精品解析：广东省湛江市第二十一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

湛江市第二十一中学2025－2026学年第一学期开学考试 高二数学 考试时间：120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题：“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：A 2. 已知复数，则Z的虚部为（ ） A. 1 B. i C. 2 D. 2i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，即得其虚部. 【详解】， 则Z的虚部为1. 故选：A 3. 已知集合则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 4. 铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则下列说法不正确的是（    ） A. 铁棍的长度的极差为 B. 铁棍的长度的众数为 C. 铁棍的长度的中位数为 D. 铁棍的长度的第80百分位数为 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，利用极差、众数、中位数、百分位数的概念求解，分别判断各选项正误. 【详解】铁棍的长度从小到大排列依次为3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65（单位：cm）， 对于A：极差，故A正确； 对于B：众数为3.62，故B正确； 对于C：中位数为，故C正确； 对于D：因为％＝6.4，所以铁棍的长度的第80百分位数为从小到大排列的第7个数，是3.64，所以D不正确. 故选：D. 5. 设，是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】逐项举反例判断选项A,B,C错误，证明选项D正确. 【详解】对于A，如图，但直线平行，A错误； 对于B，如图，但是平面不平行，B错误； 对于C：若，，，则或异面，C选项错误； 对于D，由，，可得，又，所以，D正确； 故选：D. 6. 已知，点为边上一点，且满足，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法和减法运算法则即可求解. 【详解】, 另解：. 故选：B 7. 已知，且，，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值. 【详解】由，可得， 又因，，所以， 当且仅当时取等号， 故选：A. 8. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用平面向量的坐标运算及数量积运算计算判断各个选项即可. 【详解】因为， 所以，A选项正确； ，所以不成立，B选项错误；D选项正确； ，C选项正确； 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 直线是函数的一条对称轴 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由求出的范围，再结合正弦函数的性质分析判断即可，对于BC，代入验证即可，对于D，由题意可得为偶函数，则，从而可求出结果. 【详解】对于A，由，得，得， 因为在上不单调，所以在上不单调，所以A错误； 对于B，因为，所以直线是函数的一条对称轴，所以B正确； 对于C，因为，所以函数的图象关于点中心对称，所以C正确； 对于D，因为，所以， 因为的图像关于轴对称，所以为偶函数， 所以，得， 所以正数的最小值为，所以D正确. 故选：BCD 11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出为定值，且P到平面的距离为1，从而由等体积得到锥体体积为定值；B选项，证明出面面平行，得到线面平行； C选项，将两平面展开到同一平面，连接，交于点，此时最小，最小值即为的长，由勾股定理得到最小值； D选项，点P在点B处，，C，，P四点共面，四面体的外接球即正方体的外接球，求出正方体的外接球半径，得到外接球体积. 【详解】对于A，因为不在平面内，平面， 所以平面，又， 所以点到平面的距离为， 又为定值， 故定值，A正确； 对于B，因为，平面，平面，所以平面， 同理可知平面， 又，平面， 所以平面平面， 由于平面，故平面，B正确. 对于C，展开两线段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形， 连接，交于点，此时最小，最小值即为的长， 过点作⊥，交的延长线于点， 其中， 故，又勾股定理得，C正确； 对于D，点P在点B处，，C，，P四点共面， 四面体的外接球即正方体的外接球， 故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确. 故选：ABD 【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设复数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法及复数的加法运算求解. 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 13. 设是随机事件，且，则______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】求出，从而根据事件的运算关系求出概率. 【详解】因为，所以， 故． 故答案为： 14. 设正方形的边长为4，动点在以为直径的上，如图，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连结，根据极化恒等式求解即可. 【详解】取的中点，连结， 在内使用极化恒等式得 易知，故． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行求解； （2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解即可. 【小问1详解】 变形为：， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 16. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题可得. 【小问2详解】 这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为人； 【小问3详解】 估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）证明：平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，用三角形中位线证明，再根据线面平行判定定理即可证明； （2）证明，即可根据线面垂直判定定理证明； （3）结合（2）中结论和面面垂直判定定理即可证明． 【小问1详解】 如图，连， ∵四边形是菱形， ∴和互相平分， ∵F中点， ∴F也是中点， 又∵， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； 小问2详解】 ∵平面，平面，∴， ∵四边形是菱形，∴， 又∵，平面， ∴平面； 【小问3详解】 由（2）知平面， ∵平面，故平面平面． 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A、B两部门的员工参加DeepSeek培训. （1）已知该公司A、B部门分别有3名领导，此次DeepSeek培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自A部门领导的概率； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用组合计数问题求出基本事件数，再利用古典概率列式求解. （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. 【小问1详解】 记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从6名部门领导中随机选取2人负责，不同结果有： ，共15种， 选取2人全部来自A部门领导的事件，不同结果有：，共3种， 所以全部来自A部门领导的概率为. 【小问2详解】 记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，. （1）若平面与平面相交于直线，求证：； （2）求与所成的角； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，再利用线面平行的性质可证得结论成立； （2）证明出，可得出的形状，由异面直线所成角的定义可知与所成的角为或其补角，即可得解； （3）取的中点，连接，过作于，连接，根据线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义有是二面角的平面角，进而求其余弦值. 【小问1详解】 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，故. 【小问2详解】 过点在平面内作，垂足为点，如图所示： 因为平面平面，平面平面，平面， ，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，故与所成的角为或其补角， 又因为，则为等腰直角三角形，则， 即与所成的角为. 【小问3详解】 取的中点，连接， 因为，，，故， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，过作于，连接， 显然，、平面，因此平面， 而平面，则，即是二面角的平面角， 由，，得， 则，，， 所以二面角的余弦值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2025－2026学年第一学期开学考试 高二数学 考试时间：120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 命题：“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知复数，则Z的虚部为（ ） A. 1 B. i C. 2 D. 2i 3. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 4. 铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则下列说法不正确的是（    ） A. 铁棍的长度的极差为 B. 铁棍的长度的众数为 C. 铁棍的长度的中位数为 D. 铁棍的长度的第80百分位数为 5. 设，是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 已知，点为边上一点，且满足，则向量（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9. 已知则（ ） A B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 直线是函数一条对称轴 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设复数满足，则______. 13. 设是随机事件，且，则______． 14. 设正方形的边长为4，动点在以为直径的上，如图，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 16. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值； （2）求这500名中国AI大模型用户年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）证明：平面平面． 18. DeepSeek是由中国杭州DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A、B两部门的员工参加DeepSeek培训. （1）已知该公司A、B部门分别有3名领导，此次DeepSeek培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自A部门领导的概率； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，. （1）若平面与平面相交于直线，求证：； （2）求与所成的角； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $