专题23.2 中心对称（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题23.2 中心对称 教学目标 1. 掌握中心对称的定义与性质，能够根据定义熟练的找出对称中心，能够根据性质熟练的解决相关题目。 2. 掌握中心对称作图的步骤，并能够熟练的进行中心对称作图。 教学重难点 1. 重点 （1）中心对称的定义与性质； （2）中心对称的作图； 2. 难点 （1）利用中心对称的性质进行角度或线段长度的计算； （2）确定中心对称的对称中心。 知识点01 中心对称的定义 1. 中心对称的定义： 如图，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的 。 即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是对称中心，A与A' ，B与B' ，C与C' 都是对称点， 中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2. 中心对称的性质： ①关于中心对称的两个图形能够 ；即 。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过 ，并且被对称中心 。 即：。 ③中心对称的两个图形对应边 。 3. 对称中心的确定： 连接任意两组 得到两条线段，这两条线段的 就是对称中心。 【即学即练1】 1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【即学即练2】 2．如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B' 【即学即练3】 3．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（　　） A．4 B． C． D． 【即学即练4】 4．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 【即学即练5】 5．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（　　） A．点G B．点H C．点M D．点N 知识点02 中心对称作图 1. 中心对称作图的基本步骤： 步骤：①确定图形的 与 。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离 。 得到 。 ③按照原图形连接各对称点。 【即学即练1】 6．如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′． 【即学即练2】 7．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了，请你帮排版工人找到对称中心O的位置． 题型01 中心对称的判断 【典例1】图中是第二届数字中国建设峰会吉祥物——“数娃”，它头顶蓝色榕树叶、脚踩数字浪潮，看起来“萌萌哒”．结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图成中心对称的是（　　） A．. B． C． D． 【变式1】下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 题型02 确定中心对称的对称中心 【典例1】如图，△ABE与△DCF成中心对称则对称中心是（　　） A．M点 B．P点 C．Q点 D．N点 【变式1】如图，在12×6的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，△ABC旋转180°后得到△A′B′C′，则旋转中心是（　　） A．点P B．点C′ C．点O D．点R 【变式2】如图，已知△ABC与△A'B'C'成中心对称，则对称中心是点 ． 【变式3】如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中心． 题型03 熟悉中心对称的性质 【典例1】如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF 【变式1】如图，已知△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．∠AOC＝∠A′OC′ C．AB＝A′B′ D．OA＝OB′ 变式2】如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论成立的是（　　） ①点A与点A′关于点O对称； ②BO＝B′O； ③AC∥A′C′； ④∠ABC＝∠C′A′B′． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 题型04 利用中心对称的性质计算 【典例1】如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，△A'B'C'与△ABC关于点O中心对称，则B'C′的长度为（　　） A．12 B．16 C．20 D．25 【变式1】如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式2】如图，△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，已知AA1＝8cm，BO＝6cm，A1B1＝5cm，则△OAB的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．16cm D．19cm 【变式3】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 　 ． 题型02 中心对称作图 【典例1】如图，△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C'，请你帮该同学找到对称中心O，且补全△A'B'C'． 【变式1】如图，已知△ABC和点O，请画出△ABC关于点O成中心对称的图形． 【变式2】如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称． （1）找出它们的对称中心O； （2）若∠ABC＝35°，求∠DEF的度数； （3）若AB＝8，AC＝5，BC＝7，求△DEF的周长． 1．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（　　） A．OB＝OB′ B．BC∥B′C′ C．点A的对称点是点A′ D．∠ACB＝∠A′B′C′ 3．如图，△ABC与△A′B′C′关于某个点成中心对称，则这个点是（　　） A．点D B．点G C．点F D．点E 4．某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中△ABC与△DEC关于点C成中心对称，点M、N分别是AC、BC的中点，横梁MN用于支撑桥梁．通过测量得到MN的长度为40cm，DE是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中DE的长是（　　）cm． A．20 B．40 C．80 D．90 5．如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，若AB＝2，CD＝5，∠ADE＝90°，则BC的长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 6．如图，经过正方形ABCD对称中心O的直线分别交BA的延长线、AD、BC于点E、F、G．已知DC＝4，DF＝3，则AE的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 7．如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．16 C．18 D．12 8．如图，△ABC中，，AC＝2，O是AC的中点．将△BCO绕点C旋转180°得△PCQ，连接AP，则AP的长是（　　） A． B． C．4 D．5 9．如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转180°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（　　） A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大 10．将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，现将图中的△ABC绕点G按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为（　　） A．1秒或9秒 B．9秒或11秒 C．1秒或3秒或9秒 D．3秒或9秒或11秒 11．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△A′BD与△ACD关于点D成中心对称．若AB＝5，AC＝3，则线段AD的取值范围是 　 　 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为 　 　 ． 13．如图，AE，AC，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AB的长是 　 　 ． 14．如图，▱ABCO与▱A′B′C′O关于点O成中心对称，∠BAO的平分线交BC于点D，若BD＝3，CD＝2，则▱A′B′C′O的周长为 　 　 ． 15．如图，在等边三角形ABC中，O为BC的中点，AB＝2，△BPQ与△BAO关于点B中心对称，连接CP，则CP的长为 　 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（5，3）、B（1，2）、C（4，1），△A′B′C′与△ABC关于坐标原点O成中心对称（点A′、B′、C′的对应点分别为点A、B、C）． （1）在图中画出△A′B′C′； （2）若△ABC内部有一点P（3，2），请写出在△A′B′C′中，与点P对应的点P′的坐标． 17．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称． （1）找出它们的对称中心O； （2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长． 18．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P． （1）求证：AC＝CD； （2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 19．如图，△AOB绕点O旋转180°得到△COD，点A的对应点为点C，分别延长OB，OD至点E，F，且BE＝DF，连结AF，FC，CE，EA． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形． （2）若OE＝CE，∠EAC＝45°，，求四边形AFCE的周长． 20．（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围，并说明理由． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断． （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DM⊥DN于点D，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连接MN，求证：BM+CN＞MN． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.2 中心对称 教学目标 1. 掌握中心对称的定义与性质，能够根据定义熟练的找出对称中心，能够根据性质熟练的解决相关题目。 2. 掌握中心对称作图的步骤，并能够熟练的进行中心对称作图。 教学重难点 1. 重点 （1）中心对称的定义与性质； （2）中心对称的作图； 2. 难点 （1）利用中心对称的性质进行角度或线段长度的计算； （2）确定中心对称的对称中心。 知识点01 中心对称的定义 1. 中心对称的定义： 如图，把一个图形绕着某个点旋转 180° ，如果它能够与另一个图形 完全重合 ，那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称 ，这个点叫做 对称中心 ，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的 对称点 。 即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是对称中心，A与A' ，B与B' ，C与C' 都是对称点， 中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2. 中心对称的性质： ①关于中心对称的两个图形能够 完全重合 ；即 。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过 对称中心 ，并且被对称中心 平分 。 即：。 ③中心对称的两个图形对应边 平行或共线 。 3. 对称中心的确定： 连接任意两组 对称点 得到两条线段，这两条线段的 交点 就是对称中心。 【即学即练1】 1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【解答】解：根据中心对称的概念，知（2）（3）（4）都是中心对称． 故选：C． 【即学即练2】 2．如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B' 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称， ∴点A与点A'是对称点，BO＝B'O，AB＝A'B'， ∴A，B，C正确， 故选：D． 【即学即练3】 3．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1， ∴AB＝2AC＝2， ∴BB′＝2AB＝4． 故选：A． 【即学即练4】 4．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 【答案】B 【解答】解：∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称， 1，0， ∴点P的坐标为（1，0）． 设点C（x，y）， ∵A（3，3）， ∴1，0， ∴x＝﹣1，y＝﹣3． ∴C（﹣1，﹣3）． 故选：B． 【即学即练5】 5．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（　　） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C 【解答】解：AD、CF、BE相交于点M， ∴点M是△ABC与△DEF的对称中心， 故选：C． 知识点02 中心对称作图 1. 中心对称作图的基本步骤： 步骤：①确定图形的 关键点 与 对称中心 。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离 相等 。 得到 对称点 。 ③按照原图形连接各对称点。 【即学即练1】 6．如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求； 【即学即练2】 7．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了，请你帮排版工人找到对称中心O的位置． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①连接CC′，取线段CC′的中点，即为对称中心O． ②连接BB′、CC′，两线段相交于O点，则O点即为对称中心． 题型01 中心对称的判断 【典例1】图中是第二届数字中国建设峰会吉祥物——“数娃”，它头顶蓝色榕树叶、脚踩数字浪潮，看起来“萌萌哒”．结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图成中心对称的是（　　） A．. B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．不成中心对称，故此选项不符合题意； B．成中心对称，故此选符合题意； C．不成中心对称，故此选项不符合题意； D．不成中心对称，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题可知，A、B、D不是中心对称图形，C是中心对称图形图形． 故选：C． 【变式2】下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据中心对称的定义可知，选项A中阴影部分两个三角形成中心对称． 故选：A． 题型02 确定中心对称的对称中心 【典例1】如图，△ABE与△DCF成中心对称则对称中心是（　　） A．M点 B．P点 C．Q点 D．N点 【答案】A 【解答】解：连接BC，发现BC经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 【变式1】如图，在12×6的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，△ABC旋转180°后得到△A′B′C′，则旋转中心是（　　） A．点P B．点C′ C．点O D．点R 【答案】C 【解答】解：如图所示，连接AA′，BB′，CC′， 则AA′，BB′，CC′的交点为O， ∴旋转中心是O． 故选：C． 【变式2】如图，已知△ABC与△A'B'C'成中心对称，则对称中心是点P ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接BB′、CC′，交点为对称中心点P． 如图所示： 故答案为：P． 【变式3】如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中心． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接CC′，BB′，两条线段相交于当O， 则点O即为对称中心． 题型03 熟悉中心对称的性质 【典例1】如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF 【答案】A 【解答】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称， ∴AO＝DO，BO＝EO，△ABC与△DEF关于点O成中心对称． 故B，D选项正确，不符合题意； ∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（SAS）， ∴∠BAO＝∠EDO， ∴AB∥DE， 故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出AD⊥BE， 故A选项不正确，符合题意． 故选：A． 【变式1】如图，已知△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．∠AOC＝∠A′OC′ C．AB＝A′B′ D．OA＝OB′ 【答案】D 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠ABC＝∠A′B′C′，AB＝A′B′，OA＝OA′， 故选项A，C正确， ∵∠AOC＝∠A′OC′，故选项B正确． 故选：D． 【变式2】如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论成立的是（　　） ①点A与点A′关于点O对称； ②BO＝B′O； ③AC∥A′C′； ④∠ABC＝∠C′A′B′． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称， ∴由中心对称的性质可得，OB＝OB′，OC＝OC′，点A与点A′关于点O对称，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，AC∥A′C′， ∴①②③正确，④错误， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 题型04 利用中心对称的性质计算 【典例1】如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，△A'B'C'与△ABC关于点O中心对称，则B'C′的长度为（　　） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】C 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝16， ∴BC20， ∵△A'B'C'与△ABC关于点O中心对称， ∴B'C′＝BC＝20． 故选：C． 【变式1】如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解答】解：由中心对称图形可知△ABC≌△DEC， ∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°， ∴AD＝2， ∵∠D＝90°， ∴AE2， 故选：D． 【变式2】如图，△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，已知AA1＝8cm，BO＝6cm，A1B1＝5cm，则△OAB的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．16cm D．19cm 【答案】B 【解答】解：由条件可知AO＝4cm，AB＝A1B1＝5cm， ∴△OAB的周长＝AO+AB+BO＝4+5+6＝15cm， 故选：B． 【变式3】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：如图，过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E， ∵A′D⊥b于点D． ∠A′FO＝∠FOD＝∠A′DO＝90°， ∴四边形A′DOF是矩形， ∴A′F＝OD＝3， 同理可知，四边形ABOE是矩形， ∴AE＝OB＝4， ∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′， ∴AE＝A′D＝OB＝4，AB＝A′F＝3，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12． 故答案为：12． 题型02 中心对称作图 【典例1】如图，△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C'，请你帮该同学找到对称中心O，且补全△A'B'C'． 【答案】作图见解析部分． 【解答】解：如图所示，BB'，CC'的交点即为O，△A'B'C'即为所求． 【变式1】如图，已知△ABC和点O，请画出△ABC关于点O成中心对称的图形． 【答案】见解答． 【解答】解：如图，△DEF为所作： 【变式2】如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称． （1）找出它们的对称中心O； （2）若∠ABC＝35°，则∠DEF的度数为 　35°　 ； （3）若AB＝8，AC＝5，BC＝7，△DEF的周长为 　20　 ． 【答案】（1）见解析； （2）35°； （3）20． 【解答】解：（1）连接AD，CF，交于点O，此点即为对称中心； （2）由题意可得：∠DEF＝∠ABC＝35°； 故答案为：35°； （3）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴△ABC和△DEF的周长相等， ∵△ABC的周长为8+5+7＝20， ∴△DEF的周长为20； 故答案为：20． 1．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、选项图形绕点O旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称，符合题意； B、选项图形绕点O旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称，不符合题意； C、选项图形绕点O旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称，不符合题意； D、选项图形绕点O旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称，不符合题意． 故选：A． 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（　　） A．OB＝OB′ B．BC∥B′C′ C．点A的对称点是点A′ D．∠ACB＝∠A′B′C′ 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′'关于O成中心对称， ∴OB＝OB′，∠ACB＝∠A′C′B′，点A的对称点是点A′，BC∥B′C′， 故A，B，C正确，D不正确． 故选：D． 3．如图，△ABC与△A′B′C′关于某个点成中心对称，则这个点是（　　） A．点D B．点G C．点F D．点E 【答案】D 【解答】解：连接AA'，BB'，CC'，相交于点E， 则△ABC与△A′B′C'关于点E成中心对称． 故选：D． 4．某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中△ABC与△DEC关于点C成中心对称，点M、N分别是AC、BC的中点，横梁MN用于支撑桥梁．通过测量得到MN的长度为40cm，DE是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中DE的长是（　　）cm． A．20 B．40 C．80 D．90 【答案】C 【解答】解：∵点M、N分别是AC、BC的中点，MN的长度为40cm， ∴MN是△ABC的中位线， ∴AB＝2MN＝80cm， 又∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称， ∴DE＝AB＝80cm， 故选：C． 5．如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，若AB＝2，CD＝5，∠ADE＝90°，则BC的长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解答】解：∵△ABC与△ADE关于点A成中心对称， ∴AD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADE＝90°， ∴BD＝AD+AB＝4， ∴BC3． 故选：C． 6．如图，经过正方形ABCD对称中心O的直线分别交BA的延长线、AD、BC于点E、F、G．已知DC＝4，DF＝3，则AE的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：过点O作OH⊥AD于点H，连接OD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠EAF＝90°，AD＝CD＝4， ∵点O是正方形ABCD的中心， ∴AH＝DHAD＝2，∠ODH＝45°， ∵∠OHD＝90°， ∴∠ODH＝∠HOD＝45°， ∴OH＝HD＝2， ∵DF＝3， ∴FH＝AF＝1， ∵∠EAF＝∠OHF＝90°，∠AFE＝∠OFH， ∴△EAF≌△OHF（ASA）， ∴AE＝OH＝2， 故选：A． 7．如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．16 C．18 D．12 【答案】D 【解答】解：连接OC、OD， ， ∵点O是菱形ABCD的对称中心， ∴AC⊥BD，O是AC与BD的交点， ∴CO＝AO＝4，DO＝BO＝6， ∴AC＝8，BD＝12， ∵EF为过点O的一条直线， ∴四边形ABFE的面积＝四边形CDEF的面积菱形ABCD的面积， ∵菱形ABCD的面积AC×BD＝48， ∴四边形ABFE的面积＝24， ∵阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，S△ABOAO×BO＝12， ∴阴影部分的面积＝12， 故选：D． 8．如图，△ABC中，，AC＝2，O是AC的中点．将△BCO绕点C旋转180°得△PCQ，连接AP，则AP的长是（　　） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：∵AB＝BC，AC＝2，O是AC的中点， ∴AO＝CO＝1，BO⊥AC， ∴BO4， ∵将△BCO绕点C旋转180°得△PCQ， ∴∠Q＝∠BOC＝90°，AQ＝AC+CQ＝AC+OC＝3，PQ＝BO＝4， ∴AP5． 故选：D． 9．如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转180°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（　　） A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大 【答案】A 【解答】解：由条件可知∠BOC＝∠EOG＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC， ∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM， 即∠BOM＝∠CON， ∵在△BOM和△CON中， ， ∴△BOM≌△CON（ASA）， ∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是：， 即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于，重叠部分四边形OMCN的面积不变， 故选：A． 10．将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，现将图中的△ABC绕点G按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为（　　） A．1秒或9秒 B．9秒或11秒 C．1秒或3秒或9秒 D．3秒或9秒或11秒 【答案】D 【解答】解：∵∠C＝∠EFB＝90°， ∴AC∥FG， ∴∠AGE＝∠FGB＝∠A＝60°， ∴∠AGF＝∠EGB＝180°﹣60°＝120°， 情况1，如图，当DE∥A'C'时，A'B'交ED于点H， ∵DE∥A'C'， ∴∠EHG＝∠A'＝60°， ∴∠A'GF＝∠EGH＝180°﹣∠E﹣∠EHG＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴∠AGA'＝∠AGF﹣∠A'GF＝120°﹣75°＝45°， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当DE∥B'C'时，FE的延长线交B'C'于点H， ∵DE∥B'C'， ∴∠C'HE＝∠DEF＝45°， ∴∠A'GF＝∠B'GH＝∠C'HE﹣∠B'＝45°﹣30°＝15°， ∴∠AGA'＝∠AGF+∠A'GF＝120°+15°＝135°， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当DE∥A'B'时， ∵DE∥A'B'， ∴∠A'GF＝∠E＝45°， ∴∠AGA'＝∠AGF+∠A'GF＝120°+45°＝165°， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，△ABC恰有一边与DE平行的时间为3秒或9秒或11秒， 故选：D． 11．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△A′BD与△ACD关于点D成中心对称．若AB＝5，AC＝3，则线段AD的取值范围是 　1＜AD＜4　 ． 【答案】1＜AD＜4． 【解答】解：根据题意可知，AC＝A′B＝3，AD＝A′D， ∴在△ABA′中，5﹣3＜AA′＜5+3，即2＜AA′＜8， ∴1＜AD＜4． 故答案为：1＜AD＜4． 12．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为 　（2，2）　 ． 【答案】（2，2）． 【解答】解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2）， ∴点O是AC的中点， ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BD经过点O， ∵B的坐标为（﹣2，﹣2）， ∴D的坐标为（2，2）， 故答案为：（2，2）． 13．如图，AE，AC，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AB的长是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称， ∴DC＝AC，DE＝AB， ∴AD＝2， ∴在Rt△EDA中，DE， ∴AB． 故答案为：． 14．如图，▱ABCO与▱A′B′C′O关于点O成中心对称，∠BAO的平分线交BC于点D，若BD＝3，CD＝2，则▱A′B′C′O的周长为 　16　 ． 【答案】16． 【解答】解：∵AO∥BC， ∴∠OAD＝∠BDA， ∵∠OAD＝∠BAD， ∴∠BDA＝∠BAD， ∴BA＝BD， ∵BD＝3，CD＝2， ∴BA＝3，BC＝BD+CD＝5， ∴▱ABCO的周长为：2×（3+5）＝16， ∵▱ABCO与▱A′B′C′O关于点O成中心对称， ∴▱A′B′C′O的周长为16， 故答案为：16． 15．如图，在等边三角形ABC中，O为BC的中点，AB＝2，△BPQ与△BAO关于点B中心对称，连接CP，则CP的长为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，O为BC的中点，AB＝2， ∴BO＝1，∠AOB＝90°， ∴AO， ∵△BPQ与△BAO关于点B中心对称， ∴BQ＝BO＝1，PQ＝AO，∠Q＝∠AOB＝90°， ∴CQ＝1+2＝3， 在Rt△PCQ中，根据勾股定理， 得PC2． 故答案为：2． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（5，3）、B（1，2）、C（4，1），△A′B′C′与△ABC关于坐标原点O成中心对称（点A′、B′、C′的对应点分别为点A、B、C）． （1）在图中画出△A′B′C′； （2）若△ABC内部有一点P（3，2），请写出在△A′B′C′中，与点P对应的点P′的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）P′（﹣3，﹣2）． 【解答】解：（1）与△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B′C′，如图即为所求； （2）∵△A′B′C′与△ABC关于坐标原点O成中心对称，△ABC内部有一点P（3，2）， ∴在△A′B′C′中，与点P对应的点P′的坐标P′（﹣3，﹣2）． 17．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称． （1）找出它们的对称中心O； （2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长． 【答案】（1）见解析；（2）18． 【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求．（作法不唯一）； （2）∵△ABC 和△DEF 关于点O成中心对称， ∴AB＝DE＝7，AC＝DF＝5，BC＝EF＝6， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝7+5+6＝18． 答：△DEF 的周长为18． 18．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P． （1）求证：AC＝CD； （2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称， ∴△ABM≌△ACM， ∴AB＝AC， 又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称， ∴△ABE≌△DCE， ∴AB＝CD， ∴AC＝CD； （2）解：∠F＝∠MCD． 理由：由（1）可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA， ∵∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF， ∴设∠MPC＝α，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α， 设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β， ∴∠F＝∠CPM﹣∠PMF＝α﹣β， ∠MCD＝∠CDE﹣∠DMC＝α﹣β， ∴∠F＝∠MCD． 19．如图，△AOB绕点O旋转180°得到△COD，点A的对应点为点C，分别延长OB，OD至点E，F，且BE＝DF，连结AF，FC，CE，EA． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形． （2）若OE＝CE，∠EAC＝45°，，求四边形AFCE的周长． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）． 【解答】证明：（1）∵△COD由△AOB绕点O旋转180°得到， ∴AO＝CO，DO＝BO，且A，O，C三点在一条直线上，B，O，D三点在一条直线上． ∵BE＝DF， ∴OB+BE＝OD+DF， 即OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形． 解：（2）过点E作AC的垂线，垂足为M， ∵OE＝CE， ∴OM＝CM． 又∵OA＝OC， ∴AM＝3CM． ∵∠EAC＝45°，且EM⊥AC， ∴ME＝AM＝3CM． 又∵OE， ∴CE＝OE． 在Rt△MCE中， MC2+ME2＝EC2， ∴MC2+（3MC）2＝（）2， 解得MC＝1， ∴AM＝ME＝3， ∴AE3， ∴FC＝AE＝3． 又∵AF＝EC， ∴四边形AFCE的周长为：62． 20．（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围，并说明理由． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断． （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DM⊥DN于点D，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连接MN，求证：BM+CN＞MN． 【答案】（1）2＜AD＜10，详见解析； （2）详见解析． 【解答】（1）解：延长AD到点E使DE＝AD，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ACD和△EBD中，， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴BE＝AC＝12， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：BE﹣AB＜AE＜BE+AB， ∴12﹣8＜AE＜12+8，即4＜2AD＜20， ∴2＜AD＜10； （2）问题解决： 证明：延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF，MF，如图1所示： ∵D是BC边上的中点， ∴BD＝CD， 在△BFD和△CND中，， ∴△BFD≌△CND（SAS）， ∴BF＝CN， ∵DM⊥DN，FD＝ND， ∴MF＝MN， 在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF， ∴BM+CN＞MN． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$