2025年第三届复旦大学数学营暑期结营赛试题

2025年第三届复旦数学营暑期结营赛试题 1、求|x-1川+|2x-1川+|3x-1川+|4x-1川+5x-1川的最小值和此时x的取值. 2、请在括号内填入两组不同的正整数解：589=()2+3()2=(2+3(2. 3、有1、2、3…N个方格按顺序排列，其中3个方格有糖果，这3个方格的 序号分别为A、B、C,A<B<C每次操作可以将一块糖果向左移动任意格，但不 能跳过其它糖果，且两块糖果任意时刻不能处于同一格.甲乙两人轮流进行操作， 直到没有能移动的糖果为止，游戏中最后一位移动糖果的玩家获胜，问： (1)当A、B、C为1,4,5时，谁有必胜策略？ (2)当A、B、C为1,4,6时，谁有必胜策略？当A=1时，甲要必胜，B、C 要满足什么条件？ (3)由上得出，甲要必胜，A、B、C要满足怎样的条件 4、根据三倍角公式求cos36°. 5、已知x>0,求xVx-x+V2x-x的最大值. 第6题：如下图：已知AB=CD=10,∠ABC=90°，∠ADC=45°，∠BCD=150°，求四 边形ABCD的面积. 第7题：一个2025*2025的大方格，每个小格都涂满了黑或白两种颜色，每次 操作可以对3*3或4*4的方格进行统一变色（即其中的小格黑色变白色或者白色 变黑色)，是否可以对任意一种原始涂色的大方格，经过若干次操作后使得颜色 都相同？ 第8题：对一个三角形的三边进行旋转，得到三个立体图形，它们的体积分别为： a、心、子c,求a、b、c的所有可能值 第9题：对于一个边长为1的正六边形，连接若干条线段，使得任意两点相连（任 取两点A、B,使得A可以通过这些线段走到B),请画出你认为总长度最短的 一种构形，并求出此时线段的总长度， 第10题：已知N=g92,9,=x2+3y2，(x,y)=1,V=a2+3b2，(a,b)=1. 求证：存在c、d,使得g2=c2+d2,（c,d)=1.