为（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 3．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC，OC．下列结论中，不一定成立的是（　　） A．∠ACB＝90° B．CE＝DE C．∠BOC＝∠B D． 4．已知⊙O中，弦AB垂直弦CD，CD＝6，AB＝8，则关于直径的说法正确的是（　　） A．一定等于10 B．可能大于10 C．不可能大于10 D．不可能等于8 5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，且四边形ABCO是菱形，则∠D的大小为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 6．如图，BD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，弦AC与BD交于点P．若∠ADB＝61°，则∠CPD等于（　　） A．106° B．122° C．124° D．102° 7．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则半径的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 二．填空题（共8小题） 9．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为　 　 ． 10．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 　 　 ． 11．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠AOC＝∠ABC，∠A＝45°，则∠C的度数为　 　 °． 12．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上．若∠ACE＝25°，则∠BDE＝　 　 ． 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，∠ADE＝110°，则∠ABC＝　 　 °． 14．如图，在⊙O中，，∠BDC＝20°，则∠AOB的度数是 　 　 ． 15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，AE＝CD，若⊙O的半径为5，则弦CD的长为　 　 ． 16．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，连接AD、OB、OD，若∠ADC＝35°，则∠BOD的度数为 　 　 °． 三．解答题（共8小题） 17．已知：如图，∠ACB＝90°，∠CAD＝∠CDA，∠CBD＝∠CDB，求∠ADB． 18．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G． （1）求证：； （2）若为140°，求∠EGB的度数． 19．如图，FG为⊙O的直径，，E为上一点，延长FE至点A，使EA＝EG，连接HG． （1）求证：AH＝HG； （2）延长AH交⊙O于点B，连接BG，若AB＝12，BG＝6，求FG的长． 20．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 21．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC＝60°． （1）判断△ABC的形状，并说明你的理由； （2）若DM＝2，求⊙O的半径． 22．在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若点E在上，求∠E的度数． 23．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为的中点，过点D作DE⊥AB于点F，交AC于点G． （1）求证：GA＝GD； （2）若AC＝12，AF＝3，求圆的半径长． 24．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D （1）求证：AC＝BD； （2）若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长． 24.1 圆的有关性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（　　） A．80° B．60° C．40° D．30° 【答案】C 【分析】根据圆周角和圆心角之间的关系得∠BAC∠BOC＝40°，由此即可得出答案． 【解答】解：∵AB，AC为⊙O的两条弦，∠BOC＝80°， ∴∠BAC∠BOC＝40°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解决问题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角的度数等于该弧所对圆心角的一半． 2．如图，A，B，C为圆O上三点，OB交AC于点D，CD＝CB，若∠ACB＝40°，则∠OAC为（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【分析】由圆周角定理得∠AOB＝2∠ACB＝80°，进而由等腰三角形的性质得∠CDB＝∠CBD＝70°，即得∠ADO＝∠CDB＝70°，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：由条件可知∠AOB＝2∠ACB＝80°， ∴， ∴∠ADO＝∠CDB＝70°， ∴∠OAC＝30°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点的解题的关键． 3．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC，OC．下列结论中，不一定成立的是（　　） A．∠ACB＝90° B．CE＝DE C．∠BOC＝∠B D． 【答案】C 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD⊥AB， ∴， ∵OA＝OC＝OB， ∴∠A＝∠ACO，∠OCB＝∠B， ∴，∠BOC＝∠B不一定成立； 故选：C． 【点评】本题主要考查垂径定理及圆周角定理的推论，熟练掌握垂径定理及圆周角定理推论是解题的关键． 4．已知⊙O中，弦AB垂直弦CD，CD＝6，AB＝8，则关于直径的说法正确的是（　　） A．一定等于10 B．可能大于10 C．不可能大于10 D．不可能等于8 【答案】C 【分析】如果弦AB是圆的直径，圆的直径长＝8；如果弦AB不是圆的直径，如图，过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OC，OB，OP，由垂径定理得到MBAB＝4，CNCD＝3，设圆的半径是r，由勾股定理得到OP，由点与圆的位置关系得到r，求出r≤5，得到圆的直径不可能大于10． 【解答】解：如果弦AB是圆的直径，圆的直径长＝AB＝8， 如果弦AB不是圆的直径，如图， 过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OC，OB，OP， ∴MBAB，CNCD， ∵CD＝6，AB＝8， ∴MB＝4，CN＝3， 设圆的半径是r， ∴OM2＝OB2﹣MB2＝r2﹣42，ON2＝OC2﹣CN2＝r2﹣32， ∵四边形OMPN是矩形， ∴PM＝ON， ∴OP， ∵OP≤r， ∴r， ∴r≤5， ∴圆的直径不可能大于10． 故选：C． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理和垂径定理得到OP，由点与圆的位置关系得到r≤5． 5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，且四边形ABCO是菱形，则∠D的大小为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】A 【分析】连接CD，设∠ADB＝x，先根据菱形的性质可得AB＝BC，∠O＝∠ABC，再求出∠CDB＝∠ADB＝x，然后根据圆周角定理可得∠ABC＝∠O＝2∠ADC＝4x，最后根据圆内接四边形的性质可得∠ABC+∠ADC＝180°，由此即可得∠ADB＝30°． 【解答】解：如图，连接CD， 设∠ADB＝x， 由条件可知AB＝BC，∠O＝∠ABC， ∴， ∴∠CDB＝∠ADB＝x， ∴∠ADC＝∠CDB+∠ADB＝2x， 由圆周角定理得：∠O＝2∠ADC＝4x， ∴∠ABC＝4x， 由条件可知∠ABC+∠ADC＝180°， ∴4x+2x＝180°， 解得x＝30°， ∴∠ADB＝30°， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质、圆周角定理、圆内接四边形等知识，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题关键． 6．如图，BD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，弦AC与BD交于点P．若∠ADB＝61°，则∠CPD等于（　　） A．106° B．122° C．124° D．102° 【答案】A 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD＝∠BAD＝90°，再根据弧，弦之间的关系得BC＝CD，可得∠CAD＝45°，最后根据三角形外角的性质得出答案． 【解答】解：连接CD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°． 由条件可知BC＝CD， ∴∠CBD＝45°， ∴∠CAD＝45°． ∵∠CPD是△ADP的外角， ∴∠CPD＝∠CAD+∠ADB＝45°+61°＝106°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形外角的性质是求角的度数的常用方法．熟练掌握以上知识点是关键． 7．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则半径的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理即可求出答案． 【解答】解：∵AD＝CD＝8， ∴OB⊥AC， 在Rt△AOD中，OA10． 故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OB⊥AC是解题的关键． 8．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝75°，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A＝150°，根据∠BOC＝2∠COD求出∠COD＝50°，根据圆周角定理得出∠CBDCOD即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝105°， ∴∠A＝75°， ∴∠BOD＝2∠A＝150°， ∵∠BOC＝2∠COD， ∴∠COD50°， ∴∠CBDCOD＝25°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理等知识点，能根据圆内接三角形的性质得出∠A+∠BCD＝180°和∠CBDCOD是解此题的关键． 二．填空题（共8小题） 9．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为　50°　 ． 【答案】50°． 【分析】直接根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：∵点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°， ∴∠BAC∠BOC100°＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 10．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 　2　 ． 【答案】2． 【分析】作OD⊥AB于D，连接OA，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长． 【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA． ∵OD⊥AB，OA＝2，OD＝1， 在Rt△OAD中， AD， ∴AB＝2AD＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 11．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠AOC＝∠ABC，∠A＝45°，则∠C的度数为　75　 °． 【答案】75． 【分析】延长AO交⊙O于点D，连接CD，根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠D，从而可得∠ABC＝2∠D，然后利用圆内接四边形的性质可得∠ABC+∠D＝180°，从而可得∠D＝60°，进而可得△OCD是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得∠OCD＝60°，最后根据圆内接四边形的性质可得∠BCD＝135°，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：延长AO交⊙O于点D，连接CD， ∵∠AOC＝2∠D，∠AOC＝∠ABC， ∴∠ABC＝2∠D， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∴∠D＝60°， ∵OC＝OD， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠OCD＝60°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝135°， ∴∠BCO＝∠BCD﹣∠OCD＝75°， 故答案为：75． 【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上．若∠ACE＝25°，则∠BDE＝　65°　 ． 【答案】65°． 【分析】先根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，再由∠ACE＝25°得出∠ADE＝25°，据此可得出结论． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACE＝25°， ∴∠ADE＝25°， ∴∠BDE＝90°﹣25°＝65°． 故答案为：65°． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，∠ADE＝110°，则∠ABC＝　110　 °． 【答案】110． 【分析】根据邻补角的定义求出∠ADC，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：∵∠ADE＝110°， ∴∠ADC＝180°﹣110°＝70°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣70°＝110°， 故答案为：110． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 14．如图，在⊙O中，，∠BDC＝20°，则∠AOB的度数是 　40°　 ． 【答案】40°． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理即可求解． 【解答】解：∵AB＝BC， ∴， ∴∠AOB＝2∠BDC， ∵∠BDC＝20°， ∴∠AOB＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，理解定理是关键． 15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，AE＝CD，若⊙O的半径为5，则弦CD的长为　8　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接CO，设AE＝CD＝2a，知CE＝a，OE＝2a﹣5，由CO2＝CE2+OE2得到关于a的方程，解之可得答案． 【解答】解：如图，连接CO， 设AE＝CD＝2a， ∵AB⊥CD，AO＝CO＝5， ∴CE＝a，CE＝2a﹣5， 在Rt△COE中， 由CO2＝CE2+OE2得52＝a2+（2a﹣5）2， 解得a＝0（舍）或a＝4， 则CD＝2a＝8， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 16．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，连接AD、OB、OD，若∠ADC＝35°，则∠BOD的度数为 　70　 °． 【答案】70． 【分析】先利用平行线的性质可得∠BAD＝∠ADC＝35°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠ADC＝35°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝70°， 故答案为：70． 【点评】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．已知：如图，∠ACB＝90°，∠CAD＝∠CDA，∠CBD＝∠CDB，求∠ADB． 【答案】见试题解答内容 【分析】设∠ADB＝x，∠ADC＝y，构建方程求出x即可解决问题． 【解答】解：设∠ADB＝x，∠ADC＝y， ∵∠CAD＝∠CDA＝y，∠CBD＝∠CDB＝x+y，∠ACB＝90°， ∴y（180°﹣∠ACD）[180°﹣（90°+180°﹣2x﹣2y）]， 解得x＝45°， ∴∠ADB＝45° 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 18．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G． （1）求证：； （2）若为140°，求∠EGB的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）要证明，则要证明∠EAF＝∠GAD，由AB＝AE，得出∠ABE＝∠AEB，平行四边形的性质得出，∠EAF＝∠AEB，∠GAF＝∠B，由圆心角、弧、弦的关系定理得出； （2）根据圆心角、弧、弦的关系解答即可． 【解答】（1）证明：连接AE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB，∠GAF＝∠B， ∵AE＝AB， ∴∠B＝∠AEB， ∴∠EAF＝∠GAF， ∴； （2）∵GB为⊙A的直径， ∴为180°， ∵为140°， ∴为40°， ∴∠BAE＝40° ∵∠EGB∠BAE， ∴∠EGB＝20°． 【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点的应用，关键是求出∠EAF＝∠GAF，题目比较典型，难度不大． 19．如图，FG为⊙O的直径，，E为上一点，延长FE至点A，使EA＝EG，连接HG． （1）求证：AH＝HG； （2）延长AH交⊙O于点B，连接BG，若AB＝12，BG＝6，求FG的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接EH，FH，可得∠HEG＝∠HFG、∠AEH＝∠FGH，由FG为⊙O的直径、知∠AEH＝∠GEH＝45°，证△AEH≌△GEH即可得； （2）作GK⊥AB，由、∠FHG＝90°知∠HFG＝∠FGH＝∠HBG＝45°，从而得出BK＝KG＝3，设AH＝HG＝x，则HK＝123x＝9x，Rt△HKG中根据勾股定理列方程求得x的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）连接EH，FH， ∴∠HEG＝∠HFG，∠AEH＝∠FGH， ∵FG为⊙O的直径，， ∴HF＝HG，∠FHG＝90°， ∴∠HFG＝∠HGF＝45°， ∠AEH＝∠GEH＝45°， 在△AEH与△GEH中，， ∴△AEH≌△GEH， ∴AH＝HG； （2）作GK⊥AB于点K， ∵FG为直径， ∴∠FHG＝90°， ∵， ∴∠HFG＝∠FGH＝45°， ∵， ∴∠HFG＝∠HBG＝45°， ∵BG＝6， ∴BK＝KG＝3， ∵AB＝12， 设AH＝HG＝x， 则HK＝123x＝9x， ∴Rt△HKG中，（9x）2+（3）2＝x2， 解得：x＝5， ∴FG＝510． 【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定与性质及圆周角定理，熟练掌握圆心角定理及圆周角定理是解题的关键． 20．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论． 【解答】解：（1）连接OA， 由题意得：ADAB＝30（米），OD＝（r﹣18）米， 在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2， 解得，r＝34（米）； （2）连接OA′， ∵OE＝OP﹣PE＝30米， ∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302， 解得：A′E＝16（米）． ∴A′B′＝32（米）． ∵A′B′＝32＞30， ∴不需要采取紧急措施． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 21．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC＝60°． （1）判断△ABC的形状，并说明你的理由； （2）若DM＝2，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，根据垂径定理，即可得AC＝BC，然后由圆周角定理，即可求得∠BAC＝60°，根据等边三角形的判定定理，即可证得△ABC是等边三角形； （2）首先连接OA，AD，即可证得△OAD是等边三角形，然后根据含30°的直角三角形的性质，即可求得AD的长，继而可得⊙O的半径． 【解答】解：（1）△ABC是等边三角形． 理由：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD， ∴， ∴AC＝BC， ∵∠BPC＝60°， ∴∠BAC＝∠BPC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． （2）连接OA，AD， ∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD， ∴∠CAD＝90°，∠DCA∠BCA＝30°， ∴∠ADC＝60°， ∴∠MAD＝30°，△AOD是等边三角形， ∵DM＝2， ∴AD＝2DM＝4， ∴OD＝4， ∴⊙O的半径为4． 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 22．在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若点E在上，求∠E的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD＝180°﹣∠C＝70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD＝55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数． 【解答】解：连接BD， ∵∠C+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣110°＝70°， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠ABD（180°﹣70°）＝55°， ∵四边形ABDE为圆的内接四边形， ∴∠E+∠ABD＝180°， ∴∠E＝180°﹣55°＝125°． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 23．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为的中点，过点D作DE⊥AB于点F，交AC于点G． （1）求证：GA＝GD； （2）若AC＝12，AF＝3，求圆的半径长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）连接AD，BD，由AB是半圆O的直径，可得∠ADB＝90°，从而可得∠DAB+∠ABD＝90°，再由DE⊥AB，可得∠DAB+∠ADE＝90°，进一步可得∠ADE＝∠ABD，再由D是AC的中点，得出∠DAC＝∠ABD，从而得出∠ADE＝∠DAC，最后由等腰三角形的判定可得结论； （2）连接OE．首先证明DE＝AC＝12，设OA＝OE＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图，连接AD，BD， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠ABD＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DAB+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠ABD， ∵D是弧AC的中点， ∴∠DAC＝∠ABD， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴GA＝GD； （2）如图，连接OE． ∵DE⊥AB， ∴DF＝EF，AD＝AE， ∵点D是弧AC的中点， ∴， ∴CA＝DE， ∴DE＝AC＝12， ∴， 设OA＝OE＝x， 在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2， 解得， 圆的半径长为． 【点评】本题属于圆的综合题，重点考查的是圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 24．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D （1）求证：AC＝BD； （2）若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE＝BE，CE＝DE，从而得到AC＝BD； （2）连接OC，OA，根据OE⊥AB且OE⊥CD可得OE＝6，CE＝DE，再根据勾股定理求出CE及AE的长，进而可得出结论． 【解答】（1）证明：作OE⊥AB，则AE＝BE，CE＝DE， 故BE﹣DE＝AE﹣CE； 即AC＝BD； （2）解：连接OC，OA， ∵OE⊥AB且OE⊥CD， ∴OE＝4，CE＝DE， ∴DE＝CE2， AE4， ∴AC＝AE﹣CE＝42． 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $