23.2 中心对称同步练习-2025-2026学年人教版数学九年级上册

23.2 中心对称 一．选择题（共5小题） 1．已知，|b+1|＝0，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 2．如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有（　　） A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种 5．若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m﹣n的值是（　　） A．﹣9 B．﹣5 C．5 D．9 二．填空题（共8小题） 6．已知点P1（a，﹣2）和P2（3，b）关于原点对称，则（a+b）2024的值为 　 　 ． 7．若正方形ABCD的对称中心是直角坐标系的原点，且点A的坐标为（2，3），则点C的坐标为 　 　 ． 8．在平面直角坐标系中，A（3，﹣2）与点B关于原点对称，则点B的坐标是 　 　 ． 9．已知点P（x，﹣2）和点Q（3，y）关于原点对称，则x+y＝　 　 ． 10．在平面直角坐标系xOy中，点（2，3）关于原点O的对称点的坐标为 　 　 ． 11．如图，一“L”型纸片是由5个边长都是10cm的正方形拼接而成，过点I的直线分别与AE，JN交于点P，Q，且“L”型纸片被直线PQ分成面积相等的上下两部分，将该纸片沿BG，CH，DI，IJ折成一个无盖的正方体盒子后，点P，Q之间的距离为　 　 cm． 12．点O是矩形ABCD的对称中心，连接OA、OB，若∠OAD＝20°，则∠OBA的度数是　 　 °． 13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝60°，直线l平分平行四边形ABCD的面积，交AD边于点M，交BC边于点N，当线段MN最短时，则AM的长为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 14．如图①和图②，是由全等的小正三角形组成的网格，每个网格图中有3个小正三角形涂上阴影，请按要求在余下的小正三角形选取一个涂上阴影． （1）使得图①中阴影部分是轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）使得图②中阴影部分是中心对称图形，但不是轴对称图形． 15．如图，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点，相等的线段，相等的角． 16．如图，已知正方形ABCD的面积为S． （1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法） （2）用S表示（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1； （3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四个边形，面积为S2，则S1与S2是否相等，为什么？ 17．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　 　 S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）； （2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）． 18．请你画出把下列矩形的面积两等分的直线，并且根据你所画的直线回答下列问题． （1）在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有多少条？它们必须都经过哪个点？ （2）你认为还有具有这个性质的四边形吗？如果有，请你找出来． （3）你认为具有此性质的四边形应该具有什么特征的四边形呢？ 19．在“综合与实践”课堂上，同学们经过探索发现“将中心对称图形面积二等分的直线往往会经过对称中心”，如：平行四边形ABCD的对角线交于点O，过O的直线EF，将平行四边形ABCD等分成面积相等的四边形AEFD和四边形CFEB． 课后，小李想运用课堂上探究的结论，用一条直线将图的面积等分成两份．请你用三种方法完成（保留画图痕迹，不写画法）． 20．如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C均在格点上，请按要求画出格点四边形． （1）在图①中画出一个以点A、B、C、D为顶点的格点四边形，使其是中心对称图形．但不是轴对称图形； （2）在图②中画出一个以点A、B、C、P为顶点的格点四边形，使PC2+PB2＝18． 23.2 中心对称 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．已知，|b+1|＝0，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【答案】C 【分析】先化简求出a，b的值，再结合关于原点对称这个条件，即可作答． 【解答】解：∵， ∴a﹣2＝0，b+1＝0， ∴a＝2，b＝﹣1， 则点P（2，﹣1）， 则点P（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，1）． 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标，以及绝对值、算术平方根的非负性，掌握关于原点对称的点的坐标：它们的坐标符号相反是解题的关键． 2．如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF 【答案】A 【分析】结合中心对称的性质可得AO＝DO，BO＝EO，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，进而可证明△AOB≌△DOE，可得∠BAO＝∠EDO，则AB∥DE，进而可得答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称， ∴AO＝DO，BO＝EO，△ABC与△DEF关于点O成中心对称． 故B，D选项正确，不符合题意； ∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（SAS）， ∴∠BAO＝∠EDO， ∴AB∥DE， 故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出AD⊥BE， 故A选项不正确，符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查中心对称、全等三角形的判定，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一分析求解即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． 4．如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有（　　） A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，过对角线的交点，作两条互相垂直的直线即可． 【解答】解：∵正方形是中心对称图形， ∴经过正方形的对称中心作互相垂直的两条直线， 则这两条直线把草地分成的四部分面积相等， 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称，掌握正方形是中心对称图形以及中心对称图形的性质是解题的关键． 5．若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m﹣n的值是（　　） A．﹣9 B．﹣5 C．5 D．9 【答案】A 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【解答】解：根据题意可知，m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5， 解得：m＝﹣2，n＝7， ∴m﹣n＝﹣2﹣7＝﹣9． 故选：A． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，掌握关于原点对称点的坐标特点是关键． 二．填空题（共8小题） 6．已知点P1（a，﹣2）和P2（3，b）关于原点对称，则（a+b）2024的值为 　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据点关于原点对称，则横坐标、纵坐标均为相反数，即点M（a，b）关于原点对称的点M′（﹣a，﹣b），可求出a，b的值，代入后，根据有理数的乘方运算即可求解． 【解答】解：根据题意得，a＝﹣3，b＝2， ∴（a+b）2024＝（﹣3+2）2024＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特点是关键． 7．若正方形ABCD的对称中心是直角坐标系的原点，且点A的坐标为（2，3），则点C的坐标为 　C（﹣2，﹣3）　 ． 【答案】C（﹣2，﹣3）． 【分析】因为正方形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称，从而根据A点坐标可求C点坐标． 【解答】解：∵正方形是中心对称图形， 所以当其对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称， ∵A（2，3）， ∴C（﹣2，﹣3）． 故答案为：C（﹣2，﹣3）． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，中心对称以及坐标与图形的性质，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，A（3，﹣2）与点B关于原点对称，则点B的坐标是 　（﹣3，2）　 ． 【答案】（﹣3，2）． 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反解答即可． 【解答】解：∵平面直角坐标系中，A（3，﹣2）与点B关于原点对称， ∴B（﹣3，2）． 故答案为：（﹣3，2）． 【点评】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反是解题的关键． 9．已知点P（x，﹣2）和点Q（3，y）关于原点对称，则x+y＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据点的坐标关于原点对称的特征可求出x、y的值，然后问题可求解． 【解答】解：∵点P（x，﹣2）和点Q（3，y）关于原点对称， ∴x＝﹣3，y＝2， ∴x+y＝﹣3+2＝﹣1； 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了点的坐标关于原点对称，掌握点的坐标关于原点对称的特征“横纵坐标互为相反数”是解题的关键． 10．在平面直角坐标系xOy中，点（2，3）关于原点O的对称点的坐标为 　（﹣2，﹣3）　 ． 【答案】（﹣2，﹣3）． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【解答】解：点（2，3）关于原点O对称的点的坐标是：（﹣2，﹣3）． 故答案为：（﹣2，﹣3）． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键． 11．如图，一“L”型纸片是由5个边长都是10cm的正方形拼接而成，过点I的直线分别与AE，JN交于点P，Q，且“L”型纸片被直线PQ分成面积相等的上下两部分，将该纸片沿BG，CH，DI，IJ折成一个无盖的正方体盒子后，点P，Q之间的距离为　10　 cm． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先证明PB+QJ＝10，在立体图形中，证明四边形BGQP为矩形，根据矩形的性质解答即可． 【解答】解：平面图形中，∵IJ∥PE， ∴△QIJ∽△QPE， ∴，即， ∴10EQ+10PE＝PE•EQ， ∵图L被直线PQ分成面积相等的上、下两部分， ∴PE•EQ5×100＝250， ∴PE•QE＝500，即PE+QE＝50（cm）， ∴PB+JQ＝50﹣40＝10（cm）， 立体图形中，连接MN， ∵PB+JQ＝10，JQ+QN＝10， ∴PB＝QN， ∴四边形BGQP为矩形， ∴PQ＝BG＝10（cm）， 故答案为10． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、几何体的展开图，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12．点O是矩形ABCD的对称中心，连接OA、OB，若∠OAD＝20°，则∠OBA的度数是　70　 °． 【答案】70． 【分析】根据点O是矩形ABCD的对称中心得出OA＝OB，进而得出∠OAB＝∠OBA，再结合∠OAD的度数及矩形的性质求出∠OAB的度数即可解决问题． 【解答】解：∵点O是矩形ABCD的对称中心， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°． ∵∠OAD＝20°， ∴∠OAB＝90°﹣20°＝70°， ∴∠OBA＝70°． 故答案为：70． 【点评】本题主要考查了中心对称及矩形的性质，熟知矩形的性质及根据点O是矩形ABCD的对称中心得出OA＝OB是解题的关键． 13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝60°，直线l平分平行四边形ABCD的面积，交AD边于点M，交BC边于点N，当线段MN最短时，则AM的长为 　3　 ． 【答案】3． 【分析】当MN⊥BC时，MN最短，据此求解即可． 【解答】解：如图，连接AC、BD，交于O，过O作线段MN，交AD于M，交BC于N， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB， ∵∠AOM＝∠CON， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴S△AOM＝S△CON， 同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD， ∴S△OMD＝S△ONB，S△AOB＝S△COD， ∴S△AOM+S△AOB+S△BON＝S△CON+S△COD+S△OMD， 即MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分， 当MN⊥BC时，MN最短； 过A作AH⊥BC于H， ∵AD∥BC， ∴MN＝AH， ∵AB＝8，∠ABC＝60°， ∴∠BAH＝30°， ∴， ∴当MN⊥BC时，线段MN的长度最短为， ∴平行四边形ABCD的面积为， ∴， ∴， 解得，AM＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 14．如图①和图②，是由全等的小正三角形组成的网格，每个网格图中有3个小正三角形涂上阴影，请按要求在余下的小正三角形选取一个涂上阴影． （1）使得图①中阴影部分是轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）使得图②中阴影部分是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】见解析． 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案； （2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案． 【解答】解：（1）如图1，在①②③④四个位置任选其一； （2）如图2，在①②两个位置任选其一． 【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键． 15．如图，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点，相等的线段，相等的角． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用中心对称的定义及性质直接写出即可． 【解答】解：对称点为：A和D、B和E、C和F； 相等的线段有AC＝DF、AB＝DE、BC＝EF； 相等的角有：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F． 【点评】本题考查了中心对称的性质及定义，中心对称的两个图形的对应角相等，对应边的比相等． 16．如图，已知正方形ABCD的面积为S． （1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法） （2）用S表示（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1； （3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四个边形，面积为S2，则S1与S2是否相等，为什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据对称的性质可知．使得点A1和点A关于点B对称，即是连接AB并延长相同的长度找到对应点A′，其它三点同样的方法找到对应点，顺次连接． （2）设正方形ABCD的边长为a，根据两个正方形边长的比值，利用面积比等于相似比，来求小正方形的面积． （3）相等．因为一个四边形可以分成两个三角形，根据三角形的面积公式，等底等高的三角形面积相等． 【解答】解：（1）如图①所示． （2）设正方形ABCD的边长为a， 则AA1＝2a，S△AA1D1•AA1•AD1＝a2， 同理，S△BB1A1＝S△CC1B1＝S△DD1C1＝a2， ∴S1＝S△AA1D1+S△BB1A1+S△CC1B1+S△DD1C1+S正方形ABCD＝5a2＝5S． （本问也可以先证明四边形A1B1C1D1是正方形，再求出其边长为a，从而算出S四边形A1B1C1D1＝5S） （3）S1＝S2 理由如下： 首先画出图形②，连接BD、BD1， ∵△BDD1中，AB是中线， ∴S△ABD1＝S△ABD． 又∵△AA1D1中，BD1是中线， ∴S△ABD1＝S△A1BD1 ∴S△AA1D1＝2S△ABD 同理，得S△CC1B1＝2S△CBD ∴S△AA1D1+S△CC1B1＝2（S△ABD+S△CBD）＝2S． 同理，得S△BA1B1+S△DD1C1＝2S， ∴S2＝S△AA1D1+S△BB1A1+S△CC1B1+S△DD1C1+S四边形ABCD＝5S． 由（2）得，S1＝5S． ∴S1＝S2． 【点评】本题是一道综合性很强的题，综合了轴对称，正方形的面积，及四边形，三角形的面积，所以我们学生学知识一定不要机械的学，要会联系起来． 17．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　＝　 S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）； （2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据知识背景即可求解； （2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC； （2）如图所示： （3）如图所示： 故答案为：＝． 【点评】本题考查中心对称及矩形的性质，有一定难度，注意掌握中心与中心对称点之间的关系． 18．请你画出把下列矩形的面积两等分的直线，并且根据你所画的直线回答下列问题． （1）在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有多少条？它们必须都经过哪个点？ （2）你认为还有具有这个性质的四边形吗？如果有，请你找出来． （3）你认为具有此性质的四边形应该具有什么特征的四边形呢？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据矩形是中心对称图形，过对角线的交点的直线都能将矩形分成面积相等的两部分，且这两部分全等，由此可得出答案． （2）正方形、菱形、平行四边形也都是具有这种性质的四边形． （3）找到（2）中图形的共性即可． 【解答】解：（1）由分析得：有无数条，它们必须都经过对角线的交点． （2）正方形、菱形、平行四边形也都是具有这种性质的四边形． （3）由（2）得，满足条件的图形都是中心对称的四边形． 故具有此性质的四边形应该具有中心对称的性质． 【点评】本题考查中心对称的知识，难度不大，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合． 19．在“综合与实践”课堂上，同学们经过探索发现“将中心对称图形面积二等分的直线往往会经过对称中心”，如：平行四边形ABCD的对角线交于点O，过O的直线EF，将平行四边形ABCD等分成面积相等的四边形AEFD和四边形CFEB． 课后，小李想运用课堂上探究的结论，用一条直线将图的面积等分成两份．请你用三种方法完成（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】 【分析】根据题意构造矩形连接对角线交点即可． 【解答】解：如图所示： ＄＄ 【点评】本题考查了矩形的性质．熟练掌握该知识点是关键． 20．如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C均在格点上，请按要求画出格点四边形． （1）在图①中画出一个以点A、B、C、D为顶点的格点四边形，使其是中心对称图形．但不是轴对称图形； （2）在图②中画出一个以点A、B、C、P为顶点的格点四边形，使PC2+PB2＝18． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）直接平行四边形的判定与性质画出图形即可； （2）利用勾股定理进而得出符合题意的答案． 【解答】解：（1）如图所示：平行四边形ADBC即为所求； （2）如图所示：四边形ABPC即为所求． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理，中心对称图形，熟知以上知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $