21.1 一元二次方程同步练习-2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.1 一元二次方程 一．选择题（共6小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2＝1 B．x2+y＝1 C．x2＝x（x﹣1） D． 2．若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 3．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x﹣1＝0 B．x+y＝2 C． D．x2﹣1＝0 4．已知x＝2是关于x的方程x2﹣5x+m＝0的一个根，则2m+3为（　　） A．6 B．﹣6 C．15 D．﹣15 5．若关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3m＝0的一个根是1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 6．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的一次项系数和常数项分别是（　　） A．﹣2和1 B．2和﹣1 C．﹣2x和﹣1 D．﹣2x和1 二．填空题（共8小题） 7．关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根为x＝2，则m的值为　 　 ． 8．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的解，则2021﹣6a+2b的值为　 　 ． 9．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为 　 　 ． 10．把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，得x2﹣bx+10＝0，则b的值为 　 　 ． 11．一元二次方程x2﹣x﹣k＝0一个根是2，则k＝　 　 ． 12．若x＝1是关于x的方程a2x2﹣2ax﹣1＝0的解，则2a3﹣7a2+4a的值为　 　 ． 13．已知x＝m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m﹣5的值为 　 　 ． 14．关于x的方程3x2+mx﹣8＝0有一个根是，则m的值为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 15．完成下列问题： （1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx﹣2n＝0的根，求m+n的值； （2）已知x，y为实数，且y＝232．求2x﹣3y的值． 16．若关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足条件（a﹣2）2+|b﹣3|0，试写出这个一元二次方程． 17．若a是方程x2﹣3x+1＝0根，试求的值． 18．已知方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）＝0，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）＝0（其中m，n都是正整数，且m≠n≠1）有一个公共根，求mn•nm的值． 19．是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2＝0和x2+2x+m＝0有且只有一个共同根，如果存在，求出这个实数m及两个方程的公共根；如果不存在，请说明理由． 20．对于方程（1+a）x4+x3﹣（3a+2）x2﹣4a＝0， 求证：①对于任何实数a都有一个确定的实数是它的解，求出这个实数解． ②存在一实数x，使得不论a为任何实数，x都不是这个方程的解． 21.1 一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2＝1 B．x2+y＝1 C．x2＝x（x﹣1） D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的概念逐项判断即可． 【解答】解：A．x2＝1只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，符合定义，故该选项符合题意； B．x2+y＝1 含有2个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； C．x2＝x（x﹣1）整理为﹣x＝0，只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程，不符合定义，故该选项不符合题意； D.属于分式方程，不符合定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查一元二次方程的概念，一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 2．若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0，此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，根据题意得到x+2＝2025，从而得到x＝2023． 【解答】解：关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0， 此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程， ∵x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根， ∴x+2＝2025是关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+1＝0的一个根， ∴x+2＝2025， 解得x＝2023， ∴关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为x＝2023． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x﹣1＝0 B．x+y＝2 C． D．x2﹣1＝0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【解答】解：∵x﹣1＝0不是一元二次方程， 故A选项不符合题意； ∵x+y＝2不是一元二次方程， 故B选项不符合题意； ∵不是一元二次方程， 故C选项不符合题意； ∵x2﹣1＝0是一元二次方程， 故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 4．已知x＝2是关于x的方程x2﹣5x+m＝0的一个根，则2m+3为（　　） A．6 B．﹣6 C．15 D．﹣15 【答案】C 【分析】先把x＝2代入一元二次方程得到4﹣10+m＝0，解一次方程得到m的值，然后把m的值代入所求代数式中计算即可． 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣5x+m＝0得4﹣10+m＝0， 解得m＝6， 所以2m+3＝2×6+3＝15． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式求值． 5．若关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3m＝0的一个根是1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】把x＝1代入一元二次方程得到2+m﹣3m＝0，然后解关于m的一元一次方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程2x2+mx﹣3m＝0得2+m﹣3m＝0， 解得m＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的一次项系数和常数项分别是（　　） A．﹣2和1 B．2和﹣1 C．﹣2x和﹣1 D．﹣2x和1 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式找出一次项系数和常数项即可． 【解答】解：根据题意可知，一元二次方程的一次项系数和常数项分别是﹣2和1． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 7．关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根为x＝2，则m的值为　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】把x＝2代入方程x2+mx+6＝0得4+2m+6＝0，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：把x＝2代入方程x2+mx+6＝0得4+2m+6＝0， 解得m＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟知能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解决问题的关键． 8．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的解，则2021﹣6a+2b的值为　2025　 ． 【答案】2025． 【分析】把x＝3代入方程可得3a﹣b＝﹣2，再整体代入代数式即可求解． 【解答】解：由题意可得：9a﹣3b+6＝0， ∴9a﹣3b＝﹣6， ∴3a﹣b＝﹣2， ∴原式＝2021﹣2（3a﹣b）＝2021﹣2×（﹣2）＝2021+4＝2025， 故答案为：2025． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握一元二次方程的解的定义及整体代入法是解题的关键． 9．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为 　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，然后解关于m的方程． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0， 解得m＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10．把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，得x2﹣bx+10＝0，则b的值为 　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】方程整理为一般形式，找出一次项即可． 【解答】解：方程整理得：x2﹣3x+10＝0， ∴b＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意把一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 11．一元二次方程x2﹣x﹣k＝0一个根是2，则k＝　2　 ． 【答案】2． 【分析】知道方程的一根，把该根代入方程中，求出未知量k． 【解答】解：由题意知，关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k＝0的一个根是2， 故22﹣2﹣k＝0， 解得k＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用． 12．若x＝1是关于x的方程a2x2﹣2ax﹣1＝0的解，则2a3﹣7a2+4a的值为　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【分析】根据题意可得：a2﹣2a﹣1＝0，从而可得a2＝2a+1，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵x＝1是关于x的方程a2x2﹣2ax﹣1＝0的解， ∴a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2＝2a+1， ∴2a3﹣7a2+4a ＝2a（2a+1）﹣7（2a+1）+4a ＝4a2+2a﹣14a﹣7+4a ＝4a2﹣8a﹣7 ＝4（2a+1）﹣8a﹣7 ＝8a+4﹣8a﹣7 ＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．已知x＝m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m﹣5的值为 　5　 ． 【答案】5． 【分析】由题意知，m2﹣3m﹣5＝0，即m2﹣3m＝5，根据2m2﹣6m﹣5＝2（m2﹣3m）﹣5，代值求解即可． 【解答】解：由题意可知：m2﹣3m﹣5＝0，即m2﹣3m＝5， ∴2m2﹣6m﹣5＝2（m2﹣3m）﹣5＝2×5﹣5＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键． 14．关于x的方程3x2+mx﹣8＝0有一个根是，则m的值为 　10　 ． 【答案】10． 【分析】利用一元二次方程的解的定义，把x代入方程3x2+mx﹣8＝0得到3×（）2m﹣8＝0，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：把x代入方程3x2+mx﹣8＝0，得 3×（）2m﹣8＝0， 解得m＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 三．解答题（共6小题） 15．完成下列问题： （1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx﹣2n＝0的根，求m+n的值； （2）已知x，y为实数，且y＝232．求2x﹣3y的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把x＝n代入方程得出n2+mn﹣2n＝0，方程两边都除以n得出m+n﹣2＝0，求出即可． （2）根据二次根式有意义的条件求出x＝5，然后求出y的值，最后代入求解． 【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx﹣2n＝0的根， 代入得：n2+mn﹣2n＝0， ∵n≠0， ∴方程两边都除以n得：n+m﹣2＝0， ∴m+n＝2． （2）由题意得：x﹣5≥0，5﹣x≥0， ∴x＝5，y＝﹣2， ∴2x﹣3y＝10+6＝16． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出m+n的值是解此题的关键，题型较好，难度适中． 16．若关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足条件（a﹣2）2+|b﹣3|0，试写出这个一元二次方程． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据非负数的和等于零，可得每个非负数同时为零，可得a、b、c的值，根据二次项系数、一次项系数、常数项，可得答案． 【解答】解：由（a﹣2）2+|b﹣3|0，得 ， 解得， 关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，得4x2+3x﹣7＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用非负数的和等于零得出每个非负数同时为零是解题关键． 17．若a是方程x2﹣3x+1＝0根，试求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到a2＝3a﹣1，再利用a表示出a3＝8a﹣3，然后利用整体代入的方法计算分式的值． 【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0根， ∴a2﹣3a+1＝0， ∴a2＝3a﹣1， ∴a3＝a（3a﹣1）＝3a2﹣a＝3（3a﹣1）﹣a＝8a﹣3， ∴原式1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 18．已知方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）＝0，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）＝0（其中m，n都是正整数，且m≠n≠1）有一个公共根，求mn•nm的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】由于一元二次方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）＝0，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）＝0有一个公共根，求出这两个方程的根，根据条件列关于m，n的方程，解m，n即可求出mn•nm的值． 【解答】解：将一元二次方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）＝0分解因式解得 [（m﹣1）x﹣（m+2）]（x﹣m）＝0 ∴或x＝m （m≠1） 将一元二次方程，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）＝0分解因式解得 [（n﹣1）x﹣（n+2）]（x﹣n）＝0 ∴或x＝n （n≠1） ∵方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）＝0，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）＝0有一个公共根，且m，n都是正整数，且m≠n≠1 ∴ 解得mn＝m+n+2 由奇偶性可知，m，n都为偶数 ∵m≠n≠1 ∴m＝2，n＝4或n＝2，m＝4 ∴mn•nm＝24•42＝16×16＝256 【点评】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题． 19．是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2＝0和x2+2x+m＝0有且只有一个共同根，如果存在，求出这个实数m及两个方程的公共根；如果不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】联立两方程，解方程组即可求得共同的根，把根代入方程可求得m的值． 【解答】解：存在． 由题意联立两方程可得，解得x＝1， 把x＝1代入x2+mx+2＝0可得m＝﹣3， 即当m＝﹣3时，两方程有公共根，公共根为1． 【点评】本题主要考查方程根的定义及解方程，联立方程求得m的值是解题的关键． 20．对于方程（1+a）x4+x3﹣（3a+2）x2﹣4a＝0， 求证：①对于任何实数a都有一个确定的实数是它的解，求出这个实数解． ②存在一实数x，使得不论a为任何实数，x都不是这个方程的解． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用逆向思维，由对于任何实数a都有一个确定的实数是它的解，可以将原方程变形为关于a的一元一次方程，通过因式分解即可求得答案； （2）根据（1），由当（x2+1）（x﹣2）＝0时，原方程无解，即可求得答案． 【解答】解：（1）∵（1+a）x4+x3﹣（3a+2）x2﹣4a＝0， ∴（x4﹣3x2﹣4）a+（x4+x3﹣2x2）＝0， 即：（x2+1）（x+2）（x﹣2）a+x2（x+2）（x﹣1）＝0， ∴（x+2）[（x2+1）（x﹣2）a+x2（x﹣1）]＝0， ∴x+2＝0或（x2+1）（x﹣2）a+x2（x﹣1）＝0， ∵对于任何实数a都有一个确定的实数是它的解， ∴x＝﹣2， ∴这个实数解为：x＝﹣2； （2）根据（1）可得：（x2+1）（x﹣2）a+x2（x﹣1）＝0， 即（x2+1）（x﹣2）a＝﹣x2（x﹣1）， ∴当（x2+1）（x﹣2）＝0时，原方程无解， 即当x＝2时，不论a为任何实数，x都不是这个方程的解． 【点评】此题考查了一元一次方程的求解方法，因式分解，以及方程解的情况的分析．此题还考查了学生的逆向思维能力，解题的关键是将原方程变形为关于a的一元一次方程，通过因式分解求解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $